矩陣分析第三章3.1-2

1、Hermite第第三三章章 內(nèi)內(nèi)積積空空間間、正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣、矩矩陣陣 解解析析幾幾何何中中，是是用用向向量量的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度和和夾夾角角來(lái)來(lái)定定義義內(nèi)內(nèi)積積，而而在在矩矩陣陣?yán)砝碚撜撝兄惺鞘窍认榷ǘx義內(nèi)內(nèi)積積概概念念，再再引引入入向向量量的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度、夾夾角角等等概概念念。 在在線線性性空空間間中中，向向量量之之間間的的基基本本運(yùn)運(yùn)算算只只有有加加法法和和數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算，向向量量的的度度量量性性質(zhì)質(zhì)沒(méi)沒(méi)有有反反映映，局局限限了了線線性性空空間間的的應(yīng)應(yīng)用用。現(xiàn)現(xiàn)在在我我們們借借助助內(nèi)內(nèi)積積把把度度量量概概念念引引入入到到線線性性空空間間中中。&3.1 歐歐氏氏空空間間、酉酉空空間間

2、一一、概概念念,( ,3.),(.,1 1)VRnV 設(shè)設(shè) 是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域 上上的的 維維線線性性空空間間如如果果對(duì)對(duì) 中中任任意意兩兩個(gè)個(gè)向向量量 、有有唯唯一一確確定定的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 這這實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)記記為為并并且且滿滿足足下下列列四四個(gè)個(gè)條條件件 則則這這實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)稱稱為為 與與 定定義義的的內(nèi)內(nèi)積積: :(1) ( ,)( , )(2) (,)( ,)(3) (, )( , )( , )(4) ( , )0,0( , )0,;.kkVkRVn 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)其其中中是是 中中任任意意向向量量稱稱定定義義有有這這樣樣內(nèi)內(nèi)積積的的線線性性空空間間 為為 維維歐歐氏氏空空間間

3、1 1221 1 (. .,). ( ,) Tnna ba ba b n nTTTT12n12n12n12nn nn n設(shè)設(shè)R R 是是n n維維實(shí)實(shí)向向量量空空間間，若若=(a ,a ,.,a ) , =(b ,b ,.,b )=(a ,a ,.,a ) , =(b ,b ,.,b )令令容容易易驗(yàn)驗(yàn)證證，所所規(guī)規(guī)定定的的是是R R 的的內(nèi)內(nèi)積積，從從而而R R 成成為為歐歐例例3 3氏氏空空間間。注注:1.今后歐氏空間今后歐氏空間Rn中的內(nèi)積都指如上例中的內(nèi)積都指如上例3.1.1定定 義的內(nèi)積運(yùn)算義的內(nèi)積運(yùn)算.2.對(duì)同一個(gè)線性空間對(duì)同一個(gè)線性空間,可以定義不同的內(nèi)積可以定義不同的內(nèi)積,因因

4、而得到不同的歐氏空間而得到不同的歐氏空間.2121223 1 2 (,)( ,) .(. ,TTRa ab bR 1112212211122122 設(shè)設(shè)在在中中對(duì)對(duì)向向量量和和規(guī)規(guī)定定內(nèi)內(nèi)積積為為, )=2a b +a b +a b +a b, )=2a b +a b +a b +a b證證明明按按照照如如上上的的內(nèi)內(nèi)積積運(yùn)運(yùn)算算構(gòu)構(gòu)成成是是歐歐例例氏氏空空間間。3 1 3. . b ba a用用表表示示Ca,bCa,b閉閉區(qū)區(qū)間間a,ba,b上上的的所所有有實(shí)實(shí)值值連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)成成的的實(shí)實(shí)線線性性空空間間， f(x),g(x)Ca,b,f(x),g(x)Ca,b,規(guī)規(guī)定定 (f(x)

5、,g(x)=f(x)g(x)dx (f(x),g(x)=f(x)g(x)dx容容易易驗(yàn)驗(yàn)證證，這這樣樣規(guī)規(guī)定定的的(f(x),g(x)(f(x),g(x)是是Ca,bCa,b上上的的一一個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)積積，從從而而Ca,bCa,b成成為為一一個(gè)個(gè)歐歐 例例氏氏空空間間。3 1 4. . n nT Tnnnn設(shè)設(shè)A A為為n n階階正正定定矩矩陣陣，對(duì)對(duì)于于R R 中中的的任任意意兩兩個(gè)個(gè)列列向向量量X,YX,Y，規(guī)規(guī)定定 (X,Y)=X AY (X,Y)=X AY容容易易驗(yàn)驗(yàn)證證(X,Y)(X,Y)是是R R 上上例例的的一一個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)積積，于于是是R R 成成為為一一個(gè)個(gè)歐歐氏氏空空間間。23 1

6、5() , ( ,)(). .,n nTn nn nnRnA BA Btr A BA BRR 設(shè)設(shè)維維空空間間中中對(duì)對(duì)向向量量階階矩矩陣陣 規(guī)規(guī)定定內(nèi)內(nèi)積積為為則則是是 例例歐歐氏氏空空間間。:,3.1.2VCnV設(shè)設(shè) 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域 上上的的 維維定定義義線線性性空空間間如如果果對(duì)對(duì) 中中,任任意意兩兩個(gè)個(gè)向向量量 、有有唯唯一一確確定定的的,( ,),( ,): 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 這這復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)記記為為且且滿滿足足下下列列四四個(gè)個(gè)條條件件 則則這這復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)稱稱為為 與與 的的內(nèi)內(nèi)積積(1)( ,)( ,),(2)(,)( ,),(3)(, )( , )( , ),(4)( ,)0,

7、 0( ,)0.kk 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),;. .VkCVn 其其中中 、 、 為為 中中任任意意向向量量 任任意意復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)稱稱定定義義有有這這樣樣內(nèi)內(nèi)積積的的線線性性空空間間 為為 維維復(fù)復(fù)歐歐氏氏空空間間或或酉酉空空間間歐歐氏氏空空間間與與酉酉空空間間統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為內(nèi)內(nèi)積積空空間間 2 2在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域C C上上定定義義內(nèi)內(nèi)積積時(shí)時(shí)，不不能能象象實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域上上內(nèi)內(nèi)積積定定義義方方式式，否否則則會(huì)會(huì)出出現(xiàn)現(xiàn)矛矛盾盾。如如 ( , )0, (i ,i )=i( , )=-( , ), ( , )0, (i ,i )=i( , )=-( , ),這這樣樣( , )( , )實(shí)實(shí)際際上上( ,

8、( , 注注 k )=k(k )=k( 0,0,矛矛！, ,盾盾) ) 11221 6 ( ,) . . . ,) (THnna ba ba b n nTTTT12n12n12n12nn nn n設(shè)設(shè)C C 是是n n維維復(fù)復(fù)向向量量空空間間，若若=(a ,a ,.,a ) , =(b ,b ,.,b )=(a ,a ,.,a ) , =(b ,b ,.,b ) 令令容容易易驗(yàn)驗(yàn)證證，所所規(guī)規(guī)定定的的是是C C 的的內(nèi)內(nèi)積積，從從而而C C 成成例例3 3為為酉酉空空間間。二、酉（歐氏）空間的性質(zhì)二、酉（歐氏）空間的性質(zhì)1. 歐氏空間的性質(zhì)歐氏空間的性質(zhì)11111234( )( ,)( ,);

9、( )( ,)( ,)( , );( )(,)(,);( )( ,)( ,).nniiiiiinniiiiiikkkkkk 2. 酉空間的性質(zhì)酉空間的性質(zhì)11111234( )( ,)( ,);( )( ,)( ,)( , );( )(,)(,);( )( ,)( ,).nniiiiiinniiiiiikkkkkk 12111111, , ( ,),(,)(,) ,1,2, . nnniijjijnnnniijjijijijijijijnVVxyxyx ygi jn 設(shè)設(shè)為為 維維酉酉空空間間 的的一一組組基基且且則則令令 ijGg 12,.n 為為基基的的度度量量矩矩陣陣 n稱稱 階階方方陣

10、陣： 111212122212111212122212,nnijnnnnnnnnnnggggggGgggg T1212 ( ,)nnx xxA x xx 1122nnxxx (1),;(2);TGGG 設(shè)設(shè) 為為度度量量矩矩陣陣 則則在在歐歐氏氏空空間間中中: : 度度量量矩矩陣陣是是正正定定矩矩陣陣 度度量量矩矩度度量量矩矩陣陣陣陣是是性性質(zhì)質(zhì)：可可逆逆的的. . HH : A ,ATHermiteAA 矩矩陣陣 規(guī)規(guī)定定記記號(hào)號(hào)稱稱為為 的的復(fù)復(fù)共共軛軛轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置。11(1)( ) ;(2)();(3)();(4)();(5)();(6)()() .:HTHHHHHHHHHHHHAAABAB

11、kAkAABB AAAAAA 若若 可可逆逆，復(fù)復(fù)共共軛軛轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置有有運(yùn)運(yùn)算算性性質(zhì)質(zhì)則則3.1.4:,n nAC 設(shè)設(shè) 定定義義HermiteHermite 顯顯然然，實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣是是實(shí)實(shí)矩矩陣陣; ;酉酉空空間間的的度度量量矩矩陣陣是是矩矩陣陣. .歐歐氏氏空空間間的的度度量量矩矩陣陣是是實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱陣陣。,;HAAAHermite 若若則則稱稱 為為矩矩陣陣,HAAAHermite 若若則則稱稱 為為反反矩矩陣陣. .12Re()Re(),Im()Im();( )Re()Re(),Im()Im().HijjiijjiHijjiijjiAAaaaaAAaaaa 容容易易證證（明明：

12、 ） 對(duì)對(duì)于于線線性性空空間間不不同同的的基基，它它們們的的度度量量矩矩陣陣是是不不同同的的，它它們們之之間間的的關(guān)關(guān)系系由由下下述述定定理理給給出出。 12121212, , 3.1.1: .nnnnTHTABPBP A P 設(shè)設(shè)和和為為酉酉空空間間的的兩兩個(gè)個(gè)基基、 分分別別為為這這兩兩個(gè)個(gè)基基的的度度量量矩矩陣陣，基基的的過(guò)過(guò)度度矩矩陣陣為為P P，即即那那么么 定定理理兩兩個(gè)個(gè)度度量量矩矩陣陣滿滿足足,.THTBP APP A PT T因因此此即即B B12121212,V,=(,.,)(,.,:),=(,.,)(,. ,).nnnnxxyy 設(shè)設(shè) 證證 ,xPxyPy由由坐坐標(biāo)標(biāo)變變

13、換換公公式式，知知( ,)()(),TTTTx AyPxA PyxP AP y 于于是是，一一方方面面有有( ,),Tx By 另另一一方方面面有有，. 3.1.5: ,; , . ,n nn nnHn nn nnTABCPCBP APABABRPRBP APAB 設(shè)設(shè) 、如如果果存存在在, ,使使則則稱稱 和和 是是復(fù)復(fù)相相合合的的設(shè)設(shè) 、如如果果存存在在, ,使使則則稱稱 和和 是是 義義實(shí)實(shí)相相合合的的定定 3.1.6: ()1:(),(): . , VV 三三、酉酉空空間間 歐歐氏氏空空間間 的的度度量量、向向量量的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度設(shè)設(shè) 是是酉酉 歐歐氏氏 空空間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度即即模模 定定

14、義義為為為為定定義義 12222121222212, , , , , TnnnTnnnRa aaaaaCa aaaaa 例例如如在在中中在在中中 (),(1)0,0,0; ()(2); ()(3),; ()(4). 3.1.2: ()VV kCkk 設(shè)設(shè) 是是酉酉 歐歐氏氏 空空間間、那那么么當(dāng)當(dāng)且且定定理理僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)非非負(fù)負(fù)性性齊齊次次性性柯柯西西一一許許瓦瓦滋滋不不等等式式三三角角不不等等式式:(1) (2).證證、 易易證證(3)0,;CauchySchwarz 當(dāng)當(dāng) 不不等等式式成成立立 22,),( ,),;,( ,)k 不不妨妨取取 k= k=由由于于( ,( ,那那么么， 20

15、0-,( ,)kkkkkk k 當(dāng)當(dāng)， kR(kR(或或kC),kC),有有 ,;,k ,0., 于于是是，由由以以上上3 3式式有有 ,.,k k 222, ,0, , 即即即即|( ,)| | |. 所以， 22222222(4) , , 2Re( ,) 2 ( ,)() ,. 即即 2222221 1221212,-: ( ,)11.| |nnnnnRa ba ba baaabbb 在在中中 柯柯西西 許許瓦瓦茲茲不不等等式式即即 ，即即 10,. 當(dāng)當(dāng) 求求叫叫做做將將向向量量 單單位位化化2、向向量量的的夾夾角角,:( ,) cos,. 在在歐歐氏氏空空夾夾角角間間中中與與 的的定定

16、義義為為( ,).d 兩兩向向量量的的 距距離離1;長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為 的的向向量量稱稱單單位位向向量量為為 ,. 如如果果正正交交向向量量組組中中每每個(gè)個(gè)向向量量都都是是單單位位向向量量 則則稱稱這這向向量量組組是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交向向量量組組3.2 Schmidt標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基方方法法一一、標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基 ( ,)0,; 如如果果向向量量 與與 的的內(nèi)內(nèi)積積則則稱稱 與與 正正交交記記為為1212 ,;ss 如如果果非非零零向向量量組組兩兩兩兩正正交交 則則稱稱向向量量組組是是正正交交向向量量組組 3 1,.0,iijijijij （ ）向向量量組組是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交組組當(dāng)當(dāng)且且僅

17、僅當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng):由由以以上上定定義義可可知知0;0. （1 1） 向向量量與與每每個(gè)個(gè)向向量量正正交交 與與每每個(gè)個(gè)向向量量正正交交的的向向量量一一定定是是 向向量量 ,0 ;iijij （2 2）向向量量組組是是正正交交向向量量組組當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) 1211221112:, 0:( , )(,)0 (,)0 (ij ) (,)0 (,)0, 0 , 1,2, .ssssssjiijiijjjjjjjjkkkkkkkkjs 證證 設(shè)設(shè)是是正正交交向向量量組組 且且那那么么當(dāng)當(dāng)，又又故故 3.2.1: 正正交交向向量量組組是是線線性性無(wú)無(wú)定定關(guān)關(guān)向向量量組組理理 2. 2.這這個(gè)個(gè)定定理理說(shuō)說(shuō)

18、明明，在在n n維維歐歐氏氏空空間間（或或酉酉空空間間）中中，兩兩兩兩正正交交的的非非零零向向量量不不能能超超過(guò)過(guò)n n個(gè)個(gè)。例例如如在在平平面面上上不不存存在在三三個(gè)個(gè)兩兩兩兩垂垂直直的的非非零零向向量量。注注：1.逆逆定定理理不不成成立立。12,1, (,);0, (),.nijijijijijGE 可可見(jiàn)見(jiàn)，是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) 標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基的的度度量量矩矩陣陣即即單單位位矩矩陣陣 3.2. ,2: ;.nn在在維維內(nèi)內(nèi)積積空空間間中中由由 個(gè)個(gè)兩兩兩兩正正交交向向量量組組成成的的基基稱稱為為正正交交基基 由由標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交向向量量組組構(gòu)構(gòu)成成的的基基稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn) 定定義義正正交交基基 標(biāo)準(zhǔn)正交基不是唯一的。就是從一組線性無(wú)關(guān)的向量出發(fā)構(gòu)造一組標(biāo) S準(zhǔn)正交向chmidt方法量的一種方法。 每個(gè)n維空間的基由n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組成，如果這個(gè)線性空間是酉空間（或歐氏空間），我們總能構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基、，這是酉空間（或歐氏空間）的一個(gè)基本定理。(1):證證明明 分分兩兩步步完完成成 正正交交化化 Schmidt二二、方方法法123.2.2,:,