第7章一階電路和二階電路的時域分析(電路第五版)_第1頁
第7章一階電路和二階電路的時域分析(電路第五版)_第2頁
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文檔簡介

1、2022年6月27日星期一1第七章 一階電路和二階電路的時域分析1.換路定則和電路初始值的求法;2.掌握一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)的概念和物理意義;3.會計算和分析一階動態(tài)電路(重點是三要素法);4.了解二階電路零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、全響應(yīng)的概念和物理意義; 5.會分析簡單的二階電路;6.會計算一階電路的階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng);7.會用系統(tǒng)法列寫簡單的狀態(tài)方程。內(nèi)容提要與基本要求2022年6月27日星期一2重點重點(1)動態(tài)電路方程的建立和動態(tài)電路初始值的確定;(2)一階電路時間常數(shù)的概念與計算 ;(3)一階電路的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng);(4)求解一階電路的三要素法;(5)暫態(tài)分量

2、(自由分量)和(穩(wěn)態(tài)分量)強制分量概念;(6)二階電路的零輸入、零狀態(tài)和全響應(yīng)的概念;(7)二階電路的方程和特征根、過渡過程的過阻尼、欠 阻尼及臨界阻尼的概念及分析;(8)二階電路的階躍響應(yīng)。2022年6月27日星期一3難點難點(1)應(yīng)用基爾霍夫定律和電感、電容的元件特性建立動態(tài)電路方程;(2)電路初始條件的概念和確定方法;(3)二階電路的過阻尼、欠阻尼及臨界阻尼放電過程分析方法和基本物理概念。與其它章節(jié)的聯(lián)系本章討論的仍是線性電路,因此前面討論的線性電路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章討論的線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)就是動態(tài)電路在正弦激勵下的穩(wěn)態(tài)分量的求解。2022年6月27日星

3、期一47-1 動態(tài)電路的方程及其初始條件SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi引引 言言 自然界事物的運動,在一定的條件下有一定的穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)條件發(fā)生變化時,就要過渡到新的穩(wěn)定狀態(tài)。從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)到另一種新穩(wěn)定狀態(tài)時,往往不能躍變,而是需要一定時間,或者說需要一個過程,在工程上稱過渡過程。接通電源,C 被充電,C 兩端的電壓逐漸增長到穩(wěn)態(tài)值Us ,即要經(jīng)歷一段時間。電路中的過渡過程雖然短暫,在實踐中卻很重要。2022年6月27日星期一5一、動態(tài)電路的基本概念含有動態(tài)元件(L、C)的電路稱為動態(tài)電路。描述動態(tài)電路的方程是微分方程。全部由線性非時變元件構(gòu)成的動態(tài)電路,其描述方程是線性常系數(shù)微

4、分方程。只含一個動態(tài)元件(L或C)的電路,其描述方程是一階線性常系數(shù)微分方程,稱一階電路。一階電路有3種分析方法:1. 經(jīng)典法 列寫電路的微分方程,求解電流和電壓。是一種在時間域中進行的分析方法。2022年6月27日星期一6 2. 典型電路分析法 記住一些典型電路(RC串聯(lián)、RL串聯(lián)、 RC并聯(lián)、 RL并聯(lián)等) 的分析結(jié)果,在分析非典型電路時可以設(shè)法套用。3. 三要素法 只要知道一階電路的三個要素,代入一個公式就可以直接得到結(jié)果,這是分析一階電路的最有效方法。任意NSuCC+-iS(t=0)SUS+-(t=0)+-uCRCi典型電路重點掌握3 , 1、2 兩種方法可掌握其中之一。2022年6月

5、27日星期一7二、換路及換路定則1.換路 電路結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)的改變稱為換路。換路是在t=0 (或 t = t0) 時刻進行的。 含有動態(tài)元件的電路換路時存在過渡過程,過渡過程產(chǎn)生的原因是由于儲能元件L、C ,在換路時能量發(fā)生變化,而能量的儲存和釋放需要S24V+-(t=0)+LiL4W14W22W3W6H6W-uL12V+-i8W4Wt=0S純電阻電路在換路時沒有過渡期。 一定的時間來完成。2022年6月27日星期一82. 換路定則在換路前后:q(t) = q(t0) +tt0iC (x) dxq(0+) = q(0-) +0+0-iC(x) dx以t = t0 = 0作為換路的計時起點:換路

6、前最終時刻記為t = 0-,換路后最初時刻記為t = 0+。線性電容C的電荷0-到0+瞬間,iC(t)為有限值時,積分為0。q(0+) = q(0-) C上的電荷不能躍變!由q(t) = C uC(t)可知,當(dāng)換路前后C不變時uC(0+) = uC(0-) C兩端的電壓也不能躍變!2022年6月27日星期一9Y (0+) =Y (0-) L中的磁鏈不能躍變!由Y (t) = LiL(t) 可知,當(dāng)換路前后L不變時 iL(0+) = iL(0-) L中的電流也不能躍變!同理可得:q(0+) = q(0-)uC(0+) = uC(0-)換路定則表明 (1)換路瞬間,若電容電流保持為有限值,則電容電

7、壓(電荷)在換路前后保持不變,這是電荷守恒定律的體現(xiàn)。(2)換路瞬間,若電感電壓保持為有限值,則電感電流(磁鏈)在換路前后保持不變。這是磁鏈?zhǔn)睾愣傻捏w現(xiàn)。2022年6月27日星期一10三、初始值的計算解:換路前的“舊電路”求圖示電路在開關(guān)閉合瞬間各支路電流和電感電壓。 1. 由換路前的“舊電路”計算uC(0-)和iL(0-) 。iC(0-)=0,C視為開路。 uL(0-)=0,L視為短路。iL(0-) = 12AuC(0-) = 24V= iL(0+)= uC(0+)R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2

8、W2W48Vi由等效電路算出2022年6月27日星期一112.畫出t=0+等效電路:電感用電流源替代,電容用電壓源替代。 iC(0+) =48-243= 8AuL(0+) = 48-212 = 24VR1+-U0SR2iLiC12A+-uL+-R33W2W2W48V24ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViiL(0-) = 12A = iL(0+)uC(0-) = 24V = uC(0+)i(0+) = iL(0+) + iC(0+) = 12 + 8 = 20At=0+時刻的等效電路2022年6月27日星期一127-2 一階電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng):在電

9、源激勵為零的情況下,由動態(tài)元件的初始值(0)引起的響應(yīng)。1. RC 電路 SR+-uC(t=0)i+-uRU0SR+-uC(t0+)i+-uRU0換路后的“新電路”i =ducdt- C= Riducdt= - RC由KVL得:ducdtRC+ uC = 0uR分析 RC 電路的零輸入響應(yīng),實際上是分析其放電過程。一階齊次微分方程2022年6月27日星期一13t = RC 稱RC電路的時間常數(shù)。若R取W,C取F,則t為s。t 的大小,反映uC的變化快慢:t 越大, uC衰減越慢。SR+-uC(t0+)i+-uRU0p = -RC1通解 uC = A e1RC-t由初始條件 uC(0+) = u

10、C(0-) = U0 得:uC = U0 e= U0 et-t1RC-t,t 0touC t2t3tU0t的圖解ducdtRC+ uC = 0特征方程特征根RCp+1=02022年6月27日星期一14t=0,uC =U0t=t,uC =U0 e-10.638U0 在理論上,要經(jīng)過無限長時間, uC才能衰減到0。 在工程上,認(rèn)為經(jīng)過3t 5t 時間,過渡過程即告結(jié)束。touC t2t3tU00.368U00.05U0uC=U0 et-tt=3t,uC =U0 e-30.05U0t=5t,uC =U0 e-50.007U0uR = uC = U0 et-tSR+-uC(t0+)i+-uRU0, u

11、Ri =ducdt- C=RU0t-teWR = 0i2 (t) R dt= 0RU022RC-tedt =21CU02C儲存的能量全被R 吸收,并轉(zhuǎn)換成熱能消耗掉。RU0i2022年6月27日星期一15例:試求t0時的i(t)。 換路后,C 通過(R1/R2)放電,Req= R1/R2 = 2W。 所以 t = ReqC = 2 s 引用典型電路結(jié)果:uC(0-) =2+4+4104= 4 V根據(jù)換路定則: uC(0-) = uC(0+) = 4 VR2+-uC4W4WC1Fit0SR1uC = uC(0+) et-t= 4 e-0.5t Vi = -21RequC= -e-0.5t A解:

12、(t0)(t0)2WSR2+-(t=0)+-uC4WR14WC1F12R10Vi2022年6月27日星期一162. RL電路由KVL uL + uR = 0SR+-(t=0)R0L12uL+-iU0R(t0)LuL+-iS2+-uRdiLdt+ Ri = 0didtL+ i = 0Ri(0+)= i(0-)=R0U0i(t) = i(0+) e=R0U0t =RL為RL電路的時間常數(shù)。t-tes =WHt-t得 i(t) 解之 代入初試條件 基本形式:i(t)=I0 et-t(t 0)2022年6月27日星期一17電阻和電感上的電壓分別為:R(t0)LuL+-iS2+-uRRI0uRtoi,

13、uR , uL iI0uL-RI0uR= Ri= R I0 euL = - uR= - R I0 edidtL或者:uL = -R I0 ei(t) = I0 et-tt-tt-tt-t,(t 0),(t 0),(t 0)2022年6月27日星期一183.例題分析 P144 例7-2試求:t ;i(0+)和i(0-) ;i(t)和uV (t) ;uV (0+)。VS+-RL+-URVuVi0.189W0.398H5kW35V某300kW汽輪發(fā)電機勵磁回路的電路模型電壓表的量程才50V。t =R+RVL=0.189+51030.398= 79.6 (ms)i(0-)RU=0.18935=185.

14、2 Ai(t) = 185.2 e-12560t AuV(t) = -RV i(t) = -926 e-12560t kVuV(0+) = 926 kV !t0+實踐中,要切斷 L 的電流,必須考慮磁場能量的釋放問題解:= i(0+)2022年6月27日星期一197-3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng):在動態(tài)元件初值為 0 的狀態(tài)下,外施激勵引起的響應(yīng)。1. RC電路 由KVL: uR + uC = USSUS+-(t=0)+-uCRC+-uRiuR = Riducdt = RCducdtRC+ uC = US常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)的齊次方程:其解為:uC = uC + uC 通解: uC

15、= A e1RC-t特解: uC = US 所以: uC = US + A educdtRC+ uC= 01RC-t2022年6月27日星期一20代入初值:uC(0+) = uC(0-) = 0求得:A=-US所以零狀態(tài)響應(yīng)為uC = US (1-e ),t-tuC穩(wěn)態(tài)分量uC瞬態(tài)分量ducdt i = C=RUSet-tiSUS+-(t0+)+-uCRC+-uRiducdtRC+ uC = USuC = US + A e1RC-tt = RCuC=uC + uCUStouC , iRUS-USuC = US - US e t-t2022年6月27日星期一21電源提供的能量:電阻吸收的能量:W

16、 = 0US i (t) dt = CUS2WR = 0i2 (t) R dt =21CUS2t =RCducdtRC+ uC = USuC = US + A e1RC-tducdt i = C=RUSet-tSUS+-(t0+)+-uCRC+-uRi結(jié)果表明:電源提供的能量只有一半轉(zhuǎn)換為電場能量存儲于C 中,另一半在充電過程中被 R 消耗掉。不論RC的值是多少,充電效率總是50%。2022年6月27日星期一222. RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)(1) 激勵是恒定直流換路前: iL(0+) = iL(0-) = 0 換路后: iR + iL = ISSRL+-ISuLt=0iRiL(t0+)iR =u

17、LR=LRdiLdtLRdiLdt+ iL = ISLRt =解得: iL = IS (1- e )t-t代入式中:2022年6月27日星期一23(2)激勵是正弦電壓設(shè) us=Umcos(wt+yu)則 LdiLdt+ RiL= Umcos(wt+yu)通解: iL = A et-t特解的形式:iL= Imcos(wt +q )把 iL 代入微分方程:Im、q 為待定系數(shù)。RImcos(wt+q )-wLImsin(wt+q ) =Umcos(wt+yu)Im|Z|cos(wt+q +j) =Umcos(wt+yu)式中R2|Z| =+ (wL)2tgj =RwLLRt =t0+us+-+-u

18、LRLi+-uR2022年6月27日星期一24比較得: q =yu-j ,|Z|Um特解:iL = Imcos(wt +q ) =cos(wt + yu-j)上述常系數(shù)非齊次線性微分方程的全解為:|Z|UmiL =cos(wt+yu-j) + A e-tt由iL(0+) =iL(0-) = 0定出: A = -|Z|Umcos(yu-j)|Z|UmiL =cos(wt+yu-j) - cos(yu-j) eIm=Um|Z|Im|Z|cos(wt+q +j) =Umcos(wt+yu)式中R2|Z| =+ (wL)2tgj =RwL|Z|Um-tt2022年6月27日星期一25討論(1)若 S閉

19、合時yu-j =90o, toi i = i穩(wěn)態(tài)分量iL是與外施激勵同頻率的正弦量暫態(tài)分量iL隨時間的增長衰減為零。(2)若S閉合時yu=j ,則: iL =|Z|Umcoswt e-tt|Z|Um-|Z|UmiL =cos(wt+yu-j) - cos(yu-j) e|Z|Um-tt則 iL =0。 說明電路不發(fā)生過渡過程而立即進入穩(wěn)態(tài)。R上的電壓 uR = R iLL上的電壓 uL= LdiLdt2022年6月27日星期一26RL 串聯(lián)電路與正弦電壓接通后,在一定初值條件下,電路的過渡過程與S動作時刻有關(guān)。iLiLtoiL |Z|Um|Z|Um-此時閉合 S,約過半個周期, iL的最大瞬時

20、值(絕對值) 將接近穩(wěn)態(tài)振幅的兩倍。當(dāng)t 很大時, iL衰減極其緩慢。穩(wěn)態(tài)振幅過渡中的最大瞬時值iL =|Z|Umcoswt e-tt|Z|Um-2022年6月27日星期一27全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解暫態(tài)解7-4 一階電路的全響應(yīng)1. 全響應(yīng):外施激勵和動態(tài)元件初值都不為零時的響應(yīng)。SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi+-U0uC(0+) = uC(0-) = U0uC = US + (U0 - US) educdtRC+ uC = US-tt(1)一階電路的全響應(yīng)可以看成是穩(wěn)態(tài)分量(強制分量) 與暫態(tài)分量(自由分量) 之和。=+2. 全響應(yīng)的兩種分解方式強制分量自由分量2022年6月27日星期一2

21、8零輸入響應(yīng)(2)把上式改寫成下列形式:零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)此種分解方式便于疊加計算,體現(xiàn)了線性電路的疊加性質(zhì)。uC = US + (U0 - US) e-ttSUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi+-U0uC = U0 e-tt + US (1 - e )-tt=+2022年6月27日星期一293. 三要素法(1) 在恒定激勵下f(t) = f() + f(0+) - f()-tte由初始值、穩(wěn)態(tài)值和時間常數(shù)三個要素決定。全響應(yīng) = 穩(wěn)態(tài)分量 + 暫態(tài)分量uC = US + (U0 - US) e-tt(2) 在正弦電源激勵下f(t) = f(t) + f(0+) -f(0+) -tte的正

22、弦量;f(t)是換路后的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(特解) ,是與激勵同頻率f(0+)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)f(t)的初始值。f(0+)和t 的含義與恒定激勵下相同。說明一階電路的響應(yīng)求f(t)的方法是待定系數(shù)法或相量法。2022年6月27日星期一304. 解題指導(dǎo) 例1換路前:iL(0-)= -IS= -2A求換路后的戴維寧電路SUs+-(t=0)iLRLiIsab10V4H2W2A?Uoc+-(t0+)iLReqLab=10-22=6 VUoc=Us-RisReq = R = 2W求iL的三個要素:iL(0+)=iL(0-) = -2AiL()= Uoc / Req= 6/ /2 = 3 (A)t = L / Req=

23、 4 / 2 = 2 (s)f(t) = f() + f(0+)- f() e-ttiL(t)3-232iL(t)=3-5e-0.5t Ai(t)= IS + iL(t) = 5 - 5 e-0.5t A2022年6月27日星期一31例2:電路如圖,求uL。SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1HUoc= 4i1+ 2i1Req=10WUi解:iL(0-)= - 4A = iL(0+)SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1H(t0)求換路后的戴維寧電路=12VReqUi=(4+4)i1+ 2i1i1uL(0+) =Uoc- Req iL(0+)=

24、12 -10(-4)=52ViLUoc+-(t0+)ReqL+-uL0.1H2022年6月27日星期一32也可以先求iL:uL=LdtdiLuL() = 0t =ReqL= 0.01s100.1得 uL=52e-100t V例2:電路如圖,求uL。解:iL(0-)= - 4A = iL(0+)代入三要素公式f(t) = f()+ f(0+)-f()-ttet = 0.01siL(0-)= - 4A = iL(0+)iL()= Uoc / Req= 1.2AiL =1.2-5.2e-100t A再由求出uL。Uoc= 4i1+ 2i1Req=Ui求換路后的戴維寧電路=12VuL(0+) =Uoc

25、- Req iL(0+)=52V=10WiLUoc+-(t0+)ReqL+-uL0.1H2022年6月27日星期一33例3:圖示電路原本處于穩(wěn)定狀態(tài),t=0 時開關(guān)S閉合,求換路后的電流i(t) 。iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25FS閉合前C開路L短路iL(0-) = 0, uC(0-) = 10V,換路后變?yōu)閮蓚€獨立的單回路iL(0-)+-uC(0-)iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25F+-uCiLiC解:電容電路的三要素為 iC(0+) = uC(0+)R1 = 5At1 = R1C = 0.5s ,iC() = 0電感電路的三要素為 iL

26、(0+) = iL(0-) = 0t2 = LR2 = 0.2s ,iL() = UR2 = 105 = 2Ai(t) = iL(t) + iC(t) 求出iC(t)、iL(t) 后 (t0)2022年6月27日星期一34例4:電路如圖。t=0時S1從位置1撥向位置2,經(jīng)0.12s后S2打開,求uC(t)并繪波形圖。U1+-R210mFS250VR1=20kWCS121U2-+30kW10V+-uC解:先求初始值 uC(0-) = -10V再分階段用三要素法求解。(1) 0t0.12sU1+-R210mFS250VR1=20kWCS1230kW+-uCuC(0+) = uC(0-) = -10

27、VuC() = 30+203050 =30Vt1 = (20/30)1031010-6= 0.12suC(t) = 30-40e-8.33t V(0t0.12s)2022年6月27日星期一35(2) t0.12sU1+-R210mFS250VR1=20kWCS1230kW+-uCuC(0.12-) = 30-40e-8.330.12 = 15.28VuC(t) = 30-40e-8.33t V(0t0.12s)uC(0.12+) = uC(0.12-) = 15.28Vt2 = R2 C = 301031010-6 = 0.3s,uC() = 0uC(t) = 15.28e-3.33(t-0.

28、12) Vt0.12s00.10.20.30.4 0.5t /suC(t) / V-1010200.12s15.282022年6月27日星期一3675 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的動態(tài)分析,原則上與一階電路相似,那就是列方程、解方程。由于二階線性微分方程有兩個特征根,對于不同的二階電路,它們可能是實數(shù)、虛數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。因此動態(tài)過程將呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律。分析時由特征方程求出特征根,并判斷電路是處于衰減放電,還是振蕩放電,還是臨界放電狀態(tài)。2022年6月27日星期一37C+-uC+-S (t=0)+-uLRL+-uRiU0I0典型電路分析(RLC串聯(lián))1. 列寫方程i =duCdt- CRi =

29、 -RCuL = Ldidt= - LCd2uCdt2由KVL:-uC + Ri + uL = 0 LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC = 0代入上式得二階齊次微分方程duCdt若以電容電壓為變量則有 uC(0+)=U0 ,i(0+) = 0初始條件為或duCdt= -Ct=0+i(0+)= 0(t0+)2022年6月27日星期一382. 解方程特征方程的根特征方程 LCp2+RCp+1=0 p1=2LR-+2LR2-LC1C+-uC+-(t0+)+-uLRL+-uRiU0I0uC(0+)=U0, LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC = 0duCdt= 0t=0+p2=2L

30、R-2LR2-LC1(1)特征根只與電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)有關(guān),與激勵和初始值無關(guān)。(2)當(dāng)R、L、C的參數(shù)不同時,特征根有不同的形式。2022年6月27日星期一39uC = A1e p1t+ A2e p2t解的形式為(1) R23.分析三種情況p1、p2 是兩個不相等的負(fù)實根。A1=p2 -p1p2U0A2=p2-p1p1U0由初始條件求得uC =p2 -p1U0(p2e p1t-p1e p2t )所以LCp1,2 =2LR-2LR2-LC1 LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC = 0uC(0+)=U0,duCdt= 0t=0+2022年6月27日星期一40duCdti = - CuL=d

31、idt L= -(p2 -p1)U0 (p1e p1t-p2e p2t )p1 p2 =LC1考慮到 = -L(p2 -p1)U0 (e p1t-e p2t )tm2tmuCuLiotuC ,uL, U0i| p2 | | p1|uC 第1項較大,且衰減較慢。故占主導(dǎo)地位。總有uC0、i0 ,說明C一直在釋放電能。稱非振蕩放電或過阻尼放電。uC =p2 -p1U0(p2e p1t-p1e p2t )分析2022年6月27日星期一41C+-uC+-+-uLRL+-uRiU0tm2tmuCuLiotuC ,uL, U0i| p2 | | p1|tm=p1- p2ln(p2p1) i從0開始,到0結(jié)

32、束,有極值。令 (di/dt) = 0 得i達(dá)到 imax的時刻為: 0tm:C 的電場能轉(zhuǎn)化為L的磁場能和R的熱能。 tm:uL變負(fù),C 的電場能和L的磁場能都轉(zhuǎn)化為R的熱能。能量釋放完畢,過渡過程結(jié)束。2022年6月27日星期一42(2)令2LRd =LC1w2 =- -22LRbwdw0則 p1=-d +jw , p2=-d -jwR臨界電阻,為過阻尼電路。R 0+和t t0+和t 0+和t t0 后電路的全部性狀。uC 、iL 就是該電路的其余各量都能用uC、iL表示。一組狀態(tài)變量。2022年6月27日星期一73狀態(tài)變量不是唯一的G 狀態(tài)變量是一組獨立的動態(tài)變量。A 對線性電路而言,選

33、uC、iL作為狀態(tài)變量很合適。 對非線性電路,有時會選qC、yL作為狀態(tài)變量。將iL= (uR /R )代入上述方程duCdt= 0 +RC1uR + 0duRdt= -LRuC -LRuR +LRuSC+-uC+ uR -+-RL+ uL -iLuSSduCdt= 0 +C1iL + 0diLdt= -L1uC -LRiL +L1uS uC、uR也是該電路的一組狀態(tài)變量。2022年6月27日星期一742. 狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 用狀態(tài)變量表達(dá)的一組獨立的一階微分方程稱為狀態(tài)變量方程,簡稱狀態(tài)方程。 寫成矩陣形式:duCdiLdtdt= 0C1-L1 -LRuCiL+ 0 00L1iSuS令 x

34、1 = uCx2 = iL系數(shù)矩陣A系數(shù)矩陣B則= A+ Bx1 =.dtduCx2 =.dtdiLx1.x2.x1x2iSuSduCdt= 0 +C1iL + 0diLdt= -L1uC -LRiL +L1uS2022年6月27日星期一75則 狀態(tài)方程具有更簡潔的形式:若 .xdefx = x1 x2 T, v = iS uS T .x = A x + B v .x1 .x2T ,標(biāo)準(zhǔn)形式 .x 和 x 為n階列向量;則= A+ Bx1.x2.x1x2iSuSx 稱為狀態(tài)向量,v 稱為輸入向量。F若電路具有n個狀態(tài)變量, m個激勵源。矩陣A為nn階方陣;v 為 m 階列向量; 矩陣B為nm階

35、矩陣。狀態(tài)方程的編寫方法:直觀法和系統(tǒng)法。較簡單的電路用直觀法,復(fù)雜的電路用系統(tǒng)法。2022年6月27日星期一763. 狀態(tài)方程的編寫C 在線性電路中,選獨立的電容電壓和獨立的電感電流作為狀態(tài)變量編寫狀態(tài)方程和求解最方便。直觀法的編寫步驟 在狀態(tài)方程中,要包含對狀態(tài)變量的一次導(dǎo)數(shù):(1)對只含一個C的結(jié)點列KCL方程;(2)對只含一個L的回路列KVL 方程;(3)列其它方程(若有必要),消去非狀態(tài)變量。C+-R2L2i1uSR1+-uCL1i2iSi2+iS02022年6月27日星期一77列出以uC、 i1和i2為狀態(tài)變量的方程。解:12CdtduC= - i1- i2G L1dtdi1= u

36、C - R1(i1+i2) + uS= uC - R1(i1+i2) + uS -R2(i2+iS) iR1iR2對只含一個C的結(jié)對只含一個L的回路列KVL方程點列KCL方程L2dtdi2AJ方程中不含非狀態(tài)變量,不用列其它方程。iR1iR2C+-R2L2i1uSR1+-uCL1i2iSi2+iSi1+i20非狀態(tài)變量已預(yù)先做了處理2022年6月27日星期一78整理成矩陣形式dtduCdtdi1dtdi2=0-C1-C1L11-L1R1-L1R1L21-L2R1-L2R1+R2uCi1i2+0 0L110L21-L2R2uSiSCdtduC= - i1- i2L1dtdi1= uC - R1(

37、i1+i2) + uS= uC - R1(i1+i2) + uS -R2(i2+iS) L2dtdi22022年6月27日星期一794. 電路(或系統(tǒng))的狀態(tài)空間描述狀態(tài)方程只表示了狀態(tài)對輸入和初始狀態(tài)的關(guān)系:x = Ax + + Bv , x(t0) = = x0.F在實用中,為了完整地表示動態(tài)電路,還要建立4狀態(tài)方程與輸出方程聯(lián)立,稱為動態(tài)電路的狀態(tài)空輸出與狀態(tài)、輸入之間的關(guān)系,稱輸出方程。間描述。輸出方程: y = Cx + + Dv則 y 是h維輸出向量;C是hn系數(shù)矩陣;D是hm系數(shù)矩陣。C 、D 僅與電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)。F若 電路具有n個狀態(tài)變量, m個激勵源, h個輸出變量。

38、2022年6月27日星期一80對右圖電路,已編寫過它的狀態(tài)方程。若以結(jié)點的電壓作為輸出,則有un1 = -R1(i1+i2) + uSun2 = uC-(i1+i2)R1 + uSun3 = R2(i2+iS) C+-R2L2i1uSR1+-uCL1i2iSi2+iSi1+i20un1un2un3y = Cx + + Dv=0 -R1 -R11 -R1 -R10 0 R2+1 01 00 1uSiSuCi1i2整理成標(biāo)準(zhǔn)形式2022年6月27日星期一81*7-11 動態(tài)電路時域分析中的幾個問題1. 關(guān)于動態(tài)電路的階數(shù)微分方程的階次稱為動態(tài)電路的階數(shù)。動態(tài)電路的階數(shù)與所含獨立動態(tài)元件的個數(shù)有關(guān)。

39、(1)常態(tài)網(wǎng)絡(luò)不含純電容回路(包括電壓源)以及純電感割集(包電路的階數(shù) = 動態(tài)元件的個數(shù)。例如前面分析過的電路:僅含一個貯能元件(常值C與L)和電阻的電路,或能化為此形式的電路,都屬于一階電路。RLC串聯(lián)或并聯(lián)電路屬于二階電路。括電流源)在內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)。 所以有:2022年6月27日星期一82(2)非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)含純電容回路或純電感割集或二者兼有。電路的階數(shù) = 動態(tài)元件總數(shù)- 獨立純電感割集個數(shù) iLRLiS+-uSRC+-uC階數(shù) = 0 +-uSC1SR1R2C2C3C4階數(shù) = 4 -1= 3 - 獨立純電容回路個數(shù)2022年6月27日星期一83練習(xí):分析圖示電路的階數(shù)。+-uSC1R1L1

40、C3L2L3R2C2iS+-uSC1R1L1C3L2L3R2C2iS電容子網(wǎng)絡(luò)無獨立回路L1+-uSC1R1C3L2L3R2C2iS電感子網(wǎng)絡(luò)有1個獨立割集解:6 - 1 = 5階2022年6月27日星期一842. 動態(tài)電路中初始值的計算換路定則必須遵循電荷守恒定律和磁鏈不變原則:qk(0+) =qk(0-)或 Ck uCk(0+) = Ck uCk(0-)Yk(0+) =Yk(0-)或 Lk iLk(0+) = Lk iLk(0-)+-(t=0)S3WiL1L16W12VL22H1HiL2R2R1US+-(t0)S3WiL1L16W12VL22H1HiL2R2R1US換路前 iL1(0-)

41、=USR1= 4A,iL2(0-) =USR2= 2A例1:電路穩(wěn)定后將S打開,求iL1(0+) 和 iL2(0+) 。 解2022年6月27日星期一85換路前: iL1(0-) = 4A, iL2(0-) = 2A換路后KCL要求 iL2(0+) = -iL1(0+)但YL(0+) =YL(0-)iL1(0+) = 2A+-(t=0)S3WiL1L16W12VL22H1HiL2R2R1US+-(t0)S3WiL1L16W12VL22H1HiL2R2R1US(L1+ L2) iL2(0+) 12 - 24 iL2(0+) =L1+ L2L2iL2(0-) - L1iL1(0-)=2 + 1= -2 A電感中電流變化引起的電壓遵循KVL方程中關(guān)于正負(fù)號的規(guī)定。出現(xiàn)了iL(0-) iL(0+) = L2iL2(0-) - L1iL1(0-) iL2() = -iL1() = 0t = (L1+ L2) / (R1+ R2)2022年6月27日星期一86例2:S閉合前電路穩(wěn)定,US=6V,C3=2F, C1=C2=1F, t=0時S閉合,求各電容電壓的初始值(C3

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