第三章標量衍射理論(二)

1、 主講教師：劉 毅太原理工大學物理與光電工程學院第三章第三章 標量衍射理論標量衍射理論( (二二) )知識回顧普遍的光振動的復振幅：普遍的光振動的復振幅：球面波的復振幅：球面波的復振幅：jkreraPU0)(球面波的復振幅（球面波的復振幅（xy 平面）：平面）： PPPjUae22000( , )exp()exp()()2akU x yjkzjxxyyzz平面波的復振幅：平面波的復振幅：平面波的復振幅平面波的復振幅 (xy 平面平面):)coscos(exp ),(yxjkAyxU( , , )exp( coscoscos )U x y zajk xyz近軸條件等相位線內疏外密同心圓等相位線內

2、疏外密同心圓等相位線等間隔平行線等相位線等間隔平行線知識回顧平面波的空間頻率：平面波的空間頻率：復振幅分布的空間頻譜：復振幅分布的空間頻譜：平面波的復振幅平面波的復振幅 (xy 平面平面):coscosxyff,exp2xyU x yAjf xf y空間頻率的正負，僅表示平面波不同的傳播方向空間頻率的正負，僅表示平面波不同的傳播方向,exp2xyxyA ffU x yjf xf ydxdy 復振幅分布的角譜：復振幅分布的角譜：coscoscoscos,exp2AU x yjxydxdy 2、基爾霍夫衍射理論2.1 2.1 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理“波前上的每一個面元都可以看作是一個次級

3、擾動中心，它們能產生球面子波”，并且，“后一時刻的波前的位置是所有這些子波前的包絡面?！?論光,惠更斯 , 1690“波前上任何一個未受阻擋的點都可以看作是一個頻率（或波長）與入射波相同的子波源；在其后任何地點的光振動，就是這些子波疊加的結果?！?巴黎科學院,菲涅耳, 1818 0exp jkrU PcU P Kdsr其中，U(PU(P0 0) )是波面上任意一點P0的復振幅，U(P)U(P)是光場中任一觀察點P的復振幅，r r是P0到P的距離， 是P0P和過P0點的元波面法線n的夾角，K(K( ) )是與有關的傾斜因子，C C為常數(shù)。2、基爾霍夫衍射理論1882年，基爾霍夫建立了一個嚴格的數(shù)

4、學理論，證明菲涅耳的設想基本上正確，只是菲涅耳給出的傾斜因子不對，并對其進行了修正?；鶢柣舴蚶碚摚贿m用于標量波的衍射，故又稱標量衍標量衍射理論射理論。對于單色波，基爾霍夫從標量波動方程標量波動方程出發(fā)，利用格林格林定理定理這一數(shù)學工具，采用適當?shù)倪吔鐥l件邊界條件，推導出無限大不透明屏上孔徑后面觀察點P的場分布。數(shù)學工具：亥姆赫茲方程亥姆赫茲方程+ +格林定理格林定理+ +邊界假設條件邊界假設條件2、基爾霍夫衍射理論2.1 亥姆赫茲方程 單色光波長中任意一點P的光振動u應滿足標量波動方程222210uuct拉普拉斯算子，在直角坐標系中2222222xyz 2實擾動u(P,t)可以表示為 2P,

5、RePjtutUe不含時間的方程-亥姆赫茲方程 220kU P 2、基爾霍夫衍射理論2.2 格林定理 U(P)和S(P)是兩個任意復函數(shù),S為包圍空間某體積的封閉曲面。若在S面內和面上， U(P)和S(P)均單值連續(xù)，且具有單值連續(xù)一階和二階偏導數(shù)，則有22VSGUGUUG dVUGdSnn表示S上每一點沿向外的法線方向上的偏導數(shù)n2、基爾霍夫衍射理論2.3 亥姆霍茲和基爾霍夫積分定理衍射理論要解決的問題衍射理論要解決的問題：光場中任意一點P的復振幅能否用光場中其它各點的復振幅表示出來？ 14SUGU PGUdSnn衍射場中任意點P的復振幅分布U(P)可以用包圍該點的任意封閉曲面S上各點擾動的

6、邊界值U和其偏導計算得出。2、基爾霍夫衍射理論2.4 2.4 基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式照明空間有源空間衍射空間無源空間衍射屏孔徑平面2、基爾霍夫衍射理論2.2 2.2 基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式 0exp1jkrU PU P KdSjr expcos,-cos,expAPdS2jkrn rn rjkrUjrr 0exp jkrU PcU P Kdsr cos,-cos,1 2n rn rcKj 2、基爾霍夫衍射理論2.3 2.3 光波傳播的線性性質光波傳播的線性性質 0exp1jkrU PU P KdSjr令令 01,Kjkreh P Pjr 根據(jù)基爾霍夫衍射公式根據(jù)基爾霍夫衍射

7、公式則有則有 00,U PU P h P P dS 若孔徑在x0y0平面，而觀察平面在xy平面，上式可進一步表示為 000000, ;,U x yU xyh x y xydx dy 這正是描述線性系統(tǒng)輸入這正是描述線性系統(tǒng)輸入輸出關系的疊加積分；因此光輸出關系的疊加積分；因此光波的傳播現(xiàn)象可以看作是一個線性系統(tǒng)！波的傳播現(xiàn)象可以看作是一個線性系統(tǒng)！2、基爾霍夫衍射理論在旁軸近似下， ，脈沖響應函數(shù)簡化為 K122200002220000exp11, ;, ,jkrjkzxxyyeh x y xyjrjzxxyyh xxyy脈沖響應函數(shù)具有空脈沖響應函數(shù)具有空間不變的函數(shù)形式，間不變的函數(shù)形式，

8、也就是說光波在衍射也就是說光波在衍射孔徑后的傳播現(xiàn)象可孔徑后的傳播現(xiàn)象可看作線性不變系統(tǒng)。看作線性不變系統(tǒng)。這為我們用線性不變這為我們用線性不變理論分析衍射現(xiàn)象提理論分析衍射現(xiàn)象提供了依據(jù)。供了依據(jù)。3、衍射的角譜理論（平面波衍射理論）3.1 3.1 角譜的傳播角譜的傳播光場分布光場分布U0(x0,y0)光場分布光場分布U (x,y)孔徑平面（孔徑平面（ z =0）P(x0,y0,0)觀察平面（觀察平面（ z =z）P(x,y,z)U0(x0,y0)與與U (x,y)的關系如何？的關系如何？傳播的問題傳播的問題先找到相應的角譜先找到相應的角譜A0 (fx, fy)和和A(fx, fy)之間的關

9、系之間的關系角譜的傳播角譜的傳播角譜是復振幅分布的空間頻譜角譜是復振幅分布的空間頻譜, 其空間頻率分量用傳播矢其空間頻率分量用傳播矢量的方向余弦表示量的方向余弦表示3、衍射的角譜理論3.1 3.1 角譜的傳播角譜的傳播孔徑平面和觀察平面上的光場都可以分別看作是許多不同方向傳播的單孔徑平面和觀察平面上的光場都可以分別看作是許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合色平面波分量的線性組合，而每一個平面波分量的相對振幅和位相取決于相應的角譜。00000coscoscoscoscoscos,0,0 exp2U x yAjxydd coscoscoscoscoscos, ,exp2U x y zAzjx

10、ydd 孔徑平面孔徑平面觀察平面觀察平面利用兩者的關系利用兩者的關系， 確定整個光場的傳播特性確定整個光場的傳播特性利用標量的波動方程，可以得到如下關系：利用標量的波動方程，可以得到如下關系：220coscoscoscos,exp1 coscosAAjkz這就是衍射的角譜理論公式，它給出了角譜傳播的規(guī)律這就是衍射的角譜理論公式，它給出了角譜傳播的規(guī)律傳播距離z后3、衍射的角譜理論220coscoscoscos,exp1 coscosAAjkz22coscos1220exp1 coscosAAjkz傳播效應為相移22coscos12200expcoscos1zAAkzA e倏逝波22coscos

11、10AA不沿z軸傳播思考：利用角譜理論證明光線傳播的線性關系3、衍射的角譜理論220coscoscoscos,exp1 coscosAAjkz0,xyxyxyA ffAffHff輸出頻譜輸出頻譜輸入頻譜輸入頻譜傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)系統(tǒng)在頻域的效應由傳遞函數(shù)表征：系統(tǒng)在頻域的效應由傳遞函數(shù)表征：022222,1exp1 0 xyxyxyxyxyA ffHffAffjkzffff其他光波的傳播現(xiàn)象可看作一個帶寬有限的空間濾波器光波的傳播現(xiàn)象可看作一個帶寬有限的空間濾波器3、衍射的角譜理論角譜理論描述孔徑平面上不同方向的平面波分量在傳播距離角譜理論描述孔徑平面上不同方向的平面波分量在傳播距離z后，各自引

12、后，各自引入與頻率有關的相移，然后線性疊加，產生觀察平面的場分布。入與頻率有關的相移，然后線性疊加，產生觀察平面的場分布。22120,exp2 ,xyxyxyxyxyjkzffjf xf yxyxyU x yA ffjf xf ydf dfAffeedf df 0000000,exp2xyxyAffU xyjf xf ydx dy 2200120000,xyxyjkzffjfx xfyyxyU x yU xy dx dyeedf df ,xyHff1,xyFHff00,h xxyy00, ;,h x y xy00,h xxyy3、衍射的角譜理論220010012, xyxyxyjkzffjfx

13、 xfy yxyh xxyyFHffeedf df 傍軸近似：z遠大于孔徑和觀察區(qū)域的最大線度，且z222000022200exp,jkzxxyyh xxyyjzxxyy與基爾霍夫衍射理論結論一致 000000,U x yU xy h xxyydx dy 光的傳播現(xiàn)象可看光的傳播現(xiàn)象可看作線性不變系統(tǒng)作線性不變系統(tǒng)3、衍射的角譜理論思考題：思考題：基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論和和角譜理論角譜理論的聯(lián)系和區(qū)別是什么？的聯(lián)系和區(qū)別是什么？Answer:1）基爾霍夫衍射理論和角譜理論完全是統(tǒng)一統(tǒng)一的，它們都證明了光的傳播現(xiàn)象可看作線性不變系統(tǒng)；2）基爾霍夫理論是在空間域空間域討論光的傳播，是把孔

14、徑平面光場看作點源的集合，觀察平面上的場分布則等于它們所發(fā)出的帶有不同權重因子的球面子波的相干疊加，而球面子波在觀察平面上的復振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應。3）角譜理論是在頻率域頻率域討論光的傳播，是把孔徑平面場分布看作很多不同方向傳播的平面波分量的線性組合，觀察平面上場分布仍然等于這些平面波分量相干疊加，但每個平面波分量引入相移。相移的大小決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)脈沖響應的傅立葉變換。標量衍射理論標量衍射理論 球面波球面波 平面波平面波 基爾霍夫衍射理論 衍射的角譜理論 空間域 頻率域 公 式只考慮孔徑平面、觀察 平面較小范圍，且間距遠小于孔徑 物理意義孔徑平面光場點源的集合不同方向傳播

15、的平面波分量的線性組合（傅里葉變換式）觀察平面光場具有不同權重因子的球面子波的相干疊加這些平面波分量經過相移之后的相干疊加球面子波在觀察平面上的復振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應相移的大小決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)線性不變系統(tǒng)022coscoscoscos,exp1 coscosAAjkz 0exp1jkrU PU P KdSjr cos,-cos,2n rn rK 000000,U x yU xy h xxyydx dy 22,exp1 xyxyHffjkzff22coscos1 1K 00,exp/h xxyyjkrj r傍軸近似3、衍射的角譜理論3.2 3.2 孔徑對角譜的影響孔徑對角譜的影響平面屏

16、幕孔徑的復振幅透過率為t(x0,y0)，入射到孔徑平面上的光場復振幅為Ui(x0,y0)，則緊靠屏幕后的平面上透射光場的復振幅分布可以表示為 ,tiUx yUx y t x y假定入射光場的角譜和透射光場的角譜分別為 coscos,iAcoscos,tA由傅里葉變換的卷積定理可確定兩者的關系為 coscoscoscoscoscos,tiAAT其中，T( )是孔徑透過率函數(shù)的傅里葉變換。 和3、衍射的角譜理論如果采用單位振幅平面波垂直照明孔徑，入射光場為 ,1iUx y 入射光場的角譜為coscoscoscos,iiAUx yF則有coscoscoscoscoscos,tATcoscos,T透射

17、光場的角譜等于孔徑透過率的傅里葉變換。光波由于衍射孔徑的限制，在頻率域展寬了入射光場的角譜。 Ui (x0,y0)Ut(x0,y0)3、衍射的角譜理論例例: 單位振幅平面波垂直入射照明一矩孔, 求角譜的變化孔徑的影響孔徑的影響 空間域：限制了入射波面的大小范圍空間域：限制了入射波面的大小范圍 頻率域：展寬了入射光場的角譜頻率域：展寬了入射光場的角譜 ,tiUx yUx y t x y00,1 ,tixyxyUxyAffff0000,rectrect,sincsinc()xyxyxyt xyabTffabafbf,txyxyxyxyAffffTffTffcoscoscoscoscoscos,si

18、ncsinc()tATabab衍射系統(tǒng)衍射系統(tǒng)照明空間衍射空間衍射屏孔徑平面傅里葉變換光學三個屏三個屏 兩個變換兩個變換衍射屏前 入射場衍射屏后 透射場觀察屏 衍射場00,tUxy00,iUxy,U x y觀察平面0000,itUxyUxy衍射屏的作用00,tUxyU x y波的傳播行為光源菲涅耳衍射菲涅耳衍射：光源和觀察屏距衍射屏均為有限遠或其中之一為有限遠時的衍射。 夫瑯和費衍射夫瑯和費衍射：光源和觀察屏距離衍射屏都相當于無限遠情況的衍射。4、菲涅耳衍射4.1 實際的衍射現(xiàn)象分為：菲涅耳衍射菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射夫瑯和費衍射。平行光的衍射4、菲涅耳衍射4.2 4.2 菲涅耳衍射公式（空間

19、域）菲涅耳衍射公式（空間域）222000022200exp11,jkrjkzxxyyeh xxyyjrjzxxyy4、菲涅耳衍射22200rzxxyy對r作近似2200001,expexp2kh xxyyjkzjxxyyj zz2111 12mm mxmxxx 2200()()2xxyyrzz只考慮z軸附近的區(qū)域菲涅爾菲涅爾 近似近似脈沖響應是球面子波的復振幅分布，經菲涅爾近似后，其物理意義是用二次曲面來近似球面子波用二次曲面來近似球面子波這個近似式成立的區(qū)域成為菲涅爾衍射區(qū)4、菲涅耳衍射將菲涅爾近似后簡化的脈沖響應函數(shù)代入上式，則得到卷卷積形式的菲涅耳衍射公式積形式的菲涅耳衍射公式22000

20、0001,exp,exp2kU x yjkzU xyjxxyydx dyj zz 菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式表明位于菲涅耳區(qū)的觀察平面上的復振幅分表明位于菲涅耳區(qū)的觀察平面上的復振幅分布是孔徑平面上透射光場復振幅分布與惠更斯球面子波布是孔徑平面上透射光場復振幅分布與惠更斯球面子波h h的的卷積。菲涅爾衍射也是線性不變系統(tǒng)。卷積。菲涅爾衍射也是線性不變系統(tǒng)。 000000,U x yU xyh xxyydx dy 4、菲涅耳衍射觀察平面和孔徑平面角譜關系為：4.2 4.2 菲涅耳衍射公式（頻率域）菲涅耳衍射公式（頻率域）220coscoscoscos,exp1 coscosAAjkz22,ex

21、p1 coscosxyHffjkz傳遞函數(shù)：對根式作二項式展開，得22coscos12222222111 coscos1coscoscoscos28 假定傳遞函數(shù)展開式中平方項所貢獻的位相變化遠小于假定傳遞函數(shù)展開式中平方項所貢獻的位相變化遠小于1rad1rad，則忽略高次項。，則忽略高次項。22,expexpcoscos2xyjkzHffjkz4、菲涅耳衍射4.2 4.2 菲涅耳衍射公式（頻率域）菲涅耳衍射公式（頻率域）假定傳遞函數(shù)展開式中平方項所貢獻的位相變化遠小于假定傳遞函數(shù)展開式中平方項所貢獻的位相變化遠小于1rad1rad，則忽略高次項。則忽略高次項。222300max4zxxyy2

22、22coscos18kz00cossin cossinxyxxyyzz滿足上述條件的區(qū)域成為菲涅爾區(qū)菲涅爾區(qū)4、菲涅耳衍射4.2 4.2 菲涅耳衍射公式（頻率域）菲涅耳衍射公式（頻率域）在菲涅爾區(qū)域內在菲涅爾區(qū)域內122,1exp,2xyjkzFHffkejxyh x yj zz2222,expexpcoscos2 expexpxyxyjkzHffjkzjkzjz ff應用高斯函數(shù)的傅里葉變換公式P.33-37無論從空域出發(fā)，還是從頻域出發(fā)，獲得的結果一致。無論從空域出發(fā)，還是從頻域出發(fā)，獲得的結果一致。2200001,exp2jkzkh xxyyejxxyyj zz4、菲涅耳衍射傅里葉變換形

23、式的菲涅耳衍射公式傅里葉變換形式的菲涅耳衍射公式 000000,U x yU xyh xxyydx dy 222200000000expexp22 ,expexp2jkzkjxyj zzkU xyjxyjxxyydx dyzz 22220000,expexp,exp22xyxyffzzjkzkkjxyU xyjxyj zzzF220000001,exp2jkzkU xyejxxyydx dyj zz 4、菲涅耳衍射傅里葉變換形式的菲涅耳衍射公式傅里葉變換形式的菲涅耳衍射公式 22220000,exp,exp2 ,exp2xyxyffzzjkzkU x yjxyj zzkU xyjxyzF菲涅爾

24、區(qū)的觀察平面上的場分布，除了與（x0，y0）無關的振幅和位相因子以外，正好是函數(shù) 的傅里葉變換220000,exp2kU xyjxyzFresnel Diffraction: SummaryFresnel Diffraction: Summary菲涅耳衍射的三種表示U(x0, y0) * hF (x, y) = U(x, y) 221exp()exp2kjkzjxyj zzF.T.F.T.F.T.A0(fx, fy) HF(fx, fy) = A (fx, fy) )(exp)exp(22yxffzjjkzF.T.表達表達)(2exp),(202000yxzkjyxU U(x, y)F.T.z

25、yfzxfyx,空域空域孔徑平面孔徑平面 脈沖響應脈沖響應觀察平面觀察平面cos,cosyxff頻域頻域4、菲涅耳衍射4.3 4.3 菲涅耳衍射的例子菲涅耳衍射的例子泰伯效應泰伯效應 什么是泰伯效應？用單色平面波垂直照射一個周期性物體（例如透射光柵）時，在物體后面周期性的距離上出現(xiàn)物體的像。 它不是一種透鏡成像，而是衍射成像。一維的周期性物體，其復振幅透過率為（d為周期）： exp2 0, 1, 2,nnng xcjxnd 緊靠周期性物體后的場分布可以看做是頻率取離散值（n/d，0）的無窮多平面波分量的線性疊加，cn為各分量的相對振幅和位相分布。討論與物體相距討論與物體相距z z的觀察平面上的

26、場分布，就是一個菲涅爾衍的觀察平面上的場分布，就是一個菲涅爾衍射問題。射問題。4、菲涅耳衍射4.3 4.3 菲涅耳衍射的例子菲涅耳衍射的例子泰伯效應泰伯效應物場分布的空間頻譜為xnxnnG fcfd觀察平面場分布的頻譜為xxxGfG fHf2expjkznxnnncfjzedd2exp1njzd221,2,3,mdzm當2expexpnxxnncfjkzjzfd4、菲涅耳衍射4.3 4.3 菲涅耳衍射的例子菲涅耳衍射的例子泰伯效應泰伯效應在特殊情況下jkzjkzxnxxnnGfcfeG fed觀察平面的復振幅分布為： jkzgxg x e觀察平面的強度分布為： 22I xgxg x在 的整數(shù)倍

27、的距離上，可以觀察到物體的像。zT稱為泰伯距離。22Tdz4、菲涅耳衍射（例3.3）余弦型振幅光柵的復振幅透過率為余弦型振幅光柵的復振幅透過率為 dxbaxtcosdzzTdzzTdzzT（1）（2）（3）解：采用菲涅耳衍射的頻域表達式解：采用菲涅耳衍射的頻域表達式當單色平面波垂直照明光柵時，光柵透射光場為：000cos2xU xAt xA abdA為平面波振幅值。4、菲涅耳衍射（例3.3）輸出頻譜：輸出頻譜：211()()()()exp()exp()2xxxxxbGfA afffjkzjzfdd2001exp()()exp()()()2xxxbAjkzafjzffffd故：故： 2exp()

28、exp(2)cos22zxU xAjkzabjdd11()()()() 2xxxxbG fA afffdd透射光場的透射光場的頻譜：頻譜：菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)菲涅耳衍射的傳遞函數(shù):)exp()exp()(2xxzfjjkzfH4、菲涅耳衍射（例3.3）在泰伯距離：在泰伯距離：dzzT1)22exp(2dzj exp()cos2TxU xAjkzabd與原物的復振幅分布只差一個與原物的復振幅分布只差一個常數(shù)位相因子常數(shù)位相因子自成像自成像 22cos2xI xA abd像強度分布：像強度分布：與原物的強度與原物的強度分布相同分布相同4、菲涅耳衍射（例3.3）思考思考: 在兩個自成像位置的中間位置

29、在兩個自成像位置的中間位置, 光強度分布如何變化光強度分布如何變化?自成像發(fā)生在泰伯距離的整數(shù)倍上自成像發(fā)生在泰伯距離的整數(shù)倍上.泰伯距離泰伯距離:22dzT原物：原物：像：像：4、菲涅耳衍射（例3.3）在泰伯距離：在泰伯距離：22Tzdz2exp(2)12zjd exp()cos2TxU xAjkzabd 22cos2xIxA abd像強度分布：像強度分布：像產生像產生相移，相移，對比對比度反轉的泰伯像度反轉的泰伯像4、菲涅耳衍射（例3.3）在泰伯距離：在泰伯距離：242Tzdz2exp(2)2zjjd exp()cos2TxU xAjkzajbd 22222222cos2cos 422xI

30、xAabdbbxAad像強度分布：像強度分布：頻率為原來的頻率為原來的2倍，且條紋對比度下降，泰伯副像。倍，且條紋對比度下降，泰伯副像。4、菲涅耳衍射4.3 4.3 菲涅耳衍射的例子菲涅耳衍射的例子泰伯效應泰伯效應4、菲涅耳衍射(例3.2)采用單位振幅的單色平面波垂直照明單位振幅的單色平面波垂直照明具有下述透過率函數(shù)的孔徑，求菲涅爾衍射圖樣在孔徑軸上的強度分布：220000(,)t xycircxy解：設入射光場為 ，則根據(jù)題意可得00(,)iU xy00(,)=1iU xy孔徑平面透射光場分布為：2200000000(,)=(,) (,)/iU xyU xy t xycircxya根據(jù)菲涅爾衍射公式，其衍射光場為222200000000exp,exp22 ,expexp2jkzkU x yjxyj zzkU xyjxyjxxyydx dyzz 220000(,)xyt xycirca4、菲涅耳衍射(例3.2)解：要求軸上的強度分布，即2(0,0)U將積分轉化到極坐標系中進行求解，上式轉化為2222000000exp0,0/exp2jkzkUcircxyajxydx dyj zz 22002exp0,0exp2 exp1 exp2ajkzkUdjrrdrj z