第03章 概率與分布

1、第03章 概率與分布Outline第一節(jié) 概率 古典和統(tǒng)計定義、概率的性質(zhì)、加法和乘法定理第二節(jié) 二項分布離散形分布的代表 適用條件第三節(jié) 正態(tài)分布 性質(zhì)、查表、應(yīng)用 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)第一節(jié) 概率probability一、概率二、二項式定理幾個概念確定性現(xiàn)象：一定條件下必然發(fā)生某種結(jié)果 必然現(xiàn)象 沸騰 不可能現(xiàn)象隨機現(xiàn)象random event ：一定條件下結(jié)果不定 如：擲硬幣后哪面朝上？ 某患者服用某降壓新藥后：降？不變？生 偶然性和必然性隨機試驗和隨機事件隨機試驗 對隨機現(xiàn)象的一次觀察隨機事件 簡稱事件，指隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能的結(jié)果 必然事件：包含所有可能結(jié)果 不可能事件：不包含

2、任何結(jié)果試驗 試驗結(jié)果（事件）拋擲一枚硬幣正面，反面對某一零件進(jìn)行檢驗 合格，不合格投擲一顆骰子1，2，3，4，5，6進(jìn)行一場足球比賽獲勝，失利，平局頻率和概率頻率 frequency N次重復(fù)試驗中A事件發(fā)生的次數(shù)為n，那么事件A發(fā)生的頻率概率 probability 當(dāng)N趨向于無窮大時，事件A發(fā)生的頻率趨向于一個固定值，這就是事件發(fā)生的概率P(A) NnAFN投擲硬幣正面朝上的次數(shù)實驗者NnHnH/N德摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069K皮爾遜1200060190.5016K皮爾遜24000120120.5005N為投擲硬幣的次數(shù)，nH為正面朝上的次數(shù)2.概率

3、當(dāng)試驗次數(shù)N無限增大時，事件A發(fā)生的頻率n/N 穩(wěn)定在一個確定的常數(shù)附近，這就是事件A發(fā)生的概率注：試驗滿足條件每次試驗中某一事件發(fā)生的可能性不變試驗?zāi)艽罅恐貜?fù)，且每次試驗相互獨立 NnAPN lim古典的概率定義如果某一隨機試驗的結(jié)果有限（注：任何一個可能的結(jié)果就是一個基本事件），且各個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則某一事件A發(fā)生的概率為：注：概率的統(tǒng)計定義是后驗概率，而古典定義為先驗概率件數(shù)試驗所有可能的基本事包含的基本事件數(shù)事件AAP)(判斷以下哪些試驗符合概率的古典定義的要求？試驗 試驗結(jié)果（事件）拋擲一枚硬幣正面，反面對某一零件進(jìn)行檢驗合格，不合格不符合概率的古典定義投擲一顆骰子1，2，3

4、，4，5，6進(jìn)行一場足球比賽獲勝，失利，平局不符合概率的古典定義練習(xí)求擲一顆骰子其點數(shù)小于5的概率是多少 解：投擲骰子試驗中, 可能的點數(shù)1, 2, 3, 4, 5, 6，試驗結(jié)果有限，6個試驗結(jié)果以均等的可能發(fā)生事件A=1, 2, 3, 4，P(A)=4/6=2/3概率的性質(zhì)對任意事件A，0P(A)1必然事件的概率為1 ，即P(W)1不可能事件的概率為0，P()0逆事件的概率P(讀“非A”)=1P(A) 什么是逆事件？（三）概率的兩個定理1.加法定理2.乘法定理概率的加法定理-若A、B是兩個相互獨立的事件，則A和B至少有一個發(fā)生的概率是：P(A+B)=P(A)+P(B)-推廣到n個獨立事件：

5、 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)例 求擲一顆骰子其點數(shù)小于5的概率 某一考生完全憑猜測答兩道是非題，求其答對一題的概率概率的乘法定理-若A、B是兩個相互獨立的事件，則A和B同時發(fā)生的概率是：P(A B)=P(A) P(B)-推廣到n個獨立事件： P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)例 求擲兩顆骰子其點數(shù)為12的概率和為11的概率 求擲兩顆骰子其點數(shù)不等的概率 憑猜測完全答對10題4選1選擇題的概率 二戰(zhàn)中飛行員在每次轟炸任務(wù)中被擊中的機會是2%，那么執(zhí)行50次任務(wù)“在數(shù)學(xué)上”就一定被擊中嗎？因為502% = 100% N個人當(dāng)中至少有兩個人的生日是同一

6、天的概率是多少？二、二項分布（一）排列與組合（二)二項式定理排列 permutation從n個不同的元素中，任取m（mn）個不同的元素，按一定順序排成一列12 23m-1m空位空位填法填法nn-1n-2n-(m-2) n-(m-1) !123.211.21nnnnPnmmnnnnPnmnmn全排列時，當(dāng)選排列時，當(dāng)練習(xí)用四個數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的二位數(shù)？多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？12/24思考：如果數(shù)字可以重復(fù)，上題的答案又是多少？2的四次方=16/4的四次方=256組合 combination從n個不同的元素中，任取m（mn）個不同的元素，不管順序并成一組組合的性質(zhì)

7、!11mnmnmmnnnPPCmmnmnmnmnmnmnnmnCCCCC11. 2. 1（二）二項式第二節(jié) 二項分布一、二項分布二、二項分布的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差一、二項分布 binominal distribution離散型分布的一種。每次隨機試驗只有兩種可能的結(jié)果：A及，P(A)=p，P()1pq (0p1)。n次獨立試驗下，事件A發(fā)生的次數(shù)為x的概率：nxqpCxXPxnxxn, 2 , 1 , 0練習(xí)全憑猜測答10道是非題，問分別答對5、6、7、8、9、10題的概率各為多少？至少答對5題的概率又是多少？0.000000.000000.050000.050000.100000.100000

8、.150000.150000.200000.200000.250000.250000.300000.300000 01 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 x xp p xPCxxn練習(xí)全憑猜測答10道4選1選擇題，問分別答對8、9、10題的概率各為多少？至少答對1題的概率又是多少？至少答對9題的概率是多少？0 0. .0 00 00 00 00 00 00 00 0. .0 05 50 00 00 00 00 00 0. .1 10 00 00 00 00 00 00 0. .1 15 50 00 00 00 00 00 0. .2 20 00 00 00 00 00

9、 00 0. .2 25 50 00 00 00 00 00 0. .3 30 00 00 00 00 00 00 01 12 23 34 45 56 67 78 89 91 10 0 x xP P xPCxxn練習(xí)：馬丁服裝店問題商店經(jīng)理估計進(jìn)入該服裝店的任一顧客購買服裝的概率是0.30, 那么三個顧客中有兩個購買的概率是多少?分析： 試驗包含了三個相同的試驗，進(jìn)入商店的三個顧客中的任一個即為一次試驗 每次試驗都有兩個結(jié)果：顧客購買或不購買 顧客購買的概率(0.30)或不購買的概率(0.70)被假設(shè)為對所有顧客都相等 某個顧客的購買決定獨立于其他顧客的購買決定189. 07 . 03 . 0

10、)2(1223CXP某保險公司有2500個同一年齡同一階層的人參加了壽命保險。已知1年內(nèi)這批人的死亡水平為0.002，每個參加保險的人需在年初支付保險費12元，如果發(fā)生死亡，保險公司賠付2000元。保險公司虧本的概率是多少？保險公司獲利不少于10000元的概率是多少？解：設(shè)X為死亡人數(shù)，如果122500 15時，保險公司要賠本。p = 0.002獲利10000元，即1225002000X10000, 即X1015025002500000069. 0)002. 01 ()002. 0(1)15(1)15(mmmmCXPXP100250025009863. 0)002. 01 ()002. 0()

11、10(mmmmCXP二項分布的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)n趨向于無窮大時，二項分布趨向于正態(tài)分布，此時，二項分布的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差是？npqnpqnp2 練習(xí)擲硬幣試驗。有10個硬幣擲一次，或1個硬幣擲10次。問5次正面向上的概率是多少?5次及5次以上正面向上的概率是多少? 練習(xí)某測驗中有10道正誤選擇題，試分析學(xué)生的掌握情況或猜測的可能性。分析步驟 分析已知條件 求均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 確定一定可信度時的掌握程度結(jié)果解釋第三節(jié) 正態(tài)分布一、正態(tài)分布二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布三、正態(tài)分布表的使用四、正態(tài)分布的一些實際應(yīng)用正態(tài)分布的概率密度函數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機變量x具有概率密度：稱x服從參數(shù)為, 的正態(tài)分布normal

12、distribution或高斯分布Gaussian distribution，記為 xN (, 2)，其中，為隨機變量x的均值，為隨機變量x的標(biāo)準(zhǔn)差，為圓周率3.14159，e為自然對數(shù)的底2.71828xexfx,21)(222正態(tài)（概率密度）曲線的特點1.正態(tài)分布位于X軸上方，以均數(shù)為對稱軸，向左右無限延伸，以x軸為漸近線。2.當(dāng)x時有最大值： 3.概率密度曲線和x軸之間的面積等于14.正態(tài)分布是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布21)(f當(dāng)x時，正態(tài)分布有最大值當(dāng)x時有最大值：x離越遠(yuǎn)，f(x)的值越小并逐漸趨向0 這表明對于同樣長度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離越遠(yuǎn)，X落入?yún)^(qū)間上的概率越小21)(f概率密

13、度曲線和x軸之間的面積等于1 概率Px1x x2 什么是收尾概率，收尾面積？關(guān)于x對稱 對任意h0，有P-h x =P x + h正態(tài)分布是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布如果固定改變的值，則圖形沿x軸平移，而不改變形狀如果固定改變，由最大值 可知，當(dāng)越小時圖形就變得越尖，因而x落在附近的概率就越大21)(f如何理解概率密度曲線？假設(shè)有一根無限長的棍子，總的質(zhì)量為1。棍子的中心部分密度比較大，而兩端較輕。如果把棍子切成同樣長度的一段一段，那么中間部分的一段比邊上的重二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布0， 1時，有xeexfxx,2121)(22222三、正態(tài)分布表的使用正態(tài)分布表包括3列：第一列表示曲線底線即橫軸上

14、的位置，用Z表示；第二列是縱高Y，即曲線的高度；第三列是陰影部分的面積，用P表示，即概率P。1.正態(tài)分布表只列出Z0所對應(yīng)的縱高和面積。當(dāng)Z0時，可根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，在正態(tài)分布表中查出對應(yīng)的縱高和面積。2.對服從正態(tài)分布的變量x,先通過Z分?jǐn)?shù)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，才能查表。四、正態(tài)分布的一些應(yīng)用（一）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（二）若考試成績服從正態(tài)分布，確定錄取分?jǐn)?shù)線。（三）確定在正態(tài)分布下特定分?jǐn)?shù)界限內(nèi)的考生人數(shù)。（一）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)又稱為Z分?jǐn)?shù)，它以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，反映了一個原始分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處的位置。由原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得到的Z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。當(dāng)X是以為平均數(shù)，2為方差的正態(tài)分布總體，則經(jīng)過轉(zhuǎn)換后得到的標(biāo)準(zhǔn)

15、分?jǐn)?shù)所產(chǎn)生的新總體為正態(tài)，且均數(shù)為0，方差為1。Z分?jǐn)?shù)的性質(zhì) Z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為0 Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1SXxZxZ樣本：總體：正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化) 1 , 0(),(2NXZNX標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用比較分屬性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中相對位置的高低. 如：某人 Z身高1.70=0.5, Z體重65=1.2, 則該人在某團(tuán)體中身高稍偏高，而體重更偏重些當(dāng)已知各不同質(zhì)的觀測值的次數(shù)分布為正態(tài)時,可用Z分?jǐn)?shù)求不同的觀測值的總和或平均值，以表明在總體中的位置.標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)帶有小數(shù)點、多位小樹和負(fù)值的缺陷，因此，需把標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化到新的量制上表示分?jǐn)?shù)。轉(zhuǎn)換公式：T=kZ+c把標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)擴大k倍，再移到c

16、這個中心位置來表示分?jǐn)?shù)。（1）k值不應(yīng)小于原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。（2）c不應(yīng)小于3k（一般考試）或4k（大樣本）T分?jǐn)?shù)的平均數(shù)必為c，標(biāo)準(zhǔn)差必為k。原始分?jǐn)?shù) 全體考生 Z 分?jǐn)?shù) 科目 甲 乙 平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 甲 乙 語文 政治 外語 數(shù)學(xué) 理化 85 89 70 62 68 72 53 40 72 87 70 10 65 5 69 8 50 6 75 8 1.500 1.900 1.0 -0.600 -0.125 0.375 0.500 -1.670 -0.375 1.500 總計 348 350 2.500 1.505 練習(xí)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表僅給出Z為正值時的P和對應(yīng)的Y 當(dāng)Z為負(fù)值時利用對稱性求相

17、應(yīng)的P和Y對于XN(, 2)先化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布再查表 p(0zZ)=P Z表示臨界值 幾個常用值 6827.234134.p9545.247725.p9973.24986.p1：2：3：1.96：2.58：95.2475.p99.249506.p練習(xí)例：XN(0,1)，求以下概率1)P(0 x1)2) P(x1)3) P(x-1)4)P(1x-1)3準(zhǔn)則當(dāng)XN(, 2)時,有P(|x| )0.6826P(|x| 2)0.9545P(|x| 3 )0.9973 當(dāng)XN(0,1)時有P(|x| 1)0.6826P(|x| 2)0.9545P(|x| 3)0.9973X的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)

18、間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%，如果某個值在|x- | 3之外,可以判定為異常值練習(xí)在某年高考的平均分?jǐn)?shù)為500，標(biāo)準(zhǔn)差為100的正態(tài)總體中，某考生得到650分。設(shè)當(dāng)年高考錄取率為10，問該生成績能否入圍？解：該生的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為：Z(650-500)/100=1.5，查正態(tài)分布表,當(dāng)Z=1.5時，p=0.433，從低分到高分的順序中他處于93.3%的位置，從高分到低分的順序中他處于6.7%的位置練習(xí)某市參加數(shù)學(xué)奧林匹克業(yè)余學(xué)校入學(xué)考試的人數(shù)為2800人，只錄取學(xué)生150人，該次考試的平均分為75分，標(biāo)準(zhǔn)差為8，問錄取分?jǐn)?shù)應(yīng)定為多少？解：考試成績服從正態(tài)分布，即XN(75, 82)，轉(zhuǎn)

19、換標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z N(0, 1)。根據(jù)題意招生人數(shù)的概率為：P(ZZ0) = 150/2800 = 0.05357P(0Z Z0) = 0.50.05357 = 0.44643查正態(tài)分布表，得Z0 = 1.6112X0= 75 + 1.61128 = 87.8894 88練習(xí)假設(shè)成人智商服從均數(shù)為100，標(biāo)準(zhǔn)差為15的正態(tài)分布。如果智商大于160的都是天才，那么請問100萬人里有幾個天才？練習(xí)資料：例如根據(jù)我國國家體委、原教育部、衛(wèi)生部1978年至1980年對全國16個省市20余萬名青少年兒童進(jìn)行的“中國青少年兒童身體形態(tài)、機能、素質(zhì)調(diào)查研究”的資料，其中1825歲男青年的平均身高是170.5厘米，標(biāo)準(zhǔn)差5.75厘米,這可以作為確定我國城市成年男性平均身高的重要依據(jù)。姚明的身高為224cm，求所對應(yīng)的Z，以及身高在224cm以上的成年男性所占的比例。姚明：如果上天再給我一次機會 我不要2米24身高但除了打籃球，長得高還有什么好處呢？“上面的空氣新鮮一些?！边@是姚明的回