流體力學(xué)B課件 第三章(1)

1、流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體微元的運(yùn)動(dòng)分析流體微元的運(yùn)動(dòng)分析微分形式的基本方程微分形式的基本方程（質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒）（質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒）積分形式的基本方程積分形式的基本方程按流動(dòng)分類(lèi)作進(jìn)一步的具體分析按流動(dòng)分類(lèi)作進(jìn)一步的具體分析流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的基本規(guī)律流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的基本規(guī)律流體力學(xué)流動(dòng)分析基礎(chǔ)流動(dòng)分析基礎(chǔ)流體力學(xué)描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法拉格朗日法拉格朗日法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法歐拉法歐拉法 由于流體的易變形和易流動(dòng)性，相對(duì)于固體而言，其由于流體

2、的易變形和易流動(dòng)性，相對(duì)于固體而言，其運(yùn)動(dòng)形態(tài)更為復(fù)雜。運(yùn)動(dòng)形態(tài)更為復(fù)雜。 在研究流體的運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，如果考察的著眼點(diǎn)不在研究流體的運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，如果考察的著眼點(diǎn)不同，那么相應(yīng)采取的研究方法也有所不同。同，那么相應(yīng)采取的研究方法也有所不同。流體力學(xué)描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗日法：著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，力圖描述出每個(gè)流體拉格朗日法：著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，力圖描述出每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，即它們的位置隨時(shí)間變化的質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，即它們的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律。規(guī)律。 如果知道了所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那么整個(gè)流體對(duì)如果知道了所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那么整個(gè)流體對(duì)

3、象的運(yùn)動(dòng)狀況也就確定了。象的運(yùn)動(dòng)狀況也就確定了。 用拉格朗日法描述流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置坐用拉格朗日法描述流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)標(biāo) x、y、z 是起始坐標(biāo)是起始坐標(biāo) a、b、c 和時(shí)間和時(shí)間 t 的函數(shù)，即的函數(shù)，即 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t彈性力學(xué)中即彈性力學(xué)中即采用拉格朗日采用拉格朗日法來(lái)描述物體法來(lái)描述物體的變形的變形 注意在拉格朗日法中的注意在拉格朗日法中的 a、b、c 是區(qū)別不同流體質(zhì)是區(qū)別不同流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)，而非變量。點(diǎn)的標(biāo)識(shí)，而非變量。流體力學(xué)描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的

4、方法 在拉格朗日觀點(diǎn)中，質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)在拉格朗日觀點(diǎn)中，質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo) x、y、z是時(shí)間和是時(shí)間和質(zhì)點(diǎn)初始標(biāo)號(hào)的函數(shù)。質(zhì)點(diǎn)初始標(biāo)號(hào)的函數(shù)。 拉格朗日描述法中流體質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度：拉格朗日描述法中流體質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xyzx a b c tuty a b c tutz a b c tut固定固定a、b、c改變改變t？改變改變a、b、c固定固定t？222222 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xyzx a b c taty a b c tatz a b c tat流體力學(xué)描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法

5、歐拉法歐拉法 歐拉法：著眼點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn)，而是空間點(diǎn)，力圖描歐拉法：著眼點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn)，而是空間點(diǎn)，力圖描述出空間中每個(gè)點(diǎn)處的流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的情況。述出空間中每個(gè)點(diǎn)處的流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的情況。 如果流經(jīng)每一點(diǎn)的流體運(yùn)動(dòng)狀況都知道，那么整個(gè)流體如果流經(jīng)每一點(diǎn)的流體運(yùn)動(dòng)狀況都知道，那么整個(gè)流體對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀況也就確定了。對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀況也就確定了。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t 注意在歐拉法中的注意在歐拉法中的 x、y、z 是空間中的位置坐標(biāo)，是變量；是空間中的位置坐標(biāo)，是變量；但對(duì)同一質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)它們不

6、是獨(dú)立但對(duì)同一質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)它們不是獨(dú)立變量，而是時(shí)間變量，而是時(shí)間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。什么物理量能夠最直觀的反映空間點(diǎn)上什么物理量能夠最直觀的反映空間點(diǎn)上流體運(yùn)動(dòng)的變化情況？流體運(yùn)動(dòng)的變化情況？ 速度速度流體力學(xué)描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法 在歐拉觀點(diǎn)中，空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度在歐拉觀點(diǎn)中，空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度 ux、uy、uz（當(dāng)然也可以是其它表征流體運(yùn)動(dòng)狀況的物理量，如壓（當(dāng)然也可以是其它表征流體運(yùn)動(dòng)狀況的物理量，如壓強(qiáng)、密度、溫度等）是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。強(qiáng)、密度、溫度等）是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。 歐拉描述法中流體質(zhì)點(diǎn)的加速度：歐拉描述法中流體質(zhì)點(diǎn)的加速度：固定固定x、y、z改

7、變改變t？改變改變x、y、z固定固定t？ xxxxxxxxxxxyzduuuuudxdydzadttxtytztuuuuuuutxyz遷移加速度遷移加速度當(dāng)?shù)丶铀俣犬?dāng)?shù)丶铀俣攘黧w力學(xué)描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法兩種方法的對(duì)比兩種方法的對(duì)比拉格朗日法拉格朗日法歐拉法歐拉法直接描述結(jié)果全面直接描述結(jié)果全面給出運(yùn)動(dòng)軌跡給出運(yùn)動(dòng)軌跡反映時(shí)間歷史反映時(shí)間歷史表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式復(fù)雜實(shí)例：敵機(jī)追蹤實(shí)例：敵機(jī)追蹤間接描述結(jié)果有限間接描述結(jié)果有限給出瞬時(shí)參數(shù)給出瞬時(shí)參數(shù)反映空間分布反映空間分布表達(dá)式簡(jiǎn)單表達(dá)式簡(jiǎn)單實(shí)例：氣象觀測(cè)實(shí)例：氣象觀測(cè)流體力學(xué)最常用：流體力學(xué)最常用：機(jī)翼的空氣動(dòng)力學(xué)特性機(jī)翼的空氣動(dòng)力

8、學(xué)特性?xún)烧呖上嗷マD(zhuǎn)換兩者可相互轉(zhuǎn)換拉格朗日觀點(diǎn)重要性：拉格朗日觀點(diǎn)重要性：定義物理學(xué)基本規(guī)律定義物理學(xué)基本規(guī)律流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念例例1 歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換（由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡）（由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡）已知：已知：已知用歐拉法表示的流場(chǎng)速度分布規(guī)律為已知用歐拉法表示的流場(chǎng)速度分布規(guī)律為求：求：在在 t=0 時(shí)刻位于點(diǎn)（時(shí)刻位于點(diǎn)（a, b）的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。）的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。解：解：對(duì)某時(shí)刻對(duì)某時(shí)刻 t 位于坐標(biāo)點(diǎn)上位于坐標(biāo)點(diǎn)上( (x, y) )的質(zhì)點(diǎn)，有的質(zhì)點(diǎn)，有 求解該一階常微分方程組，可得求解該一階常微分

9、方程組，可得xyuxtuyt/xyudx dtxtudy dtyt111222(1)1(1)1ttttttttttxe cte dte ctec etye cte dte ctec et c1 ，c2 為積分常數(shù)，由為積分常數(shù)，由t = 0 = 0時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)位于時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)位于 可確定可確定 , xa yb121, 1cacb流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念例例1 歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換（由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡）（由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡）代入前式，可得拉格朗日法表示的流體質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為代入前式，可得拉格朗日法表示的流體質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為(1)1(

10、1)1ttxaetybet 討論：討論：本例說(shuō)明，雖然題目給出的是速度分布式（歐拉法），即本例說(shuō)明，雖然題目給出的是速度分布式（歐拉法），即各空間點(diǎn)上速度分量隨時(shí)間的變化規(guī)律，但仍可由此求出各空間點(diǎn)上速度分量隨時(shí)間的變化規(guī)律，但仍可由此求出指定流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻所處的空間位置，即運(yùn)動(dòng)軌跡指定流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻所處的空間位置，即運(yùn)動(dòng)軌跡（拉格朗日法）。通過(guò)本例可看到這兩種描述方法在數(shù)學(xué)（拉格朗日法）。通過(guò)本例可看到這兩種描述方法在數(shù)學(xué)上是如何相互轉(zhuǎn)換的。上是如何相互轉(zhuǎn)換的。流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念恒定流與非恒定流恒定流與非恒定流 根據(jù)流場(chǎng)中各運(yùn)動(dòng)要素是否隨時(shí)間變化，可

11、將流體根據(jù)流場(chǎng)中各運(yùn)動(dòng)要素是否隨時(shí)間變化，可將流體運(yùn)動(dòng)分為恒定流和非恒定流兩類(lèi)。若流場(chǎng)中各運(yùn)動(dòng)要素運(yùn)動(dòng)分為恒定流和非恒定流兩類(lèi)。若流場(chǎng)中各運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間變化，則稱(chēng)這種流動(dòng)為均不隨時(shí)間變化，則稱(chēng)這種流動(dòng)為恒定流恒定流，否則稱(chēng)之為，否則稱(chēng)之為非恒定流非恒定流。 在恒定流中，一切運(yùn)動(dòng)要素都只是空間坐標(biāo)在恒定流中，一切運(yùn)動(dòng)要素都只是空間坐標(biāo) x、y、z 的函數(shù)，而與時(shí)間的函數(shù)，而與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)，故有無(wú)關(guān)，故有( )0t 在實(shí)際工程中，當(dāng)非恒定流問(wèn)題中所關(guān)注的運(yùn)動(dòng)要素隨在實(shí)際工程中，當(dāng)非恒定流問(wèn)題中所關(guān)注的運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化非常緩慢時(shí)，即可將其近似作為恒定流處理。時(shí)間變化非常緩慢時(shí)，即可將其近似作

12、為恒定流處理。各類(lèi)穩(wěn)定的自然流動(dòng)各類(lèi)穩(wěn)定的自然流動(dòng)流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念恒定流與非恒定流恒定流與非恒定流 a. 定常流動(dòng)；定常流動(dòng)；b. 準(zhǔn)定常流動(dòng)準(zhǔn)定常流動(dòng) c. 周期性諧波脈動(dòng)流周期性諧波脈動(dòng)流 d. 周期性非諧波脈動(dòng)流周期性非諧波脈動(dòng)流e. 非周期性脈動(dòng)流；非周期性脈動(dòng)流；f. 隨機(jī)流動(dòng)隨機(jī)流動(dòng) 恒定流與非恒定流的轉(zhuǎn)換恒定流與非恒定流的轉(zhuǎn)換流體力學(xué)一元流一元流二元流二元流三元流三元流流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念一元流、二元流與三元流一元流、二元流與三元流 根據(jù)流場(chǎng)中各運(yùn)動(dòng)要素與空間坐標(biāo)的關(guān)系，可將流根據(jù)流場(chǎng)中各運(yùn)動(dòng)要素與空間坐標(biāo)的關(guān)系，可將流

13、體運(yùn)動(dòng)分為體運(yùn)動(dòng)分為一元流一元流、二元流二元流和和三元流三元流。 實(shí)際工程中的流體力學(xué)問(wèn)題一般都屬于三元流。然而由于三實(shí)際工程中的流體力學(xué)問(wèn)題一般都屬于三元流。然而由于三元流的復(fù)雜性，在數(shù)學(xué)處理上存在相當(dāng)大的困難，人們?cè)谘芯繒r(shí)常元流的復(fù)雜性，在數(shù)學(xué)處理上存在相當(dāng)大的困難，人們?cè)谘芯繒r(shí)常常根據(jù)問(wèn)題的具體性質(zhì)將其簡(jiǎn)化為二元流或一元流處理。常根據(jù)問(wèn)題的具體性質(zhì)將其簡(jiǎn)化為二元流或一元流處理。流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念 在了解流體運(yùn)動(dòng)的兩類(lèi)基本描述方法后，可以此出在了解流體運(yùn)動(dòng)的兩類(lèi)基本描述方法后，可以此出發(fā)進(jìn)一步探討流體運(yùn)動(dòng)的幾何表示，這有助于更直觀形發(fā)進(jìn)一步探討流體運(yùn)動(dòng)的幾

14、何表示，這有助于更直觀形象的分析流體運(yùn)動(dòng)。象的分析流體運(yùn)動(dòng)。跡線(xiàn)跡線(xiàn) 在拉格朗日方法中，是通在拉格朗日方法中，是通過(guò)描述各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的過(guò)描述各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的途徑來(lái)描述整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)。途徑來(lái)描述整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)。 某個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)段內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)所描繪出的空間某個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)段內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)所描繪出的空間曲線(xiàn)稱(chēng)為曲線(xiàn)稱(chēng)為跡線(xiàn)跡線(xiàn)。 跡線(xiàn)的概念是和拉格朗日跡線(xiàn)的概念是和拉格朗日觀點(diǎn)相聯(lián)系的，它是同一流體觀點(diǎn)相聯(lián)系的，它是同一流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的幾何表示。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的幾何表示。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t

15、流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念 當(dāng)流體運(yùn)動(dòng)是以歐拉描述的方式給出時(shí)當(dāng)流體運(yùn)動(dòng)是以歐拉描述的方式給出時(shí) 此時(shí)要得到跡線(xiàn)的方程，必須先將歐拉描述轉(zhuǎn)換為拉此時(shí)要得到跡線(xiàn)的方程，必須先將歐拉描述轉(zhuǎn)換為拉格朗日描述，亦即跡線(xiàn)應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程組。格朗日描述，亦即跡線(xiàn)應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程組。( , , , ), ( , , , ), ( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzdxuux y z tdtdyuux y z tdtdzuux y z tdt 其中其中 t 是自變量，是自變

16、量，x、y、z 是時(shí)間是時(shí)間 t 的函數(shù)，的函數(shù)，積分后所得的表達(dá)式實(shí)積分后所得的表達(dá)式實(shí)質(zhì)上是流體質(zhì)點(diǎn)空間運(yùn)質(zhì)上是流體質(zhì)點(diǎn)空間運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)（軌跡）的參數(shù)動(dòng)曲線(xiàn)（軌跡）的參數(shù)方程。方程。隕石的下墜隕石的下墜線(xiàn)線(xiàn)流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流線(xiàn)流線(xiàn) 許多空間位置上的流體質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的速度矢量所許多空間位置上的流體質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的速度矢量所描繪的曲線(xiàn)稱(chēng)為描繪的曲線(xiàn)稱(chēng)為流線(xiàn)流線(xiàn)。 在歐拉方法中，是通過(guò)速度場(chǎng)來(lái)描述整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。在歐拉方法中，是通過(guò)速度場(chǎng)來(lái)描述整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。 流線(xiàn)的概念是和歐拉觀點(diǎn)流線(xiàn)的概念是和歐拉觀點(diǎn)相聯(lián)系的，它是不同流體質(zhì)點(diǎn)相聯(lián)系的，它是不同流體質(zhì)點(diǎn)速度分

17、布的幾何表示。速度分布的幾何表示。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t流線(xiàn)特點(diǎn)：不相交；流線(xiàn)特點(diǎn)：不相交；充滿(mǎn)整個(gè)流場(chǎng)；疏密充滿(mǎn)整個(gè)流場(chǎng)；疏密程度反映流速大小。程度反映流速大小。流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念 根據(jù)定義，流線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)方向即為該點(diǎn)的流速根據(jù)定義，流線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)方向即為該點(diǎn)的流速方向，于是方向，于是 相應(yīng)的分量形式為相應(yīng)的分量形式為( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzux y z tux y z tux y z t 此即流線(xiàn)應(yīng)

18、滿(mǎn)足的微分方程組，其中此即流線(xiàn)應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程組，其中 x、y、z 是相互獨(dú)立是相互獨(dú)立的空間變量，時(shí)間的空間變量，時(shí)間 t 是參數(shù)，在積分時(shí)當(dāng)作常數(shù)處理。是參數(shù)，在積分時(shí)當(dāng)作常數(shù)處理。機(jī)翼的繞流線(xiàn)機(jī)翼的繞流線(xiàn)0udsr uu r流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念跡線(xiàn)和流線(xiàn)的對(duì)比跡線(xiàn)和流線(xiàn)的對(duì)比跡跡 線(xiàn)線(xiàn)流流 線(xiàn)線(xiàn)同一流體質(zhì)點(diǎn)同一流體質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻不同時(shí)刻描繪軌跡描繪軌跡拉格朗日法拉格朗日法時(shí)間是變量時(shí)間是變量不同流體質(zhì)點(diǎn)不同流體質(zhì)點(diǎn)同一時(shí)刻同一時(shí)刻描繪分布描繪分布?xì)W拉法歐拉法時(shí)間是參數(shù)時(shí)間是參數(shù)恒定流情況下恒定流情況下 兩者相同兩者相同流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的

19、相關(guān)基本概念例例2 非恒定流的跡線(xiàn)和流線(xiàn)。非恒定流的跡線(xiàn)和流線(xiàn)。求：求：（1）質(zhì)點(diǎn)）質(zhì)點(diǎn)A的跡線(xiàn)方程；（的跡線(xiàn)方程；（2）t = 0 時(shí)刻過(guò)原點(diǎn)的流線(xiàn)方程；時(shí)刻過(guò)原點(diǎn)的流線(xiàn)方程；（3）t = 1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向。的運(yùn)動(dòng)方向。解：解：此流場(chǎng)屬于非恒定流場(chǎng)。此流場(chǎng)屬于非恒定流場(chǎng)。上兩式分別積分可得上兩式分別積分可得已知：已知：設(shè)速度場(chǎng)為設(shè)速度場(chǎng)為u = t+1，v = 1，t = 0 時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)A位于原點(diǎn)。位于原點(diǎn)。（1）由跡線(xiàn)方程式，本例的跡線(xiàn)方程組為由跡線(xiàn)方程式，本例的跡線(xiàn)方程組為11dxtdtdydt2121(1) 2dxtdtxttcdydtytct = 0時(shí)質(zhì)點(diǎn)

20、時(shí)質(zhì)點(diǎn)A位于位于x=0，y=0處處，得，得 c1= c2= 0。質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)A的的跡線(xiàn)方程為跡線(xiàn)方程為21, 2xttyt流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念例例2 非恒定流的跡線(xiàn)和流線(xiàn)。非恒定流的跡線(xiàn)和流線(xiàn)。消去參數(shù)消去參數(shù) t 可得可得22111(1)222xyyy上式表明質(zhì)點(diǎn)上式表明質(zhì)點(diǎn)A的跡線(xiàn)是一條以的跡線(xiàn)是一條以（-1/2，-1）點(diǎn)為頂點(diǎn)，且通過(guò)）點(diǎn)為頂點(diǎn)，且通過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)（見(jiàn)圖）。原點(diǎn)的拋物線(xiàn)（見(jiàn)圖）。（2）由流線(xiàn)微分方程式，本例的流線(xiàn)）由流線(xiàn)微分方程式，本例的流線(xiàn)方程組為方程組為積分可得（此處積分可得（此處 t 可當(dāng)作常數(shù)處理）可當(dāng)作常數(shù)處理）11dxdyt1xyc

21、t在在 t = 0時(shí)刻，流線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)，即時(shí)刻，流線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)，即x = y = 0，因此，因此C = 0，相應(yīng)的流，相應(yīng)的流線(xiàn)方程為線(xiàn)方程為xy 上式表明初始時(shí)刻過(guò)原點(diǎn)的流線(xiàn)是上式表明初始時(shí)刻過(guò)原點(diǎn)的流線(xiàn)是一、三象限的角平分線(xiàn)（見(jiàn)圖）。一、三象限的角平分線(xiàn)（見(jiàn)圖）。流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念例例2 非恒定流的跡線(xiàn)和流線(xiàn)。非恒定流的跡線(xiàn)和流線(xiàn)。（3）為了確定為了確定 t = 1 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方向，需求出此時(shí)過(guò)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，需求出此時(shí)過(guò)質(zhì)點(diǎn)A所在位置的流線(xiàn)方程。由跡線(xiàn)方程式可知，所在位置的流線(xiàn)方程。由跡線(xiàn)方程式可知，t =1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A位于位于x =3/

22、2，y =1處處，代入流線(xiàn)方程，有，代入流線(xiàn)方程，有3 / 211 114cc t = 1時(shí)刻過(guò)流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻過(guò)流體質(zhì)點(diǎn)A所在位置的所在位置的流線(xiàn)方程為流線(xiàn)方程為122xy這是一條與流體質(zhì)點(diǎn)這是一條與流體質(zhì)點(diǎn)A的跡線(xiàn)相切于的跡線(xiàn)相切于（3/2，1）點(diǎn)處的斜直線(xiàn)，此時(shí)）點(diǎn)處的斜直線(xiàn)，此時(shí)A的運(yùn)的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)椋貉卦撝本€(xiàn)，動(dòng)方向?yàn)椋貉卦撝本€(xiàn)，x, y 增大的方向。增大的方向。討論：討論： 本例說(shuō)明，非恒定流中，跡線(xiàn)與流線(xiàn)明顯不相同。本例說(shuō)明，非恒定流中，跡線(xiàn)與流線(xiàn)明顯不相同。流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念脈線(xiàn)脈線(xiàn) 在某一瞬時(shí)將某一時(shí)段內(nèi)相繼通過(guò)某固定點(diǎn)的流體質(zhì)在某一瞬時(shí)將某一時(shí)段內(nèi)

23、相繼通過(guò)某固定點(diǎn)的流體質(zhì)相連，所得的曲線(xiàn)稱(chēng)為相連，所得的曲線(xiàn)稱(chēng)為脈線(xiàn)脈線(xiàn)。 除跡線(xiàn)與流線(xiàn)外，還可能運(yùn)用其它的除跡線(xiàn)與流線(xiàn)外，還可能運(yùn)用其它的手段來(lái)對(duì)流場(chǎng)中的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行幾何描述。手段來(lái)對(duì)流場(chǎng)中的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行幾何描述。 定常流動(dòng)中脈線(xiàn)的形狀不變，且與流線(xiàn)、跡線(xiàn)重合，定常流動(dòng)中脈線(xiàn)的形狀不變，且與流線(xiàn)、跡線(xiàn)重合，故常用它來(lái)表示流線(xiàn)，原因在于脈線(xiàn)在流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中易于故常用它來(lái)表示流線(xiàn)，原因在于脈線(xiàn)在流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中易于觀察。觀察。 在流場(chǎng)中某固定點(diǎn)在流場(chǎng)中某固定點(diǎn)施放染色源，則經(jīng)過(guò)施放染色源，則經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的所有流體質(zhì)點(diǎn)該點(diǎn)的所有流體質(zhì)點(diǎn)均會(huì)染上色，因此脈均會(huì)染上色，因此脈線(xiàn)也稱(chēng)線(xiàn)也稱(chēng)染色線(xiàn)染色線(xiàn)。流體力學(xué) 例例

24、B2.3.3B2.3.3不定常流場(chǎng)的跡線(xiàn)不定常流場(chǎng)的跡線(xiàn)與與脈線(xiàn)脈線(xiàn)解：解：此流場(chǎng)是周期性變化的不定常流動(dòng)。設(shè)此流場(chǎng)是周期性變化的不定常流動(dòng)。設(shè)t = 0時(shí)刻起，每隔時(shí)刻起，每隔1s1s從坐從坐 標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的質(zhì)點(diǎn)依次編號(hào)為標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的質(zhì)點(diǎn)依次編號(hào)為a, b, c, d, e, f，每過(guò)每過(guò)6s重復(fù)循環(huán)一次。重復(fù)循環(huán)一次。 將每個(gè)質(zhì)點(diǎn)每隔將每個(gè)質(zhì)點(diǎn)每隔1s的位置數(shù)據(jù)列表如下，每行的數(shù)據(jù)構(gòu)成每個(gè)質(zhì)的位置數(shù)據(jù)列表如下，每行的數(shù)據(jù)構(gòu)成每個(gè)質(zhì) 點(diǎn)的跡線(xiàn)，每欄的數(shù)據(jù)構(gòu)成每一時(shí)刻的脈線(xiàn)。點(diǎn)的跡線(xiàn)，每欄的數(shù)據(jù)構(gòu)成每一時(shí)刻的脈線(xiàn)。 已知：已知：設(shè)速度場(chǎng)為設(shè)速度場(chǎng)為 （0t3s） t6s重復(fù)循環(huán)。重復(fù)循環(huán)。0m/

25、s1vum/s10vu（3st6s） 求：求： 試畫(huà)出：（試畫(huà)出：（1 1）0-6s內(nèi)每隔內(nèi)每隔1s從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的跡線(xiàn)；從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的跡線(xiàn)； （2 2）7-12s內(nèi)每隔內(nèi)每隔1s的時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的脈線(xiàn)。的時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的脈線(xiàn)。流體力學(xué)t (s)0123456789101112a(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)b(0,0)(1,0)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)c (0,0)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2

26、,3)(3,3)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)d(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,3)(2,3)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)e (0,0)(0,1)(0,2)(1,2)(2,2)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)f (0,0)(0,1)(1,1)(2,1)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4) 例例B2.3.3B2.3.3不定常流場(chǎng)的跡線(xiàn)不定常流場(chǎng)的跡線(xiàn)與與脈線(xiàn)脈線(xiàn)流體力學(xué) 在不定常流場(chǎng)中從某點(diǎn)發(fā)出的脈線(xiàn)形狀在不同時(shí)刻可以不同。本例中在不定常流場(chǎng)中從某點(diǎn)發(fā)出的脈線(xiàn)形狀在不同時(shí)刻可以不同。本例中 在在712s內(nèi)的每一瞬時(shí)的脈線(xiàn)均不相同，但在下一個(gè)內(nèi)的每一

27、瞬時(shí)的脈線(xiàn)均不相同，但在下一個(gè)6 6秒內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)。秒內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)。 例例B2.3.3B2.3.3不定常流場(chǎng)的跡線(xiàn)不定常流場(chǎng)的跡線(xiàn)與與脈線(xiàn)脈線(xiàn)(a)中分別為質(zhì)點(diǎn)中分別為質(zhì)點(diǎn)a, b, c, d, e, f 的跡線(xiàn)的跡線(xiàn)(0-6s) ，隨時(shí)間增長(zhǎng)不斷延伸；隨時(shí)間增長(zhǎng)不斷延伸； (b)為從原點(diǎn)每隔為從原點(diǎn)每隔1s時(shí)刻時(shí)刻(7-12s) 流出的不同質(zhì)點(diǎn)在每一瞬時(shí)連成的線(xiàn)流出的不同質(zhì)點(diǎn)在每一瞬時(shí)連成的線(xiàn) （以后重復(fù)循環(huán)），即從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的脈線(xiàn)。（以后重復(fù)循環(huán)），即從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的脈線(xiàn)。跡線(xiàn)跡線(xiàn)脈線(xiàn)脈線(xiàn)流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流束、元流、總流和流管流束、元流、總流和流管 在流場(chǎng)

28、中，過(guò)任意指定區(qū)域的所有流線(xiàn)的總和稱(chēng)為在流場(chǎng)中，過(guò)任意指定區(qū)域的所有流線(xiàn)的總和稱(chēng)為流束。流束。流束可大可小，如果指定區(qū)域取得無(wú)限小，這種流束可大可小，如果指定區(qū)域取得無(wú)限小，這種情況下的流束稱(chēng)為微元流束，也稱(chēng)情況下的流束稱(chēng)為微元流束，也稱(chēng)元流；元流；如果指定區(qū)域如果指定區(qū)域到達(dá)流場(chǎng)周界，所得流束稱(chēng)為到達(dá)流場(chǎng)周界，所得流束稱(chēng)為總流總流。 流束的外表面稱(chēng)為流束的外表面稱(chēng)為流管流管，由于流線(xiàn)不能相交，所以，由于流線(xiàn)不能相交，所以，在各個(gè)時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)都只能在流管內(nèi)部或外部流動(dòng)，而在各個(gè)時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)都只能在流管內(nèi)部或外部流動(dòng)，而不能穿越。不能穿越。 這四個(gè)都是假想這四個(gè)都是假想的概念，對(duì)于直觀理的概念，

29、對(duì)于直觀理解問(wèn)題以及理論上處解問(wèn)題以及理論上處理某些問(wèn)題有幫助。理某些問(wèn)題有幫助。流體力學(xué)過(guò)流斷面、流量與平均流速過(guò)流斷面、流量與平均流速 與流束中所有流線(xiàn)正交的截面稱(chēng)為與流束中所有流線(xiàn)正交的截面稱(chēng)為過(guò)流斷面過(guò)流斷面。過(guò)流。過(guò)流斷面不一定是平面，其形狀與流線(xiàn)的分布情況有關(guān)。斷面不一定是平面，其形狀與流線(xiàn)的分布情況有關(guān)。 斷面平均流速斷面平均流速是一個(gè)假想的等效流速，是指在假想是一個(gè)假想的等效流速，是指在假想的均勻分布流速下，流體流經(jīng)過(guò)流斷面的流量與實(shí)際情的均勻分布流速下，流體流經(jīng)過(guò)流斷面的流量與實(shí)際情況相等。況相等。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念 過(guò)流斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素一般過(guò)流

30、斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素一般是不相同的。是不相同的。元流的元流的情況情況 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)過(guò)流斷面的流體量稱(chēng)為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)過(guò)流斷面的流體量稱(chēng)為流量流量，一般可分為體積流量和質(zhì)量流量。，一般可分為體積流量和質(zhì)量流量。 VVAdqudAqudAVAUAqudA 引入斷面平均流速后，引入斷面平均流速后，有助于在某些情況簡(jiǎn)化問(wèn)題。有助于在某些情況簡(jiǎn)化問(wèn)題。不是過(guò)流斷不是過(guò)流斷面的情況面的情況流體力學(xué) 例例B2.2.1B2.2.1直圓管粘性定常流動(dòng)：流量與平均速度直圓管粘性定常流動(dòng)：流量與平均速度(2-1)(2-1)求：求：兩種速度分布的（兩種速度分布的（1 1）流量）流量Q的表達(dá)式；（的表達(dá)式；（2 2）

31、截面上平均速度）截面上平均速度U。解：解：（1 1）流量計(jì)算時(shí)）流量計(jì)算時(shí)dA = 2rdr，拋物線(xiàn)分布的流量為，拋物線(xiàn)分布的流量為已知已知: :粘性流體在圓管（半徑粘性流體在圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動(dòng)。設(shè)圓截面上有兩種速度分布，內(nèi)作定常流動(dòng)。設(shè)圓截面上有兩種速度分布， 一種是拋物線(xiàn)分布一種是拋物線(xiàn)分布, ,另一種是另一種是1/71/7次冪分布：次冪分布：2m111Rruu7/12m21Rruu上式中上式中um1、um2分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。 AQ(1RRrRrrurrRru02301m221md2d21 vn )dA =21m02421m

32、5 . 0422RuRrruR流體力學(xué)1 / 7次冪分布的流量為分布的流量為AQ(2RrrRru07/12md2)1 ( vn )dA RRrRrRu07/87/1522m7/8)/1 (7/15/1222m22m2m28167. 012098815772RuRuuR（2 2）拋物線(xiàn)分布和）拋物線(xiàn)分布和1 / 7次冪分布的平均速度分別為次冪分布的平均速度分別為11m1210.5QUuR22m2220.8167QUuR討論：討論： 拋物線(xiàn)速度分布的截面平均速度為最大速度的一半，而拋物線(xiàn)速度分布的截面平均速度為最大速度的一半，而1/71/7次冪分布次冪分布的截面平均速度為最大速度的的截面平均速度為

33、最大速度的0.81670.8167倍，這是后者的速度廓線(xiàn)中部更倍，這是后者的速度廓線(xiàn)中部更平坦，速度分布更均勻的緣故。平坦，速度分布更均勻的緣故。 例例B2.2.1B2.2.1直圓管粘性定常流動(dòng)：流量與平均速度直圓管粘性定常流動(dòng)：流量與平均速度(2-2)(2-2)流體力學(xué)流動(dòng)修正因子流動(dòng)修正因子 使用假想的平均流速代替實(shí)際的變化流速分布，能使用假想的平均流速代替實(shí)際的變化流速分布，能夠給某些問(wèn)題的考慮和求解帶來(lái)方便，但在使用時(shí)也應(yīng)夠給某些問(wèn)題的考慮和求解帶來(lái)方便，但在使用時(shí)也應(yīng)注意，這種簡(jiǎn)化給其它物理量計(jì)算可能帶來(lái)的誤差。注意，這種簡(jiǎn)化給其它物理量計(jì)算可能帶來(lái)的誤差。流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體

34、運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念 如過(guò)流斷面動(dòng)能和動(dòng)量的計(jì)算偏差如過(guò)流斷面動(dòng)能和動(dòng)量的計(jì)算偏差 常使用常使用動(dòng)能修正因子動(dòng)能修正因子和和動(dòng)量修正因子動(dòng)量修正因子來(lái)衡量這種來(lái)衡量這種偏差。偏差。221212Au u dAUA UAu udAUA U流體力學(xué) 例例B2.2.2B2.2.2直圓管粘性定常流動(dòng)：動(dòng)能修正因子與動(dòng)量修正因子直圓管粘性定常流動(dòng)：動(dòng)能修正因子與動(dòng)量修正因子(1) (1) 按單位質(zhì)量流體的動(dòng)能計(jì)算，按動(dòng)能修正因子的定義按單位質(zhì)量流體的動(dòng)能計(jì)算，按動(dòng)能修正因子的定義解：解：已知已知: :粘性流體在直圓管（半徑粘性流體在直圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動(dòng)。圓截面上有兩種速度分布，內(nèi)作定常流動(dòng)。圓截面上

35、有兩種速度分布，一種是拋物線(xiàn)分布一種是拋物線(xiàn)分布, ,另一種是另一種是1/71/7次冪分布：次冪分布：2m111Rruu上式中上式中um1，um2分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。 7/12m21Rruu求：求：（1 1）關(guān)于平均速度的動(dòng)能修正因子）關(guān)于平均速度的動(dòng)能修正因子 ； （2 2）關(guān)于平均速度的動(dòng)量修正因子）關(guān)于平均速度的動(dòng)量修正因子。2211()dA()22AuuUUA上式中上式中V為平均速度，設(shè)為平均速度，設(shè)= = 常數(shù)常數(shù), ,截面積截面積 A =R2，微元圓環(huán)面積，微元圓環(huán)面積 。rrAd2d流體力學(xué)，d2dvdqu Aur r332

36、012() d() dRAuuAr rAURU對(duì)拋物線(xiàn)分布對(duì)拋物線(xiàn)分布3432211220010216d1d2 12RRRurrr rr rRURRR 對(duì)對(duì)1/71/7次冪分布次冪分布333/7222200222120d1d1.0583898RRurr rr rRURR（2 2）按單位質(zhì)量流體的動(dòng)量計(jì)算，動(dòng)量修正因子）按單位質(zhì)量流體的動(dòng)量計(jì)算，動(dòng)量修正因子定義為定義為dAAu uU U相應(yīng)有相應(yīng)有 例例B2.2.2B2.2.2直圓管粘性定常流動(dòng)：動(dòng)能修正因子與動(dòng)量修正因子直圓管粘性定常流動(dòng)：動(dòng)能修正因子與動(dòng)量修正因子流體力學(xué)可得可得222012ddRAuuAr rAURU拋物線(xiàn)分布拋物線(xiàn)分布2

37、221122001284d1d1.3333RRurr rr rRURR1/71/7次冪分布次冪分布22/7222220022212050d()1d1.0209849RRurr rr rRURR討論：討論：將例將例B2.2.1B2.2.1和本例的結(jié)果列表和本例的結(jié)果列表說(shuō)明說(shuō)明1/71/7次冪分布比較接近平均速度廓線(xiàn)，用一維流動(dòng)近似計(jì)算動(dòng)能和動(dòng)量次冪分布比較接近平均速度廓線(xiàn)，用一維流動(dòng)近似計(jì)算動(dòng)能和動(dòng)量時(shí)，可取時(shí)，可取= =1=1，即不必修正。，即不必修正。表表B2.2.1B2.2.1 圓管粘性一維定常流動(dòng)修正因子m/Uu動(dòng)能修正因子1.0201.0580.81671/7次冪分布1.3332.0

38、0.5拋物線(xiàn)分布動(dòng)量修正因子速度分布類(lèi)型平均速度/中心速度 例例B2.2.2B2.2.2直圓管粘性定常流動(dòng)：動(dòng)能修正因子與動(dòng)量修正因子直圓管粘性定常流動(dòng)：動(dòng)能修正因子與動(dòng)量修正因子流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念均勻流與非均勻流、漸變流與急變流均勻流與非均勻流、漸變流與急變流 根據(jù)位于同一流線(xiàn)中各質(zhì)點(diǎn)的流速是否隨沿程變化，根據(jù)位于同一流線(xiàn)中各質(zhì)點(diǎn)的流速是否隨沿程變化，可將流體運(yùn)動(dòng)分為均勻流和非均勻流。若流場(chǎng)中同一流可將流體運(yùn)動(dòng)分為均勻流和非均勻流。若流場(chǎng)中同一流線(xiàn)上各質(zhì)點(diǎn)的流速隨沿程保持不變，這種流動(dòng)稱(chēng)為線(xiàn)上各質(zhì)點(diǎn)的流速隨沿程保持不變，這種流動(dòng)稱(chēng)為均勻均勻流流，否則稱(chēng)為，否

39、則稱(chēng)為非均勻流非均勻流。 均勻流中各流線(xiàn)是彼此平行均勻流中各流線(xiàn)是彼此平行的直線(xiàn)，過(guò)流斷面為平面且其上流的直線(xiàn)，過(guò)流斷面為平面且其上流速分布沿程不變，無(wú)遷移加速度；速分布沿程不變，無(wú)遷移加速度；但不同流線(xiàn)上的流體質(zhì)點(diǎn)速度可以但不同流線(xiàn)上的流體質(zhì)點(diǎn)速度可以不相同。不相同。xyO1u2uR 實(shí)際工程中的流體運(yùn)動(dòng)大多為非均勻流。為了便于實(shí)際工程中的流體運(yùn)動(dòng)大多為非均勻流。為了便于研究，常常按流線(xiàn)變化的緩急程度，又將非均勻流分研究，常常按流線(xiàn)變化的緩急程度，又將非均勻流分為為漸變流漸變流和和急變流急變流。流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 質(zhì)點(diǎn)物理量隨時(shí)間的總變化率質(zhì)

40、點(diǎn)物理量隨時(shí)間的總變化率稱(chēng)為稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，流體運(yùn)動(dòng)學(xué)中關(guān)，流體運(yùn)動(dòng)學(xué)中關(guān)注的是歐拉法表示的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。注的是歐拉法表示的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。質(zhì)點(diǎn)的物理量質(zhì)點(diǎn)的物理量 B 的歐拉表示的歐拉表示相應(yīng)的，其導(dǎo)數(shù)的歐拉表示相應(yīng)的，其導(dǎo)數(shù)的歐拉表示B = B x ( t ), y ( t ), z ( t ), t DDxyzBBBBBuuuttxyz物理意義：當(dāng)?shù)刈兓饰锢硪饬x：當(dāng)?shù)刈兓?+ 遷移變化率遷移變化率xuyuzu( , )u r t 位置坐標(biāo)位置坐標(biāo) x、y、z 均會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化。均會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化。流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 前式中的質(zhì)點(diǎn)物理量前

41、式中的質(zhì)點(diǎn)物理量 B 可以是標(biāo)量，也可以是向量?？梢允菢?biāo)量，也可以是向量。當(dāng)當(dāng) B 為標(biāo)量（如密度）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)表示式為為標(biāo)量（如密度）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)表示式為當(dāng)當(dāng) B 為向量（如速度）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為為向量（如速度）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為xyzDuuuuDttxyztr u rDuuuuDttrrr u r r( )xyzu ru r 其中其中 為為梯度算子梯度算子 相應(yīng)的，相應(yīng)的， 定義為定義為梯度梯度運(yùn)算，運(yùn)算， 為為散度散度運(yùn)算運(yùn)算 u r u r流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念例例3 由速度場(chǎng)求加速度由速度場(chǎng)求加速度求：求：（1）加速度場(chǎng)；（）加速度場(chǎng)；（2）在原點(diǎn)

42、和（）在原點(diǎn)和（1, 1, 1）點(diǎn)處的加速度。）點(diǎn)處的加速度。解：解： 由質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式可得由質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式可得已知：已知：設(shè)速度場(chǎng)為設(shè)速度場(chǎng)為u = x+t，v = ty，w = xz221() 100100(1)0()0()xyzuuuuauvwxtxttxyzvvvvauvwyty ttytxyzwwwwauvwxtzxz xxxt ztxyz 在原點(diǎn)在原點(diǎn) 在（在（1, 1, 1）點(diǎn)）點(diǎn)100 xyzataa 2212xyzatatat 流體力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念流體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)基本概念系統(tǒng)與控制體系統(tǒng)與控制體 從理論角度分析研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，要用到系統(tǒng)從理論角度分析研究流體

43、的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，要用到系統(tǒng)和控制體的概念。和控制體的概念。 所謂系統(tǒng)，就是包含確定不變的物質(zhì)的集合。在工程所謂系統(tǒng)，就是包含確定不變的物質(zhì)的集合。在工程流體力學(xué)中，流體力學(xué)中，系統(tǒng)系統(tǒng)就是指由確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流就是指由確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體對(duì)象。顯然，使用系統(tǒng)作為考察對(duì)象，意味著采用拉體對(duì)象。顯然，使用系統(tǒng)作為考察對(duì)象，意味著采用拉格朗日方法來(lái)研究流體運(yùn)動(dòng)。格朗日方法來(lái)研究流體運(yùn)動(dòng)。 所謂所謂控制體控制體，在工程流體力學(xué)中，是指相對(duì)于某個(gè)坐，在工程流體力學(xué)中，是指相對(duì)于某個(gè)坐標(biāo)系而言，有流體流過(guò)的固定不變的空間區(qū)域，控制體標(biāo)系而言，有流體流過(guò)的固定不變的空間區(qū)域，控制體的邊界面稱(chēng)為控制

44、面，它總是封閉的。由此可見(jiàn)，使用的邊界面稱(chēng)為控制面，它總是封閉的。由此可見(jiàn)，使用控制體作為考察對(duì)象，是與歐拉方法相對(duì)應(yīng)的研究手段?？刂企w作為考察對(duì)象，是與歐拉方法相對(duì)應(yīng)的研究手段。形狀改變形狀改變追蹤的流體質(zhì)點(diǎn)不變追蹤的流體質(zhì)點(diǎn)不變AA形狀不變形狀不變內(nèi)部的流體質(zhì)點(diǎn)改變內(nèi)部的流體質(zhì)點(diǎn)改變AAAA流體力學(xué)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體運(yùn)動(dòng)流體運(yùn)動(dòng)速度速度相互關(guān)聯(lián)相互關(guān)聯(lián)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析以平面流動(dòng)為例，流場(chǎng)中鄰近兩點(diǎn)的速度以平面流動(dòng)為例，流場(chǎng)中鄰近兩點(diǎn)的速度關(guān)系關(guān)系xxxxyyyyuuuudxdyxyuuuudxdyxy流體力學(xué) 前式可寫(xiě)成矩陣形式前式可寫(xiě)成矩陣形式

45、，其中，其中 F 稱(chēng)為稱(chēng)為速度梯度矩陣。再將速度梯度矩陣分解為一個(gè)速度梯度矩陣。再將速度梯度矩陣分解為一個(gè)對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)矩矩陣和一個(gè)陣和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和，有矩陣之和，有將其代入前述速度關(guān)系式，整理得將其代入前述速度關(guān)系式，整理得流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析速度分解表達(dá)式速度分解表達(dá)式uuF dr()/2()/2TTFFFFF11()()2211()()22yyxxxxxyyyxxyyuuuuuuudxdydyxyxyxuuuuuuudxdydxxyyxy 任意矩陣均可任意矩陣均可作此分解。類(lèi)比：作此分解。類(lèi)比：將函數(shù)分解為奇函將函數(shù)分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)之和。數(shù)和偶函數(shù)之和。流體力學(xué)

46、取流場(chǎng)中的一個(gè)矩形微元（取流場(chǎng)中的一個(gè)矩形微元（ABCD）為考察對(duì)象，其）為考察對(duì)象，其上各點(diǎn)的瞬時(shí)速度如圖所示。上各點(diǎn)的瞬時(shí)速度如圖所示。流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的組成分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的組成分析dydxxxuudxxxuyuyyuudxxxxuudyyyyuudyyxxxuuudxdyxyyyyuuudxdyxyABCDOxy 以以 A 為基準(zhǔn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，分析經(jīng)過(guò)點(diǎn)，分析經(jīng)過(guò) dt 時(shí)間后流體微元時(shí)間后流體微元的位置和形狀變的位置和形狀變化。化。流體力學(xué)平移運(yùn)動(dòng)平移運(yùn)動(dòng)： 因各點(diǎn)均有相同的速度部分因各點(diǎn)均有相同的速度部分 ux、uy，經(jīng)過(guò)時(shí)間，經(jīng)過(guò)時(shí)間 dt 后，后，流

47、體微團(tuán)流體微團(tuán) ABCD 將隨基準(zhǔn)點(diǎn)將隨基準(zhǔn)點(diǎn) A 平移至平移至 A1B1C1D1。流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析xu dtABCDOxy1A1B1C1Dyu dt流體力學(xué)拉伸變形拉伸變形：線(xiàn)元：線(xiàn)元 dx、dy 分別沿分別沿 x、y 方向的局部相對(duì)方向的局部相對(duì)伸長(zhǎng)速率（線(xiàn)應(yīng)變率）伸長(zhǎng)速率（線(xiàn)應(yīng)變率）相對(duì)面積變化率相對(duì)面積變化率相對(duì)體積變化率相對(duì)體積變化率（三維）（三維）流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析/xxxyyyux dxdtxuy dydty/xyuxuy /xyzuxuyuzu u r rxuxdxdtx1A1B1C1DOxy2A2B2C2Dyuydydty對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)速度散度

48、速度散度流體力學(xué) 例例B2.5.2B2.5.2膨脹流動(dòng)：線(xiàn)應(yīng)變率與面積擴(kuò)張膨脹流動(dòng)：線(xiàn)應(yīng)變率與面積擴(kuò)張率率解：解：(1)(1)按流線(xiàn)微分方程式，因按流線(xiàn)微分方程式，因v =0 得得dy = 0，積分可得流線(xiàn)方程為積分可得流線(xiàn)方程為 已知：已知：設(shè)平面流場(chǎng)為設(shè)平面流場(chǎng)為 （k 0 0，為常數(shù)），為常數(shù)）0vkxu說(shuō)明流線(xiàn)是平行于說(shuō)明流線(xiàn)是平行于x 軸的直線(xiàn)族。線(xiàn)應(yīng)變率為軸的直線(xiàn)族。線(xiàn)應(yīng)變率為kxuxx0yvyy 求：求：（1 1）流線(xiàn)、線(xiàn)應(yīng)變率和面積擴(kuò)張率表達(dá)式；）流線(xiàn)、線(xiàn)應(yīng)變率和面積擴(kuò)張率表達(dá)式；y = C ( C為常數(shù)為常數(shù) ) ) （2 2）設(shè)）設(shè)k =1,t =0時(shí)刻邊長(zhǎng)為時(shí)刻邊長(zhǎng)為1的

49、正方形流體面的正方形流體面abcd位于圖中所示位于圖中所示 位置位置, ,求求 t = t 時(shí)刻點(diǎn)時(shí)刻點(diǎn)a(1,3)到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)a(3,3)時(shí)流體面時(shí)流體面abcd 的位置和形狀。的位置和形狀。流體力學(xué)說(shuō)明說(shuō)明x方向的線(xiàn)元以恒速率方向的線(xiàn)元以恒速率k 伸長(zhǎng)，伸長(zhǎng)，y方向的線(xiàn)元長(zhǎng)度保持不變。方向的線(xiàn)元長(zhǎng)度保持不變。面積擴(kuò)張率為面積擴(kuò)張率為uvkxy 說(shuō)明面元的瞬時(shí)面積相對(duì)擴(kuò)張率為常數(shù)。任何單位面積的流體面均以說(shuō)明面元的瞬時(shí)面積相對(duì)擴(kuò)張率為常數(shù)。任何單位面積的流體面均以恒速率恒速率k 擴(kuò)張，通常將這種流動(dòng)稱(chēng)為膨脹流（當(dāng)擴(kuò)張，通常將這種流動(dòng)稱(chēng)為膨脹流（當(dāng)k 0，為常數(shù)），為常數(shù)） 求：求：試分析該流

50、場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。試分析該流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。0uk yv 流場(chǎng)流場(chǎng)速度分布如圖所示。由流線(xiàn)微分方程速度分布如圖所示。由流線(xiàn)微分方程 dy = 0, 積分得流線(xiàn)方程積分得流線(xiàn)方程 y = C (C為常數(shù)為常數(shù))， 說(shuō)明流線(xiàn)是平行于說(shuō)明流線(xiàn)是平行于x 軸的直線(xiàn)族。軸的直線(xiàn)族。0,0,2()xxyyxyuvvukxyxyx, y方向的線(xiàn)應(yīng)變率和方向的線(xiàn)應(yīng)變率和 xOy 平面內(nèi)的角變形率分別為平面內(nèi)的角變形率分別為流體力學(xué)221kyuxv說(shuō)明一點(diǎn)鄰域內(nèi)的流體作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（形成速度線(xiàn)形增長(zhǎng)的基礎(chǔ)）。說(shuō)明一點(diǎn)鄰域內(nèi)的流體作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（形成速度線(xiàn)形增長(zhǎng)的基礎(chǔ)）。面積擴(kuò)張率為面積擴(kuò)張率為0uvxy圖中四邊形流體

51、面在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中面積保持不變，對(duì)角線(xiàn)與圖中四邊形流體面在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中面積保持不變，對(duì)角線(xiàn)與x 軸的夾角不軸的夾角不斷減小，流體面不斷被切向扯動(dòng)，進(jìn)而變窄。斷減小，流體面不斷被切向扯動(dòng)，進(jìn)而變窄。線(xiàn)元既不伸長(zhǎng)也不縮短，互相正交的線(xiàn)元隨時(shí)間增長(zhǎng)夾角不斷變化。本線(xiàn)元既不伸長(zhǎng)也不縮短，互相正交的線(xiàn)元隨時(shí)間增長(zhǎng)夾角不斷變化。本例中例中k 0 ，即流體自左向右流動(dòng)時(shí)正交線(xiàn)元的夾角不斷減小。流體的，即流體自左向右流動(dòng)時(shí)正交線(xiàn)元的夾角不斷減小。流體的旋轉(zhuǎn)角速度為旋轉(zhuǎn)角速度為 例例B2.5.3B2.5.3線(xiàn)性剪切流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度線(xiàn)性剪切流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度流體力學(xué) 例例B2.5.3AB2.5.3A 剛體

52、旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度 解：解：該問(wèn)題的物理來(lái)源是盛水圓筒繞中心軸作勻角該問(wèn)題的物理來(lái)源是盛水圓筒繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，由第二章知識(shí)可知，流體處于相對(duì)速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，由第二章知識(shí)可知，流體處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，但這里僅討論它的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。靜止?fàn)顟B(tài)，但這里僅討論它的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。 已知：已知：設(shè)平面流場(chǎng)為設(shè)平面流場(chǎng)為 （k 0，為常數(shù)），為常數(shù)） 求：求：試分析該流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。試分析該流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。uk yvk x x2 + y2= C (C為常數(shù)為常數(shù)) 0,0,20 x xy yx yuvvukkxyxy x, y方向線(xiàn)應(yīng)變率和方向線(xiàn)應(yīng)變率和 xO

53、y 平面內(nèi)角變形率分別為平面內(nèi)角變形率分別為在圖示坐標(biāo)系中速度分布如圖。由流線(xiàn)微分方程在圖示坐標(biāo)系中速度分布如圖。由流線(xiàn)微分方程 k y dy = k x dx, 積積分得流線(xiàn)方程，為圓周線(xiàn)分得流線(xiàn)方程，為圓周線(xiàn)流體力學(xué) 例例B2.5.3AB2.5.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度 說(shuō)明在說(shuō)明在x, ,y方向無(wú)線(xiàn)變形，在方向無(wú)線(xiàn)變形，在xOy平面內(nèi)無(wú)角變形。平面內(nèi)無(wú)角變形。面積擴(kuò)張率為面積擴(kuò)張率為 以上結(jié)果表明，該流動(dòng)在平面上流體處處無(wú)變形，運(yùn)動(dòng)與剛體無(wú)異（這以上結(jié)果表明，該流動(dòng)在平面上流體處處無(wú)變形，運(yùn)動(dòng)與剛體無(wú)異（這也與相對(duì)靜止的概念吻合）。也與相對(duì)靜

54、止的概念吻合）。0uvxy1122vukkkxy 說(shuō)明流體象剛體一樣繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)，故稱(chēng)為剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng)說(shuō)明流體象剛體一樣繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)，故稱(chēng)為剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng). .相應(yīng)的，流體的旋轉(zhuǎn)角速度為相應(yīng)的，流體的旋轉(zhuǎn)角速度為 流體力學(xué)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析速度分解表達(dá)式的物理意義速度分解表達(dá)式的物理意義 0 0 xxxyxxzyyxyyyzuudxdxuudydy平移速率平移速率變形速率變形速率旋轉(zhuǎn)速率旋轉(zhuǎn)速率拉伸拉伸剪切剪切彈性力學(xué)中的彈性力學(xué)中的幾何方程幾何方程 類(lèi)似的，可定義三維情況下的線(xiàn)應(yīng)變率類(lèi)似的，可定義三維情況下的線(xiàn)應(yīng)變率zzzuz1()2yzyzzyuuyz1()2xzzxxzuuzx角變形率角變形率1()2yzxuuyz1()2xzyuuzx 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角速率角速率流體力學(xué) 0 0 0 xxxyxzzyxxyyxyyyyzzxyxzzxzyzzzuudxdxuudydydzdzuu 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析亥姆霍茲速度分解定理亥姆霍茲速度