流體力學-2-1

1、大氣流體力學大氣科學學院，王偉第二章 流體運動方程組流體運動同其他物體的運動一樣，同樣遵循質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒等基本物理定律。本章將導出描述流體運動的連續(xù)方程、運動方程和能量方程。內(nèi)容 內(nèi)容 第一節(jié)連續(xù)方程 連續(xù)方程是流體力學的基本方程之一，流體運動的連續(xù)方程，反映流體運動和流體質(zhì)量分布的關(guān)系，它是在質(zhì)量守恒定律在流體力學中的應(yīng)用。重點討論不同表現(xiàn)形式的流體連續(xù)方程。首先回憶一下描寫流體運動的兩種觀點： 拉格朗日觀點和歐拉觀點1、拉格郎日(Lagrange) 觀點下的流體連續(xù)方程拉格郎日(Lagrange) 觀點：某一流體塊（流點）在運動過程中，盡管其體積和形狀可以發(fā)生變化，但其質(zhì)量是

2、守恒不變的。 0Vdtd 拉格郎日型連續(xù)方程z x y ()0dmdt流體密度不變。流體體積不變流體密度增大；流體體積減小流體密度減??；流體體積增大0/0)3(0/0)2(0/0) 1 (dtdVdtdVdtdV0Vdtd 流體的密度變化是由于流體的輻合輻散所造成的，以上約束條件能保證了流體的連續(xù)介質(zhì)假設(shè)。 mV Lagrange 觀點下連續(xù)方程的物理意義對于不可壓縮流體，它在流動過程中每個流點的密度始對于不可壓縮流體，它在流動過程中每個流點的密度始終保持不變，應(yīng)有，此時流體的連續(xù)性方程為：終保持不變，應(yīng)有，此時流體的連續(xù)性方程為：0V 0ddt例2-1-1判斷下列流體運動是否為不可壓縮？22

3、22234u=y22(1) (2)212xzuxtyvyzxy zvxtytwx zx y 利用歐拉控制體積法導出流體的連續(xù)方程的微分形式。 在空間上選取一無限小的控制體，如圖所示。yx y z xuz()uu xx u y z 單位時間內(nèi)通過右側(cè)面流出控制體的流體質(zhì)量為：()uuxy zx 單位時間內(nèi)x方向上流體通過控制體的質(zhì)量凈流出量質(zhì)量凈流出量為： ()=()uuxy zu y zux y zxx 2、歐拉(Euler)觀點下的流體連續(xù)方程單位時間內(nèi)通過左側(cè)面流入控制體的流體質(zhì)量為：類似可得到y(tǒng)、z方向上的表達式，單位時間內(nèi)通過整個控制體的流體凈流出量流體凈流出量為：()()()uvwx

4、 y zxyz 單位時間內(nèi)，該控制體內(nèi)的質(zhì)量減少質(zhì)量減少為：根據(jù)質(zhì)量守恒定律，對于固定的控制體，單位時間內(nèi)流出流出控制體的流體質(zhì)量應(yīng)等于單位時間內(nèi)該控制體內(nèi)質(zhì)量的減少質(zhì)量的減少，由此得到：()()()0uvwtxyz()0Vt 或者x y zt Vtdtd0Vt Vt 拉格郎日型連續(xù)方程0Vdtd 歐拉型連續(xù)方程P355A.13 ddVV/流體局地密度不變。流體無出入流體局地密度增大；有流體流入流體局地密度減??；有流體流出0/0)3(0/0)2(0/0) 1 (tVtVtV 0Vt 歐拉型連續(xù)方程的物理意義對于流體的定常運動，有0t流體的連續(xù)性方程可寫為：0VVt 可知，在定常運動中，通過任意

5、控制體表面流體質(zhì)量的凈流入量等于零，即單位時間內(nèi)流出流出控制體表面的質(zhì)量等于流進流進控制體表面的質(zhì)量。3、具有自由表面的流體連續(xù)方程通常把自然界中水與空氣的交界面稱為水面或水表面。這種因流動而伴隨出現(xiàn)的可以升降的水面，在流體力學中稱之為自由表面。實際物理現(xiàn)象：當水面向某處匯集時，該處水面將被擁擠而升高；反之，當該處有水向四周流散開時，將使得那里的水面降低。水空氣交界面假設(shè)流團密度為 ，考慮流體運動為二維的，即滿足： ，取流向方向為 x 軸。設(shè)流體自由表面高度為 ，即 h 在各處高低不同且可以隨時間變化。tzyx, 0/, 0zw tyxhh,自由表面的流體連續(xù)方程的導出：在流體中，選取一個以

6、為底的方形柱體，該柱體是一固定不動的空間區(qū)域，稱為控制區(qū)-歐拉觀點。yx 流體可以通過控制區(qū)的側(cè)面，流出、流入該柱體。xyzOy x h經(jīng)流體柱后側(cè)流入的流體質(zhì)量應(yīng)為：同時，經(jīng)流體柱前側(cè)流出的質(zhì)量為：考慮柱體內(nèi)流體的質(zhì)量為：hzyxm0 流入質(zhì)量=hzyu0 流出質(zhì)量=xzyuxzyuhh 00 xyzOy x huxxuu 流出質(zhì)量減去流入質(zhì)量 柱體內(nèi)的凈流出量柱體內(nèi)質(zhì)量的減少。（流入質(zhì)量減去流出質(zhì)量 柱體內(nèi)的凈流入量柱體內(nèi)質(zhì)量的增加）即有：xzyuxzyxthh 00流入質(zhì)量=hzyu0 流出質(zhì)量=xzyuxzyuhh 00*積分上限 h 為x，y，t的函數(shù)，可變上限的積分規(guī)則：對上式兩項

7、展開，左端項為： ( ), ,( )a ta ttb tb ta txf x t dxfx t dxf x tb ttt 0000 hhhhhzx yzx yzx yttthz x yx ytt （）xzyuxzyxthh 00*積分上限 h 為x，y，t的函數(shù)，可變上限的積分規(guī)則： ( ),( )a ta ttb tb ta txf x t dxfx t dxf x tb tttxzyuxzyxthh 00右端項為：00000 |hhhhhhhuy zxzu yzxu yxxxhx yzzuuuxxx 考慮到 與 z 無關(guān)，并消掉等式兩端公共項 可得：xuu /,yx hhhhhxudzzxuuxhztth0000 hhhuxhzxuzxuyx00 yxthyxzthh 0 xzyuxzyxthh 00010 xudzxhuthhh 可以得到：考慮水為不可壓縮的，根據(jù)連續(xù)方程有：hzxut00 hhhhhxudzzxuuxhztth0000 討論時流向僅取x軸。如流向取任意方向，上式可寫為：0 xuhxhuth 0Vhth 0VhhVth 這就是用自由表面高度所表示的連續(xù)方程。進一步有： hhdzhh01 均勻流體自由表面附近的流體（淺流體）具有自由表面的流體連續(xù)方程0hhVt0hVhhVt h0Vt 歐拉型連續(xù)方程具有自由表面的流體連續(xù)方