高等數(shù)學(xué)教學(xué)高數(shù)多元函數(shù)微分學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高等數(shù)學(xué)教學(xué)高數(shù)多元函數(shù)微分學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)高數(shù)多元函數(shù)微分學(xué)、內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)、外外點(diǎn)點(diǎn)、邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)2.是是一一個(gè)個(gè)平平面面點(diǎn)點(diǎn)集集設(shè)設(shè)E內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義：的的為為則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)使使鄰域鄰域點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)并且存在并且存在若點(diǎn)若點(diǎn)EPEPUPUPEP,),(),(, 外外點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義：的的為為稱點(diǎn)稱點(diǎn)則則為空集為空集使使鄰域鄰域點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)并且存在并且存在若點(diǎn)若點(diǎn)EPEPUPUPEP,),(),(, 內(nèi)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)。外外點(diǎn)點(diǎn)。第1頁(yè)/共107頁(yè)邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義：的的是是則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)的點(diǎn)的點(diǎn)也有不屬于也有不屬于的點(diǎn)的點(diǎn)既有屬于既有屬于的任意的鄰域內(nèi)的任意的鄰域內(nèi)若點(diǎn)若點(diǎn)EPEEP

2、,邊邊界界的的定定義義：的的的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為 EE邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)。邊邊界界。第2頁(yè)/共107頁(yè)、聚聚點(diǎn)點(diǎn)、孤孤立立點(diǎn)點(diǎn)3是是一一個(gè)個(gè)平平面面點(diǎn)點(diǎn)集集設(shè)設(shè)E聚聚點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義：的的為為則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，的任意鄰域都含有的任意鄰域都含有若點(diǎn)若點(diǎn)EPEP孤立點(diǎn)定義：孤立點(diǎn)定義：的的為為則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)，外其余各點(diǎn)都不屬于外其余各點(diǎn)都不屬于除了點(diǎn)除了點(diǎn)的某一個(gè)鄰域內(nèi)的某一個(gè)鄰域內(nèi)若點(diǎn)若點(diǎn)EPEPP, PDE ?；蚧驑O極限限點(diǎn)點(diǎn)聚聚點(diǎn)點(diǎn))(孤立點(diǎn)。孤立點(diǎn)。第3頁(yè)/共107頁(yè)、開開集集、連連通通集集、區(qū)區(qū)域域4是是一一個(gè)個(gè)平平面面點(diǎn)點(diǎn)集集設(shè)設(shè)E開開集集的的定定義義：為

3、為則稱則稱的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)的任一點(diǎn)都是的任一點(diǎn)都是若若EEE,連連通通集集的的定定義義：是是則稱則稱來(lái)來(lái)連續(xù)曲線將它們連接起連續(xù)曲線將它們連接起內(nèi)的內(nèi)的可以用一條完全在可以用一條完全在內(nèi)的任何兩點(diǎn)都內(nèi)的任何兩點(diǎn)都若若EEE,開開集集。連連通通集集。第4頁(yè)/共107頁(yè)的的定定義義：開開區(qū)區(qū)域域區(qū)區(qū)域域)(開開集集稱稱為為連連通通的的閉閉區(qū)區(qū)域域的的定定義義：稱為稱為的點(diǎn)集的點(diǎn)集區(qū)域連同它的邊界組成區(qū)域連同它的邊界組成,。簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱為為區(qū)區(qū)域域開開區(qū)區(qū)域域)(閉區(qū)域。閉區(qū)域。第5頁(yè)/共107頁(yè)有有界界點(diǎn)點(diǎn)集集的的定定義義：為為則稱則稱使得使得若存在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域若存在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域EDEMyxyxD,)

4、,( 222 無(wú)無(wú)界界點(diǎn)點(diǎn)集集。否則就稱為否則就稱為.有有界界點(diǎn)點(diǎn)集集第6頁(yè)/共107頁(yè)nRn維維空空間間、5nnRnxxxxn:,),.,(321記為記為維空間維空間稱為稱為的全體構(gòu)成的集合的全體構(gòu)成的集合元有序?qū)崝?shù)組元有序?qū)崝?shù)組將所有將所有:,),.,(),.,(2121之之間間的的距距離離為為和和設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)QPRyyyQxxxPnnn 區(qū)域等一系列概念。區(qū)域等一系列概念。開集開集聚點(diǎn)聚點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)集的情況產(chǎn)生有關(guān)鄰域集的情況產(chǎn)生有關(guān)鄰域上也可以類似于平面點(diǎn)上也可以類似于平面點(diǎn)在在,nR2222211)(.)()(nnxyxyxyPQ 第7頁(yè)/共107頁(yè)二、多元函數(shù)概念二、多元函數(shù)概念、定義定

5、義1,2RMRD 和一個(gè)實(shí)數(shù)集和一個(gè)實(shí)數(shù)集給定一個(gè)平面點(diǎn)集給定一個(gè)平面點(diǎn)集,f法法則則若若按按照照某某一一確確定定的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)都有惟一的都有惟一的內(nèi)每一數(shù)對(duì)內(nèi)每一數(shù)對(duì)),(yxD,與與它它相相對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)Mz 上的上的是定義在是定義在則稱則稱Df.),(的的函函數(shù)數(shù)或或稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)yxPDPPfzDyxyxfz , )(;),(, ),(:或或記記為為的的稱稱為為函函數(shù)數(shù)平平面面點(diǎn)點(diǎn)集集fD稱稱為為yx,),(zfyxD所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根據(jù)據(jù)法法則則中中任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)稱為稱為處處的的的的全全體體函函數(shù)數(shù)值值集集合合函函數(shù)數(shù)f),(),()(MDyxyxf

6、zzDf 的的稱稱為為函函數(shù)數(shù)f二元函數(shù)二元函數(shù),定定義義域域;自自變變量量也稱為也稱為z,函函數(shù)數(shù)值值,因變量因變量值值域域。第8頁(yè)/共107頁(yè)空間直角坐標(biāo)系的介紹空間直角坐標(biāo)系的介紹成成右右手手系系z(mì)yx,第9頁(yè)/共107頁(yè)、例例122222).3(;).2(;).1(yxzxyzyxaz 圖形圖形熟悉下列函數(shù)所表示的熟悉下列函數(shù)所表示的:)1(222的圖形為的圖形為、yxaz 解解:)2(的的圖圖形形為為、xyz 的的圖圖形形為為：、22)3(yxz 第10頁(yè)/共107頁(yè)、定義定義2的因變量。的因變量。稱為稱為的自變量的自變量稱為稱為的定義域的定義域稱為函數(shù)稱為函數(shù)其中其中或?qū)懗牲c(diǎn)函數(shù)的

7、形式或?qū)懗牲c(diǎn)函數(shù)的形式記作記作元函數(shù)元函數(shù)上的上的是定義在是定義在則稱則稱與它相對(duì)應(yīng)與它相對(duì)應(yīng)都有惟一的一個(gè)實(shí)數(shù)都有惟一的一個(gè)實(shí)數(shù)內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)則則若按某一確定的對(duì)應(yīng)法若按某一確定的對(duì)應(yīng)法為實(shí)數(shù)集為實(shí)數(shù)集維空間的點(diǎn)集維空間的點(diǎn)集是是設(shè)設(shè)fufxxxfEREPPfuExxxxxxfunEfRuxxxPEfRnEnnnnn,., )(),.,(, ),.,(,),.,(,21212121 第11頁(yè)/共107頁(yè)、例例2).2)()3();1arcsin(2)2();12ln()1(,22222zyxyxzuyxyxzyxz 、并作出定義域的草圖并作出定義域的草圖求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域

8、解解:;012),( :)1(圖形為圖形為、定義域?yàn)?、定義域?yàn)?yxyxD:;20 , 02),( :)2(圖形為圖形為、定義域?yàn)?、定義域?yàn)?yxyxyxD第12頁(yè)/共107頁(yè))2)()3(22222zyxyxzu 、:2),( :)3(2222圖形如下圖形如下、定義域?yàn)?、定義域?yàn)閥xzyxzyxD 解解)(2122011星星期期一一日日月月年年第13頁(yè)/共107頁(yè)三、多元函數(shù)的重極限三、多元函數(shù)的重極限、定義定義3;,),(,),(000為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù)的一個(gè)聚點(diǎn)的一個(gè)聚點(diǎn)是是點(diǎn)點(diǎn)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)ADyxPDyxfz ,),(,),()()(0,20200成立成立都有都有的一

9、切點(diǎn)的一切點(diǎn)不等式不等式中適合中適合使得使得總存在正數(shù)總存在正數(shù)數(shù)數(shù)如果對(duì)于任意給定的正如果對(duì)于任意給定的正 AyxfDyxPyyxxPPD的的函數(shù)函數(shù)即即時(shí)時(shí)為當(dāng)為當(dāng)那么稱實(shí)數(shù)那么稱實(shí)數(shù)),(),( ,000yxfzyyxxPPA ,極極限限APfAyxfPPyyxx )(lim),(lim000或或記為記為此極限又稱為此極限又稱為二重極限。二重極限。第14頁(yè)/共107頁(yè)、例例3. 01sin)(lim222200 yxyxyx用定義證明用定義證明證明證明, 0 222222)sin()(yxyxyx 22yx令令,22 yx, )sin()(,0222222yxyxyx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0sin

10、)(lim2212200 yxyxyx、例例4:求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的極極限限、)1(2)42sin(lim2211 yxyxyxyx解解2)2)(2sin(lim2)42sin(lim112211 yxyxyxyxyxyxyxyx第15頁(yè)/共107頁(yè)2)2)(2(lim11 yxyxyxyx2)2)(2sin(lim2)42sin(lim112211 yxyxyxyxyxyxyxyx. 4)2(lim11 yxyx、)2(222200)(1lnlimyxyxxyx 解解222200222200)(lim)(1lnlimyxyxxyxyxxyxyx . 0lim00 xyx第16頁(yè)/共107

11、頁(yè)、例例5討討論論下下列列極極限限是是否否存存在在、)1(2200limyxxyyx 解解22220220limlimxkxkxyxxyxkxyx 201limkkx 21kk 有有關(guān)關(guān)與與k.lim2200不存在不存在yxxyyx 、)2(2200limyxxyyx 解解 222222210yxyxyxxy)0, 0( , 02122 yxyx0lim0lim22002200 yxxyyxxyyxyx夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則第17頁(yè)/共107頁(yè)、)3(242002limyxyxyx 解解, 00lim00lim2lim04024200 xxyxxyxyx, 00lim200lim2lim020242

12、00 yyyxyyxyx444024202lim2lim2xxxyxyxxxyx 03131lim0 x.2lim24200不存在不存在yxyxyx 第18頁(yè)/共107頁(yè)四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性、定義定義4.,),(,),(00002DPDyxPRDyxfz 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)是是點(diǎn)點(diǎn)上上定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)).,(),(,),(,),(),(00000000yxfyxPyxfyxPyxP點(diǎn)的函數(shù)值點(diǎn)的函數(shù)值且等于且等于存在存在的極限的極限函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)如果當(dāng)如果當(dāng))()(lim),(),(lim000000PfPfyxfyxfPPyyxx 或或即即處處連連續(xù)續(xù)。在在點(diǎn)點(diǎn)那那么么稱

13、稱函函數(shù)數(shù)),(),(000yxPyxf?；虿贿B續(xù)點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)為該函數(shù)的間斷點(diǎn)為該函數(shù)的間斷點(diǎn)稱稱處間斷處間斷在點(diǎn)在點(diǎn)否則稱函數(shù)否則稱函數(shù))(),(,),(),(000000yxPyxPyxf一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。第19頁(yè)/共107頁(yè)、例例6討討論論下下列列函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性、)1( 00023),(222222yxyxyxxyyxf解解.,23),(,02222連續(xù)連續(xù)且有定義且有定義是初等函數(shù)是初等函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yxxyyxfyx 22220023lim),(limxkxkxyxfxkxyx 有關(guān)有關(guān)與與kkkkkx220213

14、213lim 不不存存在在),(lim00yxfyx.),()0 , 0(的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是yxf第20頁(yè)/共107頁(yè)、)2(11),(2 yxyxf解解.,11),(,0122連續(xù)連續(xù)有定義有定義是初等函數(shù)且是初等函數(shù)且時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yxyxfyx,11),(,0122無(wú)定義無(wú)定義時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yxyxfyx.01),( :),(2 yxyxyxf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的集集合合為為、例例742102)(2limyxyxeyxyx 求極限求極限解解.21)1(20)10()1(22)(2lim4204210 eyxyxeyxyx第21頁(yè)/共107頁(yè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的重要性質(zhì)如下在有界閉區(qū)域

15、上連續(xù)的多元函數(shù)的重要性質(zhì)如下：)(1 最最大大最最小小值值定定理理、定定理理 DPPfPfPfPDPPDDfD ,2121恒有恒有點(diǎn)點(diǎn)上任意上任意使對(duì)使對(duì)和和上有點(diǎn)上有點(diǎn)亦即在亦即在最大值和最小值最大值和最小值上必有上必有在在上連續(xù)的多元函數(shù)上連續(xù)的多元函數(shù)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域第22頁(yè)/共107頁(yè))(2 介介值值定定理理、定定理理。之間的任何值至少一次之間的任何值至少一次上取得介于這兩個(gè)值上取得介于這兩個(gè)值在在則函數(shù)則函數(shù)得兩個(gè)不同的函數(shù)值得兩個(gè)不同的函數(shù)值上取上取如果在如果在上連續(xù)的多元函數(shù)上連續(xù)的多元函數(shù)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域DfDfD,第23頁(yè)/共107頁(yè)第二節(jié)、偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)、偏

16、導(dǎo)數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù):),(0000的斜率的斜率點(diǎn)處的切線點(diǎn)處的切線求綠線在求綠線在xTzyxP 0),(:yyyxfz綠線方程為綠線方程為 xxzxxzkxx )()(lim000.),(),(lim00000 xyxfyxxfx :),(0000的斜率的斜率點(diǎn)處的切線點(diǎn)處的切線求藍(lán)線在求藍(lán)線在yTzyxP 0),(:xxyxfz藍(lán)線方程為藍(lán)線方程為 yyzyyzkxy )()(lim000.),(),(lim00000yyxfyyxfx 第24頁(yè)/共107頁(yè))(1 二二元元函函數(shù)數(shù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的定定義義、定定義義),(),(,)(),(00000000yxfyxxfxxxyyyxy

17、xfz 相應(yīng)的函數(shù)有增量相應(yīng)的函數(shù)有增量時(shí)時(shí)處有增量處有增量在在而而固定在固定在當(dāng)當(dāng)?shù)哪赤徲騼?nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 0000,00000000000,),(, ),(,)(),(,),(),(limyxyxxxxxzxfyxzyxfyxyxfzxyxfyxxf 或或記作記作處關(guān)于處關(guān)于在點(diǎn)在點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)存在存在如果極限如果極限 .,),(, ),(),(),(lim)(),(,0000,00000000000yxyxyyyyzyfyxzyxfyyxfyyxfyxyxfz 或或記作記作定義為定義為處關(guān)于處關(guān)于在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)類似地類似地的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)

18、x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)y第25頁(yè)/共107頁(yè) yzyfzyxfxzxfzyxfyyxx ,，記為：，記為：偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)nnxuxuxuxxxfun ,.,),.,(2121的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)元函數(shù)元函數(shù)可類似定義可類似定義),.,3 , 2 , 1(),.,.,(),.,.,(lim2111210nkxxxxxfxxxxxxxfxuknknkkkkxkk 、例例1處的偏導(dǎo)數(shù)。處的偏導(dǎo)數(shù)。在點(diǎn)在點(diǎn)求求)2 , 1(322yxyxz 解解 xxzyxyx)3(22,32yx . 92322, 1 xz yyzyxyx)3(22,23yx . 72232, 1 xz、例例2的偏

19、導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。求求yxz2sin2 解解;2sin2)2sin(2yxyxzxx .2cos2)2sin(22yxyxzyy )(2322011星星期期三三日日月月年年第26頁(yè)/共107頁(yè)、例例3的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。求函數(shù)求函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zyxyxyxxyz;0,0,0222222 解解,022時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx2222222)()(yxyxxyxyx ;)()(22222222222yxxyyyxxxyxy .)(,22222yxyxxyz 同理同理,022時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yxxzxzxzx)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 ; 00lim0lim000022 xxxxxyzyzyzy

20、)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 . 00lim0lim000022 yyyyy 0,00,)(222222222yxyxyxxyyxz 0,00,)(222222222yxyxyxyxxyz xyxxyxz22第27頁(yè)/共107頁(yè)二、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義.),(,(),(:),(),(00000000處的切線的斜率處的切線的斜率在點(diǎn)在點(diǎn)的交線的交線曲面與平面曲面與平面的的是二元函數(shù)是二元函數(shù)yxfyxyyyxfzyyyxfzyxfx .),(,(),(),(),(00000000處的切線的斜率處的切線的斜率在點(diǎn)在點(diǎn)的交線的交線曲面與平面曲面與平面

21、的的是二元函數(shù)是二元函數(shù)yxfyxxxyxfzxxyxfzyxfy 、例例4軸正向的傾角。軸正向的傾角。處的切線與處的切線與的交線在點(diǎn)的交線在點(diǎn)與平面與平面求曲面求曲面xyyxz)5 , 4 , 2(4)(4122 解解),(41),(22yxyxf ,2),(xyxfx , 122)4 , 2( xf.4 第28頁(yè)/共107頁(yè)三、高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階偏導(dǎo)數(shù)數(shù)數(shù)稱稱為為二二階階及及二二階階以以上上的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)高高階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。種種情情況況：二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)有有 4),(yxfz 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù));,(22yxfxzxzxxx ).,(2yxfyxzxzyxy );,(2yxfxyzyzxy

22、x ).,(22yxfyzyzyyy .),(),(為為混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱yxfyxfyxxy、定理定理1.,),(2222xyzyxzDDxyzyxzyxfz 即即混合偏導(dǎo)數(shù)必相等混合偏導(dǎo)數(shù)必相等內(nèi)這兩個(gè)內(nèi)這兩個(gè)那么在那么在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域及及的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)第29頁(yè)/共107頁(yè).:),.,(,212121.21nnpnpppppnxxxuxxxfun 的高階偏導(dǎo)數(shù)可表示為的高階偏導(dǎo)數(shù)可表示為元函數(shù)元函數(shù)一般地一般地、例例5., 1323323yxzzxyxyyxz 的二階偏導(dǎo)數(shù)及的二階偏導(dǎo)數(shù)及求求設(shè)設(shè)解解xxyxyyxxz)13(323

23、 xxxxyxyyx)()(3)(323,33322yyyx yyyyxyxz)33(3222 yyyyyyx)()(3)(3322 , 19622 yyx2322226)33(xyyyyxxzx xxyyxxyxyyxyzy 2332392)13(xyxxxyyxyzy182)92(32322 yyyxyxz)196(2223 .1862yx 第30頁(yè)/共107頁(yè)、例例6., 0:)(2221222222zyxrLaplaceuzuyuxur 其中其中滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程證明函數(shù)證明函數(shù)證明證明xrrrxxu 211)( )(22212zyxxrxzyxrzyx)(2222112

24、222 ,3rx )(32rxxxu633rxrxr 6233rxrrxr 622223)(3rzyxxrrx62222123)(3222rzyxxrrxzyx 622232223rxrrzyxx62323rrrrx ;33522522rrxrxr ;3:52222rryyu 同理可得同理可得.352222rrzzu 522522522222222333rrzrryrrxzuyuxu522223)(3rrzyx . 033522 rrr第31頁(yè)/共107頁(yè)第三節(jié)、全微分及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用第三節(jié)、全微分及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 一、全微分一、全微分),(),(),(),(yxfyxxfyxyx

25、fz 處對(duì)于處對(duì)于在點(diǎn)在點(diǎn)二元函數(shù)二元函數(shù)),(),(10 ,),(),(),(),(11yxfzxyxfxyxfxyxxfyxfyxxfxxx 為二元函數(shù)為二元函數(shù)稱稱 ),(),(),(),(yxfyyxfyxyxfz 處對(duì)于處對(duì)于在點(diǎn)在點(diǎn)二元函數(shù)二元函數(shù)),(),(10 ,),(),(),(),(22yxfzyyxfyyxfyyyxfyxfyyxfyyy 為二元函數(shù)為二元函數(shù)稱稱 處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)二元函數(shù)二元函數(shù)),(),(yxyxfz .的的偏偏微微分分對(duì)對(duì)x:的的偏偏增增量量為為x:的的偏偏增增量量為為y.的的偏偏微微分分對(duì)對(duì)y:全全增增量量為為),(),(yxfyyxxfz 第32

26、頁(yè)/共107頁(yè)定義、定義、的全增量的全增量在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)),(),(yxyxfz ).(:),(),( oyBxAzyxfyyxxfz 可表示為可表示為,)()(,22yxyxyxBA 有有關(guān)關(guān)而而僅僅與與不不依依賴賴于于其其中中處處在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(),(yxyxfz 稱稱為為函函數(shù)數(shù)而而yBxA 的的在點(diǎn)在點(diǎn)),(),(yxyxfz .,yBxAdzdz 即即記記作作、必要條件必要條件定理定理)(2處連續(xù)。處連續(xù)。在點(diǎn)在點(diǎn)則函數(shù)則函數(shù)可微分可微分在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)),(),(,),(),(yxyxfzyxyxfz 證明證明)(),(),( oyBxAyxfyyx

27、xfz ).0, 0( , 0),(),( yxyxfyyxxfz .),(),(處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)yxyxf,可可微微分分,全全微微分分第33頁(yè)/共107頁(yè)、必要條件必要條件定理定理)(3,),(),(可微分可微分在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)yxyxfz ,),(存在存在的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則該函數(shù)在點(diǎn)則該函數(shù)在點(diǎn)yzxzyx .),(),(yyzxxzdzyxyxf 的全微分為的全微分為在點(diǎn)在點(diǎn)且函數(shù)且函數(shù)證明證明)(),(),(),(),(22yxoyBxAyxfyyxxfyxyxfz 可微分可微分在點(diǎn)在點(diǎn))()(),(),(2xoxAxoxAyxfyxxf xxoxAxyxfyxxfxx )

28、(lim),(),(lim00 xxoAx )(lim0 .A .,xzAxz 且且存在存在偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).,:yzByz 存在存在偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)同理可得同理可得.dyyzdxxzdz 第34頁(yè)/共107頁(yè)、例例1性性：偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的存存在在性性及及可可微微考考察察下下列列函函數(shù)數(shù)在在原原點(diǎn)點(diǎn)處處)1(0,0,0),(222222 yxyxyxxyyxf解解, 00lim000lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(02200 xxxxxxxxfxff. 00lim000lim)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(02200 yyyyyyyyfyff有關(guān)有關(guān)與與kkkxkxkxy

29、xfxkxyx22222001lim),(lim .),(lim00不不存存在在yxfyx.)0 , 0(),(處不連續(xù)處不連續(xù)在在yxf處不可微。處不可微。在在)0 , 0(),(yxf,處也可能不可微處也可能不可微在點(diǎn)在點(diǎn)但但處的偏導(dǎo)數(shù)存在處的偏導(dǎo)數(shù)存在在某點(diǎn)在某點(diǎn)雖然函數(shù)雖然函數(shù)PfPf,處也可能不連續(xù)處也可能不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)但但處的偏導(dǎo)數(shù)存在處的偏導(dǎo)數(shù)存在在某點(diǎn)在某點(diǎn)雖然函數(shù)雖然函數(shù)PfPf第35頁(yè)/共107頁(yè))2(0,0,0),(222222 yxyxyxxyyxf解解, 0000lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(2200 xxxxfxffxxx, 0000lim)0

30、, 0(), 0(lim)0 , 0(2200 yyyyfyffyyy22)0 , 0()0 , 0(yxyxyfxfzyx 22222222)0 , 0()0 , 0(yxyxyxyxyxyxyfxfzyx 不存在不存在2200limyxyxyx 0)0 , 0()0 , 0(lim2200 yxyfxfzyxyx .)0 , 0(),(處不可微處不可微在在yxf)(2522011星星期期五五日日月月年年第36頁(yè)/共107頁(yè))3(0,0,01sin)(),(22222222 yxyxyxyxyxf解解xfxffxx)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xxxx001sin)0(li

31、m22220 , 01sinlim20 xxxyfyffyy)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yyyx001sin)0(lim22220 , 01sinlim20 yyy22221sin)()0 , 0()0 , 0(yxyxyfxfzyx , 01sin)0 , 0()0 , 0(222222 yxyxyxyfxfzyx )0, 0(yx .)0 , 0(),(:處可微處可微在在由微分定義得由微分定義得yxf第37頁(yè)/共107頁(yè).),(),(,),(,),(可微分可微分在點(diǎn)在點(diǎn)那么函數(shù)那么函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)yxyxfzyxyzxzyxfz 、充

32、分條件充分條件定理定理)(3:證明證明 ),(),(yxfyyxxfz ),(),(),(),(yxfyyxfyyxfyyxxf )10 , 10( ,),(),(2121 yyyxfxyyxxfyx,),(),(),(,11 yxfyyxxfyxyzxzxx連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn))0limlim( ;),(),(20010022 yxyxyyyxfyyxfyyxfxyxfyxfyyxxfzyx ),(),(),(),(21 .),(),(21yxyyxfxyxfyx 第38頁(yè)/共107頁(yè).),(),(處可微處可微在在yxyxf.),(),(),(),(21yxyyxfxyxfyxfyyxxfzyx

33、 2221yxyx 222122 yxyyxx 021 )0, 0(yx ).(2221yxoyx )(),(),(22yxoyyxfxyxfzyx dyyzdxxzdzydyxdx 第39頁(yè)/共107頁(yè)dzzudyyudxxuduzyxzyxfu 那么那么可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)如果三元函數(shù)如果三元函數(shù),),(),(.,),.,(),.,(22112121nnnndxxudxxudxxuduxxxxxxfun 那么那么可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)元函數(shù)元函數(shù)如果如果第40頁(yè)/共107頁(yè)、例例2.22的全微分的全微分計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)yyxz 解解xyyxxz)(22 ,2xy .2)(222yxyyxyzy dy

34、yzdxxzdz .)2(22dyyxxydx 、例例3.)1 , 2(處的全微分處的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)求函數(shù)求函數(shù)xyez 解解).(xdyydxedyyzdxxzdzxy ,)(xyxxyyeexz .)(xyyxyxeeyz 、例例4.sin2的的全全微微分分求求函函數(shù)數(shù)yzyexu ).2(21 ,2dydxedz 解解dzdydxduzuyuxu , 1)sin(2 yzyxxuex)sin(2yzyyyuex ;cos221yzyze .)sin(2yzyzyzzuyeex .)cos(221dzyedyzedxduyzyzy 第41頁(yè)/共107頁(yè)二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用二、全微分

35、在近似計(jì)算中的應(yīng)用).)()(),(),()()(),(),(.),(),(2222yxoyyxfxyxfyxodzyxfyyxxfzyxyxfzyx 處可微分處可微分在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1, 1 yx 、)1(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 、)2(.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)處處可可微微分分在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)1, 1,)0 , 0(),( yxyxfz、)3(.)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(yfxffyxfyx 第42頁(yè)/共107頁(yè)、例例5.)04. 1(02. 2的近似值的近似值求求解解,),(yxyxf

36、,02. 0,04. 0 yx xyxxyxf)(),( ,1 yyxyyyxyxf)(),( .ln xxy )2 ,1()04. 1(02. 2yxf yfxffyx)2 , 1()2 , 1()2 , 1(x 121.08. 104. 021 、例例6.1arctan)0 , 0(yxxyyx 的充分小的鄰域內(nèi)有的充分小的鄰域內(nèi)有試證明在原點(diǎn)試證明在原點(diǎn)證明證明, 1, 1,1arctan),( yxxyyxyxf.)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(yfxffyxfyx , 00100arctan)0 , 0( fxfxffxx)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0

37、 . 1arctanlim0 xxx. 1arctanlim)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(00 yyyfyffyyy.1arctanyxxyyx 第43頁(yè)/共107頁(yè)第四節(jié)、多元復(fù)合函數(shù)微分法第四節(jié)、多元復(fù)合函數(shù)微分法一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則yvvzyuuzyzxvvzxuuzxzyxyxyxfzvuvufzyxyxyxvyxu :,),(),(),(,),(),(,),(),(),(且可用下列公式計(jì)算且可用下列公式計(jì)算的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有具有在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)函數(shù)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及

38、對(duì)及對(duì)對(duì)對(duì)處具有處具有都在點(diǎn)都在點(diǎn)及及若函數(shù)若函數(shù) 、鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則定定理理)(第44頁(yè)/共107頁(yè)示示：鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則公公式式另另一一種種表表;) ),()(,(),() ),()(,(),(;) ),()(,(),() ),()(,(),(),(),(:2121yyxxyxyxyxfyxyxyxfyzyxyxyxfyxyxyxfxzyxyxfz 則則設(shè)設(shè)第45頁(yè)/共107頁(yè):證明證明 ),(),(:yxzyxxzzxz的的偏偏增增量量為為關(guān)關(guān)于于函函數(shù)數(shù)),(),(),(),(yxyxfyxxyxxf ).,(),(),(),(yxyxxvyxyxxu 記記vvyxxuuyxx ),(

39、,),(),(),(vufvvuufz ),(),(yxvyxu 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)函數(shù)函數(shù)),(),(vuvufz .),(),(處可微處可微在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)vuvufz )(),(),(22vuovvzuuzvufvvuufz xvuoxvvzxuuzxzxx )(limlim2200 xvuoxvvzxuuzxzxxxx )(limlimlimlim220000 第46頁(yè)/共107頁(yè)xvuoxvvzxuuzxzxxxx )(limlimlimlim220000 xvuvuvuoxvvzxuuzx 2222220)(lim 2222220)(lim xvxuxxv

40、uvuoxvvzxuuzx xvvzxuuz .xvvzxuuzxz .:yvvzyuuzyz 同理可得同理可得第47頁(yè)/共107頁(yè):鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則的的推推廣廣.,),(),(),(),(,),(),(,),(),(),(),(ywwzyvvzyuuzyzxwwzxvvzxuuzxzyxyxyxyxfzwvuwvufzyxyxyxwyxvyxu 且可用下列公式計(jì)算且可用下列公式計(jì)算的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)點(diǎn)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)在對(duì)函數(shù)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及對(duì)及對(duì)具有對(duì)具有對(duì)點(diǎn)點(diǎn)都在都在及及設(shè)設(shè) 第48頁(yè)/共107頁(yè)示示：鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t

41、則公公式式另另一一種種表表;) ),()(,(),(),() ),()(,(),(),() ),()(,(),(),(;) ),()(,(),(),() ),()(,(),(),() ),()(,(),(),(),(),(),(:321321yyyxxxyxyxyxyxfyxyxyxyxfyxyxyxyxfyzyxyxyxyxfyxyxyxyxfyxyxyxyxfxzyxyxyxfz 則則設(shè)設(shè)第49頁(yè)/共107頁(yè):鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則的的推推廣廣).,.,3 , 2 , 1(.) ),.,(,.,.) ),.,(,.,.) ),.,(,.,) ),.,(,.,) ),.,(,.,212121212

42、13213212212211211nixxxfxxxfxxxfxxxfxxxfxziiiiixnnnnxnjnjxnnxnnxnni :),.,(),.,.,(),.,(:21212211則則設(shè)設(shè)nnnnxxxxxxxxxfz 第50頁(yè)/共107頁(yè)全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式：.,)(),(),(,),(),(,)()(),(dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzttttfzwvuwvufzttwtvtu 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式且有下列且有下列處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)函數(shù)函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo)都在都在及及設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 證明證明twwztvvztuu

43、ztzdtdz .dtdwwzdtdvvzdtduuz 第51頁(yè)/共107頁(yè)yfyuufyzxfxuufxzyxyxfzyxuyxufz ;,),(,),(,),(的偏導(dǎo)數(shù)為的偏導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù)而而具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)如果如果 性質(zhì)：性質(zhì)：證明證明xyyfxxxfxuufxz 01yfxfxuuf ;xfxuuf yyyfyxxfyuufyz 10yfxfyuuf .yfyuuf 第52頁(yè)/共107頁(yè)、例例1yzxz 和和求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、)1(xyvyxushuezv ,2;、)2(yxuuyxyzcos; )sin(3222 解解x

44、vvzxuuzxz )()2(xyxshueyxxchuevv shuyechuevv 2).2()2(2yxyshyxchexy yvvzyuuzyz )()2(xyyshueyxychuevv xshuechuevv .22yxxshyxchexy 解解yxuuyxyuyxfzcos; )sin(),(3222 xuufyfxfxz 01xuufxf 第53頁(yè)/共107頁(yè)xuufyfxfxz 01 xuufxfyxuuyxyuyxfzcos; )sin(),(3222 .cos3)cos(2)cos(22222222yxuyxuyuyxxy xuxyxuyxyuyxy)cos( )sin(

45、 )sin(3222222 ).cos()cos31(2222uyxyxuxy yuufyfxfyz 10 yuufyf)sin)(cos(2)cos(2)sin(32222222222yxuyxuyuyxyuyx yuyyxuyxyuyxy)cos( )sin( )sin(3222222yuyxyuxuyxyuyxsin)cos(2)cos(2)sin(22232222222 ).cos()sin(2)sin(2223222uyxyuxyyuyx 第54頁(yè)/共107頁(yè)、例例2.,;sinsin2dtdzevtutvveztu求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù)而而設(shè)設(shè) 解解tzdtdvvzdtduuzdxdz

46、dtduveusin dtdvtveu)sincos( tvcos tvetvevtetuucos)sincos(sin2 .cos)sincos(sin222teeteeetetttttt 、例例3.,),(222xzdzyzxzfxyexfzy 及及求求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)解解xyxyyxyxyexfexxyexfxz)(,()(,(22221 .221f yfxey yyyyyxyxyexfexxyexfyz)(,()(,(22221 .212fxfexy .)()2(21221dyfxfexdxf yfxedyyzdxxzdzyy 第55頁(yè)/共107頁(yè).221fyf

47、xexzy xxyxyf yfxef yfxexz)()2()2(212122 xxyexfyxxyexfxefeyyyy ),(),(2222211)()()()(2222221122111xxyxxyyyxyfexfyxyfexfxefe 2222222112111f yfxeyf yfxexefeyyyy .4422221211221fyfxyefexfeyyy .442222121122122fyfxyefexfexzyyy 第56頁(yè)/共107頁(yè)、例例4.,:,),(222yzyxzfxyyxyxfz 求求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)解解xxxxyfyxfyxfxz)()(

48、)(321 .321f yff yf yffyxz )(32123321)()()(fyfyyfyf yyyxyfyxfyxf)()()(131211 yyyxyfyxfyxf)()()(232221.)()()(3333231fxyfyxfyxfyyyy 3333231232221131211)(ffxffyfxfffxff .)()(33323221311ffxyfyxffyxf 第57頁(yè)/共107頁(yè) xyyxyxfz, yyyxyfyxfyxfyz)()()(321 .321fxff yfxffyz )(32122yfxyfyf )()()(321 yyyxyfyxfyxf)()()(1

49、31211 yyyxyfyxfyxf)()()(232221)()()(333231yyyxyfyxfyxfx )(333231232221131211fxffxfxfffxff .2223322322131211fxfffxff 第58頁(yè)/共107頁(yè)、例例5.)2()()()()()1(sin,cos,),(22222222221121222 urrurruyuxuurruyuxuryrxyxuu、之下，證明：之下，證明：在極坐標(biāo)變換在極坐標(biāo)變換有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)證明證明ryyurxxuru ).1(yuxu sincos yyuxxuuyuxurr cossin 2122

50、12)cossin()sin(cos)()(22yuxuryuxuurrurr 22)cos(sin)sin(cosyuxuyuxu 2222)(sinsincos2)(cosyuyuxuxu 2222)(cossincos2)(sinyuyuxuxu .)()(22yuxu .)1(證畢證畢 )sin(cos)().2(22yuxurrurru )(sin)(cosyurxur )(cos222ryyxurxxu )(sin222ryyurxxyu )sincos(cos222 yxuxu )sincos(sin222 yuxyu.sincossin2cos2222222yuyxuxu 第5

51、9頁(yè)/共107頁(yè).sincossin2cos222222222yuyxuxuru ;coscossin2sinsincos222222222222yuyxuxuyuxuurrrrr 同同理理可可得得： 222rur.sincossin2cos2222222222yuyxuxurrr )(sincos2222222222yuxuyuxuruurrrr )()sin(cos2222222222yuxuyuxuruurrr )()(2222222222yuxuryyurxxuruurrr ryyurxxuru )(2222222222yuxururuurrr 22222222211rurururyu

52、xu .證證畢畢第60頁(yè)/共107頁(yè)二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分式式：一一階階微微分分形形式式不不變變性性公公dvvfduufdzyxyxyxfzvuvufzyxyxyxvyxu :),(),(),(,),(),(,),(),(),(處的全微分為處的全微分為在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)函數(shù)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及對(duì)及對(duì)具有對(duì)具有對(duì)處處都在點(diǎn)都在點(diǎn)及及若函數(shù)若函數(shù) 式式的的證證明明：一一階階微微分分形形式式不不變變性性公公dyyvvfyuufdxxvvfxuufdyyzdxxzdz dyyvvfdxxvvfdyyuufdxxuuf d

53、yyvdxxvvfdyyudxxuuf.dvvfduuf 第61頁(yè)/共107頁(yè)、例例6.,cos2yzxzdzyxezyx 并由此計(jì)算并由此計(jì)算求求設(shè)設(shè)解解.cos,2vezyxvyxuu dvvzduuzdz )(sin)(cos2yxvdeyxvdeuu )2(sin)(cos2dyxxydxvedydxveuu vdyexvdxxyevdyevdxeuuuusinsin2coscos2 .)sin(cos)sin2(cos2dyvxvedxvxyveuu ).sin(cos),sin2(cos2vxveyuvxyvexuuu 第62頁(yè)/共107頁(yè)、例例7).2 ,(),2 ,(),2 ,

54、(,)2 ,(,)2 ,(, 0),(22222xxuxxuxxuxxxuxxxuyxuuyyxyxxxyuxu求求且且滿足方程滿足方程設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 解解.35)2 ,(;34)2 ,()2 ,(xxxuxxxuxxuxyyyxx 1)2 ,( dxdxxxudxd1)2)(2 ,()2 ,( xxxuxxuyx全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式1)2 ,(2)2 ,( xxuxxuyx)1(21)2 ,(2xxxuy xxxudxdy )2 ,(xxxxuxxuyyyx )2)(2 ,()2 ,(全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式xxxuxxuyyyx )2 ,(2)2 ,()1()2 ,()2 ,(2xxxuxxux

55、yxx xdxdxxxudxdx2)2,(2 xxxxuxxuxyxx2)2)(2 ,()2 ,( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式)2(2)2 ,(2)2 ,(xxxuxxuxyxx xxxuxxuxxxuxxuxyxxxyxx2)2 ,(2)2 ,()2 ,()2 ,(2)2(),1(第63頁(yè)/共107頁(yè)第五節(jié)、隱函數(shù)存在定理及隱函數(shù)的微分法第五節(jié)、隱函數(shù)存在定理及隱函數(shù)的微分法一、由一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)一、由一個(gè)方程所確定的隱函數(shù). 1定理定理.),(),(, 0)(,()(:),(,),(0),(, 0),(, 0),(,),(),(000000000000yxFyxFdxdyxfxFxfyxf

56、yyxPyxFyxFyxFyxPyxFyxy 并有并有及及且滿足且滿足它具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)它具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)數(shù)數(shù)一確定一個(gè)單值連續(xù)函一確定一個(gè)單值連續(xù)函能夠唯能夠唯的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)方程方程則則且且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)第64頁(yè)/共107頁(yè):的推導(dǎo)的推導(dǎo)公式公式y(tǒng)xFFdxdy 0)(,(0)(,( xyxFdxdxyxF:由由全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式得得0)(,()(,( dxdyxyxFxyxFyx.)(,()(,(xyxFxyxFdxdyyx :二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式322222yxyyyxxyyxxFFFFFFFFdxyd :二二階階

57、導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式的的推推導(dǎo)導(dǎo) ),(),(),(),(22yxFyxFdxdyxFyxFdxddxydyxyxdxdyyxFyxFyxFyxFyyxxyx ),(),(),(),( yxyyyxyxyyyxxyxxFFFFFFFFFFFF22.232222yxyyyxxyyxxFFFFFFFFdxyd 第65頁(yè)/共107頁(yè). 1例例.)(arctanln22的一階和二階導(dǎo)數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)求由方程求由方程xyyxyyx 解解xyyxxyyxarctan)ln(21arctanln2222 . 0arctan2)ln(22 xyyx;arctan2)ln(),(:22xy

58、yxyxF 令令xxxyyxFarctan2)ln(22 222)(1)(22xyxxyyxx 222)(1222xyxyyxx ;2222yxyx yyxyyxFarctan2)ln(22 222)(1)(22xyyxyyxy 2122)(122xyxyxy ;2222yxxy 第66頁(yè)/共107頁(yè);2222yxyxFx ;2222yxxyFy yxFFdxdy .22222222yxyxyxxyyxyx yxyxdxddxyd22 dxdyyxyxyyxyxx2)()()()(yxyxyxyxyxxx yxyxyxyxyxyxyxyy 2)()()()(yxyxyxyxyxyxyxyx 2

59、2)()()()()()(yxyxyxxyxy 22)(2)(23)()(2)(2yxyxxyxy .)(22322yxyx 第67頁(yè)/共107頁(yè). 2定理定理.,. 0),(,(),(:),(0),(,),(, 0),(, 0),(,),(),(000000000000000zyzxzFFyzFFxzyxfyxFyxfzyxfzzyxFzyxPzyxFzyxFzyxPzyxF 并且并且及及足足它具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿它具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù)能唯一確定一個(gè)單值連能唯一確定一個(gè)單值連方程方程使得在該鄰域內(nèi)使得在該鄰域內(nèi)的某鄰域的某鄰域則存在點(diǎn)則存在點(diǎn)且且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)

60、的某鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的推導(dǎo)：的推導(dǎo)：公式公式zyzxFFyzFFxz ,),(),(),(yxFyxFyyxfyzzy 同同理理可可證證; 00),(,(),(,( xyxfyxFyxfyxF001),(),(,( xyxfzyxxyxfyxFFFF),(),(),(yxFyxFxyxfxzzx 第68頁(yè)/共107頁(yè). 2例例),(:, 0),(為常數(shù)為常數(shù)證明證明導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏具有一階連續(xù)偏其中其中設(shè)設(shè)cbaayzcxzbFczaybzaxF 證明證明),(),(:czaybzaxFzyxG 令令);()()(,()(,(),(2121cFbFczayczaybzaxFbz