大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六章3逆矩陣與分塊矩陣ppt課件

1、 引言引言 對于數(shù)的運算，如果對于數(shù)對于數(shù)的運算，如果對于數(shù) ，存在數(shù)，存在數(shù) ，使得，使得 ，則稱數(shù)，則稱數(shù) 為數(shù)為數(shù) 的倒數(shù)，記作的倒數(shù)，記作 。ab1ab ab1ba從而有從而有 1aa bb對于矩陣運算，是否有相似之處呢？對于矩陣運算，是否有相似之處呢？ 逆矩陣的概念逆矩陣的概念 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，如果存在階方陣，如果存在n階方陣階方陣B，使得，使得AB=BA=E，則稱，則稱矩陣矩陣B為方陣為方陣A的逆矩陣，記作的逆矩陣，記作B=A-1.逆矩陣也稱為非奇異矩陣。逆矩陣也稱為非奇異矩陣。例如：例如：12323212101311111301所以所以112321311當(dāng)然當(dāng)然 132121

2、113 逆矩陣存在的充分必要條件逆矩陣存在的充分必要條件1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA性質(zhì)性質(zhì)EAAAAA*2、逆矩陣存在的充分必要條件、逆矩陣存在的充分必要條件 方陣方陣A可逆可逆det0A且且AAA*1推論：如果推論：如果A是是n階方陣，那么階方陣，那么1*nAA推論：如果推論：如果A可逆，那么可逆，那么AA11注意足標(biāo)注意足標(biāo)的變化的變化1、方陣、方陣 的伴隨矩陣的伴隨矩陣 ()ijn nAa 為元素為元素 的的 代數(shù)余子式代數(shù)余子式 ijAija例例1 判斷下面的矩陣是否可逆，如果可逆，則求逆矩陣判斷下面的矩陣是否可逆，如果可逆，則求逆矩陣312213311

3、A2163420031210021B（1）（2）11311313det3122011001213100A 解解 由于由于所以矩陣所以矩陣A可逆可逆1312111A5322312A1121313A0313121A3323122A1121123A1213131A7233132A2131133A211735101*A所以所以1101537112A（2由于由于1200121300243612B所以，矩陣所以，矩陣B不可逆不可逆12001213000240012例例2 用逆矩陣求解線性方程組用逆矩陣求解線性方程組3532522132321321321xxxxxxxxx解解 將方程組改寫成矩陣形式，得將方

4、程組改寫成矩陣形式，得321153522321321xxx由于由于015153522321因而有因而有231341111381201541230 所以，系數(shù)矩陣所以，系數(shù)矩陣A可逆可逆1123123122523513xxx 解解 記原矩陣方程為記原矩陣方程為 AXB=C，由于，由于62141A21102B所以，矩陣所以，矩陣 A、B 都可逆都可逆在原方程兩邊同時左乘在原方程兩邊同時左乘 A-1，右乘，右乘 B-1，得，得04/111210121101311426111CBAX例例3 求解矩陣方程求解矩陣方程101311022141X逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的性質(zhì) 1、逆矩陣是唯一存在的。、逆矩陣是唯

5、一存在的。 2、AB=E BA=E3、若、若A可逆，則可逆，則A-1也可逆，且也可逆，且 . 11()AA4、若、若A可逆，數(shù)可逆，數(shù) ，那么，那么 0111()AA5、若、若A、B為同階可逆矩陣，那么為同階可逆矩陣，那么 111()ABB A6、若、若A可逆，那么可逆，那么 11()()TTAA7、 11AA（此性質(zhì)可將定義簡化）（此性質(zhì)可將定義簡化） 解解1*32AA*34343AA 21264162727 1*132AA*123AAA例例4 設(shè)三階方陣設(shè)三階方陣A的伴隨矩陣為的伴隨矩陣為 ，且，且 ，求，求1*32AA*A12A 分塊矩陣的概念分塊矩陣的概念 用穿過矩陣的橫線和豎線將矩陣

6、用穿過矩陣的橫線和豎線將矩陣A分割成若干個子塊，以分割成若干個子塊，以這些子塊為元素的矩陣這些子塊為元素的矩陣A稱為分塊矩陣。稱為分塊矩陣。例如例如3132414111131423243515252213334432424542aaaaaAaaaaaaaaaaaaaaa則則A可記作可記作211213122132AAAAAAA稱稱A為以子塊為以子塊A11、A12、A13、A21、A22、A23為元素的分塊矩為元素的分塊矩陣。陣。12345678432187651234567843218765如：如：則不是分塊矩陣。則不是分塊矩陣。 分塊矩陣分塊矩陣分塊矩陣的加減運算分塊矩陣的加減運算設(shè)設(shè)A、B同

7、型，且采用完全相同的分塊方法，得同型，且采用完全相同的分塊方法，得111212122212ssrrrsAAAAAAAAAA111212122212ssrrrsBBBBBBBBBB那么那么111112121121212222221122sSsSrrrrrsrsABABABABABABABABABAB留意：留意：A i j與與B i j同型同型 分塊矩陣的數(shù)乘及轉(zhuǎn)置分塊矩陣的數(shù)乘及轉(zhuǎn)置 設(shè)將設(shè)將A分塊得分塊得111212122212ssrrrsAAAAAAAAAAR那么那么111212122212ssrrrsAAAAAAAAAA112111222212TTTTTTrTrssrTTTsAAAAAAA

8、AAA100n111212122212.nnnnnnppppppppp記作記作12.nPPP100n1 122.nnPPP列分塊列分塊 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置運算分塊矩陣的轉(zhuǎn)置運算子塊當(dāng)作元素轉(zhuǎn)置后子塊本身子塊當(dāng)作元素轉(zhuǎn)置后子塊本身再轉(zhuǎn)置。如再轉(zhuǎn)置。如321031453336T 313233413506TTTTTT333213143056先把子塊當(dāng)作元素運算，然后子塊再運算。先把子塊當(dāng)作元素運算，然后子塊再運算。只適用于矩陣的加、減、數(shù)乘、相乘、轉(zhuǎn)置等運算。只適用于矩陣的加、減、數(shù)乘、相乘、轉(zhuǎn)置等運算。 分塊矩陣的乘法運算分塊矩陣的乘法運算111212122212ssrrrsAAAAAAAAAA111

9、212122212ttssstBBBBBBBBBB設(shè)設(shè)A、B矩陣分塊得矩陣分塊得那么那么111212122212ttrrrtCCCCCCABCCC其中其中1sijikkjkCA B留意：留意： A的列塊數(shù)的列塊數(shù)=B的行塊數(shù)；的行塊數(shù)；A i k的列數(shù)的列數(shù)=B k j的行數(shù)的行數(shù)例題：設(shè)例題：設(shè)1000010012101001A1010120110311120B將將A、B適當(dāng)分塊，計算適當(dāng)分塊，計算AB解解 將將A、B作如下分塊：在一、二行之間插入橫線，作如下分塊：在一、二行之間插入橫線， 在一、二列之間插入豎線如題目所示），那么在一、二列之間插入豎線如題目所示），那么10EAAE123BE

10、BBB那么那么111213BEABABBAB而而 11010 1201BE1121210104410120121ABB13123143102030AB所以所以1010120144432130AB1、矩陣的分塊運算分兩步完成，首先，視子塊為元素，按、矩陣的分塊運算分兩步完成，首先，視子塊為元素，按 矩陣的運算法則作第一步運算，然后，在子塊的運算中，矩陣的運算法則作第一步運算，然后，在子塊的運算中， 再進(jìn)行實質(zhì)上的矩陣運算。再進(jìn)行實質(zhì)上的矩陣運算。2、在對矩陣進(jìn)行分塊時，必須遵守相應(yīng)運算的前提條件。、在對矩陣進(jìn)行分塊時，必須遵守相應(yīng)運算的前提條件。 如：相加減的矩陣，需采取完全相同的分塊方法；相乘

11、如：相加減的矩陣，需采取完全相同的分塊方法；相乘 時，左矩陣的列塊數(shù)必須等于右矩陣的行塊數(shù)，同時還時，左矩陣的列塊數(shù)必須等于右矩陣的行塊數(shù)，同時還 須保證子塊運算時的左子塊的列數(shù)必須等于右子塊的行須保證子塊運算時的左子塊的列數(shù)必須等于右子塊的行 數(shù)。數(shù)。小結(jié)：小結(jié)：分塊對角矩陣分塊對角矩陣 如果可將矩陣如果可將矩陣A進(jìn)行適當(dāng)分塊，得到如下形式，則稱矩陣進(jìn)行適當(dāng)分塊，得到如下形式，則稱矩陣A為分塊對角矩陣。為分塊對角矩陣。1122ssAAAA其中其中A i i 為方陣子塊，其余子塊為方陣子塊，其余子塊均為零子塊均為零子塊分塊對角矩陣的性質(zhì)分塊對角矩陣的性質(zhì)（1）1122ssAAAA（2若若A可逆，那么可逆，那么11111221ssAAAA 分塊對角矩陣分塊對角矩陣11220.0000.000ssAAAA其中對角線上的子塊全是方陣，其余子塊是零矩陣。如其中對角線上的子塊全是方陣，其余子塊是零矩陣。如230000010000000000000109000208000307（方陣）（方陣）230000001000001000000109000208000307是是 不是不是 例題例題解解 將將A分塊：一、二行，三、四行之間各插入橫線，