八個無敵模型——全搞定空間幾何的外接球和內(nèi)切球問題教師版

1、類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）圖1圖2圖3圖4八個有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2a2b2c2,即2RVa2b2c2 ,求出R例1 （1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是（ C ）A. 16 B . 20 C . 24 D . 32（2）若三棱錐的三個側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為J3,則其外接球的表面積是 9解：（1）V a2h 16, a 2, 4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24 , S 24 ,選 C；（2） 4R2 3 3 3 9, S 4 R2 9

2、（3）在正三棱錐 S ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且 AM MN ,若側(cè)棱SA 2J3 ,則正三棱錐S ABC外接球的表面積是。 36解：引理：正三棱錐的對棱互垂直如圖（3） -1 ,取AB, BC的中點:連接SH ,則H是底面止三角形SH AB,AC BC , AD BD , CDo證明如下：D,E ,連接 AE,CD , AE,CD E H ,SkABC的中心，SH 平面ABC,AAAB, AB 平面 SCD,/11Atij>CB(3)題-1AB SC,同理：BC SA, AC SB,即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖(3)-2,AM MN , SB/MN ,AM SB

3、, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA, SB SC, SB SA, BCSA,SA 平面 SBC, SA SC,故三棱錐S ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直,(2R)2 (2 . 3)2 (2,3)2 (2,3)236 ，_2 即 4R 36正三棱錐SABC外接球的表面積是36(3)題-2四面體 S ABC(5)(6)解析:BCBAC120 ,SA AC 2, AB1,則該四面體的外接球的表面積為D ) A.11B.7如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為 何體外接球的體積為 (4)在 ABC 中，BC2 AC2 AB2 2ABV7

4、,ABC的外接球直徑為2r sinBCBAC(5)三條側(cè)棱兩兩生直,ab 12bc 8abcac 6(6) (2R)b26、4、3,那么它的外接球的表面積是1的等腰直角三角形和邊長為 1的正方形，則該幾BC cos120,72 7<333 '222(2R)2 (2r)2 SA24竺3S43設(shè)三條側(cè)棱長分別為a,b,c ( a,b,c24,c 2, (2r)2b229, S 4 R2 29 ,c2 3R2BOOOCCCDBBDBDOO方法Oi第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r ,再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高）； R2 r2OO12R r2OO12圖7-1圖7-2

5、類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）2R JPA2 (2r)2 ；2.題設(shè)：如圖6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等P點也是圓錐的頂點PPPPB解題步驟:第一步：確定球心 O的位置，取ABC的外心Oi,則P,O,Oi三點共線;31.題設(shè)：如圖5, PA平面ABC 解題步驟：第一步：將 ABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直 徑AD，連接PD ,則PD必過球心O ;第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：C 1OiPPOP圖8-2圖8-3第三步：勾股定理： OA2 01A2 O1O2R

6、2 （h R）2 r2,解出RPABC的外心，所以O(shè)O1 平面ABC,算出小圓Oi的半徑ODr （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得c_ _12r) , OO1PA；sinC2(2R)2 PA2(2r)2AAO1ABC小圓直徑參與構(gòu)造大圓。asin Absin BA期DOA()C例2 一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為A. 3 B. 2C. 16D ,以上都不對3解：選 C, ( ,3 R)2 1 R2, 3 2,3R R2 1 R2, 4 2 3R 0,23,S 4R216313類型三、切瓜模型（兩個平面互相垂直）1 .題設(shè)：如圖9-1 ,平面PAC 平面ABC，

7、且AB BC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心 。必是 PAC的外心，即 PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC 2r ;a b c第二步：在 PAC中，可根據(jù)正弦定理 2R,求出Rsin A sin B sin CBC （即AC為小圓的直徑）2 .如圖9-2 ,平面PAC 平面ABC ,且AB2_2_2OC2O1C2O1O2R2r2O1O2 AC 2 R2 O1O23.如圖9-3 ,平面PAC 平面ABC ,且ABBC （即AC為小圓的直徑），且 P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點 P點也是圓錐的頂點 解題步驟:

8、第一步：確定球心 O的位置，取 ABC的外心O1,則P,O,O1三點共線;第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r ,再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高）；222222第二步：勾股定理： OA OiA OiOR （h R） r ,解出R4.如圖9-3 ,平面PAC 平面ABC ,且AB BC （即AC為小圓的直徑），且 PA AC,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 (2r)22R %'PA2 (2r)2 ； R2 r2 OO12 R . r2 OO12例3 （1）正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為1底面邊長為2J3 ,則該球的表面積為各頂點都在同

9、一個球面上，則此球的體積為（2）正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為解：（1）由正弦定理或找球心都可得 2RR249（2）方法一：找球心的位置，易知r 1 , h3SAC的外接圓，此處特殊，Rt SAC的斜邊是球半徑，方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是42R 2, R 1 , V 34故球心在正萬形的中心 ABCD處，R 1, V (3)在三麴t P ABC 中，PA PB PCJ3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為（A.B.C. 4D.解：選D,圓錐A, B,C在以r（4）已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球ABC是邊長為1的正三角形，SC為球。的

10、直徑，且SC 2 ,則此棱錐的體積為（D.B.6解：OO1R2 r21 (33)22.61 -Sh3類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）圖題設(shè)：如圖10-1 ,圖10-2 , 是任意三角形）10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以步：確定球心 。的位置，O1是 ABC的外心，則OO1 平面ABC；第二步：算出小圓11 .O1的半徑AO1 r, OO1 - AA1 -h ( AA1 h也是圓枉的局)；22第三步：勾股定理:0A2QA2O1O2R2(J2 r2 R r2h 2 .，一(-)2 ,解出R例4 (1) 一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于

11、底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,9且該六棱柱的體積為9 ,底面周長為3,則這個球的體積為8解：設(shè)正六邊形邊長為a ,正六棱柱的高為 h ,底面外接圓的關(guān)徑為3底面積為S 6 41 2 3 33. 3(2) 丁 V柱 Sh ThR2修。2 1.4R 1 ,球的體積為V 3(2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各頂點都在同一球面上,ABACAA12, BAC 120 ,則此球的表面積等于解:BC2.32.3，2r sin12020(3)已知EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EAEB3, AD 2, AEB 60 ,則多面體 E球的表面積為解析：折疊型，法一:EAB的外接

12、圓半徑為r1OO11,ABCD的外接D01M02D132R213一4, R 42, S 16(4)在直三棱柱ABCABQ 中,AB4,AC6,A一,AA134則直三棱柱ABC A1B1cl的外接球的表面積為1603解析:2_BC 16366i282r2.7324.7TT r2 733，R22822 r403160S -3類型五、折疊模型題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11)圖11第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出 BCD和 ABD的外心H1和H2；第二步：過Hi和H 2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點即為球心 O,連接OE,OC ；

13、 第三步：解 OEHi ,算出OHi,在Rt OCHi中，勾股定理： OH； CH； OC2例5三棱錐P ABC中，平面PAC 平面ABC , PAC和 ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱 錐P ABC外接球的半徑為.解析:2ri2r22sin 6012， 02H/31.3R2o2h221153法二:o2hO1HAHPHOAOR2AO22_2AH O1HO1O2.153類型六、對棱相等模型（補形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等， 求外接球半徑 第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；(AB CD , AD BC , AC BD )第二步：設(shè)出長方體的長寬

14、高分別為a,b,c,ADBC x, ABCDy, AC BDz,列方程組,2ab22cb22c2a2x2y2z(2R)2 a2b2補充:VaBCDabc1abc61 .4 abc3第三步：根據(jù)墻角模型,2Ra2b2c2x y2z圖12222R2x y Z ,8222R Jx j Z ,求出 R,題例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例6 (1)棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一 個截面如圖，則圖中三角形 (正四面體的截面)的面積是 (2) 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是()A 隨b 73c 在口

15、 .立43412解：(1)截面為 PCO1,面積是22 ；(2)高h R 1 ,底面外接圓的半徑為1,直徑為2R設(shè)底面邊長為a ,則2Rsin60 2.3, S 34(1)題解答圖,341三棱錐的體積為V 1Sh3(3)在三棱錐A BCD中，AB CD2, AD BC 3, ACBD 4,則三棱錐 A BCD外接球的表面積為292解析：如圖12,設(shè)補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長,設(shè)長寬高分別為a,b,c,則a2 b2 9,2222b c 4, c a 16_222_ _2222(ab c )94 1629, 2(abc )9 4 16b22924R229一,S2292(4)如圖所示三

16、棱錐 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD6,ADBC 7,則該三棱錐外接球的解析：這是特殊情況,但也是對棱相等的模式，放入長方體中,表面積為.解析：同上，設(shè)補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a,b,c,2(a2 b2 c2) 25 36 49 110, a2 b2 c2 55,【55 ;對稱幾何體；放到長方體中】(5)正四面體的各條棱長都為22 ,則該正面體外接球的體積為類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型P圖13題設(shè)： APB ACB 90 ,求三棱錐 PABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點O,連接 一1O

17、P,OC ,則OAOB OCOP AB,。為三棱錐P ABC外接球球心，然后在OCP中求出2半徑），當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定 值。例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4, BC3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角 B AC D ,則四面體ABCD的外接球的體積為（）125125A.B.1295解：(1) 2R AC 5, R V2(2)在矩形 ABCD 中，AB 2, BCC.1256D1253434125125 、年-R- ,選C33863,沿BD將矩形ABCD折疊,連接AC所得三棱錐ABCD的外接球的表面積為解析：（2） BD

18、的中點是球心O, 2R BD 而，S 4 R2 13 ;類型八、錐體的內(nèi)切球問題1.題設(shè)：如圖14,三棱錐P ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個三角形的外心；1一 一一 一第二步：求DH BD, PO PH r, PD是側(cè)面 ABP的高； 3第三步：由 POE相似于 PDH ,建立等式： OE- 里，解出rDH PD2 .題設(shè)：如圖15,四棱錐P ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點共線；1第二步：求FH BC, PO PH r , PF是側(cè)面PCD的高； 2第三步：由 POG相似于 PFH ,建立等式：OG 里，解出 HF PF3 .題設(shè)：三棱錐 P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第一步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為 r ,建立等式：VpabcVoabcVopabVopacVopbcVp ABC1S ABC31 SpAB311r - Spac r- Spbc r331一(S ABC S PAB SpacS pbc ) r3第三步:解出3Vp ABCSO ABCSO PABSO PACSO PBC習(xí)題：1.若三棱錐A. 3ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,B. 6C. 36且 SA 2：D. 9