化工過程分析與合成Ch4-單純形有錯(cuò)

1、第四章第四章 化工過程系統(tǒng)的優(yōu)化化工過程系統(tǒng)的優(yōu)化 4.1概述概述 4.2化工過程系統(tǒng)優(yōu)化問題基本概念化工過程系統(tǒng)優(yōu)化問題基本概念 4.3化工過程系統(tǒng)最優(yōu)化問題的類型化工過程系統(tǒng)最優(yōu)化問題的類型 4.4化工過程中的線性規(guī)劃問題化工過程中的線性規(guī)劃問題 4.5化工過程中的非線性規(guī)劃問題化工過程中的非線性規(guī)劃問題 4.6 化工過程大系統(tǒng)的優(yōu)化化工過程大系統(tǒng)的優(yōu)化 4.7 不可行路徑聯(lián)立模塊法不可行路徑聯(lián)立模塊法數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際過程系統(tǒng)進(jìn)行模擬的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際過程系統(tǒng)進(jìn)行模擬的基礎(chǔ)。所謂系統(tǒng)仿真（或系統(tǒng)模擬）實(shí)際上就是建立所謂系統(tǒng)仿真（或系統(tǒng)模擬）實(shí)際上就是建立過程的數(shù)學(xué)模型過程的數(shù)學(xué)模型建

2、立數(shù)學(xué)模型不僅僅是為了對(duì)過程進(jìn)行模擬，建立數(shù)學(xué)模型不僅僅是為了對(duì)過程進(jìn)行模擬，其最終目的是要對(duì)過程進(jìn)行優(yōu)化其最終目的是要對(duì)過程進(jìn)行優(yōu)化 古老的問題古老的問題胡不歸胡不歸 排隊(duì)打水排隊(duì)打水 在化工裝置的設(shè)計(jì)及操作中，人們一直都在化工裝置的設(shè)計(jì)及操作中，人們一直都在自覺或不自覺地應(yīng)用優(yōu)化的概念在自覺或不自覺地應(yīng)用優(yōu)化的概念 在流程結(jié)構(gòu)給定的條件下，在流程結(jié)構(gòu)給定的條件下， 對(duì)象：過程系統(tǒng)參數(shù)對(duì)象：過程系統(tǒng)參數(shù)在實(shí)際生產(chǎn)中不斷調(diào)節(jié)反應(yīng)器的溫度、壓力以在實(shí)際生產(chǎn)中不斷調(diào)節(jié)反應(yīng)器的溫度、壓力以保證原料的轉(zhuǎn)化率最大；保證原料的轉(zhuǎn)化率最大；在精餾塔設(shè)計(jì)中選擇適當(dāng)?shù)幕亓鞅龋员ＷC較在精餾塔設(shè)計(jì)中選擇適當(dāng)?shù)幕亓?/p>

3、比，以保證較少的熱量消耗和塔板數(shù)；少的熱量消耗和塔板數(shù)； 流程方案的優(yōu)化流程方案的優(yōu)化 在多種可行方案中找出費(fèi)用最小的流程結(jié)構(gòu)，保證該在多種可行方案中找出費(fèi)用最小的流程結(jié)構(gòu)，保證該方案滿足安全、環(huán)保、易操作等方面的要求方案滿足安全、環(huán)保、易操作等方面的要求 確定冷、熱物流的匹配方式，以便充分利用系統(tǒng)內(nèi)部確定冷、熱物流的匹配方式，以便充分利用系統(tǒng)內(nèi)部熱量，降低公用工程消耗熱量，降低公用工程消耗 首先要分析問題屬于哪種類型首先要分析問題屬于哪種類型： 連續(xù)操作還是間歇操作，穩(wěn)態(tài)過程還動(dòng)態(tài)過程，連續(xù)操作還是間歇操作，穩(wěn)態(tài)過程還動(dòng)態(tài)過程， 是單目標(biāo)優(yōu)化還多目標(biāo)優(yōu)化，有約束問題還是無(wú)是單目標(biāo)優(yōu)化還多目標(biāo)

4、優(yōu)化，有約束問題還是無(wú)約束問題約束問題。 然后選擇建立何種模型進(jìn)行優(yōu)化：然后選擇建立何種模型進(jìn)行優(yōu)化： 機(jī)理模型還是統(tǒng)計(jì)模型或智能模型等機(jī)理模型還是統(tǒng)計(jì)模型或智能模型等 在數(shù)學(xué)上，求解最優(yōu)化問題就是要找到一組使得在數(shù)學(xué)上，求解最優(yōu)化問題就是要找到一組使得目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)J J達(dá)到最大或最小的決策變量達(dá)到最大或最小的決策變量 求最小值的方法完全可以用于求解最大值問題求最小值的方法完全可以用于求解最大值問題maxminJJ(4-1) 服從于不等式約束條件：服從于不等式約束條件：(4-2) 及及n 個(gè)等式約束條件：個(gè)等式約束條件：(4-3) 為為n維優(yōu)化變量向量維優(yōu)化變量向量)(minminyFJ

5、0)(yg0)(yeTnyyyy),(21 目標(biāo)函數(shù)（又稱性能函數(shù)，評(píng)價(jià)函數(shù)）是最優(yōu)化問目標(biāo)函數(shù)（又稱性能函數(shù)，評(píng)價(jià)函數(shù)）是最優(yōu)化問題所要達(dá)到的目標(biāo)。兩組不同的決策，其好壞優(yōu)劣要題所要達(dá)到的目標(biāo)。兩組不同的決策，其好壞優(yōu)劣要以它們使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到多少為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。以它們使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到多少為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。 系統(tǒng)的產(chǎn)量最大；系統(tǒng)的產(chǎn)量最大； 系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)收益最大；系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)收益最大； 系統(tǒng)的能量消耗最??；系統(tǒng)的能量消耗最小； 系統(tǒng)的原料利用率最高；系統(tǒng)的原料利用率最高； 系統(tǒng)的操作成本最低；系統(tǒng)的操作成本最低； 系統(tǒng)的投資成本最低；系統(tǒng)的投資成本最低； 系統(tǒng)的穩(wěn)定操作周期最長(zhǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定操作周期最長(zhǎng) 還有多目

6、標(biāo)問題還有多目標(biāo)問題2 2 優(yōu)化變量?jī)?yōu)化變量 對(duì)于對(duì)于問題，優(yōu)化變量向量就是問題，優(yōu)化變量向量就是過程變量向量。過程變量向量包括過程變量向量。過程變量向量包括和和 決策變量決策變量等于系統(tǒng)的自由度，它們是系統(tǒng)變量中等于系統(tǒng)的自由度，它們是系統(tǒng)變量中可以獨(dú)立變化以改變系統(tǒng)行為的變量；可以獨(dú)立變化以改變系統(tǒng)行為的變量； 狀態(tài)變量狀態(tài)變量是決策變量的函數(shù)，它們是不能獨(dú)立變是決策變量的函數(shù)，它們是不能獨(dú)立變化的變量，服從于描述系統(tǒng)行為的模型方程化的變量，服從于描述系統(tǒng)行為的模型方程 w表示決策變量，表示決策變量，x表示狀態(tài)變量，則過程系統(tǒng)模表示狀態(tài)變量，則過程系統(tǒng)模型方程確定了型方程確定了x與與w的函

7、數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系（4-4） 通常稱之為狀態(tài)方程，它表示的是系統(tǒng)狀態(tài)變量通常稱之為狀態(tài)方程，它表示的是系統(tǒng)狀態(tài)變量與決策變量之間的關(guān)系。與決策變量之間的關(guān)系。 狀態(tài)方程數(shù)目與狀態(tài)變量狀態(tài)方程數(shù)目與狀態(tài)變量x的維數(shù)相同。的維數(shù)相同。0),(xwf 有時(shí)過程變量向量還包括有時(shí)過程變量向量還包括S維單元內(nèi)部變量向量維單元內(nèi)部變量向量z ，因此，狀態(tài)方程的一般形式為：因此，狀態(tài)方程的一般形式為：（4-5） 一般，過程系統(tǒng)優(yōu)化問題中，決策變量數(shù)僅占整個(gè)過一般，過程系統(tǒng)優(yōu)化問題中，決策變量數(shù)僅占整個(gè)過程變量中的一小部分。這一特性在縮小優(yōu)化搜索時(shí)是程變量中的一小部分。這一特性在縮小優(yōu)化搜索時(shí)是很有用的很有用的

8、0),(zxwf 當(dāng)過程變量向量當(dāng)過程變量向量y的各分量為一組確定的數(shù)值時(shí)，稱的各分量為一組確定的數(shù)值時(shí)，稱為一個(gè)為一個(gè) 變量變量y的取值范圍一般都的取值范圍一般都 要給要給 以一的限制，這種限制以一的限制，這種限制稱為稱為 狀態(tài)方程限制了狀態(tài)變量與決策變量間的關(guān)系，因狀態(tài)方程限制了狀態(tài)變量與決策變量間的關(guān)系，因此，也可以看作是一種約束條件。對(duì)于設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化此，也可以看作是一種約束條件。對(duì)于設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化問題，設(shè)計(jì)規(guī)定要求也是一種約束條件問題，設(shè)計(jì)規(guī)定要求也是一種約束條件。 約束條件有約束條件有和和 過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的不等式約束條件包括過程變量的過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的不等式約束條件包括過程變量的不等

9、式約束條件和不等式設(shè)計(jì)規(guī)定要求不等式約束條件和不等式設(shè)計(jì)規(guī)定要求（4-6） 等式約束條件由等式設(shè)計(jì)規(guī)定要求和尺寸成本關(guān)系式等式約束條件由等式設(shè)計(jì)規(guī)定要求和尺寸成本關(guān)系式兩部分組成，分別表示為兩部分組成，分別表示為（4-7）（4-8） 狀態(tài)方程式（包括各種衡算方程、聯(lián)結(jié)方程等）：狀態(tài)方程式（包括各種衡算方程、聯(lián)結(jié)方程等）：（4-9）0),(xwg0),(xwh0),(zxwc0),(zxwf 滿足約束條件的方案集合，構(gòu)成了最優(yōu)化問題的滿足約束條件的方案集合，構(gòu)成了最優(yōu)化問題的，記作，記作R 可行域中的方案稱為可行域中的方案稱為 每組方案每組方案y為為n維向量，它確定了維向量，它確定了n維空間中的

10、一維空間中的一個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) 因此，因此，w決策變量向量（決策變量向量（w1，wr）;x狀態(tài)變量向量（狀態(tài)變量向量（x1，xm）z過程單元內(nèi)部變量向量（過程單元內(nèi)部變量向量（z1，zs）F目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)fm維流程描述方程組（狀態(tài)方程）維流程描述方程組（狀態(tài)方程）cs維尺寸成本方程組維尺寸成本方程組hl維等式設(shè)計(jì)約束方程維等式設(shè)計(jì)約束方程g不等式設(shè)計(jì)約束方程不等式設(shè)計(jì)約束方程),(xwFMin0),(zxwf0),(zxwc0),(xwh0),(xwg對(duì)于上述優(yōu)化問題，變量數(shù)為對(duì)于上述優(yōu)化問題，變量數(shù)為m m+ +r r+ +s s，等式約束方，等式約束方程數(shù)為程數(shù)為m m+ +l l+ +s s，

11、問題的自由度為，問題的自由度為d=變量數(shù)方程數(shù)變量數(shù)方程數(shù)r l 若若l l=0=0，自由度等于決策變量數(shù)，自由度等于決策變量數(shù)r r； 若若l=rl=r，自由度等于零，此時(shí)最優(yōu)化問題的解是唯，自由度等于零，此時(shí)最優(yōu)化問題的解是唯一的（即等于約束方程的交點(diǎn)），沒有選擇最優(yōu)一的（即等于約束方程的交點(diǎn)），沒有選擇最優(yōu)點(diǎn)的余地；點(diǎn)的余地； 若若l l r r，則最優(yōu)化問題無(wú)解。由此可見，則最優(yōu)化問題無(wú)解。由此可見，l l r r是最是最優(yōu)化問題有解的必要條件之一優(yōu)化問題有解的必要條件之一 求一個(gè)受不等式約束的最優(yōu)化問題求一個(gè)受不等式約束的最優(yōu)化問題 服從于約束條件：服從于約束條件： 解：可行域是由解

12、：可行域是由: 三邊所圍成的區(qū)域三邊所圍成的區(qū)域,最優(yōu)解只能是可行域內(nèi)與最優(yōu)解只能是可行域內(nèi)與點(diǎn)（點(diǎn)（3，2）距離最近的點(diǎn)）距離最近的點(diǎn)(2,1)1)2() 3(),(min222121xxxxf03221 xx012x01x03221 xx012x01x 對(duì)于過程機(jī)理清楚的問題，一般采用對(duì)于過程機(jī)理清楚的問題，一般采用進(jìn)行優(yōu)化，其優(yōu)點(diǎn)是結(jié)果比較精確進(jìn)行優(yōu)化，其優(yōu)點(diǎn)是結(jié)果比較精確 機(jī)理模型的約束方程是通過分析過程的物理、機(jī)理模型的約束方程是通過分析過程的物理、化學(xué)本質(zhì)和機(jī)理，利用化學(xué)工程學(xué)的基本理論化學(xué)本質(zhì)和機(jī)理，利用化學(xué)工程學(xué)的基本理論建立的描述過程特性的數(shù)學(xué)模型及邊界條件建立的描述過程特性

13、的數(shù)學(xué)模型及邊界條件 形式往往比較復(fù)雜，具有大型稀疏性特點(diǎn)，需形式往往比較復(fù)雜，具有大型稀疏性特點(diǎn)，需要用特殊的最優(yōu)化方法進(jìn)行求解，求解方法選要用特殊的最優(yōu)化方法進(jìn)行求解，求解方法選擇不當(dāng)，會(huì)影響優(yōu)化迭代計(jì)算速度擇不當(dāng)，會(huì)影響優(yōu)化迭代計(jì)算速度 對(duì)于過程機(jī)理不很清楚，或機(jī)理模型復(fù)雜，難對(duì)于過程機(jī)理不很清楚，或機(jī)理模型復(fù)雜，難以建立數(shù)學(xué)方程組或方程組求解困難的問題，以建立數(shù)學(xué)方程組或方程組求解困難的問題，可通過建立可通過建立進(jìn)行優(yōu)化。進(jìn)行優(yōu)化。 其中常用的就是其中常用的就是 直接以實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為依據(jù)，只著眼于輸入輸出直接以實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為依據(jù)，只著眼于輸入輸出關(guān)系，不考慮過程本質(zhì)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)關(guān)系，不

14、考慮過程本質(zhì)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析從而得到過程各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。函分析從而得到過程各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系通常比較簡(jiǎn)單。數(shù)關(guān)系通常比較簡(jiǎn)單。 優(yōu)點(diǎn)是模型關(guān)系式簡(jiǎn)單優(yōu)點(diǎn)是模型關(guān)系式簡(jiǎn)單，不需要特殊的最優(yōu)化，不需要特殊的最優(yōu)化求解算法。求解算法。 缺點(diǎn)是外延性能較差缺點(diǎn)是外延性能較差 也是一種黑箱建模方也是一種黑箱建模方法，廣泛用于過程系統(tǒng)模擬和優(yōu)化問題。法，廣泛用于過程系統(tǒng)模擬和優(yōu)化問題。在許多方面優(yōu)于一般的統(tǒng)計(jì)回歸模型。在許多方面優(yōu)于一般的統(tǒng)計(jì)回歸模型。 適用于任何生產(chǎn)過程系統(tǒng)，尋優(yōu)速度較適用于任何生產(chǎn)過程系統(tǒng)，尋優(yōu)速度較快，具有自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)能力（因此也快，具有自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)能力

15、（因此也稱為智能模型），尤其適用于多目標(biāo)優(yōu)稱為智能模型），尤其適用于多目標(biāo)優(yōu)化問題化問題 需要大量的樣本數(shù)據(jù)，而且存在局部極需要大量的樣本數(shù)據(jù)，而且存在局部極值問題。值問題。 無(wú)約束最優(yōu)化與有約束最優(yōu)化無(wú)約束最優(yōu)化與有約束最優(yōu)化 線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃 單維最優(yōu)化和多維最優(yōu)化單維最優(yōu)化和多維最優(yōu)化 解析法與數(shù)值法解析法與數(shù)值法 可行路徑法和不可行路徑法可行路徑法和不可行路徑法 在尋求最優(yōu)決策時(shí)，如果對(duì)于決策變量及狀態(tài)變?cè)趯で笞顑?yōu)決策時(shí)，如果對(duì)于決策變量及狀態(tài)變量無(wú)任何附加限制，則稱為量無(wú)任何附加限制，則稱為 問題的最優(yōu)解就是目標(biāo)函數(shù)的極值。這類問題比問題的最優(yōu)解就是目標(biāo)函數(shù)的

16、極值。這類問題比較簡(jiǎn)單，求解方法是最優(yōu)化技術(shù)的基礎(chǔ)較簡(jiǎn)單，求解方法是最優(yōu)化技術(shù)的基礎(chǔ) 在建立最優(yōu)化模型方程時(shí)，若直接或間接的對(duì)決在建立最優(yōu)化模型方程時(shí)，若直接或間接的對(duì)決策變量施以某種限制，則稱為策變量施以某種限制，則稱為。又。又可分為可分為。 求解方法是通過把有約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成無(wú)約求解方法是通過把有約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束最優(yōu)化模型進(jìn)行求解束最優(yōu)化模型進(jìn)行求解 - 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)及約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)及約束條件均均為線性函數(shù)時(shí)，稱為為線性函數(shù)時(shí)，稱為，或線性規(guī)劃。比較成熟，或線性規(guī)劃。比較成熟 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束條件中當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)至少有一個(gè)為非線性函為非線性函數(shù)時(shí)，則稱為數(shù)

17、時(shí)，則稱為，或非線性規(guī)劃。過，或非線性規(guī)劃。過程系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化通常都屬于程系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化通常都屬于 由于非線性規(guī)則問題求解困難，有時(shí)將其近似地由于非線性規(guī)則問題求解困難，有時(shí)將其近似地線性化，用比較成熟的線性規(guī)劃技術(shù)求解線性化，用比較成熟的線性規(guī)劃技術(shù)求解 根據(jù)優(yōu)化變量的數(shù)目，可將問題分為根據(jù)優(yōu)化變量的數(shù)目，可將問題分為。 只有一個(gè)可以調(diào)節(jié)的決策變量的單維最優(yōu)化問題只有一個(gè)可以調(diào)節(jié)的決策變量的單維最優(yōu)化問題是最簡(jiǎn)單的典型問題。是最簡(jiǎn)單的典型問題。 研究單維最優(yōu)化的方法具有基本的意義，復(fù)雜的研究單維最優(yōu)化的方法具有基本的意義，復(fù)雜的多維最優(yōu)化問題往往可以轉(zhuǎn)化為反復(fù)應(yīng)用單維最多維最優(yōu)化問題往往可以

18、轉(zhuǎn)化為反復(fù)應(yīng)用單維最優(yōu)化方法來解決優(yōu)化方法來解決 根據(jù)解算方法，則可分為根據(jù)解算方法，則可分為和和。 解析法又稱為間接最優(yōu)化方法。只適用于目標(biāo)函解析法又稱為間接最優(yōu)化方法。只適用于目標(biāo)函數(shù)數(shù)(或泛函或泛函)及約束條件有顯函數(shù)表達(dá)的情況。及約束條件有顯函數(shù)表達(dá)的情況。 要求把一個(gè)最優(yōu)化問題用數(shù)學(xué)方程式表達(dá)，然后要求把一個(gè)最優(yōu)化問題用數(shù)學(xué)方程式表達(dá)，然后用導(dǎo)數(shù)法或變分法得到最優(yōu)化的必要條件，通過用導(dǎo)數(shù)法或變分法得到最優(yōu)化的必要條件，通過對(duì)必要條件方程求解得到問題的最優(yōu)解。對(duì)必要條件方程求解得到問題的最優(yōu)解。 古典的古典的等都屬于解析法。等都屬于解析法。 數(shù)值法數(shù)值法又稱為直接最優(yōu)化方法，或優(yōu)選法。

19、又稱為直接最優(yōu)化方法，或優(yōu)選法。 不要求目標(biāo)函數(shù)為各種變量的顯函數(shù)表達(dá)式，利不要求目標(biāo)函數(shù)為各種變量的顯函數(shù)表達(dá)式，利用函數(shù)在某一局部區(qū)域的性質(zhì)或一些已知點(diǎn)的數(shù)用函數(shù)在某一局部區(qū)域的性質(zhì)或一些已知點(diǎn)的數(shù)值，逐步搜索、逼近，最后達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。值，逐步搜索、逼近，最后達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。 對(duì)于有約束最優(yōu)化問題，視其如何處理約束條對(duì)于有約束最優(yōu)化問題，視其如何處理約束條件可分為件可分為和和。的整個(gè)搜索過程是在可行域內(nèi)進(jìn)行的整個(gè)搜索過程是在可行域內(nèi)進(jìn)行的，對(duì)變量的每次取值，約束條件均必須滿足的，對(duì)變量的每次取值，約束條件均必須滿足 對(duì)于每一次優(yōu)化迭代計(jì)算（統(tǒng)計(jì)模型除外）均對(duì)于每一次優(yōu)化迭代計(jì)算（統(tǒng)計(jì)模型除外）均

20、必須解算一次過程系統(tǒng)模型方法（即狀態(tài)方程）必須解算一次過程系統(tǒng)模型方法（即狀態(tài)方程）f f，也就是做一次全流程模擬計(jì)算。同時(shí)，要，也就是做一次全流程模擬計(jì)算。同時(shí)，要解算式（解算式（4-64-6）至（）至（4-84-8）。）。 這類方法簡(jiǎn)單可靠，但計(jì)算量很大。這類方法簡(jiǎn)單可靠，但計(jì)算量很大。的不要求必須在可行域內(nèi)進(jìn)行，可的不要求必須在可行域內(nèi)進(jìn)行，可以從不可行域向最優(yōu)解逐步逼近，但在最優(yōu)解處以從不可行域向最優(yōu)解逐步逼近，但在最優(yōu)解處必須滿足條件。必須滿足條件。 在這類方法中，所有的過程變量同時(shí)向使目標(biāo)函在這類方法中，所有的過程變量同時(shí)向使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)而又能滿足所條件的方向移動(dòng)。數(shù)最優(yōu)而又能滿足

21、所條件的方向移動(dòng)。 這類方法的求解過程有可能不穩(wěn)定，但計(jì)算量比這類方法的求解過程有可能不穩(wěn)定，但計(jì)算量比可行路徑法顯著減少。計(jì)算量少的主要原因是比可行路徑法顯著減少。計(jì)算量少的主要原因是比可行路徑少一層迭代環(huán)節(jié)可行路徑少一層迭代環(huán)節(jié) 對(duì)于不同的階段和對(duì)象，化工過程系統(tǒng)對(duì)于不同的階段和對(duì)象，化工過程系統(tǒng)最優(yōu)化問題可分為最優(yōu)化問題可分為 包括包括和和，就是把最優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用于過程，就是把最優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用于過程系統(tǒng)模型，尋求一組使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)，同系統(tǒng)模型，尋求一組使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)，同時(shí)又滿足各項(xiàng)設(shè)計(jì)規(guī)定要求的決策變量（即設(shè)時(shí)又滿足各項(xiàng)設(shè)計(jì)規(guī)定要求的決策變量（即設(shè)計(jì)變量）。計(jì)變量）。 根據(jù)最優(yōu)設(shè)計(jì)方

22、案可計(jì)算單元設(shè)備的尺寸根據(jù)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案可計(jì)算單元設(shè)備的尺寸 實(shí)際生產(chǎn)操作必須根據(jù)環(huán)境和條件的變化來實(shí)際生產(chǎn)操作必須根據(jù)環(huán)境和條件的變化來調(diào)節(jié)決策變量（即操作變量），從而使整個(gè)調(diào)節(jié)決策變量（即操作變量），從而使整個(gè)過程系統(tǒng)處于最佳狀態(tài)，也就是目標(biāo)函數(shù)達(dá)過程系統(tǒng)處于最佳狀態(tài)，也就是目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。這就是到最優(yōu)。這就是 如：通過操作參數(shù)優(yōu)化計(jì)算，可以找到對(duì)應(yīng)于如：通過操作參數(shù)優(yōu)化計(jì)算，可以找到對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)下的精餾塔最佳回流比、操作壓力、反應(yīng)系統(tǒng)下的精餾塔最佳回流比、操作壓力、反應(yīng)器最佳反應(yīng)溫度和再循環(huán)流量等等。器最佳反應(yīng)溫度和再循環(huán)流量等等。 如果操作參數(shù)與生產(chǎn)裝置的測(cè)試系統(tǒng)連接在一如果操作參數(shù)與生

23、產(chǎn)裝置的測(cè)試系統(tǒng)連接在一起，隨時(shí)根據(jù)檢測(cè)儀表送來的信息進(jìn)行優(yōu)化計(jì)起，隨時(shí)根據(jù)檢測(cè)儀表送來的信息進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，然后將計(jì)算結(jié)果信息直接送往控制系統(tǒng)，算，然后將計(jì)算結(jié)果信息直接送往控制系統(tǒng)，則稱為則稱為“在線操作優(yōu)化在線操作優(yōu)化” 過程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化和操作參數(shù)優(yōu)化過程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化和操作參數(shù)優(yōu)化的區(qū)別在于優(yōu)化對(duì)象不同，前者優(yōu)化的是的區(qū)別在于優(yōu)化對(duì)象不同，前者優(yōu)化的是設(shè)計(jì)變量，后者優(yōu)化的是操作變量，設(shè)計(jì)變量，后者優(yōu)化的是操作變量， 但就應(yīng)其數(shù)學(xué)本質(zhì)而言并什么本質(zhì)上的區(qū)但就應(yīng)其數(shù)學(xué)本質(zhì)而言并什么本質(zhì)上的區(qū)別，優(yōu)化的對(duì)象都是決策變量別，優(yōu)化的對(duì)象都是決策變量 當(dāng)用機(jī)理模型描述過程系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化問題

24、時(shí)，當(dāng)用機(jī)理模型描述過程系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化問題時(shí)，模型方程分為模型方程分為和和。 穩(wěn)態(tài)集中參數(shù)優(yōu)化模型由代數(shù)方程組成，穩(wěn)態(tài)集中參數(shù)優(yōu)化模型由代數(shù)方程組成，(4-10)（流程描述方程）（流程描述方程）（尺寸，成本方程）（尺寸，成本方程）（等式設(shè)計(jì)約束）（等式設(shè)計(jì)約束）（不等設(shè)計(jì)約束）（不等設(shè)計(jì)約束）),(xwFMin0),(zxwf0),(zxwc0),(xwh0),(xwg動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型中引入了時(shí)間變量，過程變量、目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型中引入了時(shí)間變量，過程變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件均可為時(shí)間變量的函數(shù)。集中參數(shù)函數(shù)和約束條件均可為時(shí)間變量的函數(shù)。集中參數(shù)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型，通常由常微分代數(shù)方程組成的動(dòng)態(tài)優(yōu)化模

25、型，通常由常微分代數(shù)方程組成(4-11)微分形式狀態(tài)方程微分形式狀態(tài)方程不等式約束和不等式設(shè)計(jì)規(guī)定方程不等式約束和不等式設(shè)計(jì)規(guī)定方程等式狀態(tài)程及等式設(shè)計(jì)規(guī)定方程等式狀態(tài)程及等式設(shè)計(jì)規(guī)定方程初始條件初始條件 ),(),(),( minmin0fttffttxsdtttwtxFJ ),(),()(ttwtxfdttdx 0),(),(ttwtxg 0),(),(ttwtxc )(00 xtx動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型一般適用于解決動(dòng)態(tài)過程（如動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型一般適用于解決動(dòng)態(tài)過程（如間歇過程、開停車過程等）的優(yōu)化設(shè)計(jì)和優(yōu)間歇過程、開停車過程等）的優(yōu)化設(shè)計(jì)和優(yōu)化操作問題化操作問題(1) 找到找到 w(t）的最優(yōu)變量規(guī)

26、律，使得在規(guī)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)）的最優(yōu)變量規(guī)律，使得在規(guī)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)x(t) 的指定值的系統(tǒng)規(guī)模最小的指定值的系統(tǒng)規(guī)模最小 ；(2) 系統(tǒng)規(guī)模已定，找到系統(tǒng)規(guī)模已定，找到w(t），使一定時(shí)間內(nèi)），使一定時(shí)間內(nèi)x(tf ) 值為值為最大；最大；(3) 系統(tǒng)規(guī)模已定，找到系統(tǒng)規(guī)模已定，找到w(t），使得達(dá)到），使得達(dá)到x(t )的指定值的的指定值的時(shí)間最短。時(shí)間最短。 通常適用于穩(wěn)態(tài)過程系統(tǒng)設(shè)計(jì)通常適用于穩(wěn)態(tài)過程系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化和離線操作參數(shù)優(yōu)化。從控制論的角參數(shù)優(yōu)化和離線操作參數(shù)優(yōu)化。從控制論的角度，稱穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化為離散系統(tǒng)優(yōu)化。度，稱穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化為離散系統(tǒng)優(yōu)化。 由于動(dòng)態(tài)模型描述的是時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)，故

27、從控由于動(dòng)態(tài)模型描述的是時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)，故從控制論的角度稱其為連續(xù)系統(tǒng)優(yōu)化。動(dòng)態(tài)優(yōu)化模制論的角度稱其為連續(xù)系統(tǒng)優(yōu)化。動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型與穩(wěn)態(tài)優(yōu)化模型的主要區(qū)別在于前者的解不型與穩(wěn)態(tài)優(yōu)化模型的主要區(qū)別在于前者的解不是一組簡(jiǎn)單的數(shù)值，而是時(shí)間的函數(shù)是一組簡(jiǎn)單的數(shù)值，而是時(shí)間的函數(shù) 間歇式理想混合反應(yīng)器的最優(yōu)操作，間歇式理想混合反應(yīng)器的最優(yōu)操作， 假假設(shè)反應(yīng)器內(nèi)進(jìn)行的是可逆放熱反應(yīng)，通過改變其設(shè)反應(yīng)器內(nèi)進(jìn)行的是可逆放熱反應(yīng)，通過改變其冷卻襯套內(nèi)冷卻劑的溫度對(duì)反應(yīng)器實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制冷卻襯套內(nèi)冷卻劑的溫度對(duì)反應(yīng)器實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制解：描述該反應(yīng)器內(nèi)過程進(jìn)行的基本方程為解：描述該反應(yīng)器內(nèi)過程進(jìn)行的基本方程為 初始條件：初始

28、條件： )(),(tTtxrAdtdxA )()(),(cVCpFACpqdtdTTTtTtxrraAxtx)(000)(TtT 任務(wù)是：在給定的初始條件下，尋求任務(wù)是：在給定的初始條件下，尋求Tc隨時(shí)間隨時(shí)間的變化規(guī)律，使得反應(yīng)物能在最短時(shí)間內(nèi)達(dá)到的變化規(guī)律，使得反應(yīng)物能在最短時(shí)間內(nèi)達(dá)到給定的轉(zhuǎn)化率。給定的轉(zhuǎn)化率。 即，要選擇一個(gè)隨時(shí)間的溫度分布即，要選擇一個(gè)隨時(shí)間的溫度分布Tc(t)，使得，使得目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 最小。最小。 這就是最短時(shí)間控制問題。這就是最短時(shí)間控制問題。T Tc c為操作變量，為操作變量，x xA A和和T T是狀態(tài)變量。借助于最優(yōu)化技術(shù)，可從上是狀態(tài)變量。借助于最優(yōu)化

29、技術(shù)，可從上述動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型解出使得目標(biāo)函數(shù)述動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型解出使得目標(biāo)函數(shù)J J最小的最最小的最優(yōu)解，同時(shí)可得到相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)軌線優(yōu)解，同時(shí)可得到相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)軌線ftfdttJ00 資源的合理分配資源的合理分配 工廠里的蒸汽、冷卻水等公用工程，工廠里的蒸汽、冷卻水等公用工程， 幾個(gè)車間共用一種化工原料過程系統(tǒng)幾個(gè)車間共用一種化工原料過程系統(tǒng) 時(shí)序問題（時(shí)序問題（Scheduling） 多組反應(yīng)器中的催化劑再生多組反應(yīng)器中的催化劑再生 間歇操作中流程中每個(gè)設(shè)備的運(yùn)行周期間歇操作中流程中每個(gè)設(shè)備的運(yùn)行周期 設(shè)備的維護(hù)和檢修設(shè)備的維護(hù)和檢修 多產(chǎn)品車間的生產(chǎn)運(yùn)行多產(chǎn)品車間的生產(chǎn)運(yùn)行 多產(chǎn)品生產(chǎn)過程的

30、排產(chǎn)計(jì)劃多產(chǎn)品生產(chǎn)過程的排產(chǎn)計(jì)劃 生產(chǎn)裝置是現(xiàn)成的，所以只考慮加工成本變量，在生產(chǎn)裝置是現(xiàn)成的，所以只考慮加工成本變量，在這種情況下，往往可以形成線性模型這種情況下，往往可以形成線性模型 線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。 作為一種最優(yōu)化方法，線性規(guī)劃理論完整、作為一種最優(yōu)化方法，線性規(guī)劃理論完整、方法成熟、應(yīng)用比較廣泛方法成熟、應(yīng)用比較廣泛 線性規(guī)劃是求一組非負(fù)變量，這些變量在滿足一線性規(guī)劃是求一組非負(fù)變量，這些變量在滿足一定的線性約束條件下，使一個(gè)線性函數(shù)達(dá)到極小定的線性約束條件下，使一個(gè)線性函數(shù)達(dá)到極小或極大或極大nnxcxcxc2211max)min(或1

31、1212111),(bxaxaxann22222121),(bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa),(221101x02x0nx01b02b0mb),(21ncccija已知常數(shù) 為了便于求解，通常要把上述線性規(guī)劃為了便于求解，通常要把上述線性規(guī)劃問題的一般模型轉(zhuǎn)化成下面的標(biāo)準(zhǔn)形式問題的一般模型轉(zhuǎn)化成下面的標(biāo)準(zhǔn)形式nnxcxcxc2211max)min(或11212111bxaxaxann22222121bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa221101x02x0nx01b02b0mb 將求極大化為求極小將求極大化為求極小 將不等式約束化為等式約束將不等式約束化為等式約束 松弛變

32、量、剩余變量松弛變量、剩余變量 將自由變量化為非負(fù)變量將自由變量化為非負(fù)變量 將一個(gè)自由變量化為兩個(gè)非負(fù)變量；或者設(shè)法在約束條將一個(gè)自由變量化為兩個(gè)非負(fù)變量；或者設(shè)法在約束條件和目標(biāo)函數(shù)中消去自由變量件和目標(biāo)函數(shù)中消去自由變量)min()max(JJ該問題是求目標(biāo)函數(shù)的極大值，將它轉(zhuǎn)化該問題是求目標(biāo)函數(shù)的極大值，將它轉(zhuǎn)化成等價(jià)的極小形式：成等價(jià)的極小形式：32143maxxxxJ52321xxx632321xxx02x03x32143)min(xxxJ 約束條件中，約束條件中，x x1 1沒有非負(fù)限制，因此沒有非負(fù)限制，因此x x1 1是自由是自由變量，設(shè)變量，設(shè) 為第一個(gè)約束引入松弛變量，為

33、第二個(gè)約束引為第一個(gè)約束引入松弛變量，為第二個(gè)約束引入剩余變量，則問題化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式入剩余變量，則問題化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式 111xxx01x0 1x32 1143)min(xxxxJ52132 11yxxxx6322232 11yxxxx01x0 1x02x03x01y02y 也可以通過消去，將問題化成如下標(biāo)準(zhǔn)形式也可以通過消去，將問題化成如下標(biāo)準(zhǔn)形式53)min(132yxxJ422132yyxx02x03x01y02y 線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型也可以寫成如下矩線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型也可以寫成如下矩陣形式：陣形式：(4-14)(4-15) 如果滿足式（如果滿足式（4-15），則稱為問題

34、的可行解，全），則稱為問題的可行解，全部可行解組成問題的可行域。部可行解組成問題的可行域。 如果可行解滿足式（如果可行解滿足式（4-14），則此可行解稱為問），則此可行解稱為問題的最優(yōu)解題的最優(yōu)解CXJ minbAX 0X 將矩陣看成由個(gè)列向量組成，即將矩陣看成由個(gè)列向量組成，即 設(shè)設(shè)A的秩為的秩為m(m=0，稱，稱B為可行基，此時(shí)，稱式為可行基，此時(shí)，稱式(4-16)為關(guān)于可行基為關(guān)于可行基B的基本可行解的基本可行解 同樣相應(yīng)地將目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)向量分解同樣相應(yīng)地將目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)向量分解 按式按式(4-16)，目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)J=CX也可以用非基變量也可以用非基變量線性表示：線性表示：),(

35、NBCCC ),(21mBcccC),(21nmmNcccCNNNBNNBBNBNBXCNXBbBCXCXCXXCCCX)(),(11 整理得到：整理得到： 對(duì)于線性規(guī)劃問題的基對(duì)于線性規(guī)劃問題的基B，若有，若有B-1b=0，則，則對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于B的基本可行解的基本可行解XB是線性規(guī)劃問題的最是線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，稱為最優(yōu)基本可行解，基優(yōu)解，稱為最優(yōu)基本可行解，基B稱為最優(yōu)基。稱為最優(yōu)基。 若存在一個(gè)可行解，則必存在一個(gè)基本可行解。若存在一個(gè)可行解，則必存在一個(gè)基本可行解。 若存在一個(gè)最優(yōu)解，則必存在若存在一個(gè)最優(yōu)解，則必存在 一個(gè)最優(yōu)基本一個(gè)最優(yōu)基本可行解?？尚薪?。NBNBXNBCCbBCC

36、X)(11 圖解法適用于變量較少的線性規(guī)劃問題。它通過作圖圖解法適用于變量較少的線性規(guī)劃問題。它通過作圖的方式，直觀地顯示滿足約束條件的可行域和目標(biāo)函的方式，直觀地顯示滿足約束條件的可行域和目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。數(shù)的最優(yōu)解。：用圖解法求解用圖解法求解212minxxJ4221xx122321 xx01x02x解：解： 將將x1、x2看作是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，將前兩個(gè)約看作是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，將前兩個(gè)約束條件寫成等式，則可以在平面上畫出兩條件束條件寫成等式，則可以在平面上畫出兩條件直線直線 四個(gè)約束條件圍成的區(qū)域?yàn)榭尚杏蛩膫€(gè)約束條件圍成的區(qū)域?yàn)榭尚杏? ,最優(yōu)解將最優(yōu)解將落在由原點(diǎn)、落在由原點(diǎn)、A A、B

37、 B、D D四個(gè)點(diǎn)圍成的四邊形內(nèi)四個(gè)點(diǎn)圍成的四邊形內(nèi) 目標(biāo)函數(shù)是線性函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是線性函數(shù), ,可得到一個(gè)平行直線族，可得到一個(gè)平行直線族，平行直線族上落在可行域中的點(diǎn)都為可行解，平行直線族上落在可行域中的點(diǎn)都為可行解，其中使其中使J J取最小值的點(diǎn)即為最優(yōu)解取最小值的點(diǎn)即為最優(yōu)解4221xx122321 xx 由定理由定理1 1、2 2可知，線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)的最小值可知，線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)的最小值（或最大值）一定在基本可行解中獲得。所以，在尋（或最大值）一定在基本可行解中獲得。所以，在尋找最優(yōu)解時(shí)，只需要考慮基本可行解找最優(yōu)解時(shí)，只需要考慮基本可行解（4-20）NBNBXNBCCb

38、BCJ)(min11NBNXBbBX110BX0NX 記：記：001ybBCB),(020101nmmBNyyyNBCCmnmmmmnmmnmmyyyyyyyyyNB2122212121111TmyyybB),(020101 代入（代入（4-20）：）： 式式(4-21)中每一個(gè)等式約束中含有一個(gè)且僅含中每一個(gè)等式約束中含有一個(gè)且僅含有一個(gè)基變量，而且基變量用非基變量線性表有一個(gè)基變量，而且基變量用非基變量線性表示。同樣，目標(biāo)函數(shù)也僅用非基變量線性表示，示。同樣，目標(biāo)函數(shù)也僅用非基變量線性表示，其中非基變量其中非基變量xj的系數(shù)的系數(shù)yoj=Cj-CBB-1Aj稱為的檢稱為的檢驗(yàn)數(shù)或相對(duì)成本系

39、數(shù)驗(yàn)數(shù)或相對(duì)成本系數(shù)nxyxyxyyJnmmmm022011000,min1012211111,yxyxyxyxnnmmmm2022221122,yxyxyxyxnnmmmm02211,mmnmmmmmmmyxyxyxyxn0jx 表中的第1m行對(duì)應(yīng)式的m個(gè)約束方程，第0列對(duì)應(yīng)于約束方程右端的常數(shù)項(xiàng)，第0行對(duì)應(yīng)于目標(biāo)函數(shù)的變形：nxyxyxyJynmmmm022011000, 求一個(gè)初始基本可行解求一個(gè)初始基本可行解 從基本可行解出發(fā)，轉(zhuǎn)移到另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值更從基本可行解出發(fā)，轉(zhuǎn)移到另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值更小的基本可行解小的基本可行解 逐步迭代計(jì)算，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值逐步迭代計(jì)算，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值 不能再減小

40、，即滿不能再減小，即滿足最優(yōu)性條件足最優(yōu)性條件C-CBB-1A=0：時(shí)，計(jì)算結(jié)束，得：時(shí)，計(jì)算結(jié)束，得到最優(yōu)基本可行解到最優(yōu)基本可行解 432132minxxxxJ634321xxxx32432xxx46432xxx0jx解： 最明顯的可行解就是把系數(shù)為最明顯的可行解就是把系數(shù)為1 1的變量留下作的變量留下作為基變量，并設(shè)其它變量為零，作非基變量。為基變量，并設(shè)其它變量為零，作非基變量。因此：因此： x x1 1=6, x=6, x5 5=3,x=3,x6 6=4 =4 非基變量非基變量x x2 2,x,x3 3,x,x4 4為為0 0432132minxxxxJ634321xxxx32543

41、2xxxx466432xxxx0jx 可行解為：可行解為： 初始可行基為單位矩陣：初始可行基為單位矩陣： 非基變量的系數(shù)（檢驗(yàn)數(shù)）：非基變量的系數(shù)（檢驗(yàn)數(shù)）： 其中：其中：TX)4 , 3 , 0 , 0 , 0 , 6(IAAAB),(651)0 , 0 , 1 (BCjBjjABCcy103121)0 , 0 , 1 (221202ABCcyB2613)0 , 0 , 1 (131303ABCcyB 對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值 把把b放入表的第放入表的第0列，列，A1,A2,A3,A4,A5,A6放入表的放入表的1m行中，把行中，把-y00和和y0j放入表的第放入表的第0行行 最優(yōu)解

42、就滿足的條件是最優(yōu)解就滿足的條件是yj=Cj-CBB-1Aj=0，從表，從表4-2中可以看到有的不滿足條件，故初始可行解不中可以看到有的不滿足條件，故初始可行解不是最優(yōu)解是最優(yōu)解4111)0 , 0 , 1 (341404ABCcyB6100bBCyB 由于初始的基本可行解不是最優(yōu)解，因此需要由于初始的基本可行解不是最優(yōu)解，因此需要轉(zhuǎn)移到另一個(gè)基本可行解，方法是轉(zhuǎn)移到另一個(gè)基本可行解，方法是 選擇出現(xiàn)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)選擇出現(xiàn)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)y y0j0j最小列最小列q q作為作為 主列，本問題主列，本問題中中 q=2q=2 求最小比值，選擇出現(xiàn)的最小行求最小比值，選擇出現(xiàn)的最小行q q作為主行，本問作為主行，

43、本問題中題中q=1q=1 以為以為y ypqpq主元，用換基公式修改單純形表主元，用換基公式修改單純形表 循環(huán)，直至得到最優(yōu)解。循環(huán)，直至得到最優(yōu)解。pqpjpjyyy/iqpqpjijijyyyyy/ 純堿生產(chǎn)過程的重堿工段通常有十幾組塔組成，這些純堿生產(chǎn)過程的重堿工段通常有十幾組塔組成，這些塔交替進(jìn)行制堿和清洗操作，如何將塔群分組，合理塔交替進(jìn)行制堿和清洗操作，如何將塔群分組，合理安排制堿和清洗時(shí)間以保證重堿產(chǎn)量，就構(gòu)成重堿生安排制堿和清洗時(shí)間以保證重堿產(chǎn)量，就構(gòu)成重堿生產(chǎn)的排產(chǎn)問題產(chǎn)的排產(chǎn)問題（非線性）（非線性） 一個(gè)生產(chǎn)多種產(chǎn)品的工廠，當(dāng)原料成本或市場(chǎng)價(jià)格等一個(gè)生產(chǎn)多種產(chǎn)品的工廠，當(dāng)原

44、料成本或市場(chǎng)價(jià)格等因素發(fā)生變化時(shí)，為了保證全年利潤(rùn)，也需要重新安因素發(fā)生變化時(shí)，為了保證全年利潤(rùn)，也需要重新安排生產(chǎn)計(jì)劃排生產(chǎn)計(jì)劃（線性）（線性） 對(duì)于一個(gè)函數(shù)對(duì)于一個(gè)函數(shù)f(x1,x2,xn)，如果其所有的一階導(dǎo)數(shù)，如果其所有的一階導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)都存在，則函數(shù)f(x)的極小值的必要條件為的極小值的必要條件為 對(duì)于滿足以上方程的點(diǎn)成為極小值的充分條件是在這對(duì)于滿足以上方程的點(diǎn)成為極小值的充分條件是在這個(gè)點(diǎn)上所有二階導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)均存在，而且其赫森矩陣為個(gè)點(diǎn)上所有二階導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)均存在，而且其赫森矩陣為正定正定021nxfxfxf H是否為正定的判據(jù)：是否為正定的判據(jù)：22221212212212nn

45、nnxfxxfxxfxxfxxfxfHiiiiiHHHHD1111 這樣得到一組數(shù)值這樣得到一組數(shù)值D1,D2,Dn，這稱為，這稱為H矩陣的矩陣的主子式。如果所有的主子式。如果所有的Di0,則赫森矩陣則赫森矩陣H為正定的為正定的 根據(jù)函數(shù)存在極小值的充分必要條件，無(wú)約束的根據(jù)函數(shù)存在極小值的充分必要條件，無(wú)約束的最優(yōu)化問題的求解轉(zhuǎn)化為下面一組非線性方程的最優(yōu)化問題的求解轉(zhuǎn)化為下面一組非線性方程的求解：求解： 其中滿足：其中滿足：的點(diǎn)，就是方程組的解的點(diǎn)，就是方程組的解000)()()(21nxxfxxfxxf0)()()(22221nxfxfxf 這種經(jīng)典方法存在以下缺點(diǎn)這種經(jīng)典方法存在以下缺

46、點(diǎn):1 1 對(duì)較復(fù)雜的問題，這種非線性方程組求解是相對(duì)較復(fù)雜的問題，這種非線性方程組求解是相當(dāng)困難的當(dāng)困難的2 2 由于上述條件是滿足極小，而不是最小，所以由于上述條件是滿足極小，而不是最小，所以找到的解可能是局部極值，而不是全局最優(yōu)值找到的解可能是局部極值，而不是全局最優(yōu)值3 3 這種經(jīng)典方法只能用于導(dǎo)數(shù)連續(xù)的場(chǎng)合，當(dāng)導(dǎo)這種經(jīng)典方法只能用于導(dǎo)數(shù)連續(xù)的場(chǎng)合，當(dāng)導(dǎo)數(shù)不連續(xù)時(shí)不能使用。然而，導(dǎo)數(shù)不連續(xù)之處，數(shù)不連續(xù)時(shí)不能使用。然而，導(dǎo)數(shù)不連續(xù)之處，可能正好是最小值或最大值所在之處可能正好是最小值或最大值所在之處已知目標(biāo)函數(shù)已知目標(biāo)函數(shù)f(x1,x2,xn)，服從等式約束條件：，服從等式約束條件：引

47、入拉格朗日函數(shù)可以將這個(gè)有約束的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化引入拉格朗日函數(shù)可以將這個(gè)有約束的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束的最優(yōu)化問題：成無(wú)約束的最優(yōu)化問題：mjxxxenj, 2 , 10),(21),()()(),(21nmjjjxxxxxexfx根據(jù)無(wú)約束最優(yōu)化問題的求解方法，只要函數(shù)根據(jù)無(wú)約束最優(yōu)化問題的求解方法，只要函數(shù)f和約和約束束ej的一階偏導(dǎo)數(shù)在所有各點(diǎn)均存在，則只要求解的一階偏導(dǎo)數(shù)在所有各點(diǎn)均存在，則只要求解下列非線性方程組，就可得到最優(yōu)解下列非線性方程組，就可得到最優(yōu)解以上共以上共n+m個(gè)方程，個(gè)方程， 可解出可解出 及及 個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù)mjxxxeninjmjxexfiji, 2 , 10

48、),(, 2 , 10211nxxx,21m,21 有一個(gè)烴類催化反應(yīng)器，烴類進(jìn)行壓縮并有一個(gè)烴類催化反應(yīng)器，烴類進(jìn)行壓縮并和蒸汽先充分混合后進(jìn)入反應(yīng)器。反應(yīng)后的產(chǎn)物和蒸汽先充分混合后進(jìn)入反應(yīng)器。反應(yīng)后的產(chǎn)物和未反應(yīng)的原料通過蒸餾進(jìn)行分離，使未反應(yīng)的和未反應(yīng)的原料通過蒸餾進(jìn)行分離，使未反應(yīng)的原料再循環(huán)使用。設(shè)原料加壓所需的費(fèi)用為每年原料再循環(huán)使用。設(shè)原料加壓所需的費(fèi)用為每年1000元，將原料和蒸汽混合并送入反應(yīng)器的輸元，將原料和蒸汽混合并送入反應(yīng)器的輸送費(fèi)用為每年送費(fèi)用為每年 元，其中元，其中為操作壓力，為操作壓力，為循環(huán)比。又設(shè)分離器將產(chǎn)物分離所需費(fèi)用為為循環(huán)比。又設(shè)分離器將產(chǎn)物分離所需費(fèi)用

49、為每年每年105R元，未反應(yīng)的原料進(jìn)行再循環(huán)和壓縮的元，未反應(yīng)的原料進(jìn)行再循環(huán)和壓縮的費(fèi)用每年為費(fèi)用每年為 元。每年的產(chǎn)量為元。每年的產(chǎn)量為107公斤。公斤。(a) 試求最優(yōu)的操作壓力試求最優(yōu)的操作壓力P和循環(huán)比和循環(huán)比R，使每年總，使每年總費(fèi)用為最小費(fèi)用為最小(b) 若要求的若要求的P和和R乘積為乘積為9000bar，試求最優(yōu)的，試求最優(yōu)的P和和R。91104PRR5105 . 1(a) 這是一個(gè)無(wú)約束最優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)為：這是一個(gè)無(wú)約束最優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)為： 對(duì)對(duì)P和和R求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得到：求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得到： 由此解得：由此解得：P=1000，R=4 代入目標(biāo)函數(shù)，得到每

50、年費(fèi)用為：代入目標(biāo)函數(shù)，得到每年費(fèi)用為： 元元 RRPJPR55104105 . 110100090100029104RPPJ0105 . 2291045PRRJ6103J 驗(yàn)證此解是否是極小值：將驗(yàn)證此解是否是極小值：將J 對(duì)對(duì)P 和和R求二階導(dǎo)數(shù)，求二階導(dǎo)數(shù)，在（在（1000，4）點(diǎn)為：）點(diǎn)為： 其赫森矩陣為其赫森矩陣為 此矩陣為正定矩陣，因此這一點(diǎn)就是極小點(diǎn)。此矩陣為正定矩陣，因此這一點(diǎn)就是極小點(diǎn)。239222104RPPJ2502292104PRRPJ12500039222104PRRJ1250002502502H(b) 這是一個(gè)有約束的最優(yōu)化問題：這是一個(gè)有約束的最優(yōu)化問題：約束條件

51、：約束條件： PR=900建立拉格朗日函數(shù)：建立拉格朗日函數(shù)：對(duì)對(duì)和和求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得求解以上三個(gè)方程得到：求解以上三個(gè)方程得到：RPJPR5104105 . 21000min9)9000(105 . 2100051049PRRPPR90000105 . 20100029291045104PRPRRPRP3 .117, 6,1500RP 基本思想基本思想: 通過一個(gè)懲罰因子把約束條件連接通過一個(gè)懲罰因子把約束條件連接到目標(biāo)函數(shù)上去，從而將有約束條件的最優(yōu)化到目標(biāo)函數(shù)上去，從而將有約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件的問題問題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件的問題 新的目標(biāo)函數(shù)具有如

52、下性質(zhì)：當(dāng)搜索到不可行新的目標(biāo)函數(shù)具有如下性質(zhì)：當(dāng)搜索到不可行點(diǎn)時(shí)，附加一個(gè)約束懲罰項(xiàng)，會(huì)使目標(biāo)函數(shù)變點(diǎn)時(shí)，附加一個(gè)約束懲罰項(xiàng)，會(huì)使目標(biāo)函數(shù)變得很大，而且離約束條件愈遠(yuǎn)懲罰就愈大得很大，而且離約束條件愈遠(yuǎn)懲罰就愈大已知目標(biāo)函數(shù)已知目標(biāo)函數(shù)f，服從等式約束條件：，服從等式約束條件：mjxxxgnj, 2 , 10),(21 引入懲罰因子引入懲罰因子ki將目標(biāo)函數(shù)將目標(biāo)函數(shù)f轉(zhuǎn)換成帶罰函數(shù)的目轉(zhuǎn)換成帶罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)標(biāo)函數(shù)F(x)： 這樣有約束的最優(yōu)化問題就被轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的最這樣有約束的最優(yōu)化問題就被轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的最優(yōu)化問題，可以用上面的方法進(jìn)行求解優(yōu)化問題，可以用上面的方法進(jìn)行求解 當(dāng)當(dāng)k ki

53、 i為很大的正數(shù)時(shí)，只要為很大的正數(shù)時(shí)，只要x x違反了約束條件，則違反了約束條件，則懲罰項(xiàng)就會(huì)變成一個(gè)很大的正值，從而使懲罰項(xiàng)就會(huì)變成一個(gè)很大的正值，從而使F F( (x x) )離離最小值更遠(yuǎn)。而且最小值更遠(yuǎn)。而且x x對(duì)約束條件偏離愈大，懲罰也對(duì)約束條件偏離愈大，懲罰也就愈大。就愈大。 顯然，所求的顯然，所求的F F( (x x) )最小值會(huì)因值的不同而不同。最小值會(huì)因值的不同而不同。k ki i值愈大，則懲罰項(xiàng)的權(quán)也增加，偏離約束的可值愈大，則懲罰項(xiàng)的權(quán)也增加，偏離約束的可能愈小。當(dāng)能愈小。當(dāng)k ki i很大時(shí)，則只有很大時(shí)，則只有g(shù) gi i(x(x)=0)=0時(shí)才能使時(shí)才能使F F

54、( (x x) )達(dá)到最小值，這時(shí)的解就是的解達(dá)到最小值，這時(shí)的解就是的解mjxxxgkxxxfxFnjjn, 2 , 1),(),()(22121已知目標(biāo)函數(shù)為已知目標(biāo)函數(shù)為 等式約束條件為：等式約束條件為：解：解：建立帶有罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)：建立帶有罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)：對(duì)這一新的目標(biāo)函數(shù)求極小值對(duì)這一新的目標(biāo)函數(shù)求極小值化簡(jiǎn)后得到：化簡(jiǎn)后得到：當(dāng)當(dāng) ，若要使上式成立，必須使，若要使上式成立，必須使(5x2-5)，從而得到最優(yōu)解從而得到最優(yōu)解x2=1，x1=422214)(xxxf0521 xx2212221)5(4)(xxkxxxF0)5(2111xxkxxF0)5(42122xxkxxF0)

55、55(422xkxk對(duì)于一般的有約束的最優(yōu)化問題對(duì)于一般的有約束的最優(yōu)化問題約束條件為約束條件為建立相應(yīng)的帶罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)建立相應(yīng)的帶罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)式中式中 表示取表示取gi(x)和中較小的作為和中較小的作為約束。則利用罰函數(shù)法求約束。則利用罰函數(shù)法求F(x)最小值的計(jì)算步驟最小值的計(jì)算步驟為：為：)(minxf), 2 , 1(0)(mixhi), 2 , 1(0)(njxgj 0),(min)()(),(1122mijnjixgxhkxfkxF0),(minxgj1) 給定初始點(diǎn)給定初始點(diǎn)x0及一個(gè)適當(dāng)?shù)牧P因子及一個(gè)適當(dāng)?shù)牧P因子k2) 求求F(x)的最小點(diǎn)的最小點(diǎn)x1 ，若，若x1可接

56、受，則計(jì)算結(jié)束。否則可接受，則計(jì)算結(jié)束。否則轉(zhuǎn)向第轉(zhuǎn)向第3步步3) 設(shè)設(shè)k增大的倍數(shù)為增大的倍數(shù)為a(a1)，用，用ak代替原來的代替原來的k，作為新，作為新的罰因子，以的罰因子，以x1為初始點(diǎn)，回到第為初始點(diǎn)，回到第2步步 一般來說，罰函數(shù)法是一種有效的求解方法。一般來說，罰函數(shù)法是一種有效的求解方法。 缺點(diǎn)：把罰函數(shù)引入目標(biāo)函數(shù)可能引入了二階導(dǎo)數(shù)的缺點(diǎn)：把罰函數(shù)引入目標(biāo)函數(shù)可能引入了二階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)，因此用梯度法來搜索最小時(shí)會(huì)發(fā)生困難；不連續(xù)，因此用梯度法來搜索最小時(shí)會(huì)發(fā)生困難； 這種方法是從不可行區(qū)域逐步收斂到解的，這就要允這種方法是從不可行區(qū)域逐步收斂到解的，這就要允許在不可行域進(jìn)行函

57、數(shù)估值，這可能會(huì)使程序計(jì)算失許在不可行域進(jìn)行函數(shù)估值，這可能會(huì)使程序計(jì)算失敗，比如試圖求負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)或求負(fù)數(shù)的平方根等敗，比如試圖求負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)或求負(fù)數(shù)的平方根等 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)化又稱連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)化，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)化又稱連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)化，這是由于優(yōu)化問題的解是時(shí)間這是由于優(yōu)化問題的解是時(shí)間t t的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù) 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題的一般模型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題的一般模型 ),(),(),( minmin0fttffttxsdtttwtxFJ ),(),()(ttwtxfdttdx 0),(),(ttwtxg 0),(),(ttwtxc00)(xtx初始條件： 可以看出，目標(biāo)函數(shù)隨狀態(tài)變

58、量和決策變量的可以看出，目標(biāo)函數(shù)隨狀態(tài)變量和決策變量的不同而不同，就是說明目標(biāo)函數(shù)是函數(shù)的函數(shù)。不同而不同，就是說明目標(biāo)函數(shù)是函數(shù)的函數(shù)。 在數(shù)學(xué)上，這種函數(shù)的稱為泛函，求泛值的問在數(shù)學(xué)上，這種函數(shù)的稱為泛函，求泛值的問題稱為變分問題。因此，連續(xù)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題稱為變分問題。因此，連續(xù)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題就是一個(gè)變分問題。題就是一個(gè)變分問題。 求泛函的極小問題也是一種極值問題，對(duì)于無(wú)求泛函的極小問題也是一種極值問題，對(duì)于無(wú)約束問題，根據(jù)極值存在的充分必要條件求極約束問題，根據(jù)極值存在的充分必要條件求極值；對(duì)于有約束的最優(yōu)化問題，則先利用拉格值；對(duì)于有約束的最優(yōu)化問題，則先利用拉格朗日函數(shù)或罰函數(shù)將

59、其轉(zhuǎn)化成無(wú)約束最優(yōu)化問朗日函數(shù)或罰函數(shù)將其轉(zhuǎn)化成無(wú)約束最優(yōu)化問題后再求解。題后再求解。(1) 泛函極值的必要條件泛函極值的必要條件對(duì)于一個(gè)泛函對(duì)于一個(gè)泛函當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) y (x) 經(jīng)微小改變后變?yōu)榻?jīng)微小改變后變?yōu)閥1 (x)，則稱，則稱為函數(shù)的變分，表示了為函數(shù)的變分，表示了y(x) 的微小改變。也寫為的微小改變。也寫為式中式中 是一個(gè)連續(xù)可微的任意函數(shù)，是一個(gè)連續(xù)可微的任意函數(shù)，是一個(gè)是一個(gè)很小的正數(shù)，當(dāng)很小的正數(shù)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，dxxxxyxyxyIxx),(),()(21)()(1xyxyy)(xy)(x0y0 若若y(x)的微小改變要求在區(qū)間的微小改變要求在區(qū)間x1，x2兩端固定，兩端固

60、定，即保持即保持y(x1)=y1，y(x2)=y2，則則 應(yīng)滿應(yīng)滿足足 ，或記為：，或記為： 相應(yīng)于函數(shù)相應(yīng)于函數(shù)y(x)的微小改變，泛函的微小改變，泛函I y (x)的的改變量為：改變量為： 將大括號(hào)內(nèi)的函數(shù)的用泰勒級(jí)數(shù)展開，并略去將大括號(hào)內(nèi)的函數(shù)的用泰勒級(jí)數(shù)展開，并略去的高次項(xiàng)得的高次項(xiàng)得:)(x0)()(21xx)()(21xyxydxxyyxyyxyIyxyIxxxxx,)(21dxIyIyyIxyxxyx)(21 式中式中 稱為泛函稱為泛函I y (x)的第一變分。泛函的第一變分。泛函 I y (x)取值的必要條件為：取值的必要條件為： 將前式等號(hào)右側(cè)第二項(xiàng)分部積分得到將前式等號(hào)右側(cè)