高等數(shù)學級數(shù)教學PPT課件

1、 nuuuu321 nkknnuuuuS121 2部分和：部分和：、,11uS ,212uuS ,3213uuuS ,21nnuuuS 則則稱稱和和是是一一給給定定的的數(shù)數(shù)列列，設設無無窮窮級級數(shù)數(shù)：、 1nu，記為記為 1 nnu即：即：對應一個部分和數(shù)列對應一個部分和數(shù)列，給定級數(shù)給定級數(shù)顯然，顯然， , 1nnnSu .項項稱為級數(shù)的一般項或通稱為級數(shù)的一般項或通而而nu, nnnuuuuu3211即即.為無窮級數(shù)為無窮級數(shù).稱為無窮級數(shù)的部分和稱為無窮級數(shù)的部分和無無窮窮級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂與與發(fā)發(fā)散散一一、 第1頁/共30頁，存存在在極極限限的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列若若級級數(shù)數(shù)SSu

2、nnn1 1收斂，收斂，則稱級數(shù)則稱級數(shù) nnu，即即SSnn lim 記為記為稱為該級數(shù)的和，稱為該級數(shù)的和，且極限且極限 S.211Suuuunnn .1發(fā)散發(fā)散則稱級數(shù)則稱級數(shù) nnunnSSr 21nnuu 1nkku級數(shù)收斂：級數(shù)收斂：、 3級數(shù)發(fā)散：級數(shù)發(fā)散：、 4余項：余項：、 5則稱則稱收斂，收斂，設級數(shù)設級數(shù) 1 nnu不存在，不存在，若極限若極限nnS lim.lim 1存在存在收斂收斂級數(shù)級數(shù)說明：說明：nnnnSu .lim1不存在不存在發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)nnnnSu .1的余項的余項為級數(shù)為級數(shù) nnu第2頁/共30頁且且，產(chǎn)生的誤差為產(chǎn)生的誤差為代替和代替和這時用這時

3、用 nnrSS. 0)(limlim SSSSrnnnnnnSSr 21nnuu 1nkku余項：余項：、 5則稱則稱收斂，收斂，設級數(shù)設級數(shù) 1 nnu.1的余項的余項為級數(shù)為級數(shù) nnu.lim 1存在存在收斂收斂級數(shù)級數(shù)說明：說明：nnnnSu .lim1不存在不存在發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)nnnnSu 第3頁/共30頁)1(1321211 nnSn解：解：1113121211 nn)111(limlim nSnnn，111 n. 1 . 1 S且和且和. )1(1321211)1(1 11若收斂求其和若收斂求其和的斂散性，的斂散性，判斷判斷、例例 nnnnn收斂，收斂，故故 1)1(1 nnn

4、第4頁/共30頁12 nnaqaqaqaS解：解：.1 1)1( 時時當當， qqqan 1時時，當當 q，qaSnn 1lim時時，當當1 q， nnSlim 收收斂斂，故故級級數(shù)數(shù) 11 nnaq. 11發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnaq.1qa 且和為且和為.)0()( 21211的斂散性的斂散性幾何級數(shù)幾何級數(shù)討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)、例例 aaqaqaqaaqnnn,1時時當當 q不不存存在在，nnS lim . 12 , 2, 0knaknSn，時時當當，1 qna時時，當當1 q， nnSlim . 11發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnaq第5頁/共30頁. 11發(fā)散發(fā)散故級數(shù)故級數(shù) nn

5、aq. 11發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) nnaq時，時，因此當因此當1 q收收斂斂；級級數(shù)數(shù) 11 nnaq時，時，當當1 q時時，當當1 q， nnSlim 收收斂斂，故故級級數(shù)數(shù) 11 nnaq. 11發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnaq.1qa 且和為且和為,1時時當當 q不不存存在在，nnS lim . 12 , 2, 0knaknSn，時時，當當1 q， nnSlim . 11發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnaq.)0()( 21211的斂散性的斂散性幾何級數(shù)幾何級數(shù)討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)、例例 aaqaqaqaaqnnn第6頁/共30頁級級數(shù)數(shù)的的基基本本性性質質二二、 ，、的部分和分別為的部分和分別

6、為、設級數(shù)設級數(shù)證：證：nnnnnnSkuu 11 nnkukuku 21 則則)(limlimnnnnkS nnSk lim.kS . 1kSkunn且和為且和為收斂，收斂，故級數(shù)故級數(shù) , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且其和為且其和為也收斂，也收斂，則級數(shù)則級數(shù)，、收斂且和為收斂且和為、設級數(shù)設級數(shù)、，且和為且和為收斂，收斂，則級數(shù)則級數(shù)，收斂且和為收斂且和為設級數(shù)設級數(shù)、kSkuSunnnn 111 ,nkS )(21nuuuk . 0 11的斂散性相同的斂散性相同與與級數(shù)級數(shù)時，時，當當說明：說明： nnnnkuuk.11 nnnnukku即即. )(111 nnnnnn

7、nvuvu即即.11 nnnnukku即即第7頁/共30頁，、的部分和分別為的部分和分別為、設級數(shù)設級數(shù)證：證：nnnnnnSvu 11 . 111kSkuSunnnn且和為且和為收斂，收斂，則級數(shù)則級數(shù)，收斂于收斂于設級數(shù)設級數(shù)、 )(1的部分和為的部分和為則級數(shù)則級數(shù) nnnvu)()()(2211nnnvuvuvu )()(2121nnvvvuuu ，nnS )(limlimnnnnnS . S.)(1 Svunnn收斂且和為收斂且和為故故級級數(shù)數(shù)的的基基本本性性質質二二、 , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且其和為且其和為也收斂，也收斂，則級數(shù)則級數(shù)，、收斂且和為收斂且和為

8、、設級數(shù)設級數(shù)、. )(111 nnnnnnnvuvu即即. )(111 nnnnnnnvuvu即即第8頁/共30頁. 111kSkuSunnnn且和為且和為收斂，收斂，則級數(shù)則級數(shù)，收斂于收斂于設級數(shù)設級數(shù)、 . 逐項相減逐項相減收斂級數(shù)可逐項相加與收斂級數(shù)可逐項相加與說明：說明：成的級數(shù)一定發(fā)散嗎？成的級數(shù)一定發(fā)散嗎？兩個發(fā)散級數(shù)通項和構兩個發(fā)散級數(shù)通項和構問題：問題： . 不一定發(fā)散不一定發(fā)散答案：答案：都發(fā)散，都發(fā)散，、等比級數(shù)等比級數(shù)例如、例如、 111)1( )1( nnnn. )1()1(11收斂收斂但級數(shù)但級數(shù) nnn散嗎？散嗎？項和構成的級數(shù)一定發(fā)項和構成的級數(shù)一定發(fā)收斂級數(shù)

9、與發(fā)散級數(shù)通收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)通問題：問題： . 一定發(fā)散一定發(fā)散答案：答案：級級數(shù)數(shù)的的基基本本性性質質二二、 , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且其和為且其和為也收斂，也收斂，則級數(shù)則級數(shù)，、收斂且和為收斂且和為、設級數(shù)設級數(shù)、. )(111 nnnnnnnvuvu即即第9頁/共30頁. 3其和一般是改變的其和一般是改變的但在收斂時，但在收斂時，的斂散性，的斂散性，不改變級數(shù)不改變級數(shù)項，項，增加或改變級數(shù)的有限增加或改變級數(shù)的有限去掉、去掉、)2( )1( 21121 nkkknkkkuuukuuuuu項項得得到到級級數(shù)數(shù)去去掉掉前前面面設設級級數(shù)數(shù)證證：nkkknuuu 2

10、1 則則，記記Ssnknnn lim lim . kSS 則則， knkSS . 同時收斂或同時發(fā)散同時收斂或同時發(fā)散與與數(shù)列數(shù)列時，時，故當故當nnkSn ，、的部分和分別為的部分和分別為、設級數(shù)設級數(shù)nnS )2( )1(. 其和一般會改變其和一般會改變故收斂時，故收斂時，級級數(shù)數(shù)的的基基本本性性質質二二、 . 不改變級數(shù)的斂散性不改變級數(shù)的斂散性即去掉級數(shù)的有限項，即去掉級數(shù)的有限項，.成立成立同理可證其他兩種情況同理可證其他兩種情況第10頁/共30頁. 3其和一般是改變的其和一般是改變的但在收斂時，但在收斂時，的斂散性，的斂散性，不改變級數(shù)不改變級數(shù)項，項，增加或改變級數(shù)的有限增加或改

11、變級數(shù)的有限去掉、去掉、)1( 211 nnnuuuu證：設級數(shù)證：設級數(shù)nnnnS2limlim 故故,63S ,2nnS .S . , 4且其和不變且其和不變級數(shù)仍收斂級數(shù)仍收斂收斂級數(shù)加括弧后所得收斂級數(shù)加括弧后所得、)2( )()()( 654321 uuuuuu進行如下加括?。哼M行如下加括弧：, 21S 則則,42S ，、的部分和分別為的部分和分別為、設級數(shù)設級數(shù)nnS )2( )1(，且其和為且其和為收斂，收斂，級數(shù)級數(shù)S )2(.即其和不變即其和不變. 級數(shù)未必收斂級數(shù)未必收斂收斂級數(shù)去括弧后所得收斂級數(shù)去括弧后所得說明：說明：級級數(shù)數(shù)的的基基本本性性質質二二、 第11頁/共30

12、頁. , 4且其和不變且其和不變級數(shù)仍收斂級數(shù)仍收斂收斂級數(shù)加括弧后所得收斂級數(shù)加括弧后所得、級級數(shù)數(shù)的的基基本本性性質質二二、 )11()11()11( 1n例如、例如、 11)1(1111 nn但但 收斂 發(fā)散. 則原級數(shù)發(fā)散則原級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散，級數(shù)發(fā)散，設級數(shù)加括弧后所得的設級數(shù)加括弧后所得的推論：推論：. 級數(shù)未必收斂級數(shù)未必收斂收斂級數(shù)去括弧后所得收斂級數(shù)去括弧后所得說明：說明：設原級數(shù)收斂，設原級數(shù)收斂，證：證： 加括弧得到一級數(shù)，加括弧得到一級數(shù)，則按照已知條件的方式則按照已知條件的方式得該級數(shù)收斂，得該級數(shù)收斂，由性質由性質4.與已知矛盾與已知矛盾.故原級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)發(fā)散級

13、級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 1 nnnnuu則則收斂，收斂，設級數(shù)設級數(shù)第12頁/共30頁，的的部部分分和和為為證證：設設級級數(shù)數(shù)nnnSu 1，因為因為1 nnnSSu)(limlim1 nnnnnSSu所以所以SS . 0 .132211 31的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù)、例例 nnnnn,limSSnn 且且1limlim nnnnSS1limlim nnunnn解：解：1 ，0 .1 1發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) nnn級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收斂，收斂，設級數(shù)設級數(shù)必要條件：必要條件：、. 0lim 21發(fā)

14、散發(fā)散則級數(shù)則級數(shù)，設設推論：推論：、 nnnnuau. 斷級數(shù)發(fā)散的方法斷級數(shù)發(fā)散的方法上述推論給出了一個判上述推論給出了一個判說明：說明：第13頁/共30頁，顯然顯然01limlim nunnn,1312111 1 nnn調調和和級級數(shù)數(shù)例例如如，.11發(fā)散發(fā)散但級數(shù)但級數(shù) nn，且其和為且其和為收斂，收斂，假設假設事實上，事實上，Snn 1 1 .為部分和為部分和其中其中nS，則則SSnn lim，SSnn 2lim. 0)(lim2 SSSSnnn級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收斂，收斂，設級數(shù)設級數(shù)必要條件：必要條件：、.0lim 1

15、收斂收斂級數(shù)級數(shù)由由說明：說明： nnnnuu第14頁/共30頁，顯然顯然01limlim nunnn,1312111 1 nnn調調和和級級數(shù)數(shù)例例如如，.11發(fā)散發(fā)散但級數(shù)但級數(shù) nn，SSnn 2lim. 0)(lim2 SSSSnnn級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收斂，收斂，設級數(shù)設級數(shù)必要條件：必要條件：、.0lim 1收斂收斂級數(shù)級數(shù)由由說明：說明： nnnnuunnnSSnn2121112 又又nnn212121 ，021)(lim2 nnnSS.)1( 矛盾矛盾與與.21 )1(.11發(fā)散發(fā)散故級數(shù)故級數(shù) nn第15頁/共30頁

16、第十一章 級數(shù)第二節(jié) 正項級數(shù)的審斂法第16頁/共30頁有界有界部分和數(shù)列部分和數(shù)列收斂收斂正項級數(shù)正項級數(shù)1nnnSu 收收斂斂，設設”“證證 1 :nnu.有界有界nS,單調增加單調增加nS收斂，收斂，nS.1收斂收斂故正項級數(shù)故正項級數(shù) nnu. 0 11為正項級數(shù)為正項級數(shù)則稱級數(shù)則稱級數(shù)，設設正項級數(shù)：正項級數(shù)：、 nnnuu收斂，收斂，則數(shù)列則數(shù)列nS有界，有界，”設”設“nS，0 nu，nnSS 1. !1 11的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù)、例例 nnnn 211!1 解：解：2211 要條件要條件正項級數(shù)收斂的充分必正項級數(shù)收斂的充分必、 2!1! 21! 11nSn ，1

17、21 n第17頁/共30頁. 0 11為正項級數(shù)為正項級數(shù)則稱級數(shù)則稱級數(shù)，設設正項級數(shù)：正項級數(shù)：、 nnnuu. !1 11的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù)、例例 nnnn 211!1 解：解：2211 要要條條件件正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的充充分分必必、 2!1! 21! 11nSn ，121 n!1! 21! 11 nSn 有界，有界，得得由由0nnSS 121211 n1212 n. 2 211211 n.!1 1收斂收斂因此級數(shù)因此級數(shù) nn上述解題主要是利用：上述解題主要是利用：，1)21(!1 nn 11.) 21(nn收斂收斂而而第18頁/共30頁，、的部分和分別為的部分和

18、分別為、設設證：證：nnnnnnSvu 11 .1收斂收斂故故 nnu，且且均為正項級數(shù)，均為正項級數(shù)，和和設設nnnnnnvuvu 11也收斂；也收斂；則則收斂，收斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 nnnnvu收斂，收斂，若若 1 )1(nnv，MSn . 11nnkknkknvuS 則則，則則Mn 發(fā)散，發(fā)散，若若 1)2(nnu.1發(fā)散發(fā)散故故 nnv無界，無界， n 無界，無界，則則nS比比較較判判別別法法、 3第19頁/共30頁，且且均為正項級數(shù)，均為正項級數(shù)，和和設設nnnnnnvuvu 11也收斂；也收斂；則則收斂，收斂，若若 11

19、 )1(nnnnuv. )2(11也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 nnnnvu比比較較判判別別法法、 3.) ()1(”可改為“”可改為“Nnvuvunnnn . (3)11未必收斂未必收斂收斂時，收斂時，當當 nnnnvu. )4(11未未必必發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散時時，當當 nnnnuv幾點說明：幾點說明：.)0 ()2(”可改為“”可改為“ ccvuvunnnn第20頁/共30頁時，時，解：當解：當1 p，因為因為nnp11 .11發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)故故 npnp時，時，當當1 poyx)1(1 pxyp1234，有有時時，當當ppxnnnx11 1 pppnnS131211 dxxdxxnn

20、pp 121111dxxnp 111npxp11111 ，111 p發(fā)散，發(fā)散，又又 11nn.1 21的斂散性的斂散性級數(shù)級數(shù)判斷判斷、例例 npnpdxnnnnpp 111)11(1111 pnp.11 1nnpp 時，時，當當.11dxxnnp 第21頁/共30頁時，時，解：當解：當1 p，因為因為nnp11 .11發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)故故 npnp時，時，當當1 poyx)1(1 pxyp1234，有有時時，當當ppxnnnx11 1 pppnnS131211 ，111 p發(fā)散，發(fā)散，又又 11nn.1 21的斂散性的斂散性級數(shù)級數(shù)判斷判斷、例例 npnpdxnnnnpp 111.11 1

21、nnpp 時，時，當當.11dxxnnp 有界，有界，nS.11收斂收斂級數(shù)級數(shù)故故 npnp收斂，收斂，級數(shù)級數(shù)時，時，故當故當 11 1npnpp.1 11發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)時，時，當當 npnpp第22頁/共30頁，判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性、例例 12)1(1)1( 3nnn收收斂斂，又又 1231nn.)1(1 12收斂收斂 nnn，解：解： 1)1(1 )1( 232nnn ，且且均為正項級數(shù)，均為正項級數(shù)，和和設設nnnnnnvuvu 11也收斂；也收斂；則則收斂，收斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 nnnnvu比比較較

22、判判別別法法、 3：比較判別法的參考級數(shù)比較判別法的參考級數(shù)，等比級數(shù)等比級數(shù) 11nnaq.11 npnp級數(shù)級數(shù)第23頁/共30頁，判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性、例例 12)1(1)1( 3nnn 22311)2(nn，).0(11)3(1 aann.11 223發(fā)散發(fā)散 nn發(fā)發(fā)散散，又又 1321nn 111 )2(3232，nn )1(11 1)3(，時，時，當當nnaaa 收斂，收斂，而而 1)1( nna 1.11 nna收斂收斂故故111lim 1 nnaa時，時，當當 1.11 nna發(fā)散發(fā)散故故，時，時，當當2111 1 naa 1.11nna發(fā)散發(fā)散故故 11

23、 11收斂；收斂；時，時，因此當因此當 nnaa.11 11發(fā)散發(fā)散時，時，當當 nnaa，0 第24頁/共30頁，且且均為正項級數(shù)，均為正項級數(shù)，和和設設lvuvunnnnnnn lim 11斂散性相同；斂散性相同；與與則則時，時，當當 11 0(1)nnnnvul收斂；收斂；則則收斂，收斂，且且時，時，當當 11 0)2(nnnnuvl. )3(11發(fā)散發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，且且時，時，當當 nnnnuvl得得由由證：證： lim)1(lvunnn .2 0211llvuNnNlnn 有有時，時，當當，對對 ，即即nnnvluvl232 ，22llvulnn .11斂斂散散性性相相同同與與故

24、故由由比比較較判判別別法法可可得得 nnnnvu比比較較判判別別法法的的極極限限形形式式、 4第25頁/共30頁，且且均為正項級數(shù)，均為正項級數(shù)，和和設設lvuvunnnnnnn lim 11斂散性相同；斂散性相同；與與則則時，時，當當 11 0(1)nnnnvul收斂；收斂；則則收斂，收斂，且且時，時，當當 11 0)2(nnnnuvl. )3(11發(fā)散發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，且且時，時，當當 nnnnuvl比比較較判判別別法法的的極極限限形形式式、 4得得由由證：證：0lim )2( nnnvu，nnvu . 11收斂收斂收斂時，收斂時，故當故當 nnnnuv. 10 0122 nnvuNnN有有時，時，當