第3章誤差的合成與分配(白背景)

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理第第3 3章章 誤差的合成與分配誤差的合成與分配誤差理論與數(shù)據(jù)處理教學目標教學目標本章闡述了函數(shù)誤差、誤差合成與分本章闡述了函數(shù)誤差、誤差合成與分配的基本方法，并討論了配的基本方法，并討論了微小誤差的取微小誤差的取舍、最佳測量方案的確定等問題舍、最佳測量方案的確定等問題 。通過。通過本章的學習，讀者應掌握函數(shù)系統(tǒng)誤差本章的學習，讀者應掌握函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機誤差的計算以及誤差的合成和函數(shù)隨機誤差的計算以及誤差的合成和分配。和分配。誤差理論與數(shù)據(jù)處理重點和難點重點和難點 函數(shù)系統(tǒng)誤差函數(shù)系統(tǒng)誤差 函數(shù)隨機誤差函數(shù)隨機誤差 函數(shù)誤差分布的模擬計算函數(shù)誤差分布的模擬計算 隨機誤差

2、的合成隨機誤差的合成 未定系統(tǒng)誤差和隨機誤差的合未定系統(tǒng)誤差和隨機誤差的合成成 誤差分配誤差分配 微小誤差取舍準則微小誤差取舍準則 最佳測量方案的確定最佳測量方案的確定 誤差理論與數(shù)據(jù)處理間接測量間接測量 函數(shù)誤差函數(shù)誤差 間接測得的被測量誤差也應是直接測得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測量的誤差為函數(shù)誤差函數(shù)誤差 通過直接測得的量與被測量之間的函數(shù)關系計算出被測量 第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計算一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計算第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差間接測量的數(shù)學模型間接測量的數(shù)學模型 12( ,.,)nyf x xx 與被測量有函數(shù)關系的各個直接測量值與被測量有函數(shù)關系的各個

3、直接測量值 y y 間接測量值間接測量值12,nx xx求上述函數(shù)求上述函數(shù) y y 的全微分，其表達式為的全微分，其表達式為：nndxxfdxxfdxxfdy2211誤差理論與數(shù)據(jù)處理 和和 的量綱或單位不相同，則的量綱或單位不相同，則 起到起到誤差單位換算的作用誤差單位換算的作用 和和 的量綱或單位相同，則的量綱或單位相同，則 起到誤起到誤差放大或縮小的作用差放大或縮小的作用由由 y 的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差 的計算公式的計算公式y(tǒng)1212.nnfffyxxxxxx 為各個輸入量在該測量點為各個輸入量在該測量點 處的誤差傳播系數(shù)處的誤差傳播系數(shù) (1,2, )ifx i

4、n12( ,)nx xxixyifxixyifx第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理幾種簡單函數(shù)的系統(tǒng)誤差幾種簡單函數(shù)的系統(tǒng)誤差 1 1、線性函數(shù)、線性函數(shù)1 122.nnya xa xa x1122.nnyaxaxax 12.nyxxx 1ia 2 2、三角函數(shù)形式、三角函數(shù)形式 12sin,.,nf x xx11cosniiifxx12cos,.,nf x xx11sinniiifxx系統(tǒng)誤差公式系統(tǒng)誤差公式當當 當函數(shù)為各測量值之和時，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個當函數(shù)為各測量值之和時，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個測量值系統(tǒng)誤差之和測量值系統(tǒng)誤差之和 第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與

5、數(shù)據(jù)處理【例】【例】 用弓高弦長法間接測量大用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工人用工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡尺量得弓高一把卡尺量得弓高 h = 50 = 50mmmm ，弦弦長長l = 500mm = 500mm。已知，弓高的系統(tǒng)已知，弓高的系統(tǒng)誤差誤差 h = -0.1= -0.1mm mm , ,弦弦長的系統(tǒng)誤長的系統(tǒng)誤差差 l = 1mm = 1mm 。試問車間工人測量試問車間工人測量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測量結(jié)果。后的測量結(jié)果。 【解】【解】建立間接測量大工件直徑的函數(shù)模型建立間接測量大工件直徑的函數(shù)模型 24lDhhD

6、2lh 不考慮測量值的系統(tǒng)誤差，可求出在不考慮測量值的系統(tǒng)誤差，可求出在 處的直徑測量值處的直徑測量值 50mmh 500mml 201300mm4lDhh第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理車間工人測量弓高車間工人測量弓高 h h 、弦長弦長 l l 的系統(tǒng)誤差的系統(tǒng)誤差 5050.10.1mmh 5004991mml 直徑的系統(tǒng)誤差直徑的系統(tǒng)誤差: : 7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500112444 50flhh 故修正后的測量結(jié)果故修正后的測量結(jié)果: : 013007.41292.6mmDDD計算結(jié)果：計算結(jié)果：誤差傳遞系數(shù)為誤差傳遞系數(shù)為: :

7、 第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理二、函數(shù)隨機誤差計算二、函數(shù)隨機誤差計算第一節(jié)函數(shù)誤差數(shù)學模型數(shù)學模型 12( ,.,)nyf x xx變量中只有隨機誤差應用全微分公式函數(shù)的一般形式 1122(,)nnyyf xx xxxx1212nnfffyxxxxxx即：可得：誤差理論與數(shù)據(jù)處理2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 函數(shù)標準差計算函數(shù)標準差計算 或或 第第i i個直接測得量個直接測得量 的標準差的標準差 xiix 第第i i個測量值和第個測量值和第j j個

8、測量值之間的相關系數(shù)個測量值之間的相關系數(shù) ij 第第i i個測量值和第個測量值和第j j個測量值之間的協(xié)方差個測量值之間的協(xié)方差 ijijxixjD 第第i i個直接測得量個直接測得量 對間接量對間接量 在該測量點在該測量點 處的誤差傳播系數(shù)處的誤差傳播系數(shù) ifxixy12( ,)nx xx第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理22222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或或0ijijD相互獨立的函數(shù)標準差計算相互獨立的函數(shù)標準差計算 若各測量值的隨機誤差是相互獨立的，相關項若各測量值的隨機誤差是相互獨立的，相關項 iifax令令222

9、2221122yxxnxnaaa第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差則則 當各個測量值的隨機誤差都為正態(tài)分布時，標準差用當各個測量值的隨機誤差都為正態(tài)分布時，標準差用極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式 2222221122yxxnxnaaa 第第i i個直接測得量個直接測得量 的極限誤差的極限誤差 xiix誤差理論與數(shù)據(jù)處理2222222121cos1xnnxxxfxfxf1 1） 正弦函數(shù)形式為正弦函數(shù)形式為: : 函數(shù)隨機誤差公式為：函數(shù)隨機誤差公式為： 第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差nxxxf,sin212 2） 余弦函數(shù)形式為余弦函數(shù)形式為: : 函數(shù)隨機誤

10、差公式為：函數(shù)隨機誤差公式為： nxxxf,cos21三角函數(shù)標準差計算三角函數(shù)標準差計算 3 3） 正切函數(shù)形式為正切函數(shù)形式為: : 函數(shù)隨機誤差公式為：函數(shù)隨機誤差公式為： nxxxf,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4 4） 余弦函數(shù)形式為余弦函數(shù)形式為: : 函數(shù)隨機誤差公式為：函數(shù)隨機誤差公式為： nxxxf,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf誤差理論與數(shù)據(jù)處理【解】【解】【例】【例】 用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間工用弓高弦長法間接測量大工件直徑。如圖所示，車間

11、工人用一把卡尺量得弓高人用一把卡尺量得弓高 h h = 50 = 50mmmm ，弦長弦長s = 500mms = 500mm。已知，已知，弓高的系統(tǒng)誤差弓高的系統(tǒng)誤差 h h = -0.1= -0.1mm mm , , 玄長的系統(tǒng)誤差玄長的系統(tǒng)誤差 l l = 1mm = 1mm 。試求測量該工件直徑的標準差，并求修正后的測量結(jié)果。試求測量該工件直徑的標準差，并求修正后的測量結(jié)果。已知：已知： ，0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.005169 10 mmDlhfflh0.13mmD有有修正后的測量結(jié)果修正后的測量結(jié)果 01292.6mmDDD0.13

12、mmD第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理相關系數(shù)對函數(shù)誤差的影響相關系數(shù)對函數(shù)誤差的影響 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 反映了各隨機誤差分量相互間的線性關聯(lián)對函數(shù)總誤反映了各隨機誤差分量相互間的線性關聯(lián)對函數(shù)總誤差的影響差的影響 2222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij 函數(shù)標準差與各隨機誤差分量標準差之間具有線性的函數(shù)標準差與各隨機誤差分量標準差之間具有線性的傳播關系傳播關系 函數(shù)隨機誤差公式函數(shù)隨機誤差公式ij當相關系數(shù)當相關系數(shù) 時時當相關系數(shù)當相關系數(shù) 時時2 2、 相關系數(shù)估計相關系數(shù)

13、估計第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理相關系數(shù)的確定相關系數(shù)的確定可判斷可判斷 的情形的情形 0ij 斷定斷定 與與 兩分量之間沒有相互依賴關系的影響兩分量之間沒有相互依賴關系的影響 ixjx 當一個分量依次增大時，另一個分量呈正負交替變化，當一個分量依次增大時，另一個分量呈正負交替變化，反之亦然反之亦然 與與 屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量 ixjx 與與 雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計的弱相關計的弱相關

14、 ixjx1、直接判斷法、直接判斷法第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理可判斷可判斷 或或 的情形的情形 斷定斷定 與與 兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關系或負兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關系或負的線性關系的線性關系 ixjx當一個分量依次增大時，引起另一個分量依次增大或當一個分量依次增大時，引起另一個分量依次增大或減小，反之亦然減小，反之亦然 與與 屬于同一體系的分量，如用屬于同一體系的分量，如用1 1m m基準尺測基準尺測2 2m m尺，尺，則各米分量間完全正相關則各米分量間完全正相關 ixjx1ij 1ij 第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一節(jié)函數(shù)誤差第一節(jié)函數(shù)誤差nnn

15、31cos其中，其中，4321nnnnnn2n3n4n10 22()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx 根據(jù)根據(jù) 的多組測量的對應值的多組測量的對應值 ，按如下，按如下統(tǒng)計公式計算相關系數(shù)統(tǒng)計公式計算相關系數(shù) ( ,)ijx x,ikjkxx 、 分別為分別為 、 的算術(shù)平均值的算術(shù)平均值 ixjxikxjkx誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)隨機誤差的合成第二節(jié)隨機誤差的合成 任何測量結(jié)果都包含有一定的測量誤差，這是測量任何測量結(jié)果都包含有一定的測量誤差，這是測量過程中各個環(huán)節(jié)一系列誤差因素作用的結(jié)果。誤差合成過程中各個環(huán)節(jié)一系列誤差因素作用的結(jié)果。誤差合成就

16、是在正確地分析和綜合這些誤差因素的基礎上，正確就是在正確地分析和綜合這些誤差因素的基礎上，正確地表述這些誤差的綜合影響。地表述這些誤差的綜合影響。 標準差合成標準差合成 極限誤差合成極限誤差合成解決隨機誤差的合成問題一般基于標準差方和根合成解決隨機誤差的合成問題一般基于標準差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個誤差的方法，其中還要考慮到誤差傳播系數(shù)以及各個誤差之間的相關性影響之間的相關性影響 隨機誤差的合成形式包括：隨機誤差的合成形式包括：誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、標準差合成一、標準差合成合成標準差表達式合成標準差表達式: : 211()2qqiiijijijiijaa a q個單

17、項隨機誤差，標準差 12,q 誤差傳播系數(shù) 12,qa aav 由間接測量的顯函數(shù)模型求得 v 根據(jù)實際經(jīng)驗給出 v 知道影響測量結(jié)果的誤差因素 而不知道每個 和 iiiyaiaiiiafx 第二節(jié)隨機誤差的合成誤差理論與數(shù)據(jù)處理當誤差傳播系數(shù)當誤差傳播系數(shù) 、且各相關系數(shù)均可視為、且各相關系數(shù)均可視為0 0的情形的情形 第二節(jié)隨機誤差的合成第二節(jié)隨機誤差的合成若各個誤差互不相關，即相關系數(shù)若各個誤差互不相關，即相關系數(shù) 21()qiiia21qii0ij1ia 則合成標準差則合成標準差 用標準差合成有明顯的優(yōu)點，不僅簡單方便，而且無用標準差合成有明顯的優(yōu)點，不僅簡單方便，而且無論各單項隨機誤

18、差的概率分布如何，只要給出各個標論各單項隨機誤差的概率分布如何，只要給出各個標準差，均可計算出總的標準差準差，均可計算出總的標準差 視各個誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或視各個誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或者說各個誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱者說各個誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱的分量的分量 誤差理論與數(shù)據(jù)處理二、極限誤差合成二、極限誤差合成 單項極限誤差單項極限誤差: : 1,2,.,iiikiq 單項隨機誤差的標準差 單項極限誤差的置信系數(shù) 合成極限誤差合成極限誤差: : kiik 合成標準差 合成極限誤差的置信系數(shù) k第二節(jié)隨機誤差的合成合成極限誤差計

19、算公式合成極限誤差計算公式211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 誤差理論與數(shù)據(jù)處理 根據(jù)已知的各單項極限誤差和所選取的各個置信系數(shù)，根據(jù)已知的各單項極限誤差和所選取的各個置信系數(shù)，即可進行極限誤差的合成即可進行極限誤差的合成 各個置信系數(shù)各個置信系數(shù) 、 不僅與置信概率有關，而且與隨不僅與置信概率有關，而且與隨機誤差的分布有關機誤差的分布有關 ikk 對于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應對于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數(shù)相同的各個置信系數(shù)相同 對于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應對于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相

20、應的各個置信系數(shù)也不相同的各個置信系數(shù)也不相同 第二節(jié)隨機誤差的合成第二節(jié)隨機誤差的合成 ijij 為第為第i i個和第個和第j j個誤差項之間的相關系數(shù)，可根據(jù)個誤差項之間的相關系數(shù)，可根據(jù)前一節(jié)的方法確定。前一節(jié)的方法確定。應用極限誤差合成公式時，應注意：應用極限誤差合成公式時，應注意：誤差理論與數(shù)據(jù)處理211()2qqiiijijijiijaa a 21qii0ij1ia 當各個單項隨機誤差均服從正態(tài)分布時，各單項誤差當各個單項隨機誤差均服從正態(tài)分布時，各單項誤差的數(shù)目的數(shù)目q q較多、各項誤差大小相近和獨立時，此時合成的總較多、各項誤差大小相近和獨立時，此時合成的總誤差接近于正態(tài)分布誤

21、差接近于正態(tài)分布12qkkkk合成極限誤差：合成極限誤差： 若若和和各單項誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，各單項誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關或近似線性無關，是較為而且他們之間常是線性無關或近似線性無關，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式廣泛使用的極限誤差合成公式 第二節(jié)隨機誤差的合成第二節(jié)隨機誤差的合成時：時：此時此時誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的分類：系統(tǒng)誤差的分類： 1 1） 已定系統(tǒng)誤差已定系統(tǒng)誤差2 2） 未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差定義：定義：誤差大小和方向均已確切掌握

22、了的系統(tǒng)誤差誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差表示符號：表示符號： 合成方法：按照代數(shù)和法進行合成合成方法：按照代數(shù)和法進行合成riiia i i 為第為第i i個系統(tǒng)誤差，個系統(tǒng)誤差，a ai i為其傳遞系數(shù)為其傳遞系數(shù) 系統(tǒng)誤差可以在測量過程中消除，也可在合成后在測系統(tǒng)誤差可以在測量過程中消除，也可在合成后在測量結(jié)果中消除量結(jié)果中消除誤差理論與數(shù)據(jù)處理二、未定系統(tǒng)誤差的合成二、未定系統(tǒng)誤差的合成 第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成（一）（一） 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定定義：定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費過多精誤差大小和方向未能確切掌握，或者

23、不須花費過多精力去掌握，而只能或者只需估計出其不致超過某一范圍力去掌握，而只能或者只需估計出其不致超過某一范圍 e 的系統(tǒng)誤差的系統(tǒng)誤差特征：特征：1 1） 在測量條件不變時為一恒定值，多次重復測量時其值固在測量條件不變時為一恒定值，多次重復測量時其值固定不變，因而單項系統(tǒng)誤差在重復測量中不具有低償性定不變，因而單項系統(tǒng)誤差在重復測量中不具有低償性2 2） 隨機性。當測量條件改變時，未定系統(tǒng)誤差的取值在某隨機性。當測量條件改變時，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內(nèi)具有隨機性，且服從一定的概論分布，具有極限范圍內(nèi)具有隨機性，且服從一定的概論分布，具有隨機誤差的特性。隨機誤差的特性。表示符號：表示符

24、號： 極限誤差：極限誤差：e e 標準差：標準差：u u誤差理論與數(shù)據(jù)處理1、標準差合成、標準差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成（二）（二） 未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差的合成 未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機性，服從一定的概未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定的隨機性，服從一定的概率分布，因而若干項未定系統(tǒng)誤差綜合作用時，他們之間就率分布，因而若干項未定系統(tǒng)誤差綜合作用時，他們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機誤差的抵償作用具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機誤差的相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機誤差的合成

25、公式，這就給測量結(jié)果的處理帶來很大方便。合成公式，這就給測量結(jié)果的處理帶來很大方便。 同隨機誤差的合成相同，未定系統(tǒng)誤差合成時即可以按同隨機誤差的合成相同，未定系統(tǒng)誤差合成時即可以按照標準差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。照標準差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。 若測量過程中有若測量過程中有 s s 個單項未定系統(tǒng)誤差，它們的標準個單項未定系統(tǒng)誤差，它們的標準差分別為差分別為 u u1 1，u u2 2，u us s，其相應的誤差傳遞系數(shù)為，其相應的誤差傳遞系數(shù)為a a1 1，a a2 2，a as s ，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標準差，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標準差 u u 為為:

26、:誤差理論與數(shù)據(jù)處理則由各單項未定系統(tǒng)誤差標準差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極則由各單項未定系統(tǒng)誤差標準差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：限誤差為：式中，式中， ijij 為第為第 i i 個和第個和第 j j 個誤差項的相關系數(shù)個誤差項的相關系數(shù)第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成sjijijiijsiiiuuaauau1122siiiuau12iiiute當當 ijij=0 =0 時時2、極限誤差的合成、極限誤差的合成 若各個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為若各個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為: :si,2, 1sjijijiijsiiiuuaauate1122則有：則有：誤差理論與數(shù)據(jù)處理sjij

27、jiijiijsiiiiteteaateate1122siiieae12第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差合成或者，由各單項未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)或者，由各單項未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)誤差誤差極限誤差極限誤差為：為： 當各個單項未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且相互間獨當各個單項未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且相互間獨立無關，即立無關，即 ，則上式可，則上式可簡化為簡化為：0ij誤差理論與數(shù)據(jù)處理第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成一、按極限誤差合成一、按極限誤差合成 誤差的合成可按照兩種形式合成：按極限誤差形式合成誤差的合成可按照兩種形式合成：按

28、極限誤差形式合成、按標準差形式合成。、按標準差形式合成。 測量過程中，假定有測量過程中，假定有 r r 個單項已定系統(tǒng)誤差，個單項已定系統(tǒng)誤差，s s 個單項未定個單項未定系統(tǒng)誤差，系統(tǒng)誤差，q q 個單項隨機誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為個單項隨機誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為：qsreee,2121211、單次測量情況、單次測量情況 若各個誤差的傳遞系數(shù)取若各個誤差的傳遞系數(shù)取 1(1(不取不取1 1呢呢?)?)，則測量結(jié)果總的極，則測量結(jié)果總的極限誤差為：限誤差為：Rttetqiiisiiirii12121總式中，式中，R R 為各個誤差之間的協(xié)方差之和。為各個誤差之間的協(xié)方差之

29、和。誤差理論與數(shù)據(jù)處理 當各個誤差均服從正態(tài)分布，且各個誤差間互不相關時，測當各個誤差均服從正態(tài)分布，且各個誤差間互不相關時，測量結(jié)果總的極限誤差可簡化為：量結(jié)果總的極限誤差可簡化為：qiisiiriie12121總第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成 一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測量結(jié)果總的極限誤一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機誤差的均方根值，即：差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機誤差的均方根值，即：qiisiie1212總2、n 次重復測量情況次重復測量情況 當每項誤差都進行當每項誤差都進行 n n 次重復測量

30、時，由于隨機誤差間具有低次重復測量時，由于隨機誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機誤差項應除以重復測量次數(shù)成公式中的隨機誤差項應除以重復測量次數(shù) n n 。qiisiine12121總總極限誤差變?yōu)椋嚎倶O限誤差變?yōu)椋赫`差理論與數(shù)據(jù)處理第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成二、按標準差合成二、按標準差合成 測量過程中，假定有測量過程中，假定有 s s 個單項未定系統(tǒng)誤差，個單項未定系統(tǒng)誤差，q q 個單項隨機個單項隨機誤差，它們的標準差分別為：誤差，它們的標準差分別為：qs

31、uuu,21211、單次測量情況、單次測量情況 若各個誤差的傳遞系數(shù)取若各個誤差的傳遞系數(shù)取 1 1，則測量結(jié)果總的極限誤差為：，則測量結(jié)果總的極限誤差為：式中，式中，R R 為各個誤差之間的為各個誤差之間的協(xié)方差協(xié)方差之和。之和。 若用標準差來表示系統(tǒng)誤差和隨機誤差的合成公式，則只考若用標準差來表示系統(tǒng)誤差和隨機誤差的合成公式，則只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成。慮未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成。Ruqiisii1212誤差理論與數(shù)據(jù)處理 當各個誤差均服從正態(tài)分布，且各個誤差間互不相關時，測當各個誤差均服從正態(tài)分布，且各個誤差間互不相關時，測量結(jié)果總標準差為：量結(jié)果總標準差為：qiisiiu

32、12122、n 次重復測量情況次重復測量情況 當每項誤差都進行當每項誤差都進行 n n 次重復測量時，由于隨機誤差間具有低次重復測量時，由于隨機誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機誤差項應除以重復測量次數(shù)成公式中的隨機誤差項應除以重復測量次數(shù) n n 。qiisiinu12121第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成總極限誤差變?yōu)椋嚎倶O限誤差變?yōu)椋赫`差理論與數(shù)據(jù)處理【例】【例】 在萬能工具顯微鏡上用影像法測量某一平面工件的長在萬能工具顯微鏡上用影像法測量某一平面工件的長度

33、共兩次，測得結(jié)果分別為度共兩次，測得結(jié)果分別為 ， ，已，已知工件的知工件的高度高度為為 ，求測量結(jié)果及其極限誤差。，求測量結(jié)果及其極限誤差。150.026mml 250.025mml 80mmH 第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成序號序號123456誤差因素誤差因素極限誤差極限誤差/m隨機誤差隨機誤差 未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差備注備注阿貝誤差阿貝誤差光學刻尺刻度誤差光學刻尺刻度誤差溫度誤差溫度誤差讀數(shù)誤差讀數(shù)誤差瞄準誤差瞄準誤差光學刻尺檢定誤差光學刻尺檢定誤差0.810.50.351.251未修正時計入未修正時計入總誤差總誤差修正時計入總修正時計入總誤差誤差根據(jù)工具

34、顯微鏡的工作原理和結(jié)構(gòu)可知，測量過程中主要的誤差根據(jù)工具顯微鏡的工作原理和結(jié)構(gòu)可知，測量過程中主要的誤差見表。見表。誤差理論與數(shù)據(jù)處理【解】【解】兩次測量結(jié)果的平均值為兩次測量結(jié)果的平均值為: :01211()(50.02650.025)mm50.0255mm22Lll 根據(jù)萬能工具顯光學刻線尺的刻度誤差表，查得在根據(jù)萬能工具顯光學刻線尺的刻度誤差表，查得在 50mm 50mm 范圍內(nèi)的誤差范圍內(nèi)的誤差 =0.0008mm=0.0008mm ，此項誤差為已定系統(tǒng)誤差，應，此項誤差為已定系統(tǒng)誤差，應予修正。則測量結(jié)果為：予修正。則測量結(jié)果為：050.0255mm0.0008mm50.0247mm

35、LL第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成 在萬工顯上用影像法測量平面工件尺寸時，其主要誤差在萬工顯上用影像法測量平面工件尺寸時，其主要誤差分析如下：分析如下：1 1、隨機誤差、隨機誤差 由讀數(shù)誤差和工件瞄準引起，其極限誤差分別為由讀數(shù)誤差和工件瞄準引起，其極限誤差分別為誤差理論與數(shù)據(jù)處理 1 1）讀數(shù)誤差：）讀數(shù)誤差： 2 2）瞄準誤差：）瞄準誤差：第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成m8 . 01m0 . 122 2、未定系統(tǒng)誤差、未定系統(tǒng)誤差 由阿貝誤差等引起，其極限誤差分別為由阿貝誤差等引起，其極限誤差分別為 1 1）阿貝誤差：）阿貝誤差：

36、 2 2）瞄準誤差：）瞄準誤差：mmHLe0 . 14000508040001mmmLe25. 1)200501 ()2001 (2 3 3）溫度誤差：）溫度誤差：mmmLe35. 070050770073 4 4）光學刻度尺的檢定誤差：）光學刻度尺的檢定誤差：me5 . 04誤差理論與數(shù)據(jù)處理第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成3 3、計算測量值及其誤差（獨立同分布）、計算測量值及其誤差（獨立同分布） 計算測量值的誤差時有兩種方法：計算測量值的誤差時有兩種方法：方法方法1 1當未修正光學刻尺刻度誤差時當未修正光學刻尺刻度誤差時23221122222121(10.8 )

37、(11.250.35 )21.870.0019mmijije m測量結(jié)果可表示為：測量結(jié)果可表示為： 050.0255mm0.0019mmL 方法方法2 2當已修正光學刻尺刻度誤差時當已修正光學刻尺刻度誤差時 23221122222121(10.8 )(10.50.35 )21.480.0015mmijije m50.0247mm0.0015mmL 誤差理論與數(shù)據(jù)處理【例例】 用用TC328BTC328B型天平，配用三等標準砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)型天平，配用三等標準砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)量，一次稱量得鋼球質(zhì)量量，一次稱量得鋼球質(zhì)量 ，求測量結(jié)果的標準，求測量結(jié)果的標準差。差。14.004gM 第四節(jié)系

38、統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成(1)(1)隨機誤差隨機誤差: : 天平示值變動性所引起的誤差為隨機誤差。多次重復稱天平示值變動性所引起的誤差為隨機誤差。多次重復稱量同一球的質(zhì)量的天平標準差為量同一球的質(zhì)量的天平標準差為 10.05mg(2)(2)未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差: : 標準砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，標準砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標準差），但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標準差），故這兩項誤差均屬未定系統(tǒng)誤差故這兩項誤差均屬未定系統(tǒng)誤差。 砝碼誤差砝碼誤差: : 天平稱量

39、時所用的標準砝碼有三個，天平稱量時所用的標準砝碼有三個，即即的一個，的一個， 的兩個，標準差分別為的兩個，標準差分別為: :10g20g故三個砝碼組合使用時，質(zhì)量的標準差故三個砝碼組合使用時，質(zhì)量的標準差為為 根據(jù)根據(jù)TC328BTC328B型天平的稱重方法，其測量結(jié)果的主要誤差如下：型天平的稱重方法，其測量結(jié)果的主要誤差如下：mgumgu2 . 0,4 . 01211mgmguuu5 . 02 . 024 . 02222122111誤差理論與數(shù)據(jù)處理 天平示值誤差天平示值誤差 該項標準差為該項標準差為: :第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成mgu03. 02 三項誤

40、差互不相關，且各個誤差傳播系數(shù)均為三項誤差互不相關，且各個誤差傳播系數(shù)均為1 1，因此誤，因此誤差合成后可得到測量結(jié)果的總標準差為差合成后可得到測量結(jié)果的總標準差為 最后測量結(jié)果應表示為（倍標準差）：最后測量結(jié)果應表示為（倍標準差）： 14.004g0.0005gM 222121uu 22203. 05 . 005. 0)(5 . 0mg誤差理論與數(shù)據(jù)處理第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配誤差分配誤差分配 給定測量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個單項誤差。給定測量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個單項誤差。 在誤差分配時，在誤差分配時，隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。同等看待。 假設

41、各誤差因素皆為隨機誤差，且互不相關，有：假設各誤差因素皆為隨機誤差，且互不相關，有：y22212yyyny 若已經(jīng)給定若已經(jīng)給定 ，如何確定，如何確定 D Di i 或相應的或相應的 i i , ,使其滿足使其滿足22221nyDDD式中，式中， 稱為部分誤差，或局部誤差稱為部分誤差，或局部誤差iiiiiaxfD誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、按等影響原則分配誤差一、按等影響原則分配誤差 等影響原則：等影響原則： 各分項誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即各分項誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即 12yyyynn由此可得：由此可得： 11/yyiiifxann或用極限誤差表示：或用極限誤差表示： 11/iiifxan

42、n 函數(shù)的總極限誤差函數(shù)的總極限誤差 各單項誤差的極限誤差各單項誤差的極限誤差 i第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配 進行誤差分配時，一般應按照下述步驟：進行誤差分配時，一般應按照下述步驟：誤差理論與數(shù)據(jù)處理二、按可能性調(diào)整誤差二、按可能性調(diào)整誤差 (1) (1) 對各分項誤差平均分配的結(jié)果，會造成對部分測量誤差對各分項誤差平均分配的結(jié)果，會造成對部分測量誤差的需求實現(xiàn)頗感容易，而對令一些測量誤差的要求難以的需求實現(xiàn)頗感容易，而對令一些測量誤差的要求難以達到。這樣，勢必需要用昂貴的高準確度等級的儀器，達到。這樣，勢必需要用昂貴的高準確度等級的儀器，或者以增加測量次數(shù)及測量成本為代價?；蛘咭栽黾訙y量次

43、數(shù)及測量成本為代價。按等影響原則分配誤差的不合理性按等影響原則分配誤差的不合理性 (2) (2) 當各個部分誤差一定時，則相應測量值的誤差與其傳播當各個部分誤差一定時，則相應測量值的誤差與其傳播系數(shù)成反比。所以各個部分誤差相等，相應測量值的誤系數(shù)成反比。所以各個部分誤差相等，相應測量值的誤差并不相等，有時可能相差較大。差并不相等，有時可能相差較大。 在等影響原則分配誤差的基礎上，根據(jù)具體情況進行適當在等影響原則分配誤差的基礎上，根據(jù)具體情況進行適當調(diào)整。對難以實現(xiàn)測量的誤差項適當擴大，對容易實現(xiàn)的誤差調(diào)整。對難以實現(xiàn)測量的誤差項適當擴大，對容易實現(xiàn)的誤差項盡可能縮小，其余誤差項不予調(diào)整。項盡可

44、能縮小，其余誤差項不予調(diào)整。 第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配誤差理論與數(shù)據(jù)處理 測量一圓柱體的體積時，可間接測量圓柱直徑測量一圓柱體的體積時，可間接測量圓柱直徑 D D 及高及高度度 h h，根據(jù)函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)式 三、驗算調(diào)整后的總誤差三、驗算調(diào)整后的總誤差 誤差按等影響原理確定后，應按照誤差合成公式計算實際誤差按等影響原理確定后，應按照誤差合成公式計算實際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應選擇可能縮小的誤差總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應選擇可能縮小的誤差項再進行縮小。若實際總誤差較小，可適當擴大難以實現(xiàn)的誤項再進行縮小。若實際總誤差較小，可適當擴大難以實現(xiàn)的誤差項的誤差，合成后與要求

45、的總誤差進行比較，直到滿足要求差項的誤差，合成后與要求的總誤差進行比較，直到滿足要求為止。為止。 第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配【例】【例】24DVh求得體積求得體積 V V ，若要求測量體積的相對誤差為，若要求測量體積的相對誤差為1 1，已知直徑，已知直徑和高度的公稱值分別為和高度的公稱值分別為 ， 試確定直徑試確定直徑 D D 及高度及高度 h h 的準確度。的準確度。 020mmD 050mmh 誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、按等影響分配原則分配誤差一、按等影響分配原則分配誤差得到測量直徑得到測量直徑 D D 與高度與高度 h h 的極限誤差的極限誤差: : 120.071mmVVDVDhnnD2

46、140.351mmVVhVDnnh第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配【解】【解】 計算體積計算體積 0V2230003.1416 205015708mm44DVh體積的絕對誤差體積的絕對誤差: : 3301%15708mm1%157.08mmVV誤差理論與數(shù)據(jù)處理 用這兩種量具測量的體積極限誤差為用這兩種量具測量的體積極限誤差為 222278.54VDhVVmmDh因為因為 3378.54157.08Vmmmm 查資料，可用分度值為查資料，可用分度值為0.10.1mmmm的游標卡尺測高的游標卡尺測高 ，在在5050mmmm測量范圍內(nèi)的極限誤差為，用測量范圍內(nèi)的極限誤差為，用0.020.02mmmm的

47、游標的游標卡尺測直徑，在卡尺測直徑，在2020mmmm范圍內(nèi)的極限誤差為范圍內(nèi)的極限誤差為 。 20mmD 50mmh 0.150mm0.04mm第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配二、調(diào)整后的測量極限誤差二、調(diào)整后的測量極限誤差顯然顯然D D采用的量具準確度偏高，選得不合理，應作適當調(diào)整。采用的量具準確度偏高，選得不合理，應作適當調(diào)整。若改用分度值為若改用分度值為0.050.05mmmm的游標卡尺來測量直徑和高度，在的游標卡尺來測量直徑和高度，在5050mmmm測量范圍內(nèi)的極限誤差為測量范圍內(nèi)的極限誤差為 。此時測量直徑的極限誤差雖。此時測量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從

48、測量高度允許超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測量高度允許的多余部分得到補償。的多余部分得到補償。 0.08mm誤差理論與數(shù)據(jù)處理調(diào)整后的實際測量極限誤差為調(diào)整后的實際測量極限誤差為 22222128.1524VDhDhDmm因為因為 33128.15157.08Vmmmm 因此調(diào)整后用一把因此調(diào)整后用一把0.05mm0.05mm游標卡尺測量直徑和高度即能游標卡尺測量直徑和高度即能保證測量準確度。保證測量準確度。 第五節(jié)誤差分配第五節(jié)誤差分配誤差理論與數(shù)據(jù)處理微小誤差微小誤差 測量過程包含有多種誤差時，當某個誤差對測量結(jié)果總誤測量過程包含有多種誤差時，當某個誤差對測量結(jié)果總誤差的影響，

49、可以忽略不計的誤差。差的影響，可以忽略不計的誤差。已知測量結(jié)果的標準差：已知測量結(jié)果的標準差： 若將其中的部分誤差取出后，則得若將其中的部分誤差取出后，則得 如果如果 ，yy則稱為微小誤差則稱為微小誤差 第六節(jié)微小誤差取舍準則第六節(jié)微小誤差取舍準則2212212221nkkkyDDDDDDkDkD222221211ykknDDDDD 誤差理論與數(shù)據(jù)處理測量誤差的有效數(shù)字取一位：測量誤差的有效數(shù)字取一位： 某項部分誤差舍去后，滿足：某項部分誤差舍去后，滿足： 或或則對測量結(jié)果的誤差計算影響比較小。則對測量結(jié)果的誤差計算影響比較小。 測量誤差的有效數(shù)字取二位：測量誤差的有效數(shù)字取二位： 或或 對于

50、隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍區(qū)準則是被舍去對于隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍區(qū)準則是被舍去的誤差必須小于或等于測量結(jié)果的十分之一到三分之一。對于已的誤差必須小于或等于測量結(jié)果的十分之一到三分之一。對于已定系統(tǒng)誤差，按百分之一到十分之一原則取舍。定系統(tǒng)誤差，按百分之一到十分之一原則取舍。 第六節(jié)微小誤差取舍準則第六節(jié)微小誤差取舍準則 某項部分誤差舍去后，滿足：某項部分誤差舍去后，滿足： 應用：應用： 計算總誤差或進行誤差分配時，若發(fā)現(xiàn)有微小誤差，可不計算總誤差或進行誤差分配時，若發(fā)現(xiàn)有微小誤差，可不考慮該項誤差對總誤差的影響?？紤]該項誤差對總誤差的影響。 選擇高一級精度的標準器具時，其

51、誤差一般應為被檢器具選擇高一級精度的標準器具時，其誤差一般應為被檢器具允許誤差的允許誤差的1/101/103/103/10。0.1 0.05yyy0.01 0.005yyy(0.4 0.3)ykyD13ykyD(0.14 0.1)ykyD110ykyD誤差理論與數(shù)據(jù)處理最佳測量方案的確定：最佳測量方案的確定： 當測量結(jié)果與多個測量因素有關時，采用什么方法確定當測量結(jié)果與多個測量因素有關時，采用什么方法確定各個因素，才能使測量結(jié)果的誤差最小。各個因素，才能使測量結(jié)果的誤差最小。 研究間接測量中使函數(shù)誤差為最小的最佳測量方案。函研究間接測量中使函數(shù)誤差為最小的最佳測量方案。函數(shù)的標準差為：數(shù)的標準差為： 2222221212yxxxnnfffxxx欲使欲使 為最小，可從哪幾方面來考慮？為最小，可從哪幾方面來考慮？ y第七節(jié)最佳測量方案的確定第七節(jié)最佳測量方案的確定考慮因素：考慮因素： 因為已定系統(tǒng)誤差可以通過誤差修正的方法來消除，所因為已定系統(tǒng)誤差可以通過誤差修正的方法來消除，所以設計最佳測量方案時，只需考慮隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差以設計最佳測量方案時，只需考慮隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差的影響。的影響。 研究對象和目標：研究對象和目標： 誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、選擇最佳函數(shù)誤差公式一、選擇最佳函數(shù)誤差公式 間接測量中如果可由不同的函數(shù)公式來表示