邊界條件的處理學習教案

1、會計學1邊界條件的處理邊界條件的處理(chl)第一頁，共24頁。主要(zhyo)內容：第1頁/共24頁第二頁，共24頁。第2頁/共24頁第三頁，共24頁。2)( )wwtqfn （3）規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間的表面）規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間的表面(biomin)傳熱系數傳熱系數h及周圍流體的溫度及周圍流體的溫度)()wwfth ttn（第3頁/共24頁第四頁，共24頁。 對于第一類邊界條件，直接給出了邊界的溫度，在這種情況下對于第一類邊界條件，直接給出了邊界的溫度，在這種情況下內節(jié)點的代數方程組已經封閉，當計算區(qū)域的邊界為第二、三類邊內節(jié)點的代數方程組已經封閉，當計算區(qū)域的邊界為第二、

2、三類邊界條件時，邊界溫度為未知量，為使內部節(jié)點的溫度代數方程組封界條件時，邊界溫度為未知量，為使內部節(jié)點的溫度代數方程組封閉，必須對邊界條件作出處理。有兩類方法可以閉，必須對邊界條件作出處理。有兩類方法可以(ky)(ky)采用，即采用，即補充邊界節(jié)點代數方程的方法和附加源項法。補充邊界節(jié)點代數方程的方法和附加源項法。 第4頁/共24頁第五頁，共24頁。邊界條件：邊界條件：)xBdTqdx（4-27)式中的導數用差分式中的導數用差分(ch fn)表達式來代替即可，即表達式來代替即可，即 xTTdxdTMM111第5頁/共24頁第六頁，共24頁。BMMqxTT111(4-28)注意：在（注意：在（

3、4-28）式中以規(guī)定近入計算區(qū)域）式中以規(guī)定近入計算區(qū)域(qy)的熱量為正值的熱量為正值，式（，式（4-28）的截差為一階，而在內節(jié)點上如采用中心差分，則）的截差為一階，而在內節(jié)點上如采用中心差分，則截差為二階。在作物理問題的數值計算時，一般希望內節(jié)點與邊截差為二階。在作物理問題的數值計算時，一般希望內節(jié)點與邊界節(jié)點離散方程截差等級保持一致，如果不一致界節(jié)點離散方程截差等級保持一致，如果不一致會影響計算結果的準確度。為得出具有二階截差的公式，可以采會影響計算結果的準確度。為得出具有二階截差的公式，可以采用虛擬點法。用虛擬點法。虛擬虛擬(xn)點法：點法：在右邊界外虛設一點在右邊界外虛設一點M1

4、+1，這樣，這樣節(jié)點節(jié)點(ji din)M1就被視為內節(jié)點就被視為內節(jié)點(ji din)， 其導數即可采用中心其導數即可采用中心差分：差分： BMMqxTT21111第6頁/共24頁第七頁，共24頁。 為消去(xio q)TM1+1,由一維、穩(wěn)態(tài)、含內熱源的控制方程可得在M1點的離散形式： 0)(2211111SxTTTMMM從以上從以上(yshng)兩式消去兩式消去TM1+1得，得，xqSxxTTBMM111（4-29）其中其中x=x/2,x=x/2,是節(jié)點是節(jié)點M1M1所代表所代表(dibio)(dibio)的控制容積的厚度的控制容積的厚度第7頁/共24頁第八頁，共24頁。2）對于）對于(

5、duy)第三類邊界條件第三類邊界條件把把1MfBTThq代入式（代入式（4-28）、（）、（4-29），并對），并對TM1解出，解出，得相應于一階與二階截差的節(jié)點得相應于一階與二階截差的節(jié)點(ji din)離散方程：離散方程：)1/()(111xhTxhTTfMM)1/()()(111xhTxhsxxTTfMM一階一階二階二階（4-30）（4-31）第8頁/共24頁第九頁，共24頁。3 3）控制容積）控制容積(rngj)(rngj)平衡法：平衡法：對邊界節(jié)點的控制容積作能量對邊界節(jié)點的控制容積作能量(nngling)平衡，平衡，得：得：0111xSxTTqMMbxqSxxTTBMM111解得解

6、得說明：采用控制容積平衡法說明：采用控制容積平衡法 所得的離散方程具有二所得的離散方程具有二階精度，而且其物理階精度，而且其物理(wl)意義明確，因而這一方法在意義明確，因而這一方法在邊界節(jié)點離散方程的建立中得到廣泛的應用。邊界節(jié)點離散方程的建立中得到廣泛的應用。第9頁/共24頁第十頁，共24頁。2.區(qū)域離散(lsn)法B的情形 邊界節(jié)點(ji din)可以看成是第一種區(qū)域離散法中當邊界節(jié)點(ji din)所代表的控制容積厚度x趨近于零時的極限。xqSxxTTBMM111 對圖中的右端點對圖中的右端點(dun din)，由，由（4-29）、（）、（4-31）可得）可得)1/()()(111xh

7、TxhsxxTTfMM第10頁/共24頁第十一頁，共24頁。1）第二類邊界條件：）第二類邊界條件：11 1BMMqxTT2）第三類邊界條件：）第三類邊界條件：11 1/ 1MMfh xh xTTT 值得指出：雖然在形式值得指出：雖然在形式(xngsh)上與區(qū)域離上與區(qū)域離散方法散方法A中具有一階截差的公式一樣，但它卻中具有一階截差的公式一樣，但它卻是區(qū)域離散方法是區(qū)域離散方法B中具有二階截差的公式中具有二階截差的公式 。第11頁/共24頁第十二頁，共24頁。1.原理：在附加源項法中，把由第二類，第三類邊界條原理：在附加源項法中，把由第二類，第三類邊界條件所規(guī)定的進入或導出的熱量作為與相鄰件所規(guī)

8、定的進入或導出的熱量作為與相鄰(xin ln)的的控制容積的當量源項?？刂迫莘e的當量源項。2.2.原理及實施原理及實施(shsh)(shsh)步驟：步驟：如圖所示，與邊界相鄰的控制如圖所示，與邊界相鄰的控制容積中的節(jié)點為容積中的節(jié)點為P，對此控制容，對此控制容積可以寫出：積可以寫出：bTaTaTaTaTaSSNNWWEEPP第12頁/共24頁第十三頁，共24頁。其中其中(qzhng)： wBWxyaB為邊界節(jié)點的導熱為邊界節(jié)點的導熱(dor)系數系數為了在為了在TP的代數方程中不出現(xiàn)未知的邊界溫度的代數方程中不出現(xiàn)未知的邊界溫度(wnd)，就需要利用已知的邊界條件把，就需要利用已知的邊界條件把

9、TW消去，因此需對上消去，因此需對上式進行變換式進行變換.(a)(b)第13頁/共24頁第十四頁，共24頁。對于對于(duy)第二類邊界條件第二類邊界條件，Bq為已知，故可把它與為已知，故可把它與b組成組成(z chn)一個新項：一個新項：yxSSyxyxyqSbyqadCCBCB)()(,（4-36）yxSaaaaaaPSNEWPP0 對于第二類邊界條件，如果把對于第二類邊界條件，如果把qBy/xy作為與邊界相鄰的作為與邊界相鄰的控制控制(kngzh)容積的附加常數源項，記為容積的附加常數源項，記為SC,ad ，同時令，同時令aw=0，則所得的離散方程既符合能量守恒關系，又能把未知的邊界，則

10、所得的離散方程既符合能量守恒關系，又能把未知的邊界溫度排除在外。溫度排除在外。 第14頁/共24頁第十五頁，共24頁。對于對于(duy)第三類邊界條件，第三類邊界條件，Bq可以可以(ky)表示為表示為wfBTThq由由Fourier定律定律(dngl)得，得， wPWBBxTTq于是得：于是得： BwPfBwPWWfBxhTTxTThTTq11（c）將將(c)代入（代入（b）中整理得，）中整理得，1/() /1/() /PPEENNSSwBfCwBAaTa Ta Ta ThxATSVVhx 其中：其中：A是所研究控制容積在邊界上的傳熱面積是所研究控制容積在邊界上的傳熱面積 V為控制容積的體積為

11、控制容積的體積第15頁/共24頁第十六頁，共24頁。1/() /1/() /PPEENNSSwBfCwBAaTa Ta Ta ThxATSVVhx 上式表明上式表明(biomng)，對第三類邊界條件，如果在邊界控制容，對第三類邊界條件，如果在邊界控制容積中加入一下附加源項：積中加入一下附加源項：BwadPBwfadCxhVASxhTVAS/)(/11/)(/1,同時同時aw=0就可以實現(xiàn)使未知的邊界溫度就可以實現(xiàn)使未知的邊界溫度(wnd)不進入離散方程的目的不進入離散方程的目的第16頁/共24頁第十七頁，共24頁。附加源項法的實施步驟：附加源項法的實施步驟：計算與邊界相鄰的內部節(jié)點控制容積的附

12、加源項計算與邊界相鄰的內部節(jié)點控制容積的附加源項SC,adSC,ad及及SP,ad SP,ad ，并將它們分別加入該控制容積原有，并將它們分別加入該控制容積原有的的SC,SPSC,SP中去；中去； 令該邊界上節(jié)點的導熱系數令該邊界上節(jié)點的導熱系數B=0,B=0,以使以使aw=0aw=0按常規(guī)方法建立起內節(jié)點的離散方程，并在按常規(guī)方法建立起內節(jié)點的離散方程，并在 內節(jié)點的范圍內求解代數方程組；內節(jié)點的范圍內求解代數方程組；獲得收斂解后按獲得收斂解后按FourierFourier導熱定律或導熱定律或NewtonNewton冷卻冷卻(lngqu)(lngqu)公式解出未知的邊界溫度。公式解出未知的邊

13、界溫度。第17頁/共24頁第十八頁，共24頁。 大量數值實踐表明，附加源項法比補充節(jié)點方大量數值實踐表明，附加源項法比補充節(jié)點方程的方法更為簡潔、有效，主要體現(xiàn)在以下三個程的方法更為簡潔、有效，主要體現(xiàn)在以下三個方面方面(fngmin)(fngmin)：1.1.有利于用統(tǒng)一模式來處理三種邊界條件；有利于用統(tǒng)一模式來處理三種邊界條件；2.2.可以縮小計算區(qū)域；可以縮小計算區(qū)域；3.3.采用補充節(jié)點方程方法時，如把求解代數方程采用補充節(jié)點方程方法時，如把求解代數方程的區(qū)域也限在內節(jié)點，然后通過邊界節(jié)點方程不的區(qū)域也限在內節(jié)點，然后通過邊界節(jié)點方程不斷更新邊界節(jié)點上的值并以此作為下一次迭代計斷更新邊

14、界節(jié)點上的值并以此作為下一次迭代計算的邊界條件，則附加源項法的計算時間可以比算的邊界條件，則附加源項法的計算時間可以比這種邊界值更新法大約節(jié)省一個數量級。這種邊界值更新法大約節(jié)省一個數量級。 第18頁/共24頁第十九頁，共24頁。2.2.對于給出的第三類邊界條件，導熱問題和對流問題有對于給出的第三類邊界條件，導熱問題和對流問題有什么區(qū)別？什么區(qū)別？ 在導熱問題中，第三類邊界條件給出了求解的固體區(qū)在導熱問題中，第三類邊界條件給出了求解的固體區(qū)域周圍的流體溫差域周圍的流體溫差(wnch)(wnch)及表面?zhèn)鳠嵯禂?；在求解對及表面?zhèn)鳠嵯禂?；在求解對流換熱問題時，第三類邊界條件給出的是包圍計算區(qū)域流換

15、熱問題時，第三類邊界條件給出的是包圍計算區(qū)域的固體壁面外側的流體溫度及表面?zhèn)鳠嵯禂怠５墓腆w壁面外側的流體溫度及表面?zhèn)鳠嵯禂怠?在固體邊界上對速度取無滑移邊界條件，即在固在固體邊界上對速度取無滑移邊界條件，即在固體邊界上流體的速度等于體邊界上流體的速度等于(dngy)(dngy)固體表面的速度固體表面的速度，當固體表面靜止時，有：，當固體表面靜止時，有：u=0u=0。第19頁/共24頁第二十頁，共24頁。3.采用區(qū)域離散化方法采用區(qū)域離散化方法B時，為什么時，為什么TM1式子式子(sh zi)具有二階截差的公式？具有二階截差的公式？因為在求因為在求TM1的過程中，是通過的過程中，是通過(tngg

16、u)以下兩式得到的以下兩式得到的xqSxxTTBMM)(111)1 ()()(1111xhxhSxxTTMM這兩式具有二階截差，所以這兩式具有二階截差，所以(suy)TM1式子也具有二階截差。式子也具有二階截差。第20頁/共24頁第二十一頁，共24頁。 當當aw =0時，時，B =0，則此時邊界節(jié)點處熱阻無窮，則此時邊界節(jié)點處熱阻無窮大，從而可以把第二類或者第三類邊界條件所規(guī)定大，從而可以把第二類或者第三類邊界條件所規(guī)定的的進入或導出計算區(qū)域的熱量作為與邊界相鄰的的進入或導出計算區(qū)域的熱量作為與邊界相鄰(xin ln)的控制容積的當量源項。的控制容積的當量源項。5.為什么要使用虛擬節(jié)點(ji din)？ 因為在做物理的數值計算時，一般希望內節(jié)點(