加法原理之樹形圖及標(biāo)數(shù)法教師版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上7-1-3.加法原理之樹形圖及標(biāo)數(shù)法教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生掌握加法原理的基本內(nèi)容；2.掌握加法原理的運用以及與乘法原理的區(qū)別；3.培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的能力，了解分類的主要方法和遵循的主要原則加法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分類討論問題，教授本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的習(xí)慣，鍛煉思維的周全細(xì)致知識要點一、加法原理概念引入生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用加法原理來解決例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長途

2、汽車從北京到天津那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個問題發(fā)現(xiàn)，王老師去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法在具體做的時候，只要采用一類中的一種方法就可以完成并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)二、加法原理的定義一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有種不同做法，第二類方法中有種不同做法，第k類方法中有種不同做法，則完成這件事共有種不同方法，這就是加法

3、原理加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時要注意滿足兩條基本原則： 完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類； 分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計數(shù)原理計算正確運用加法原理解題時，關(guān)鍵是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后再針對各類逐一計數(shù)通俗地說，就是“整體等于局部之和”三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N類；2、每類找種數(shù)（每類的一種情況必須是能完成該件事）

4、；3、類類相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對象一一列舉出來進(jìn)行計數(shù)分類討論的時候經(jīng)常會需要把每一類的情況全部列舉出來，這時的方法就是枚舉法枚舉的時候要注意順序，這樣才能做到不重不漏例題精講模塊一、樹形圖法“樹形圖法”實際上是枚舉的一種，但是它借助于圖形，可以使枚舉過程不僅形象直觀，而且有條理又不重復(fù)遺漏，使人一目了然【例 1】 A、B、C三個小朋友互相傳球，先從A開始發(fā)球(作為第一次傳球)，這樣經(jīng)過了5次傳球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的傳球方式共多少種？ 【考點】加法原理之樹形圖法 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】2005年，小數(shù)報【解析】 如圖，第一次傳給，到第

5、五次傳回有5種不同方式 同理，第一次傳給，也有5種不同方式 所以，根據(jù)加法原理，不同的傳球方式共有種【答案】【鞏固】 一只青蛙在A，B，C三點之間跳動，若青蛙從A點跳起，跳4次仍回到A點，則這只青蛙一共有多少種不同的跳法？ 【考點】加法原理之樹形圖法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 6種，如圖，第1步跳到，4步回到有3種方法；同樣第1步到的也有3種方法根據(jù)加法原理，共有種方法【答案】【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，誰先連勝兩局誰贏，若沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到?jīng)Q出輸贏為止問：一共有多少種可能的情況？ 【考點】加法原理之樹形圖法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如下圖，

6、我們先考慮甲勝第一局的情況：圖中打的為勝者，一共有7種可能的情況同理，乙勝第一局也有 7種可能的情況一共有 77=14（種）可能的情況【答案】【例 3】 如圖，從起點走到終點，要求取出每個站點上的旗子，并且每個站點只允許通過一次，有種不同的走法。 【考點】加法原理之樹形圖法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第3題【解析】 給這些點依次標(biāo)上字母（如左圖），然后采用枚舉法（如右圖）： 共4種不同的走法?！敬鸢浮糠N模塊二、標(biāo)數(shù)法 適用于最短路線問題，需要一步一步標(biāo)出所有相關(guān)點的線路數(shù)量，最終得到到達(dá)終點的方法總數(shù)標(biāo)數(shù)法是加法原理與遞推思想的結(jié)合 （一）簡單圖形的標(biāo)數(shù)法【例

7、4】 如圖所示，沿線段從A到B有多少條最短路線？ 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 圖中在A的右上方，因此從A出發(fā)，只能向上或者向右才能使路線最短，那么反過來想，如果到達(dá)了某一個點，也只有兩種可能：要么是從這個點左邊的點來的，要么是從這個點下邊的點來的那么，如果最后到達(dá)了B，只有兩種可能：或者經(jīng)過C來到B點，或者經(jīng)D來到B點，因此，到達(dá)B的走法數(shù)目就應(yīng)該是到達(dá)C點的走法數(shù)和到達(dá)D點的走法數(shù)之和，而對于到達(dá)C的走法，又等于到達(dá)和到達(dá)的走法之和，到達(dá)的走法也等于到達(dá)和到達(dá)的走法之和，這樣我們就歸納出：到達(dá)任何一點的走法都等于到它左側(cè)點走法數(shù)與到它下側(cè)點走法數(shù)之和，根據(jù)

8、加法原理，我們可以從點開始，向右向上逐步求出到達(dá)各點的走法數(shù)如圖所示，使用標(biāo)號方法得到從到共有10種不同的走法【答案】【鞏固】 如圖，從點到點的最近路線有多少條？ 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 使用標(biāo)號法得出到點的最近路線有20條【答案】【例 5】 如圖，某城市的街道由5條東西向馬路和7條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角的處沿最短的路線走到東北角出，由于修路，十字路口不能通過，那么共有種不同走法 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 本題是最短路線問題要找出共有多少種不同走法，關(guān)鍵是保證不重也不漏，一般采用標(biāo)數(shù)法如上圖所示，共有120種

9、另解：本題也可采用排除法由于不能經(jīng)過，可以先計算出從到的最短路線有多少條，再去掉其中那些經(jīng)過的路線數(shù)，即得到所求的結(jié)果對于從到的每一條最短路線，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上；而對于每一條最短路線，如果確定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上的，從而該路線也就確定了這就說明從到的最短路線的條數(shù)等于從10次向右或向上里面選擇6次向右的種數(shù)，為一般地，對于的方格網(wǎng)，相對的兩個頂點之間的最短路線有種本題中，從到的最短路線共有種；從到的最短路線共有種，從到的最短路線共有種，根據(jù)乘法原理，從到且必須經(jīng)過的最短路線有種，所以，從到且不經(jīng)過的最短路線有種【答案】【例 6】 如圖所示

10、，從A點到B點，如果要求經(jīng)過C點或D點的最近路線有多少條？ 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 1、方格圖里兩點的最短路徑，從位置低的點向位置高的點出發(fā)的話，每到一點（如C、D點）只能向前或者向上2、題問的是經(jīng)過C點，或者D點；那么A到B點就可以分成兩條路徑了 A-C-B；A-D-B，那么也就可以分成兩類但是需要考慮一個問題A到B點的最短路徑會同時經(jīng)過C和D點嗎？最短路徑只能往上往前，經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)C、D不會同時出現(xiàn)在最短路徑上了3、A-C-B，那么C就是必經(jīng)之點了，就需要用到乘法原理了A-C，最短路徑用標(biāo)數(shù)法標(biāo)出，同樣C-B點用標(biāo)數(shù)法標(biāo)注，然后相乘A-D-B，同樣道

11、理最后結(jié)果是735+420=1155條【答案】【例 7】 如圖為一幅街道圖，從出發(fā)經(jīng)過十字路口，但不經(jīng)過走到的不同的最短路線有 條. 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 到各點的走法數(shù)如圖所示. 所以最短路徑有條.【答案】【例 8】 小王在一年中去少年宮學(xué)習(xí)56次，如圖所示，小王家在點，他去少年宮都是走最近的路，且每次去時所走的路線正好互不相同，那么少年宮在_點處 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 本題屬最短路線問題運用標(biāo)數(shù)法分別計算出從小王家點到、點的不同路線有多少條，其中，路線條數(shù)與小王學(xué)習(xí)次數(shù)56相等的點即為少年宮因為，從小王家點

12、到點共有不同線路84條；到點共有不同線路56條；到點共有不同線路71條；到點共有不同線路15條；到點共有不同線路36條所以，少年宮在點處【答案】【例 9】 一只兔子沿著方格的邊從到,規(guī)定上只能往上或往右走，但是必須經(jīng)過一座獨木橋,這只兔子有（ ）種不同的走法【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽，第15題【解析】 標(biāo)數(shù)法【答案】種【例 10】 在下圖的街道示意圖中，有幾處街區(qū)有積水不能通行，那么從A到B的最短路線有多少種？ 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 因為在的右下方，由標(biāo)號法可知，從到的最短路徑上，到達(dá)任何一點的走

13、法數(shù)都等于到它左側(cè)點的走法數(shù)與到它上側(cè)點的走法數(shù)之和有積水的街道不可能有路線經(jīng)過，可以認(rèn)為積水點的走法數(shù)是0接下來，可以從左上角開始，按照加法原理，依次向下向右填上到各點的走法數(shù)如右上圖，從到的最短路線有22條【答案】條（二）不規(guī)則圖形的標(biāo)數(shù)法【例 11】 在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少條？ 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 因為在的右上方，由標(biāo)號法可知，從到的最短路徑上，到達(dá)任何一點的走法數(shù)都等于到它左側(cè)點的走法數(shù)與到它下側(cè)點的走法數(shù)之和而是一個特殊的點，因為不能通行，所以不可能有路線經(jīng)過，可以認(rèn)為到達(dá)點的走法數(shù)是0接下來，可

14、以從左下角開始，按照加法原理，依次向上向右填上到各點的走法數(shù)如圖，從到的最短路線有6條【答案】條【鞏固】 小群家到學(xué)校的道路如圖4所示。從小君家到學(xué)校有_種不同的走法。（只能沿圖中向右向下的方向走）【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，一試，第15題【解析】所以有10種.【答案】【例 12】 如下表，請讀出“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”這9個字，要求你選擇的9個字里能連續(xù)(即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰)，這里共有多少種完整的“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”的讀法 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：標(biāo)數(shù)法第一個字只能選位于左上

15、角的“我”，以后每一個字都只能選擇前面那個字的下方 或右方的字，所以本題也可以使用標(biāo)號法來解：(如右上圖，在格子里標(biāo)數(shù))共70種不同的讀法方法二：組合法仔細(xì)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，按“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”走的路線就是向右走四步，向下走四步的路線，而向下和向右一個排列順序則代表了一種路線所以總共有種不同的讀法【答案】【例 13】 在下圖中，用水平或者垂直的線段連接相鄰的字母，當(dāng)沿著這些線段行走是，正好拼出“APPLE”的路線共有多少條？ 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 要想拼出英語“APPLE”的單詞，必須按照“APPLE”的次序拼寫在圖中的每一種拼寫方式都對應(yīng)著一條最

16、短路徑如下圖所示，運用標(biāo)號法原理標(biāo)號得出共有31種不同的路徑【答案】【鞏固】 如圖，用水平線或豎直線連結(jié)相鄰漢字，沿著這些線讀下去，正好可以讀成“祖國明天更美好”，那么可讀成“祖國明天更美好”的路線有 條. 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如圖2所示，利用加法原理，將讀到各個字的路線數(shù)寫在每個字下方，共有不同的路線(條).【答案】【鞏固】 如圖，用水平線或豎直線連結(jié)相鄰漢字，沿著這些線讀下去，正好可以讀成“我愛學(xué)而思”，那么可讀成“我愛學(xué)而思”的路線有 條【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級，第3題【解析】 只有一個思，

17、可以從后向前考慮，用標(biāo)數(shù)法。共有種?！敬鸢浮糠N【鞏固】右圖中的“我愛希望杯”有_種不同的讀法. 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 “我愛希望杯”的讀法也就是從“我”走到“杯”的方法.如上右圖所示，共16種方法.【答案】【例 14】 如圖，沿著“北京歡迎你”的順序走（要求只能沿著水平或豎直方向走），一共有多少種不同的走法？ 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 沿著“北京歡迎你”的順序沿水平或豎直方向走，北以后的每一個字都只能選擇上面的或左右兩邊的字，按加法原理，用標(biāo)號法可得右上圖所以一共有種走法【答案】【例

18、15】 如圖所示，科學(xué)家“愛因斯坦”的英文名拼寫為“Einstein”，按圖中箭頭所示方向有 種不同的方法拼出英文單詞“Einstein”. 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由的拼法如圖所示.根據(jù)加法原理可得共有(種)不同拼法.【答案】【例 16】 圖中有10個編好號碼的房間，你可以從小號碼房間走到相鄰的大號碼房間，但不能從大號碼走到小號碼，從1號房間走到10號房間共有多少種不同的走法？ 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 我們可以把這個圖展開，用箭頭標(biāo)出來就更直觀了，然后采用我們學(xué)的標(biāo)數(shù)法【答案】【例 17】 國際象棋中“馬”的走法

19、如圖所示，位于位置的“馬”只能走到標(biāo)有的方格中， 類似于中國象棋中的“馬走日”如果“馬”在的國際象棋棋盤中位于第一行第二列（圖中標(biāo)有的位置），要走到第八行第五列（圖中標(biāo)有的位置），最短路線有_條 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】迎春杯【解析】 最后一步的可能如圖，倒數(shù)第二步的可能如圖，倒數(shù)第三步的可能如圖最后（種）【答案】【例 18】 如圖所示，一個花壇的道路由3個圓和5條線段組成，小兔要從A處做到B處，如果它在圓上只能順時針方向走，在線段上只能從小圓走向大圓，且每條道路最多走一次，那么小兔可以選擇的不同路線有 條. 【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，復(fù)賽，第2題【解析】 采用標(biāo)數(shù)法，如圖所示，不同路線共有6條【答案】條【例 19】 蜜蜂王國為了迎接2010年春節(jié)的到來，特地筑了一個蜂巢如下每個正六邊形蜂窩中，有由蜂蜜凝結(jié)而成的數(shù)字0、1或2春節(jié)到來之時，群蜂將在巢上跳起舞步，舞步的每個節(jié)拍恰好走過的四個數(shù)字：2010（從某個2出發(fā)最后走完四步后又回到2，如圖中箭頭所示為一個舞步），且蜜蜂每一步都只能從一個正六邊形移動到與之有公共邊的正六邊形上蜜蜂要經(jīng)過四個正六邊形且所得數(shù)字依次為2010，共有 種方法【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】