D常系數(shù)非齊次線性微分方程學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D常系數(shù)常系數(shù)(xsh)非齊次線性微分方程非齊次線性微分方程第一頁，共18頁。 為實(shí)數(shù)(shsh) ,設(shè)特解為其中 為待定多項(xiàng)式 , )(xQ代入原方程(fngchng) , 得 (1) 若 不是(b shi)特征方程的根, 則取從而得到特解形式為為 m 次多項(xiàng)式 .Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共18頁第二頁，共18頁。(2) 若 是特征方程的單根 , 為m 次多項(xiàng)式,故特解形式(xngsh)為(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式(xngsh)為小小結(jié)結(jié)(xioji)對(duì)方程,)()2(xQp即即當(dāng)

2、 是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè)特解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共18頁第三頁，共18頁。的一個(gè)(y )特解.解解: 本題本題(bnt)而特征方程為不是(b shi)特征方程的根 .設(shè)所求特解為代入方程 :比較系數(shù), 得于是所求特解為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共18頁第四頁，共18頁。的通解(tngji). 解解: 本題本題(bnt)特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程(fngchng)的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程得所求通解為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共18頁第五頁，共18頁。第二步第二步 求出如下求出如下(rxi)兩

3、個(gè)方程兩個(gè)方程的特解的特解分析(fnx)思路:第一步第一步 將將 f (x) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(zhunhu)為為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共18頁第六頁，共18頁。利用歐拉公式(gngsh)將 f (x) 變形ximexPxf)()()(ximexP)()(機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共18頁第七頁，共18頁。是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式(dngsh)兩邊取共軛 :為方程(fngchng) 的特解 .ximexPyqypy)()( 設(shè)則 有特解:機(jī)動(dòng) 目錄

4、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共18頁第八頁，共18頁。利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)(gnj)疊加原理, 原方程有特解 :原方程(fngchng) 均為 m 次多項(xiàng)式 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共18頁第九頁，共18頁。因均為 m 次實(shí)多項(xiàng)式 .11yyy本質(zhì)(bnzh)上為實(shí)函數(shù) ,11yy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第9頁/共18頁第十頁，共18頁。對(duì)非齊次方程(fngchng)則可設(shè)特解:其中(qzhng) 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), i機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第10頁/共18頁第十一頁，共18頁。的一

5、個(gè)(y )特解 .解解: 本題本題(bnt) 特征方程故設(shè)特解為不是(b shi)特征方程的根,代入方程得比較系數(shù) , 得于是求得一個(gè)特解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共18頁第十二頁，共18頁。的通解(tngji). 解解: 特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程(fngchng)的通解為比較(bjio)系數(shù), 得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根 , 因此設(shè)非齊次方程特解為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共18頁第十三頁，共18頁。 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,則設(shè)特解為為特征方程的 k (0, 1 )重根, 則設(shè)特解為機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄

6、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共18頁第十四頁，共18頁。時(shí)可設(shè)特解為 時(shí)可設(shè)特解為 lnm,max提示提示(tsh):1 . (填空填空(tinkng) 設(shè)設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共18頁第十五頁，共18頁。的通解(tngji) (其中為實(shí)數(shù)(shsh) ) .解解: 特征方程特征根:對(duì)應(yīng)齊次方程通解:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為xexCCy221)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共18頁第十六頁，共18頁。有特解求微分方程(wi fn fn chn)的通解 .解解: 將特解代入方程將特解代入方程(fngchng)得恒等式得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對(duì)應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16