幾何中最值定值問題教師版匯總

1、【2013年中考攻略】專題8:幾何最值問題解法探討在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。一、應(yīng)用兩點間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值：典型例題：例1.如圖，/MON=90,矩形ABCD勺頂點AB分別在邊O

2、MON上，當B在邊ONL1運動時，A隨之在邊OM±運動，矩形ABCD勺形狀保持不變，其中AB=2BC=1運動過程中，點D到點O的最大距離為【】£A.221B.,5C.-1455D.5【答案】A【考點】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理【分析】如圖，取AB的中點E,連接OEDEODvODCOE+DE當。DE三點共線時，點D到點O的距離最大，1止匕時，AB=ZBC=1OE=AE=1AB=1o2DE=:AD2+AE2=，12+12;點、OD的最大值為：&+1。故選A例2.在銳角三角形ABO,BC=4&,/ABC=45,BD平分/ABC

3、M-N分另是BDBC上的動點，則CM+MNfi最小值是?！敬鸢浮?。【考點】最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，在BA上截取BE=BN連接EM/ABC的平分線交AC于點D,./EBM=NBM在AMEWAMNKvBE=BN,/EBM=NBMBM=BMBnCBM摩BMN(SAS。.ME=MN.CM+MN=CM+MCE-又;CM+MN最小值，當CE是點C到直線AB的距離時，CE取最小值。.BC=42,/ABC=45,.CE的最小值為4j2sin450=4。.CM+MN最小值是4。二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型

4、例題：例1.在4ABC中，AB=AO5,BO6.若點P在邊AC上移動，則BP的最小值是.【考點】動點問題，垂直線段的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當BPLAC時，BP取得最小值。設(shè)AP=x,貝U由AB=AO5得CP=5-x,又BO6,.在RtAABP'和RtzXCBP中應(yīng)用勾股定理，得BP'2=AB2-AP2,BP2=BC2-CP'2。.AB2APZ=BC2CP，2,即52x2=62(6xj,解得x=7。bp，=：52.f，576：24,即BP的最小值是24o52555例2.如圖，菱形ABCDfr,AB=2/A=120°，點P,Q,K分

5、別為線段BGCDBD上的任意一點，貝UPK+QK勺最小值為ADA.1B.V3C.2D.用+1【答案】Bo【考點】菱形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥糠謨刹椒治?(1)若點P,Q固定，此時點K的位置：如圖，作點P關(guān)于BD的對稱點Pi,連接RQ,交BD于點Ko由線段中垂線上的點到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得PiK=PKi,PiK=PK由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得RK+QK>PiQ=PiKi+QKi=PKi+QK。此時的Ki就是使PK+QKft小的位置。(2)點P,Q變動，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P關(guān)于B

6、D的對稱點Pi在AB上，即不論點P在BC上任一點，點R總在AB上。因此，根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)，得，當PiQXAB時PiQ最短。過點A作AQLDC于點Q。/A=i20°，.二/DAQ=30°又.AD=AB=2.PiQuAQAD。cos300=2y=30綜上所述，PK+QK勺最小值為6。故選Bo例3.已知梯形ABCDAD/BC,AB±BGAD=i,AB=2,BO3,問題1:如圖1,P為AB邊上的一點，以PRPC為邊作平行四邊形PCQD請問對角線PQDC的長能否相等，為什么？問題2:如圖2,若P為AB邊上一點，以PRPC為邊作平行四邊形PC

7、QD請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.問題3:若P為AB邊上任意一點，延長PD到E,使D&PR再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.問題4:如圖3,若P為DC邊上任意一點，延長PA到E,使A已nPA(n為常數(shù))，以PEPB為邊作平行四邊形PBQE請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.【答案】解：問題1:對角線PQ與D5可能相等。理由如下：.四邊形PCQD1平行四邊形，若對角線PQDC相等，則四邊形PCQD1

8、矩形，./DPC=90°0vAD=1,AB=2,BO3,.DC=242。設(shè)PB=x,則AP=2-x,在RtDPC中,PD+PC=DC,即x2+32+(2x)2+12=8,化簡得x2-2x+3=0,.=(2)24X1X3=8<0,.方程無解。不存在PB=x,使/DPC=90°。.對角線PQtD”可能相等。問題2:存在。理由如下：如圖2,在平行四邊形PCQDK設(shè)又t角線PQ與DCf交于點G,則G是DC的中點。過點Q作QKBC,交BC的延長線于H。QCH圖2vAD/BC,/ADC=/DCH即/ADF/PDG=/DCGPD/CQ/PDG=/DCQ/AD母/QCH又.PD=CQ

9、aRtAADfPRtAHCQ(AAS。.AD=HC.AD=1,BO3,BH=4,當PQLAB時，PQ的長最小，即為4問題3:存在。理由如下：如圖3,設(shè)PQ與DC相交于點G,PE/CQPD=DEDGGCPDCQ.G是DC上一定點。鄴作QHLBC,交BC的延長線于H,同理可證/AD母/QCHRtAADfRtAHCQAD二PDCHiCQ.AD=1,aCH=2。aBH=BGC+3+2=5。當PQLAB時，PQ的長最小，即為5問題4:如圖3,設(shè)PQ與AB相交于點G,PE/BQAE=nPA.G是DC上一定點。PA=AG1BQBG-n+1作QH/PE,交CB的延長線于H,過點C作CK!CD,交QH的延長線于

10、Ko.AD/BC,AB±BC,/D=/QHC/DA4/PAG/QBHk/QBG=90/PAG/QBG_ADPA1./QBH=/PAD.ADSBHQ.AD=PA=1,BHBQn+1.AD=1,aBH=n+1。aCH=BH+BO3+n+1=n+4。過點D作DMLBC于M則四邊形ABND1矩形 .BMhAD=1,DMAB=2。.CMhBC-BMh31=2=DM /DCM45°。.KC用45°。2 .CeCH?cos45=5-(n+4), 當PQLCD時，PQ的長最小，最小值為節(jié)(n+4)?！究键c】反證法，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定和

11、性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)。【分析】問題1:四邊形PCQ至平行四邊形,若對角線PQDC相等，則四邊形PCQD1矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)PB=x,可得方程X2+32+(2x)2+1=8,由判別式<0,可知此方程無實數(shù)根，即對角線PQDC的長不可能相等。問題2:在平行四邊形PCQDK設(shè)又t角線PQ與DCffi交于點G可得G是DC的中點，過點Q作QKBG交BC的延長線于H,易證得RtzXAD國RtHCQ即可求得BHh4,則可得當PQLAB時，PQ的長最小，即為4。問題3:設(shè)PQ與DC相交于點G,PEE/CQP又DE可得四二四=1,易證得RtAA

12、DPGCCQ2sRt/XHCQ繼而求得BH的長，即可求得答案。問題4:作QH/PE,交CB的延長線于H,過點C作CK!CR交QH勺延長線于K,易證ADPA1得=與ADWABHCQ又由/DC由45,可得CKH等腰直角二角形，繼而可BHBQn+1求得CK的值，即可求得答案。0),點B在直線y=x上運動，當線段AB最短例4.如圖，點A的坐標為(-1,時，點B的坐標為【】4) C.D.【答案】B.【考點】一次函數(shù)的性質(zhì)，垂線段最坦的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性防.【分析】如圖，過點A作ABUQB,垂足為點B。過B作笈軸,垂足為C.由垂線段最短可知，當B，與點B重合時AB最短。點B在直繞上運動，ZiA

13、OB堤：等腰直角三角形.B,CO為等腰直角三角形.丁點A的坐標為1，0）,/.OC=CBT-ioA=1x1=1.222二B，坐標為（-L,-1I22，當線段AB最短時，點B的坐標為（1,-i）.故選B.22例5.如圖，在ABC中，/C=90°,AC=BC=4D是AB的中點，點E、F分別在AGBC邊上運動（點E不與點AC重合）,且保持AE=CF連接DEDFEF.在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論：乙DFE等腰直角三角形；四邊形CED環(huán)可能為正方形；四邊形CEDF勺面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化;點C到線段EF的最大距離為也.其中正確結(jié)論的個數(shù)是【A.1個B.2個【答案】Bo【考點】全等三

14、角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理【分析】連接CD（如圖1）。.ABCg等腰直角三角形，./DCBWA=45°,CD=AD=DB,.AE=CFAD圖ACDF(SAS。ED=DF/CDFNEDA./ADEMEDC=90,/EDC+CDFWEDF=90。.DFEM等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當E、F分別為AGBC中點時，二由三角形中位線定理，DE平行且等于1BG2四邊形CEDF1平行四邊形。又F分別為AGBC中點，AC=BC;四邊形CED陛菱形。又./C=90°,四邊形CEDF1正方形。故此結(jié)論錯誤。如圖2,分別過點D,彳DMLAGDNLBG于點M,

15、由，知四邊形CMDN!正方形，.DM=DN由，知DFE等腰直角三角形，.二DE=DFNBD圖2由割補法可知四邊形CEDF勺面積等于正方形CMDNJ積RtAADERtACDF(HD。例6.如圖,四邊形CEDF勺面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化。故此結(jié)論錯誤。由，DE支等腰直角三角形，.二DE=2ER當DF與BC垂直，即DF最小時，EF取最小值2a此時點C到線段EF的最大距故此結(jié)論正確。故正確的有2個：。故選BoAB=8cmAD=6cm按下列步驟進行裁剪和拼圖:EByC國第一步：如圖，在線段AD上任意取一點E,7SEB,EC剪下一個三角形紙片EBC除下部分不再使用）；第二步：如圖，沿三角形EBC的

16、中位線GH等紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M線段BC上任意取一點N,7古MN等梯形紙片GBC麗成兩部分；第三步：如圖，將MNfc側(cè)紙片繞G點按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°,使線段GB與GEM合,將MNfe側(cè)紙片繞H點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°,使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片.（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為cm,最大值為cm.20;12+4<130【考點】【分析】圖形的剪拼，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理。畫出第三步剪拼之后的四邊形MNN2M的示意圖，如答圖1所示。圖中，NN=

17、EN+EN=NB+NC=BCMM=MG+GM+MHHM2(GM+M)H=2GH=BC三角形中位線定理）又:MM/NN,.四邊形MNN2M是一個平行四邊形，“i其周長為2NN+2MN=2BC+2MNH管圄1.BC=6為定值，四邊形的周長取決于MNI勺大小。EfBClD則四邊尸QB誓圖2如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖。過GH點作BC邊的平行線，分別交ABCD于P點、Q點,形PBCO一個矩形，這個矩形是矩形ABCD勺一半。VM是線段PQ上的任意一點，N是線段BC上的任意一點,根據(jù)垂線段最短，得到MN勺最小值為PQBC平行線之間的距離,即MNR小值為4;而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即PB

18、2BC2=42 +62 =213 。.四邊形MNN2M的周長=2BC+2MN=12+2MN四邊形MNN2M周長的最小值為12+2X4=20;最大值為12+2X2/13=12+4130例7.如圖，ABC中，/BAC=60,/ABC=45,AB=2、泛，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫。O分別交AB,AC于E,F,連接EF,則線段EF長度的最小值為.EDC【考點】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理,圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥坑纱咕€段的性質(zhì)可知，當AD為4ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=20Esin/EOH=2(?sin60,當半

19、徑OE最短時，EF最短如圖，連接OE。目過O點作OHLEF,垂足為H。.在RtADB中，/ABC=45,AB=2v2,.AD=BD=2即此時圓的直徑為2。由圓周角定理可知/EOH=/EOFWBAC=60,2在RQEOhfr,EH=OEsin/EOH=1/=恒22EH8DC由垂徑定理可知EF=2EH=30例8.如圖所示，在菱形ABCm，AB=4/BAD=120,zAEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與B.CD重合.(1)證明不論E、F在BCCD上如何滑動，總有BE=CF(2)當點E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECFffiCEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變

20、，求出這個定值；如果變化，求出最大(或最小)值.【答案】解：(1)證明：如圖,丁四邊形ABC師菱形，/BAD=120,/BAE它EAC=60,/FAC+ZEAC=60,p8D丁/BAEWFAC./BAD=120,.ABF=60。ABCffiACM等邊三角形。丁./ACF=60,AC=AB/ABEWAFC在ABEfflAACF中，./BAEWFACAB=AC/ABEWAFC.AB草AACI3(ASA。BE=CF由如下:(2)四邊形AECF勺面積不變， CEF0勺面積發(fā)生變化。理由(1)得4AB草4ACF則 Sa abE=Sa acfoS S 四邊形 aec=Saec+SLacF=Saec+SLa

21、bE=SABC, 是定值 0c作AHL BC于H點，則BH=2鮑邊形AECF =SBCBC AH =bCAB2 BH2 =4,322由“垂線段最短”可知：當正三角形 AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短.故4AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面又 SaceF=S 四邊形AECF- & AEF,則此時 CEFl勺面積就會最大.1 1tL 2 L 2SaCEf=S 四邊形 AECF- SAEF=4q3 2、3 42H3) -(J3) =73。.CEF0勺面積的最大值是亮。【考點】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,垂直線

22、段的性質(zhì)?！痉治觥?1)先求證AB=AC進而求證 ABC ACM等邊三角形，得/ ACF=60°,AC=AB從而求證 AB昭AACF5即可求得BE=CF(2)由AAB草AACFW導 SaabE=Sacf,故根據(jù) S 四邊形 aecF=Sae+SacF=Sae+SaeE=Sabc即可得四邊形AECF勺面積是定值。當正三角形 AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短. AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，根據(jù)SAce=S四邊形AECF- Sa AEF, 則ACEF的面積就會最大。例9.在銳角 ABC中，AB=4, BC=5 / ACB=45 ,將

23、 AB筮點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到AiBC.(1)如圖1,當點C在線段CA的延長線上時，求/CGA1的度數(shù)；(2)如圖2,連接AA,CC.若4ABA的面積為4,求CBC的面積；(3)如圖3,點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在AB筮點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點Pi,求線段EP長度的最大值與最小值.圖1【答案】解：(1)圖3圖2二.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:/ AGB=/ ACB=45,BC=BC./CGB=/CCB=45/CGA1=/CCB+/A1GB=45°+45°=90°(2)二.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得： ABCiAABG,.BA=BABC=BC/

24、ABCWABC。.BA BA1BC BC1 '/ABC廿 ABC=/ ABC+/ABC。./ABA=/CB。 .ABA ACB(C。2 . s ABA1 二 ABS.CBC1CB 5S>AABA25=4,S CBC= 4(3)過點B作BDLAC, D為垂足,.ABE銳角三角形，點oD在線段AC1625在 RtBCD中，BD=BCC sin45 ° =2，2。2如圖1,當P在AC上運動至垂足點D, AABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點R在線段AB上時，EP最小。最小值為：EP=BP - BE=BD BE&5 - 2。2如圖2,當P在AC上運動至點C, ABCgg點B

25、3圖1旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點Pi在線段AB的延長線上時，EP最大。最大值為：EP=BC+BE=5+2w7【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥?1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：/ ACiB=Z ACB=45 , BC=BC又由 等腰三角形的性質(zhì)，即可求得/ CCAi的度數(shù)。(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AABCAiBC,易證得 ABAs CBC,利用相似三.角形的面積比等于相似比的平方，即可求得 CBC的面積(3)由當P在AC上運動至垂足點D, zAB微點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點Pi在線段 AB上時，EP最??；當P在AC上運動至點C, ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點

26、P的對應(yīng)點Pi在線段 AB的延長線上時，EP最大，即可求得線段EP長度的最大值與最小值。練習題:1.如圖，。的半徑為2,點O到直線l的距離為3,點P是直線l上的一個動點,PQ切。于點Q則PQ的最小值為【A.錯誤！未找到引用源。B.錯誤！未找到引用源。C.3D.22.如圖，在四邊形ABCD,/A=90°,AD=4連接BRBDLCR/ADBWC.若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為.三、應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值:典型例題例1.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm底面周長為18cm1在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜

27、的最短距離為cm【答案】15?！究键c】圓柱的展開，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理【分析】如圖，圓柱形玻璃杯展開（沿點A豎直剖開）后側(cè)面是“4一個長18寬12的矩形，作點A關(guān)于杯上沿MNH勺對稱點B,連接打BC交MNf點P,連接BM過點C作AB的垂線交剖開線MAT點,D。由軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP+PC為螞蟻到“達蜂蜜的最短距離，且AP=BP由已知和矩形的性質(zhì)，得DC=9BD=12在RtABCM,由勾月£定理得BC=JdC2+BD2=i92+122=15。AP+PC=BP-PC=BC=15即螞蟻至ij達蜂蜜的最短距離為15cmi例2.如圖，四邊形ABCDK

28、/BA氏120°,/B=/D=90°,在BGCD上分別找一點MN,使AMNH長最小時，則/AMN-/ANM勺度數(shù)為【CA.130°B.120°C.110°D.100°【答案】Bo【考點】軸對稱（最短路線問題），三角形三邊關(guān)系，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)要使AMN勺周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對稱點A',A，即可得出/AAM+/A=/HAA=60°,進而得出/AMNF/ANM=2（/AA'M+/A）即可得出答案：如圖，作A關(guān)于BCED的對稱點A

29、,A，連接AA，交BC于M交CD于N,則AA即為乙AMN勺周長最小值。作DA延長線AH./BA氏120°,./HAA=60°。/AA'M+/A=/HAA=60°。/MAA=MMAA,/NA氏/A，且/MAA+/MAA=/AMN/NA濟/A=/ANM/AMNF/ANM=/MAA+/MAA+/NAA/A=2(/AA'M+/A)=2X60=120°。故選Bo例3.點A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示.若P是x軸上使得PA-PB的值最大的點，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點,則OPOQ=【答案】5【

30、考點】軸對稱(最短路線問題)，坐標與圖形性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，待定系數(shù)法，直線上 點的坐標與方程的關(guān)系?！痉治觥窟B接AB并延長交x軸于點P,作A點關(guān)于y軸的對稱點 求出點Q與y軸的交點坐標即可得出結(jié)論：連接AB并延長交x軸于點P,由三角形的三邊關(guān)系可知，點P即為x軸上使得|PA- PI大的點。二.點B是正方形ADPC勺中點, .P (3, 0)即 OP=3作A點關(guān)于y軸的對稱點A連接A B交y軸于點Q,則A' B即為QA+QB勺最小值. A' (-1 , 2) , B (2, 1),設(shè)過A B的直線為：y=kx+b,1一35Q (0, 5 )，即 OQ=5。,.OF?OQ=3&

31、lt; 5 =5。3例4.如圖，正方形ABCDKAB=4E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為E5【考點】軸對稱（最短路線問題），正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟B接DE，交BD于點P,連接BD.點B與點D關(guān)于AC對稱， DE的長即為PE+PB勺最小值. AB=4 E是 BC的中點,CE=2在 RtACDE , DE= JCD2+CE2 =x42+22 =2而。例5.如圖，MM。的直徑，A、B是。上的兩點，過 A作ACLMW點C,過B作BDL MNT點D, P為DC上的任意一點，若MN= 20, AO 8, BD= 6,則PA+ PB的最小值是【答案】14啦?！究键c】

32、軸對稱（最短路線問題），勾股定理，垂徑定理【分析】.MN20,O的半徑=10。連接OAOB在RtzXOBD,OB=10,B又6,.OD=qoB-BD川10262=8。同理，在RtAAOCfr,OA10,AC=8,.OC="AAC=110282=6。.CD=8+6=14。作點B關(guān)于MN的對稱點B',連接AB',則AB'即為PA+PB的最小值，B'D=BA6,過點B'作AC的垂線，交AC的延長線于點E。在RtzXAB'E中，vAE=AC+CE=8+6=14,B'E=C514,.AB，=e蘭+B'E2=1142+142=14隹

33、例6.閱讀材料：例：說明代數(shù)式&2W+加三不的幾何意義，并求它的最小值.解：&2+1+J(x3)2+4=J(x0)2+12+J(x3)2+22,如圖，建立平面直角坐標系,點P(X,0)是X軸上一點，則J(x-0)2+12可以看成點P與點A(0,1)的距離，J(x-3)2+22可以看成點P與點B(3,2)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A',則PA=PA,因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值，而點A'、B間的直線段距離最短，所以PA'+PB的最小值為

34、線段AB的長度.為此，構(gòu)造直角三角形ACB,因為AC=3,CB=3所以A'B=372,即原式的最小值為3衣根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題:(1)代數(shù)式4-1)2+1+J(x-2)2+9的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A(1,1)、點B的距離之和.(填寫點B的坐標)(2)代數(shù)式x249-'x212x37的最小值為【答案】解：(1)(2,3)(2)10【考點】坐標與圖形性質(zhì)，軸對稱(最短路線問題)【分析】(1)二.原式化為而-1)2彳+而2)2+32的形式,代數(shù)式(x1)2+1+J(x2)2+9的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與(1,1)、點B(2,3)的距

35、離之和(2):原式化為q(x0)2+72+J(x6)2+12的形式,所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A(0,7)、點B(6, 1)的距離之和如圖所示：設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A',則PA=PA求PA+ PB的最小值，只需求 PA' +PB的最小值，而點間的直線段距離最短. PA' + PB的最小值為線段A B的長度.A(0,7),B(6,1),A'(0,7),AC=6,BC=8.AB=、AC2+BC2=62+82=10。練習題:2.如圖，在平面直角坐標系中，有A(1,2),B(3,3)兩點，現(xiàn)另取一點C(a,1),當a=時,AC+BC的值

36、最小.1.如圖，已知點A(1,1)、B(3,2),且P為x軸上一動點，則ABP的周長的最小值為3.如圖，在矩形 任意一點，當ABCDfr,AB=6,BO8,點E是BC中點，點F是邊CD上的AEF的周長最小時，則DF的長為【】A.1B.2D.44.如圖，在菱形ABCDfr,對角線AC=6BD=8點E、F分別是邊ABBC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中,存在PE+PF勺最小值，則這個最小值是D.5例1.正方形ABCD勺邊長為1cmiA.3四、應(yīng)用二次函數(shù)求最值典型例題:N分別是BC.CD上兩個動點，且始終保持AMMLMN當BM=cm時，四邊形ABCN勺面積最大，最大面積為cm2.【答案】2【

37、考點】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值?！痉治觥吭O(shè)BM=xcm則MC=bxcm,/AMN=90,/AMB+NMC=90,/NMC+MNC=90,./AMB=90-/NMC=MNC.ABMTMCNAB-=BM,即=,解得CN=x(1x)。MCCN1-xCN.c112111/1、25S四邊形ABCNX1X1+x(1x/x*x+(x)+。22222281<0,.當x=1cm時，S四邊形abcnR大，最大值是-cm2o228例2.如圖，線段AB的長為2,C為AB上一個動點，分別以AGBC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直角三角形4ACDffiABCIE那么DE長的最小值是【答案】

38、1【考點】動點問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，平角定義，勾股定理，二次函數(shù)的最值。【分析】設(shè)AC= x,則BC= 2-x,V ACDffi BCE®是等腰直角三角形，2- ./DCAf 45 , / EC氏 45 , DC= x , CE= 2爭2-x)。2 ./ DCE= 900 odE= dC+ cE=£j+ 苧312x + 231- 1。當x=1時，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1例3.在矩形ABCD,AB=ZAD=3,P是BC上的任意一點(P與BC不重合)，過點P作AP,PE,垂足為P,PE交CD于點E.(1)連接AE,當ZXAPE與/XADE等時，求BP的

39、長；(2)若設(shè)BP為x,CE為y,試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？(3)若PE/BR試求出此時BP的長.【答案】解：(1).AP圖AADEEaAP=AD=3在RtzXABP中，AB=2.BP=AP2AB2=32225。(2) .AP，PE,aRtAABFPRtAPCEAB BPPC -CE2x1、3rP=-o.y=x+-x3-xy223x2(x_3)2928當x=3時，y的值最大，最大值是-281o32)設(shè)BP=x,由2)得CE=x2+x22CP _ CECB -CD即，.PE/BR,.CP曰ACBD化簡得3x2-13x+12=0。解得*1=£或*2

40、=3(不合題意，舍去)。3當BP=4時，PE/BD3【考點】矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行的性質(zhì)，解一元二次方程【分析】(1)由4AP昭AADEW#AP=AD=3在RQABP中，應(yīng)用勾股定理即可求得BP的長。(2)由AP,PE,彳#RtAABFPRtAPCEE根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式?；癁轫旤c式即可求得當x=3時，y的值最大，最大值是-o28(3)由PE/BR得4CP曰ACBD根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式可求得BP的長例4.如圖，在平行四邊形ABC時，AB=5BC=10F為AD的中點，CHAB于E,設(shè)/A

41、BC項(60°&a<90°).(1)當a=60°時，求CE的長;(2)當60°<a<90°時，若不存在，請說明理由.是否存在正整數(shù)k,使得/EFD=UAEB若存在,求出k的值;連接CF,當CE-CU取最大值時，求tan/DCF的化【答案】解：(1) V a =60° , BC=10 sin a=CB,即 sin60 BC(2)存在k=3,使得/ EFD=O AEE理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G.F為 AD的中點,AF=FD在平行四邊形ABCEfr, AB/ CR 二/ G=ZDCF在AFGffi

42、 ACFD 中,vZ G=Z DCF / G=/ DCF AF=FDGDEC嗤一字解得g3.AF®ACFD(AAJSo . CF=GF AG=CD,. CEl AB, . EF=GF .AEF4 G. AB=5 BC=10 點 F 是 AD的中點，AG=5AF=1 AD=1 BC=5AG=AF 22./AFGWG在AFGt,/EFCWAEF+ZG=2ZAEF又:/CFDWAFG./CFDWAEE丁/EFDWEFC吆CFD=ZAEF吆AEF=MAE5因此，存在正整數(shù)k=3,使得/EFD=/AEF>設(shè)BE=xvAG=CD=AB=5；EG=AE+AG=5x+5=10x,在RtBCE中

43、，CE=BC-Bt=100-x2。在RtMEGt,CG=EG+CE=(10-x)2+100-x2=200-20x。.CF=GF(中已證)，.C良(1CG2=1CG=1(200-20x)=50-5x。244.CE2-C戶=100x2-50+5x=-x2+5x+50=-(x-)2+50+竺。24.當x=5,即點E是AB的中點時，CE2-CP取最大值。2此時，EG=10-x=10-5=15,CE=100x2=jl00吏=亞,2242515一-CG215-tan/DCF=tan/G=2-。EG1532【考點】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

44、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理?！痉治觥?1)利用60。角的正弦值列式計算即可得解。(2)連接CF并延長交BA的延長線于點G利用“角邊角”證明AFGCFDir等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GFAG=CD再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF再根據(jù)ABBC的長度可得AG=AF然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得/AEF=ZG=ZAFG根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得/EFC=ZG然后推出/EFD=3/AEF，從而得解。設(shè)BE=x，在RtBCE中，利用勾股定理表示出CE表示出EG的長度，在RtCECfr,利用勾股定理表示

45、出CG,從而得到C戶，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。例6.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD點P為正方形AD邊上的一點(不與點A、點D重合)將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BRBH(1)求證：/APB之BPH(2)當點P在邊AD上移動時，PDH勺周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；(3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP勺面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.(備用圖【答案】解：(1)如圖1,.PE=BE./EBPWEPB又./EPHWEBC=90,丁/EPIH-/

46、EPBWEBO/EBP即/PBCWBPHXvAD/BG./APBPBC./APBWBPH(2) PHD勺周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2,過B作BQLPH垂足為Q由(1)知/APBWBPH又./A=/BQP=90,BP=BP .AB陣AQBP(AAS。.AP=QPAB=BQ又=AB=BCBC=BQ又./C=/BQH=90,BH=BH-/BC庠BQH(HD。.CH=QHPHD勺周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3)如圖3,過F作FMLAB,垂足為M,則FM=BC=AB又二EF為折痕，.EF±BR /EFM+MEF=ABP廿BEF=90。./EFM=AB

47、P又./A=/EMF=90,AB=MEEF曄ABPA(ASA。EM=AP=x2 .在RtAPE中，(4-BE)2+x2=BE,IPBE=2+8_x2 .CF=BE-EM=2+一x。8又:四邊形PEFGW四邊形BEFCir等，1八八1八2 BE CF BC= |4+ 12_1-2一-x4=_x2_2x+8=_(x_2)+6。 0<1<4,.當x=2時,S有最小值6。2【考點】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值。【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出/PBCWBPH進而利用平行線的性質(zhì)得出/APBWPBC即可得出答案。（2）先

48、由AAS證明zAB國AQBP從而由HL得出BC庠BQH即可得CH=QH因止匕,PDH勺周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）利用已知得出EF曄zBPA從而利用在RtzXAPE中，（4-BE）2+x2=BE2,利用6. （2011內(nèi)蒙古巴彥淖爾、赤峰14分）如圖（圖1,圖2）,四邊形ABCD1邊長為4的正方形，點E在線段BC上，/AEF=90,且EF交正方形外角平分線CP于點F,交BC的延長線于點N,FN!BC（1）若點E是BC的中點（如圖1）,AE與EF相等嗎？（2）點E在BC間運動時（如圖2）,設(shè)BE=x,ECFI勺面積為y.求y與x的函數(shù)關(guān)系式；當x取何值時，

49、y有最大值，并求出這個最大值.五、應(yīng)用其它知識求最值：典型例題:Do例2.（2012廣西來賓3分）如圖，已知線段OA交。于點B,且OB=AB點P是。上的一個動點，那么/OAP勺最大值是【0A.30【答案】A【考點】動點問題，切線的性質(zhì), 角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，當點P運動到點 最大。銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三P',即AP與。相切時，/ OAP連接OP',則AP'±OP',即AAOP是直角三角形。OB=ABOB=OP,.OA=2OP。sinZOAP-OP=10/OAP=30°,即/OAP的最大值是=30O。故選AOA2例4.（2012河北省1

50、2分）如圖1和2,在ABC中，AB=13BC=14cos/ABC=5.13探究：如圖1,AHLBC于點H,則AH=,AC=,ABC勺面積Saabc=;拓展：如圖2,點D在AC上（可與點A,C重合）,分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E,F,設(shè)BD=xAE=mCF=n（當點D與點A重合時，我們認為Saab=0）（1）用含x,m，n的代數(shù)式表示SABD及SCBD；（2）求（m+。與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（m+r）的最大值和最小值；（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D,指出這樣的x的取值范圍.發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，使得AB、C三點到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程）并寫出這個最小值

51、.【答案】解：探究：12;15;84。拓展：（1）由三角形面積公式，得C11c1-1S&bd=2BDAE=2xm,S&BD=?BDCF=xno（2）由（1）得m=2S,n=2SABD,xx12。2s 聾BD + 2SCBDx x2S ABCx168ABC AC邊上的高為BC = = 56 ,AC 155.，x的取值范圍為 <x <14 o5.m+n隨x的增大而減小,當x=56時,m+n的最大值為15,當x=14時，m+n的最小值為（3） x的取值范圍為56x= 56 或 13< x <14o5發(fā)現(xiàn)：直線AGABC三點到這條直線的距離之和最小，最小值為56

52、05【考點】動點問題，銳角三角函數(shù)定義，特殊角有三角函數(shù)值，勾股定理，垂直線段的性質(zhì),反比例函數(shù)的性質(zhì)。55【分析】探究：在RtAABHfr,AB=13cosZABC=，.BH=AEbos/ABC=13=5。1313:根據(jù)勾股定理，得AH=，AB2BH2=*13252=12。;BC=14:HC=BGBH=9.根據(jù)勾股定理，得AC=yAB2+HC2=。122+92=15 -1-1 S&BC=一BCAH=父14父12=84。22拓展：（1）直接由三角形面積公式可得。（2）由（1）和S幽BC=SBD+SZCBD即可得到m+n關(guān)于x的反比例函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當BDLAC時，x

53、最小，由面積公式可求得；因為AB=13,BC=14所以當BD=BC=14寸,x最大。從而根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出m+。的最大值和最小值。（3）當x=56時，此時BDLAG在線段AC上存在唯一的點D;當理<xM13時，55此時在線段AC上存在兩點D;當13<x%時，此時在線段AC上存在唯一的點Do因此x的取值范圍為x二癥或13VxM14。5發(fā)現(xiàn)：由拓展（2）知，直線AC,A、B、C三點到這條直線的距離之和（即ABC中AC邊上的高）最小，最小值為56（它小于BC邊上白高12和AB邊上的高型.=168）。5AB13例5.（2011河北省10分）如圖1至圖4中，兩平行線ABCD間的距離均為6,點M為AB上思考如圖1,圓心為0的半圓形紙片在AB,CD之間(包括AB,CD,其直徑MN&AB上，MN=8點P為半圓上一點，設(shè)/MOP=.當口二度時,點P到CD的距離最小，最小值為.探究一在圖1的基礎(chǔ)上，以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB,CD之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖2,得到最大旋轉(zhuǎn)角/BMO=度,此時點N到CD的距離是.