北工大_電磁場與電磁波重要例題

1、第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例例2.7.1 z 0 區(qū)域的媒質參數(shù)為區(qū)域的媒質參數(shù)為 。若媒質。若媒質1中的電場中的電場強度為強度為101010、202025200、881( , )60cos(15 105 )20cos(15 105 )V/mxE z tetztz82( , )cos(15 1050 )V/mxEz te Atz媒質媒質2 2中的電場強度為中的電場強度為（1）試確定常數(shù)）試確定常數(shù)A的值的值;（2）求磁場強度）求磁場強度 和和 ； （3 3）驗證）驗證 和和 滿足邊界條件。滿足邊界條件。),(1tzH),(2tzH),(1tzH),(2tzH 解解: :（1

2、）這是兩種電介質的分界面，在分界面這是兩種電介質的分界面，在分界面z = 0處，有處，有881(0, )60cos(15 10 )20cos(15 10 )xEtett880cos(15 10 )V/mxet82(0, )cos(15 10 )V/mxEte At1第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波利用兩種電介質分界面上電場強度的切向分量連續(xù)的邊界條件利用兩種電介質分界面上電場強度的切向分量連續(xù)的邊界條件1111111xyEHEetz 8801300sin(15 105 ) 100sin(15 105 )yetztz 78781012( , )2 10cos(15 105 )10co

3、s(15 105 )A/m3yH z tetztz80V/mA 得到得到將上式對時間將上式對時間 t 積分，得積分，得 （2）由）由 ，有，有111HEt ), 0(), 0(21tEtE2第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波78204( , )10cos(15 105 )A/m3yHz tetz78781078012(0, )2 10cos(15 10 )10cos(15 10 )3410cos(15 10 )A/m3yyHtettet78204(0, )10cos(15 10 )A/m3yHtet可見，在可見，在z = 0處，磁場強度的切向分量是連續(xù)的，因為在分界面處，磁場強度的切

4、向分量是連續(xù)的，因為在分界面上（上（z = 0）不存在面電流。）不存在面電流。 （3）z = 0時時222HEt 同樣，由同樣，由 ，得，得3第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波試問關于試問關于1區(qū)中的區(qū)中的 和和 能求得出嗎？能求得出嗎？1E1D 解解 根據(jù)邊界條件，只能求得邊界面根據(jù)邊界條件，只能求得邊界面z0 處的處的 和和 。1D1E由由 ，有，有0)(21EEen11101125(3)(2 )(5 )0zxxyyzzxyzzyxxyee Ee Ee EeyexezeEye Ex則得則得xEyEyx5,211V/m)3(522zezeyeEzyx1區(qū)區(qū)2區(qū)區(qū)xyz電介質與自由空

5、間的電介質與自由空間的分界面分界面O105 例例 2.7.2 如圖所示，如圖所示，1區(qū)的媒質參數(shù)為區(qū)的媒質參數(shù)為 、 、 2區(qū)的媒質參數(shù)為區(qū)的媒質參數(shù)為 。若已知自由空間的電。若已知自由空間的電場強度為場強度為202020、10,104第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波又由又由 ，有，有n12()0eDD0(0222111zzzyyxxzzyyxxzDeDeDeDeDeDee則得則得00002013)3(zzzzzzDD53530001101zzzzDE最后得到最后得到5352)0 ,(1zyxexeyeyxE000132510)0,(zyxexeyeyxDxEDyEDyyxx011

6、1011125,105第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波0sin()cos() V/myxEe Eztk xdtHE0 解解 （1）由）由 , 有有00cos()cos()sin()sin()xxzxxEeztk xe kztk xdddHSJ試求試求: :（1）磁場強度磁場強度 ；（2）導體表面的電流密度）導體表面的電流密度 。 例例2.7.3 在兩導體平板（在兩導體平板（z = 0 和和 z = d）之間的空氣中，已知電）之間的空氣中，已知電場強度場強度)(1100 xEezEeEtHyzyxzxydO6第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波將上式對時間將上式對時間 t 積

7、分，得積分，得000sin()(A/m)SzyxzEJeHetk xd00()sin()(A/m)Szyxz dEJeHetk xd （2） z = 0 處導體表面的電流密度為處導體表面的電流密度為0000()()dcos()sin()sin()cos() (A/m)xxxzxH x,z,tH x,z,tttEeztk xddk Eeztk xdz = d 處導體表面的電流密度為處導體表面的電流密度為zxydneO7第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波8 例例 3.1.1 求電偶極子的電位求電偶極子的電位. . 解解 在球坐標系中在球坐標系中211202104)11(4)(rrrrqr

8、rqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二項式展開，由于，得用二項式展開，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。dqp+q電偶極子電偶極子zodq1r2rr),(rP第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波9ErErrdd21sinCr 將將 和和 代入上式，代入上式，解得解得E線方程為線方程為ErE 由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強

9、度)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖電場線微分方程電場線微分方程：等位線方程等位線方程：第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波10 解解 選定均勻電場空間中的一點選定均勻電場空間中的一點O為坐標原點，而任意點為坐標原點，而任意點P 的的位置矢量為位置矢量為r ，則，則000( )( )ddPPoOPOElErEr 若選擇點若選擇點O為電位參考點，即為電位參考點，即 ，則，則( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在球坐標系中，取極軸與在球坐標

10、系中，取極軸與 的方向的方向一致，即一致，即 ，則有，則有00zEe E0Ezree z000( )()cosxzPEreE ee zE 在圓柱坐標系中，取在圓柱坐標系中，取 與與x 軸方向一致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzOPr 例例3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波11xyzL-L( , , ) z zddlzRz 解解 采用圓柱坐標系，令線電荷與采用圓柱坐標系，令線電荷與 z 軸相重合，中點位于坐軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與標原點。由于軸對稱性，電位與 無關。無關。

11、在帶電線上位于在帶電線上位于 處的線元處的線元 ，它，它到點到點 的距離的距離 ，則則22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求長度為求長度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均勻帶電線的電位。0l第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波122222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當，則可得到無限長直線電荷的電位。當 時，上式可寫為時，上

12、式可寫為 LRL 當當 時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)域內，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上域內，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有一個任意常數(shù)，則有L 002( )ln2lLrC并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇= a 的點為電位參的點為電位參考點，則有考點，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波13 解解：則由高斯定理可求得內外導體間的電場則由高斯定理可求得內外導體間的電場44r

13、r22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心導體間的電壓同心導體間的電壓04abqCUba球形電容器的電容球形電容器的電容04Ca當當 時，時，b 例例3.1.4 同心球形電容器的內導體半徑為同心球形電容器的內導體半徑為a 、外導體半徑為、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介質。的均勻介質。設內導體的電荷為設內導體的電荷為q ，求此球求此球形電容器的電容。形電容器的電容。孤立導體球的電容孤立導體球的電容abo第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波14 例例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導線

14、半徑為a ，兩導線，兩導線的軸線距離為的軸線距離為D ，且，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。l 解解 設兩導線單位長度帶電量分別為設兩導線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點理，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的電場強度為的電場強度為lDa011( )()2lxE xexDx兩導線間的電位差兩導線間的電位差210011d()dln2D allaDaUElxxDxa故單位長度的電容為故單位

15、長度的電容為001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波15 例例3.1.6 同軸線內導體半徑為同軸線內導體半徑為a ，外導體半徑為，外導體半徑為b ，內外導體，內外導體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質，的均勻介質，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。( )2lEe內外導體間的電位差內外導體間的電位差1( )dd2bblaaUEell 解解 設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為 和和 ，應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度為應用高斯定理可得到內外導體間任

16、一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位長度的電容為12(F/m)ln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波16 例例3.1.7 半徑為半徑為a 的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 計算計算 VVEDWd21e 根據(jù)高斯定理求得電場強度根據(jù)高斯定理求得電場強度 3220()3raEerar故故VEVE

17、VEDWVVVd21d21d2121220210e第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波17)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 計算計算 VVWd21e 先求出電位分布先求出電位分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波18 例例3.2.1一個有兩層介質的平行板電容器，其參數(shù)分別為一個有兩層介質的平行板電容器，其參數(shù)分別為 1、 1 和和 2、 2 ，外加電壓，外加電壓U。求介質面上的自由電荷密度。求介質面上的自由電荷密度。 解解：極板是

18、理想導體，：極板是理想導體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo1212112212()ddUUUE dE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ 上下21122121212112()SDDJUdd 介第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波19 例例3.2.2 填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為a，外導，外導體半徑為體半徑為c，介質的分界面半徑為，介質的分界面半徑為b。兩層介質的介電常數(shù)為。兩層介質的介電常數(shù)為 1 和

19、和 2 、電導率為、電導率為 1 和和 2 。設內導體的電壓為。設內導體的電壓為U0 ，外導體接地。求：，外導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質分界面）介質分界面上的自由電荷面密度。上的自由電荷面密度。J1212I外導體外導體內導體內導體介質介質2 2介質介質1abc11、22、0U第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波20 （1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為I ,則由則由 可得電流密度可得電流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介質中的電場介質中的電場222

20、()2JIEebc 解解 電流由內導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，電流由內導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O電流為所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O電流為I，由求出電流密度由求出電流密度 的表達式，然后求出的表達式，然后求出 和和 ，再由，再由 確確定出電流定出電流 I。J012ddbcabUEE1E2E第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2112021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故兩種介質中的電流密度和電場強度分別

21、為故兩種介質中的電流密度和電場強度分別為120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2212011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221-ln()ln()ScUeEcb ac b 1222112112021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介質可得，介質1內表面的電荷面密度為內表面的電荷面密度為介質介質2外表面的電荷面密度為外表面的電荷面密度為兩種介質分界面上的電荷面密度為兩種介質分界面

22、上的電荷面密度為J2112I第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波23 例例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為a 、b，長度為長度為l ，其間媒質的電導率為，其間媒質的電導率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解解：直接用恒定電場的計算方法直接用恒定電場的計算方法電導電導)/ln(2ablUIG絕緣電阻絕緣電阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlEba則則IlIJ2lIJE2設由內導體流向外導體的電流為設由內導體流向外導體的電流為I 。第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波24012222000, 0U 方程通解為方

23、程通解為21CC 例例3.2.4 在一塊厚度為在一塊厚度為h 的導電板上，的導電板上， 由兩個半徑為由兩個半徑為r1 和和 r2 的圓弧和夾角為的圓弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導電媒質，如圖所的兩半徑割出的一段環(huán)形導電媒質，如圖所示。計算沿示。計算沿 方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質的電導率為方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質的電導率為。 解：解： 設在沿設在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨方向流動，而且電流密度是隨 變化的。但容易變化的。但容易判定電位判定電位 只是只是變量變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù)的函數(shù)，因此

24、電位函數(shù) 滿足一維滿足一維拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入邊界條件代入邊界條件可以得到可以得到10020/,CUCU 環(huán)形導電媒質塊環(huán)形導電媒質塊r1hr2 0J第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波25電流密度電流密度00UJEe 兩電極之間的兩電極之間的電流電流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的兩電極之間的電阻方向的兩電極之間的電阻為為0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波26 例例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回求小圓環(huán)電流回路的遠區(qū)矢量磁位與磁

25、場。小圓形回路的半徑為路的半徑為a ，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對稱性，如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均矢量磁位和磁場均與與 無關，計算無關，計算 xO z 平平面上的矢量磁位與磁場面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。將不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdlrIPO第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波27對于遠區(qū)，有

26、對于遠區(qū)，有r a ，所以，所以21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerr202sin4yI aer由于在由于在 = 0 面上面上 ，所以上式可寫成，所以上式可寫成yee于是得到于是得到20022( )sinsin44I aISA reerr第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2811(sin)()sinrBAeAerArrr 03(2cossin )4rISeer式中式中S =a 2是小圓環(huán)的面積。是小圓環(huán)的面積。 載流小圓環(huán)可看作磁偶極子，載流

27、小圓環(huán)可看作磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則（或磁偶極矩），則mpIS0m2( )sin4pA rer或或 0m3( )4A rprr0m3( )(2cossin )4rpB reer第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波29 解解：先求長度為：先求長度為2L 的直線電流的磁矢位。電流元的直線電流的磁矢位。電流元 到點到點 的距離的距離 。則。則22()RzzddzI le I z( , , )Pz 0221()d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 3.3.2 求無限

28、長線電流求無限長線電流 I 的磁矢位，設電流沿的磁矢位，設電流沿+z 方向流動。方向流動。與計算無限長線電荷的電位一樣，令與計算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流可得到無限長線電流的磁矢位的磁矢位 L 01( )ln2zIA reCxyzL-L( , , ) z zddzI le I zR第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波30 解解：先求內導體的內自感。設同軸：先求內導體的內自感。設同軸線中的電流為線中的電流為I ，由安培環(huán)路定理，由安培環(huán)路定理0ii22,22IIHBaa穿過沿軸線單位長度的矩形面積元穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS = d的磁通為的磁通為0ii2dd

29、d2IBSa (0)a 例例3.3.4 求同軸線單位長度的自感。設內導體半徑為求同軸線單位長度的自感。設內導體半徑為a，外導，外導體厚度可忽略不計，其半徑為體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。，空氣填充。得得與與di 交鏈的電流為交鏈的電流為22IIa 則與則與di 相應的磁鏈為相應的磁鏈為30ii4ddd2IIIaabadIiB2222idaIaIIlHC第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波31因此內導體中總的內磁鏈為因此內導體中總的內磁鏈為300ii40dd28aIIa0ii8LI故單位長度的內自感為故單位長度的內自感為再求內、外導體間的外自感。再求內、外導體間的外自感。00o

30、oddln22baIIba00ioln82bLLLa02IB0ooddd2I則則o0oln2bLIa故單位長度的外自感為故單位長度的外自感為單位長度的總自感為單位長度的總自感為第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波32 例例3.3.5 計算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設導線的半計算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設導線的半徑為徑為a ，兩導線的間距為，兩導線的間距為D ，且，且 D a 。導線及周圍媒質的磁。導線及周圍媒質的磁導率為導率為0 。00o11d()dln2D aaIIDaBSxxDxa011( )()2yIB xexDx穿過兩導線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為穿過兩

31、導線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為 解解 設兩導線流過的電流為設兩導線流過的電流為I 。由。由于于D a ，故，故可近似地認為導線中的可近似地認為導線中的電流是均勻分布的。應用安培環(huán)路定電流是均勻分布的。應用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導線之間的理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點平面上任一點P 的磁感應強度為的磁感應強度為xyzxDaPII第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波33于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感o00olnlnDaDLIaa00ioln4DLLLa00i284L兩根導線單位長度的內自感為兩根導線單位長度

32、的內自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波3402IBe0001dd dd22d bzd bSddIIzBSz由圖中可知由圖中可知()tan( 3)3()zbdbd長直導線與三角形回路長直導線與三角形回路Idz60bddSz穿過三角形回路面積的磁通為穿過三角形回路面積的磁通為 解解 設長直導線中的電流為設長直導線中的電流為I ，根據(jù)根據(jù)安培環(huán)路定理，得到安培環(huán)路定理，得到 例例3.3.6 如圖所示，長直導線與三角如圖所示，長直導線與三角形導體回路共面，求它們之間的互感。形導體回路共面，求它們之間的互感。第第 2

33、 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波35031()d2dbdIbd03()ln(1)2Ibbdbd03()ln(1)2bMbdbId因此因此故長直導線與三角形導體回路的互感為故長直導線與三角形導體回路的互感為第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波36 例例3.3.7 如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈C1和和 C2，半徑分別為半徑分別為a1和和 a2 ，中心相距為，中心相距為d 。求它們之間的互感。求它們之間的互感。2221 2211212212cos()rrdaaa a于是有于是有 2201221212221 200121221cos()dd4

34、2cos()a aMdaaa a 20122221 201212cos d22cos a adaaa a 解解 利用紐曼公式來計算，則有利用紐曼公式來計算，則有兩個平行且共軸的線圈兩個平行且共軸的線圈2Cd1a2a1C1dl2dl21xyz121式中式中=21為為 與與 之間的夾角，之間的夾角，dl1= a1d1、dl2= a1d2 ，且且1dl2dl 12122121021210ddcos4dd4CCCCrrllrrllM第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波37 若若d a1，則，則2221 2221 21 212121222222cos2cos 1a adaaa adada221

35、2122222cos1a adada于是于是 222012012122222 3 2220222cos1cos d22a aa aa aMdadada 一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d a1或或 d a2 時，可進行近似計算。時，可進行近似計算。第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波38 例例3.3.8 同軸電纜的同軸電纜的內導體半徑為內導體半徑為a ，外導體的內、外半徑分外導體的內、外半徑分別為別為 b 和和 c ，如圖所示。導體中通有電流，如圖所示。導體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁

36、場能量與自感。位長度儲存的磁場能量與自感。 解解：由安培環(huán)路定理，得：由安培環(huán)路定理，得2222202220IeaaIeabHIcebccbcabc第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波3922220m322() () 2 d22cbIcWcb 三個區(qū)域單位長度內的磁場能量分別為三個區(qū)域單位長度內的磁場能量分別為200m120()2 d2216aIIWa 2200m2() 2dln224baIIbWa 24220222223ln4()4()Icccbcbbcb2第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波40單位長度內總的磁場能量為單位長度內總的磁場能量為mm1m2m3222422000

37、222223lnln1644()4()WWWWIIIbcccbacbbcb單位長度的總自感單位長度的總自感422000m22222223lnln822 ()4()WbcccbLIacbbcb內導體的內自感內導體的內自感內外導體間的外自感內外導體間的外自感外導體的內自感外導體的內自感第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波41001d 2miiWFVxx B H氣隙不220000012d2xBSBSxx=-=- 例例3.3.9 如圖所示的一個電磁鐵，由鐵軛（繞有如圖所示的一個電磁鐵，由鐵軛（繞有N 匝線圈的鐵匝線圈的鐵芯）和銜鐵構成。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為芯）和銜鐵構成。鐵軛和銜鐵的橫截面

38、積均為S ，平均長度分別，平均長度分別為為 l1 和和 l2 。鐵軛與銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長度為。鐵軛與銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長度為x 。設。設線圈中的電流為線圈中的電流為I，鐵軛和銜鐵的磁導率為，鐵軛和銜鐵的磁導率為 。若忽略漏磁和邊緣。若忽略漏磁和邊緣效應，求鐵軛對銜鐵的吸引力。效應，求鐵軛對銜鐵的吸引力。 解解 在忽略漏磁和邊緣效應的情況下，若保持磁通在忽略漏磁和邊緣效應的情況下，若保持磁通不變，不變，則則B和和H不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為

39、要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為電磁鐵電磁鐵I1lxS2l空氣隙中的空氣隙中的磁場強度磁場強度第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波42 例例3.5.1 一個點電荷一個點電荷q與無限大導體平面距離為與無限大導體平面距離為d，如果把它，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？移至無窮遠處，需要做多少功？ 解解：移動電荷：移動電荷q時，外力需要克服電時，外力需要克服電場力做功，而電荷場力做功，而電荷q受的電場力來源于導受的電場力來源于導體板上的感應電荷。可以先求電荷體板上的感應電荷?？梢韵惹箅姾蓂 移至移至無窮遠時電場力所做的功。無窮遠時電場力所做的功。20( )4(2 )xqE xexe22

40、200( ) d1d4(2 )16ddWqE xxqqxxd 2oe016qWWd qqx = 0d-d 由鏡像法，感應電荷可以用像電荷由鏡像法，感應電荷可以用像電荷 替代。當電荷替代。當電荷q 移移至至x時，像電荷時，像電荷 應位于應位于x，則，則像電荷產(chǎn)生的電場強度像電荷產(chǎn)生的電場強度qq q第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波43 例4.3.1 同軸線的內導體半徑為a 、外導體的內半徑為b，其間填充均勻的理想介質。設內外導體間的電壓為U ，導體中流過的電流為I 。（1）在導體為理想導體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當導體的電導率為有限值時，計算通過內導體表面進入每單位長

41、度內導體的功率。同軸線第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波44 解：（1）在內外導體為理想導體的情況下，電場和磁場只存在于內外導體之間的理想介質中，內外導體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內外導體之間的電場和磁場分別為,ln()UEeb a()ab2IHe2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a內外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波45電磁能量在內外導體之間的介質中沿軸方向流動，即由電源流向負載，如圖所示。2d2 d2ln()bzSaUIPS e SUIb a 穿過任意橫截面的

42、功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導體情況）第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波46 （2）當導體的電導率為有限值時，導體內部存在沿電流方向的電場內2zJIEea根據(jù)邊界條件，在內導體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內導體表面外側的電場為zzEE外 內2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁場則仍為內導體表面外側的坡印廷矢量為2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波4722122320()d2 d2SaIIPSSa zRIaa e外21Ra式中

43、 是單位長度內導體的電阻。由此可見，進入內導體中功率等于這段導體的焦耳損耗功率。由此可見，內導體表面外側的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。進入每單位長度內導體的功率為 以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，導體僅起著定向引導電磁能流的作用。當導體的電導率為有限值時，進入導體中的功率全部被導體所吸收，成為導體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波48 例4.5.1 將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數(shù)形式mm( , )cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz（2）mm( , , )(

44、 )sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta解：（1）由于mm( , )cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkzj(/2)j()mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee Ej(/2)j()mmm( )eeyxkzkzxxyyEze Ee Ejjjmm(eje)eyxkzxxyye Ee E（1）所以第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波49（2）因為 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkzjj 2jmmm( , )( )sin()ecos()ekzkz

45、xzaxxHx ze H ke Haa故 mm( , , )( )sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta所以 mm( )sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波50 例4.5.2 已知電場強度復矢量mm( )jcos()xxzEze Ek z解jmj()2m( , )Rejcos()eRecos()etxxztxxzE z te Ek ze Ek zmcos()cos()2xxze Ek zt其中kz和Exm為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量mcos(

46、)sin()xxze Ek zt 第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波51 例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為),(),(),(21tzEtzEtzE8182( , )0.03sin(10 )( , )0.04cos(10 /3)xxE z tetkzEz tetkz式中888888j(10 /2)j(10 /3)j(/2)j(/3)j( , )0.03sin(10 )0.04cos(10 /3)0.03cos(10 )0.04cos(10 /3)2Re0.03eRe0.04eRe0.03e0.04eexxxxt kzt kzxxkzkzxxE z tetkzetkzetkzetkze

47、eee810 t 解：（1）因為j/2j/3j( )0.03e0.04eekzxE ze故電場的復矢量為試求：（1）電場的復矢量;（2）磁場的復矢量和瞬時值。第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波52（2）由復數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復矢量00jjj32054321j( )( )j0.03e0.04ee7.6 10 e1.01 10 eexykzyjjjkzyEH zE zezkee k j58( , )Re( )e7.6 10sin(10 )tyH z tH ze ktkz481.01 10cos(10 )3tkz磁場強度瞬時值第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波53

48、解：（1）由得0j EHj000jj000011( )( )()(e)jj1(e)ejkzzykzkzxxzzEzkEEz HEeeee（2）電場和磁場的瞬時值為j00( , )Re( )ecos()txkEz tztkz HHej0( , )Re( )ecos()tyz tzEtkzEEe 例4.5.4已知無源的自由空間中，電磁場的電場強度復矢量為 ，其中k 和 E0 為常數(shù)。求：（1）磁場強度復矢量 ；（2）瞬時坡印廷矢量 ；（3）平均坡印廷矢量 。j0( )ekzyzEEeSavSH第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波54 （3）平均坡印廷矢量為jj0av002200001Ree

49、(e) 221Re()2zkzkzyxzkEEkEkE Seeee2av002222000001dd2cos ()d22TzzttTkEktkztESSSee或直接積分，得瞬時坡印廷矢量為2200cos ()zkEtkze000cos() cos()yxkEEtkztkz SEHee第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波55 例例5.1.1 頻率為頻率為9.4GHz的均勻平面波在聚乙烯中傳播，設的均勻平面波在聚乙烯中傳播，設其為無耗材料，相對介電常數(shù)為其為無耗材料，相對介電常數(shù)為r = 2.26 。若磁場的振幅為若磁場的振幅為7mA/m，求相速、波長、波阻抗和電場強度的幅值。，求相速、波

50、長、波阻抗和電場強度的幅值。9r2.26 ,9.4 10 Hzf 解解：由題意：由題意因此因此800r1.996 10m/s2.26vvv891.996 102.12m9.4 10vf 0r3772512.26 3mm7 102511.757V/mEH 第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波56 解解：以余弦為基準，直接寫出以余弦為基準，直接寫出1( , )cos() A/m3yH z tetz 例例5.1.2 均勻平面波的磁場強度的振幅為均勻平面波的磁場強度的振幅為 A/m，以相位常，以相位常數(shù)為數(shù)為30 rad/m 在空氣中沿在空氣中沿 方向傳播。當方向傳播。當t = 0 和和 z

51、= 0 時時 ，若，若 取最大值取向為取最大值取向為 ，試寫出，試寫出 和和 的表示式，并求出頻率和波的表示式，并求出頻率和波長。長。 13zeyeEHHV/m)cos(40)(),(),(0zteetzHtzExz220.21 m ,308893 1045101.43 10Hz/15cfV/m)301090cos(40),(8ztetzExrad/m30因因 ，故，故81( , )cos(90 1030 ) A/m3yH z tetz 則則 第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波57 例例5.1.3 頻率為頻率為100Mz的均勻電磁波，在一無耗媒質中沿的均勻電磁波，在一無耗媒質中沿 +

52、z方向傳播，其電場方向傳播，其電場 。已知該媒質的相對介電常數(shù)。已知該媒質的相對介電常數(shù)r = 4、相、相對磁導率對磁導率r =1 ，且當，且當t = 0、z =1/8 m 時，電場達到幅值為時，電場達到幅值為104 V/m 。 試求電場強度和磁場強度的瞬時表示式。試求電場強度和磁場強度的瞬時表示式。xxEEe 解解：設電場強度的瞬時表示式為設電場強度的瞬時表示式為4( , )10cos()xxxz tEtkzEee822 10rad/sf8rr82 1044 rad/m3 103kc 對于余弦函數(shù)，當相角為零時達振幅值?？紤]條件對于余弦函數(shù)，當相角為零時達振幅值。考慮條件t = 0、z =1

53、/8 m 時，電場達到幅值，得時，電場達到幅值，得式中式中41386kz41386kz第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波58484( , )10cos(2 10)36xE z tetz484110cos2 10()V/m38xetz 11zyxHeEeE0r60481041( , )cos2 10()A/m6038yH z tetz所以所以磁場強度的瞬時表示式為磁場強度的瞬時表示式為式中式中因此因此第第 2 章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波59j50ekzxEe 解解：電場強度的復數(shù)表示式為：電場強度的復數(shù)表示式為0120自由空間的本征阻抗為自由空間的本征阻抗為j05eA/m12kzyyEHee故得到該平面波的磁場強度故得到該平面波的磁場強度2av115125Re()50W/m221212zzSEHee22avav125125d 2.565.1W1212SPSSR 于是，平均坡印廷矢量于是，平均坡印廷矢量垂直穿過半徑垂直穿過半徑R = 2.5m 的圓平面的平均功率的圓平面的平均功率 例例5.1.4 自自由空間中平面波的電場強度由空間中平面波的電場強度50cos() V/mxEetkz求在求在z = z0 處垂直穿過半徑處垂直穿過半徑R = 2.5m 的圓平面的平均功率。的圓平面的平均功率。第第 2