2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文科試題（山東卷）真題精品解析

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試山東卷文科數(shù)學(xué)第1卷共60分選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。全集，集合 ，那么 )C (D) (2) ，其中為虛數(shù)單位，那么 (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3【答案】B 【命題意圖】此題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的意義，考查了同學(xué)們的計(jì)算能力?！窘馕觥坑傻?所以由復(fù)數(shù)相等的意義知:,所以1,應(yīng)選B. (3) 的值域?yàn)?A B C D【答案】A【命題意圖】此題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)值域的求法。【解析】因?yàn)?，所以，?yīng)選A。4在空間，以下命題正確的選項(xiàng)是 A平行直線的平行投影重合 (B)平行

2、于同一直線的兩個(gè)平面 C垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行 D垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行【答案】D【命題意圖】此題考查了平行投影以及線面垂直與平行的有關(guān)性質(zhì)，屬根底題?！窘馕觥?jī)善叫兄本€的投影不一定重合，故A錯(cuò)，由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可知B、C顯然是錯(cuò)誤的，應(yīng)選D。5設(shè)為定義在上的函數(shù)。當(dāng)時(shí)，那么 (A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3(6 )在某項(xiàng)體育比賽中一位同學(xué)被評(píng)委所打出的分?jǐn)?shù)如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分值為和方差分別為【答案】B【命題意圖】此題考查了樣本的平均數(shù)與方差知識(shí)，考查

3、了同學(xué)們的計(jì)算能力?！窘馕觥咳サ粢粋€(gè)最高分95與一個(gè)最低分89后，所得的5位數(shù)分別為90、90、93、94、93所以，應(yīng)選B。7設(shè)是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，那么“是“數(shù)列是遞增數(shù)列的A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分而不必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】C 【命題意圖】此題是在等比數(shù)列與充要條件的交匯處命題，考查了同學(xué)們綜合解決問題的能力?！窘馕觥考僭O(shè)，那么設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以有，解得且，所以?shù)列是遞增數(shù)列；反之，假設(shè)數(shù)列是遞增數(shù)列，那么公比且，所以，即，所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件。8某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)單位：萬元與年產(chǎn)量單位：萬件的函數(shù)關(guān)系式為，那么使該生產(chǎn)廠家獲取

4、最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為A13萬件 B11萬件 C9萬件 D7萬件9拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，假設(shè)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，那么該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A BC D10觀察，,，由歸納推理可得：假設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，記的導(dǎo)函數(shù)，那么A B C D【答案】D【命題意圖】此題考查了函數(shù)的求導(dǎo)與歸納推理，考查了同學(xué)們觀察、歸納推理的能力。【解析】由觀察可知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都是奇函數(shù)，所以有，應(yīng)選D。 (11)函數(shù)的圖像大致是(12)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“如下：對(duì)任意的，令.下面說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A假設(shè)共線，那么BC對(duì)任意的D 【答案】B 【命題意圖】此題是一個(gè)信息題，考查了同學(xué)們對(duì)

5、信息的理解能力以及利用信息分析解決向量問題的能力?！窘馕觥考僭O(shè)與共線，那么有，故A正確；因?yàn)?，?第二卷共90分二 填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分13執(zhí)行右圖所示流程框圖，假設(shè)輸入，那么輸出的值為_.【答案】【命題意圖】此題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查了同學(xué)們的識(shí)圖與分類討論的能力?！窘馕觥?當(dāng)x=4時(shí)，y=1， ，此時(shí)x=1；當(dāng)x=1時(shí)，y= ，此時(shí)x=；當(dāng)x=時(shí)，y=，；故此時(shí)輸出y= (14) ，且滿足，那么的最大值 為_.【答案】3【命題意圖】此題考查了根本不等式求最值，考查了同學(xué)們的轉(zhuǎn)化能力?！窘馕觥恳?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為3。在中，角所對(duì)的邊分

6、別為.假設(shè),，那么角的大小為_. 圓過點(diǎn)，且圓心在軸的正半軸上，直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，那么圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【答案】【命題意圖】此題考查了直線的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系，考查了同學(xué)們解決直線與圓問題的能力。【解析】：設(shè)圓心為，那么圓心到直線的距離為因?yàn)閳A截直線所得的弦長(zhǎng)，根據(jù)半弦、半徑、弦心距之間的關(guān)系有，即，所以或舍去，半徑r=3-1=2所以圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為三、解答題：此題共6小題，共74分 。17本小題總分值12分 函數(shù)的最小正周期為.求的值. 將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值?！敬鸢浮勘拘☆}主要考察綜合運(yùn)用三角

7、函數(shù)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行運(yùn)算、變形、轉(zhuǎn)換和求解的能力。 所以。 當(dāng)時(shí)， 所以因此 ，故 在區(qū)間內(nèi)的最小值為1.【命題意圖】：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)圖象的平移變換以及三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)的解題能力。點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的定義和性質(zhì)有著十分鮮明的特征和規(guī)律性，它和代數(shù)、幾何有著密切的聯(lián)系，是研究其它局部知識(shí)的工具，在實(shí)際問題中也有著廣泛的應(yīng)用，因而是高考對(duì)根底知識(shí)和根本技能考查的重要內(nèi)容之一。有關(guān)三角函數(shù)的試題，其解題特點(diǎn)往往是先通過三角公式進(jìn)行三角恒等變形，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題，是高考的熱點(diǎn)。18本小題總分值12分 等

8、差數(shù)列滿足：.的前 項(xiàng)和為。求及；令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】本小題主要考察等差數(shù)列的根本知識(shí)，考查邏輯推理、等價(jià)變形和運(yùn)算能力。解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由于，所以，解得 ，由于,所以,因?yàn)椋?所以，【命題意圖】：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了同學(xué)們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。點(diǎn)評(píng)： 求解有關(guān)數(shù)列的綜合題，首先要善于從宏觀上整體把握問題，能透過給定信息的表象，揭示問題的本質(zhì)，然后在微觀上要明確解題方向，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，注意解題的嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)列問題對(duì)能力要求較高，特別是運(yùn)算能力、歸納、猜測(cè)能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出。而解答題更是考查能力的集中表

9、達(dá)，尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查，應(yīng)引起我們足夠的重視，因此，在平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)能力的培養(yǎng)19本小題總分值12分一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為，從袋中隨機(jī)取出兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于的概率；先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，求的概率?！敬鸢浮?9本小題主要考察古典概念、對(duì)立事件的概率計(jì)算，考察學(xué)生分析問題、解決問題的能力?？偡种?2分。解：I從袋子中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的根本領(lǐng)件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個(gè)。從袋中隨機(jī)取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件共有1和2

10、,1和3兩個(gè)。因此所求事件的概率為。II先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，在從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一20本小題總分值12分 在如下圖的幾何體中，四邊形是正方形，,分別為、的中點(diǎn)，且.() 求證：平面;()求三棱錐.【答案】本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查線面垂直、面面垂直的判定及幾何體體積的計(jì)算，考查試圖能力和邏輯思維能力?？偡种?2分。I證明：由 所以 又 ，所以 因?yàn)?四邊形為正方形，所以 , 又 ， 因此 - 在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以 因此 又 ，所以 .【命題意圖】：此題考查了空間幾何體的線面與面面垂直的性質(zhì)與判定以及幾何體的體積計(jì)算等問題，考查了同學(xué)們

11、的識(shí)圖能力以及空間想象能力以及計(jì)算能力?！军c(diǎn)評(píng)】空間幾何問題通常包括點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷與證明以及點(diǎn)、線、面之間的角度或長(zhǎng)度求解、體積計(jì)算等問題，一般可以通過輔助線的構(gòu)造，結(jié)合點(diǎn)、線、面的相應(yīng)概念、性質(zhì)、定理判斷與求解。21本小題總分值12分 函數(shù)()當(dāng)()當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.【答案】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)變換思想?？偡种?2分。 解： 當(dāng) 所以 因此， 即 曲線 又 即 解得 當(dāng)時(shí)， 恒成立，此時(shí)，函數(shù)f在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí)，時(shí)，,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減【命題探

12、究】此題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線方程的求解以及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)問題的能力以及分類討論與等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。點(diǎn)評(píng)： 利用導(dǎo)數(shù)的工具研究函數(shù)的性質(zhì)，不僅表達(dá)教材改革的一種理念，也是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)一個(gè)很好的銜接點(diǎn)，該題解法中應(yīng)用到函數(shù)與方程的思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想都是考試說明要求較高的思想方法，到達(dá)了知識(shí)內(nèi)容考查和思想方法考查相結(jié)合的目的。22本小題總分值14分如圖，橢圓過點(diǎn)1，離心率為 ，左右焦點(diǎn)分別為.點(diǎn)為直線：上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和為坐標(biāo)原點(diǎn). 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)直線、斜率分別為. 證明：)問

13、直線上是否存在一點(diǎn)，使直線的斜率滿足？假設(shè)存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由. 所以因此結(jié)論成立-解：設(shè)，. 聯(lián)立直線與橢圓的方程得 化簡(jiǎn)得 因此 由于 的斜率存在， 所以 ，因此 因此假設(shè)，須有=0或=1.當(dāng)=0時(shí)，結(jié)合的結(jié)論，可得=2，所以解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為0，2；當(dāng)=1時(shí)，結(jié)合的結(jié)論，可得=3或=1此時(shí)=1，不滿足，舍去，此時(shí)直線CD的方程為，聯(lián)立方程得，因此 .綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為，?！久}意圖】：此題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線的斜率等知識(shí)，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力以及數(shù)形結(jié)

14、合、分類討論數(shù)學(xué)思想，。其中問題是一個(gè)開放性的探索問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力。 【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題時(shí)既要利用圓錐曲線的概念、性質(zhì)，又要結(jié)合圖形，利用平面幾何的性質(zhì)。對(duì)于直線與圓錐曲線的相交問題，一般考慮把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立組成方程組，通過消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理、縱坐標(biāo)的關(guān)系式、并結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式、弦長(zhǎng)公式以及條件等解決問題。由于開放性問題它能有效地考查學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，所以越來越受到命題人員的青睞，成為高考中的熱點(diǎn)問題17本小題主要考察綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行運(yùn)算

15、、變形、轉(zhuǎn)換和求解的能力?？偡种?2分。解： 因?yàn)椋?所以 由于0，依題意得 所以 由知， 所以。 當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?所以， 因此 故 = (1- + - +-) =(1-) =所以數(shù)列的前項(xiàng)和= 。19本小題主要考察古典概念、對(duì)立事件的概率計(jì)算，考察學(xué)生分析問題、解決問題的能力。總分值12分。解：I從袋子中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的根本領(lǐng)件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個(gè)。從袋中隨機(jī)取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個(gè)。因此所求事件的概率為。II先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，在從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一所以 因?yàn)?四邊

16、形為正方形，所以 , 又 ， 因此 - 在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以 因此 又 ，所以 . 解：因?yàn)?四邊形為正方形，不妨設(shè)， 那么 ， 所以 由于的距離，且 所以即為點(diǎn)到平面的距離，三棱錐 所以 21本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)變換思想。總分值12分。 解： 當(dāng) 所以 因此， 即 曲線 又 所以曲線 因?yàn)?， 所以 ， 令 當(dāng)時(shí)，所以 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)函數(shù)當(dāng)時(shí)，由，即 解得 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減;函數(shù)在 (1,+) 上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),函數(shù)在(0,+)上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增； 函數(shù)在,+上單調(diào)遞減。(22)