《實驗應力分析》——電測(全集)

1、課程安排課程安排 總學時總學時 ：32學時（學時（2學分）學分） 理論授課理論授課24學時學時+實驗實驗8學時學時 建議教材：建議教材： 實驗力學實驗力學，張?zhí)燔?，韓江水，屈鈞利編，西北工業(yè)大學出版社，張?zhí)燔?，韓江水，屈鈞利編，西北工業(yè)大學出版社，2008。 教學參考書教學參考書 ： 實驗應力分析實驗應力分析、張如一、陸耀楨主編，機械工業(yè)出版社，、張如一、陸耀楨主編，機械工業(yè)出版社，1986 一、實驗應力分析的任務一、實驗應力分析的任務 實驗應力分析是用實驗的方法測定構件中的應力和變形的一門學科。實驗應力分析是用實驗的方法測定構件中的應力和變形的一門學科。 1 1、解決工程上的力學問題有三種方

2、法、解決工程上的力學問題有三種方法解析法：解析法：用彈性力學或塑性力學進行求解。即首先建立力學模型用彈性力學或塑性力學進行求解。即首先建立力學模型 然后用數(shù)學方法進行求解。用數(shù)學方法求解工程問題時，然后用數(shù)學方法進行求解。用數(shù)學方法求解工程問題時， 常遇到數(shù)學和計算方面的困難，只能對有限的一些簡單常遇到數(shù)學和計算方面的困難，只能對有限的一些簡單 問題給出精確解。問題給出精確解。計算法：計算法：用有限差分法或有限元法等數(shù)值計算求解工程上的力學用有限差分法或有限元法等數(shù)值計算求解工程上的力學 問題。問題。實驗法：實驗法：用實驗的方法求解工程上的力學問題。用實驗的方法求解工程上的力學問題。 2 2、

3、 實驗的特點：實驗的特點：（1 1）驗證理論推導或計算結果的正確性。）驗證理論推導或計算結果的正確性。 用解析法或計算法得出的結果，必須經過實驗的驗證，用解析法或計算法得出的結果，必須經過實驗的驗證， 否則結果的正確性不被認可。否則結果的正確性不被認可。（2 2）解決工程中的復雜問題。）解決工程中的復雜問題。 用解析法和計算法求解時，首先要建立力學模型，但有用解析法和計算法求解時，首先要建立力學模型，但有 時力學模型很難建立，直接用實驗法更方便。時力學模型很難建立，直接用實驗法更方便。（3 3）探索未知的科學。）探索未知的科學。 通過長期對實驗結果的觀察、總結并歸納為理論。通過長期對實驗結果的

4、觀察、總結并歸納為理論。 如：虎克定理和散斑（最初是由于散斑對照片的質量有如：虎克定理和散斑（最初是由于散斑對照片的質量有 影響，所以設法消除掉，最后發(fā)現(xiàn)它是求位移的一種重影響，所以設法消除掉，最后發(fā)現(xiàn)它是求位移的一種重 要的方法）。要的方法）。以上三種方法，解析法是最重要的，而計算法與實驗法并列以上三種方法，解析法是最重要的，而計算法與實驗法并列成為解析法的工具。對于工科的學生這三種能力必須具備。成為解析法的工具。對于工科的學生這三種能力必須具備。二、主要方法二、主要方法 1 1、電學法、電學法 包括電阻、電容和電感。其中電阻是重點，包括電阻、電容和電感。其中電阻是重點， 通過電阻應變片來測

5、量應變已很成熟。通過電阻應變片來測量應變已很成熟。 2 2、光學法、光學法 光彈性法：光彈性法：光學光學+彈性力學。彈性力學。 現(xiàn)代光測法：現(xiàn)代光測法：包括全息、散斑、云紋和云紋干涉法。包括全息、散斑、云紋和云紋干涉法。 3 3、聲學法：、聲學法： 包括聲彈法和超聲波。因為用聲學法測量時設備比較貴，包括聲彈法和超聲波。因為用聲學法測量時設備比較貴， 測量的準確性較差，因此這部分內容用的比較少。測量的準確性較差，因此這部分內容用的比較少。三、學科的發(fā)展趨勢三、學科的發(fā)展趨勢 微觀：稱為納米，即微觀：稱為納米，即 ，納米與原子同數(shù)量級納米與原子同數(shù)量級 細觀：細觀稱為微米，即細觀：細觀稱為微米，即

6、 ， 宏觀：宏觀：m610m910即向小的方向發(fā)展。即向小的方向發(fā)展。細觀力學已被認為是近年來細觀力學已被認為是近年來理論與應用力學中振奮人心的新領理論與應用力學中振奮人心的新領域之一。國內許多學者與工程界人士也逐步從各個不同側面開域之一。國內許多學者與工程界人士也逐步從各個不同側面開展了細觀力學的研究，并取得了大量的研究成果，使細觀力學展了細觀力學的研究，并取得了大量的研究成果，使細觀力學日趨成熟。特別是一些學者正在進行微觀力學的研究工作。日趨成熟。特別是一些學者正在進行微觀力學的研究工作。1 1、向微觀方向發(fā)展：、向微觀方向發(fā)展：2 2、向宏觀方向發(fā)展：、向宏觀方向發(fā)展：3 3、實驗力學隨

7、儀器而發(fā)展：、實驗力學隨儀器而發(fā)展： 實驗技術發(fā)展的快慢主要依賴于設備，隨著計算機的發(fā)展及實驗技術發(fā)展的快慢主要依賴于設備，隨著計算機的發(fā)展及 數(shù)據(jù)處理的自動化，使得實驗力學向著功能強、精度高、自數(shù)據(jù)處理的自動化，使得實驗力學向著功能強、精度高、自 動化和媒體化的方向發(fā)展。動化和媒體化的方向發(fā)展。即向大的方向發(fā)展。即向大的方向發(fā)展。 如高層建筑物、天體現(xiàn)象等。如高層建筑物、天體現(xiàn)象等。第一篇第一篇 實驗應力分析基礎實驗應力分析基礎實驗應力分析基礎實驗應力分析基礎誤差分析和實驗數(shù)據(jù)處理誤差分析和實驗數(shù)據(jù)處理結構的相似性結構的相似性一、真值、實驗值和誤差一、真值、實驗值和誤差（1 1）真值：）真值

8、：客觀上真正存在的物理量?？陀^上真正存在的物理量。 如：桌子的尺寸，室內的溫度等。在測量真值時，由于儀如：桌子的尺寸，室內的溫度等。在測量真值時，由于儀 器、測量方法、環(huán)境、人的觀察力都不是完美的，所器、測量方法、環(huán)境、人的觀察力都不是完美的，所 以嚴格說真值是無法測得的。以嚴格說真值是無法測得的。（2 2）實驗值：）實驗值：用實驗的手段來測量真值。只能測得真值的近似值。用實驗的手段來測量真值。只能測得真值的近似值。（3 3）誤差：）誤差：實驗誤差是實驗值與真值的差值。實驗誤差簡稱為誤差。實驗誤差是實驗值與真值的差值。實驗誤差簡稱為誤差。 實驗誤差實驗誤差 = = 實驗值實驗值 真值（未知）真

9、值（未知）第一章第一章 誤差分析和實驗數(shù)據(jù)處理誤差分析和實驗數(shù)據(jù)處理1-1 1-1 基本概念基本概念二、準確度和精密度二、準確度和精密度（1 1）準確度：）準確度：指測量值與真值的偏差。指測量值與真值的偏差。 既指測量值與真值的接近程度。既指測量值與真值的接近程度。（2 2）精密度：）精密度：指多次測量所得數(shù)據(jù)的重復程度。指多次測量所得數(shù)據(jù)的重復程度。 重復性好即精密度高，但不一定準確度高，即所測重復性好即精密度高，但不一定準確度高，即所測 數(shù)據(jù)可能都與真值相差較大。數(shù)據(jù)可能都與真值相差較大。 這兩者的區(qū)別可用打靶的例子來說明，這兩者的區(qū)別可用打靶的例子來說明， 圖圖( (a) )表示準確度和

10、精密度都高；表示準確度和精密度都高； 圖圖( (b) )表示精密度高但準確度不高，即打靶較集中但表示精密度高但準確度不高，即打靶較集中但 離靶心較遠；離靶心較遠； 圖圖( (c) )表示兩者都不高。表示兩者都不高。（3 3）精確度：）精確度：指準確度和精密度的統(tǒng)稱。指準確度和精密度的統(tǒng)稱。三、有效數(shù)字三、有效數(shù)字 在測量數(shù)據(jù)時，確定用幾位數(shù)字代表測量結果十分重要。測量數(shù)據(jù)在測量數(shù)據(jù)時，確定用幾位數(shù)字代表測量結果十分重要。測量數(shù)據(jù) 的位數(shù)與測量的準確度有關，取得位數(shù)太多或太少都是不對的。測的位數(shù)與測量的準確度有關，取得位數(shù)太多或太少都是不對的。測 量時要估讀到儀表刻度上最小一格中的分數(shù)，而不能將

11、它略去。量時要估讀到儀表刻度上最小一格中的分數(shù)，而不能將它略去。如：如：0.002340 -0.002340 -有效數(shù)字是有效數(shù)字是4 4位位 其中最后一個其中最后一個0 0為可疑位，為可疑位，4 4為準確位。為準確位。 0.00234 - 0.00234 - 有效數(shù)字是有效數(shù)字是3 3位。位。 其中其中最后一個數(shù)最后一個數(shù)4 4為可疑位，為可疑位，3 3為準確位。為準確位。 最后一位可疑到什么程度，認為不會可疑到最后一位可疑到什么程度，認為不會可疑到最小一格最小一格的一半。的一半。四、舍入法四、舍入法 在一般計算中是在一般計算中是4 4舍舍5 5入，而在實驗中是入，而在實驗中是4 4舍舍6

12、6入，何謂入，何謂4 4舍舍6 6入呢？入呢？末位有效數(shù)字后的第一位數(shù)字末位有效數(shù)字后的第一位數(shù)字 5 5 則向前一位入則向前一位入1 1。 5 5 則舍去。則舍去。= 5= 5末位有效數(shù)字為奇數(shù)則向前入末位有效數(shù)字為奇數(shù)則向前入1 1。末位有效數(shù)字為偶數(shù)則舍去。末位有效數(shù)字為偶數(shù)則舍去。如：下面的數(shù)均保留如：下面的數(shù)均保留2 2位有效數(shù)字位有效數(shù)字 0 .1 2 4 0.120 .1 2 4 0.12 0 .1 2 6 0.13 0 .1 2 6 0.13 0 .1 2 5 0.12 0 .1 2 5 0.12 0 .1 3 5 0.14 0 .1 3 5 0.14五、加減乘除運算五、加減乘

13、除運算 加減運算：加減運算：各項所保留的小數(shù)點后的位數(shù)應與各項中小數(shù)點各項所保留的小數(shù)點后的位數(shù)應與各項中小數(shù)點 后位數(shù)最少的相同。后位數(shù)最少的相同。如：如： 乘除運算：乘除運算：各因子保留的位數(shù)以有效數(shù)字最少的為準，所得各因子保留的位數(shù)以有效數(shù)字最少的為準，所得 積或商的準確度不應高于準確度最低的因子。積或商的準確度不應高于準確度最低的因子。如：如： 33103333. 331004. 855. 401. 058.12546. 40081. 058.123 . 30 . 30 .10一、誤差的來源一、誤差的來源1 1、系統(tǒng)誤差（又稱恒定誤差）、系統(tǒng)誤差（又稱恒定誤差） 系統(tǒng)誤差是由人為或某一

14、固定因素造成的誤差。系統(tǒng)誤差可以系統(tǒng)誤差是由人為或某一固定因素造成的誤差。系統(tǒng)誤差可以 消除。如：尺子長了，則測出的數(shù)據(jù)均偏?。粭U秤準心偏了，消除。如：尺子長了，則測出的數(shù)據(jù)均偏小；桿秤準心偏了， 秤出的重量總是偏小。系統(tǒng)誤差有固定的偏向和一定的規(guī)律秤出的重量總是偏小。系統(tǒng)誤差有固定的偏向和一定的規(guī)律 性，可根據(jù)具體原因采取適當?shù)拇胧┯枰孕Ｕ拖Ｐ?，可根?jù)具體原因采取適當?shù)拇胧┯枰孕Ｕ拖? 2、偶然誤差（又稱隨機誤差）、偶然誤差（又稱隨機誤差） 偶然誤差由多種因素引起，要找到原因很難。當測量多次時，偶然誤差由多種因素引起，要找到原因很難。當測量多次時， 偶然誤差時大、時小、時正、時負

15、，沒有固定的大小和偏向。偶然誤差時大、時小、時正、時負，沒有固定的大小和偏向。 常圍繞某一中間值上下波動。當測量次數(shù)足夠多時，發(fā)現(xiàn)偶然常圍繞某一中間值上下波動。當測量次數(shù)足夠多時，發(fā)現(xiàn)偶然 誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。1-2 1-2 誤差的來源及處理方法誤差的來源及處理方法3 3、間接測量誤差：、間接測量誤差： 在實驗中，對長度、重量、位移等物理量能直接測量，但對應在實驗中，對長度、重量、位移等物理量能直接測量，但對應 力等物理量一般不能直接測量，必須通過一些能直接測量的物力等物理量一般不能直接測量，必須通過一些能直接測量的物 理量按一定公式計算求得。這計算出的間接測量的結果具有一理量

16、按一定公式計算求得。這計算出的間接測量的結果具有一 定的誤差，如何由直接測量誤差計算間接測量誤差，這就是誤定的誤差，如何由直接測量誤差計算間接測量誤差，這就是誤 差傳遞規(guī)律的問題。差傳遞規(guī)律的問題。二、偶然誤差的理論二、偶然誤差的理論 1 1、誤差的正態(tài)分布、誤差的正態(tài)分布 實驗時希望測量值盡量接近真值，在消除系統(tǒng)誤差和過失誤實驗時希望測量值盡量接近真值，在消除系統(tǒng)誤差和過失誤 差之后，實驗數(shù)據(jù)中仍包含偶然誤差。既然偶然誤差很難消差之后，實驗數(shù)據(jù)中仍包含偶然誤差。既然偶然誤差很難消 除掉就要找到它的規(guī)律。除掉就要找到它的規(guī)律。 從誤差分布曲線，可看出偶然誤差有下列特性：從誤差分布曲線，可看出偶

17、然誤差有下列特性：（1 1）小誤差出現(xiàn)的概率高，大誤差出現(xiàn)的概率低，絕對值）小誤差出現(xiàn)的概率高，大誤差出現(xiàn)的概率低，絕對值 很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零。很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零。（2 2）絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相等。）絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相等。222/21)(SxeSxpy高斯于高斯于17951795年找出了描述偶然誤差的函數(shù)形式為：年找出了描述偶然誤差的函數(shù)形式為：隨機變量與其均值的偏差的概率成正態(tài)分布。隨機變量與其均值的偏差的概率成正態(tài)分布。應變應變相對相對頻率頻率22)(xhehxpyS - - 標準誤差；標準誤差；h - - 精密度指數(shù)；精密度指數(shù)；Sh21高斯

18、概率分布定律高斯概率分布定律222/21)(SxeSxpyp（x） - - 概率密度。概率密度。 高斯誤差分布曲線高斯誤差分布曲線 高斯誤差分布曲線高斯誤差分布曲線 誤差分布曲線上的最高點。與誤差分布曲線上的最高點。與h成正比，與成正比，與S成反比。成反比。 因此因此h越大越大S越小時曲線中部越高，兩邊下降越快；越小時曲線中部越高，兩邊下降越快； 反之，曲線變的越平坦。反之，曲線變的越平坦。 特點：特點： 1 1、 越大，越大， 值越小，曲線越平坦。值越小，曲線越平坦。 越小，越小， 值越大，值越大，曲線越陡峭。曲線越陡峭。 2 2、當、當 時，時，Shy210 xyxy0 x0y22)(xh

19、ehxpy2 2、偶然誤差表示法、偶然誤差表示法（1 1）算術平均值）算術平均值 偶然誤差的特點：正、負誤差出現(xiàn)的概率相等，則計算真偶然誤差的特點：正、負誤差出現(xiàn)的概率相等，則計算真 值的最佳方法是取算術平均值，因為正負誤差相互抵消。值的最佳方法是取算術平均值，因為正負誤差相互抵消。 （2 2）標準方差公式（均方根誤差）標準方差公式（均方根誤差） 測量誤差：測量誤差：第第i 次的測量值；次的測量值；算術平均值；算術平均值；測量次數(shù)，測量次數(shù)，niiaxnx11nxxai當當 時，時， ， 真值。真值。ntaxx tx第第i 次的測量值；次的測量值；真值。真值。tiixx tixx標準方差公式：

20、標準方差公式：nSnii12當當 時，才能計算出真值時，才能計算出真值 ，所以標準方差公式適用于測，所以標準方差公式適用于測量次數(shù)足夠多的情況。量次數(shù)足夠多的情況。對較大或較小的誤差反映比較靈敏，它是表示測量精密度較好的一對較大或較小的誤差反映比較靈敏，它是表示測量精密度較好的一種方法。種方法。nSnii12ntx（3 3）有限次測量時的標準誤差）有限次測量時的標準誤差 當測量次數(shù)無限多時，算術平均值就是真值當測量次數(shù)無限多時，算術平均值就是真值 有限次測量時，有限次測量時， 只是真值的近似值。只是真值的近似值。 測量誤差：測量誤差：taxx axaiixxa 第第i 次的測量值；次的測量值；

21、 真值的近似值。真值的近似值。由于測量中正負誤差出現(xiàn)的概率相等，可推出下列公式：由于測量中正負誤差出現(xiàn)的概率相等，可推出下列公式：aixxtiixx niiniinan12121有限測量次數(shù)中從算術平均值計算的偏差平方和，小于從真值計有限測量次數(shù)中從算術平均值計算的偏差平方和，小于從真值計算的誤差平方和，由此得出有限次測量時標準誤差的計算公式。算的誤差平方和，由此得出有限次測量時標準誤差的計算公式。有限次測量時的標準誤差：有限次測量時的標準誤差： 11121212nxxnanSniainiinii三、間接測量誤差三、間接測量誤差 已知直接測量值的誤差，求間接測量值的誤差，已知直接測量值的誤差，

22、求間接測量值的誤差， 即已知自變量的誤差求函數(shù)的誤差。即已知自變量的誤差求函數(shù)的誤差。 設函數(shù)設函數(shù) 其自變量其自變量 為為r個直接測量的物理量，個直接測量的物理量， 其標準誤差分別為其標準誤差分別為rxxxfy ,21rxxx ,21rSSS 、21對對 各作了各作了n 次測量，可算出次測量，可算出n 個個y 值：值：rxxx ,21riiiixxxfy 21，ni ,2,1每次測量的誤差：每次測量的誤差： ririiixxyxxyxxyy 2211兩邊平方：兩邊平方： iiiiixxxyxyxxyxxyy21212222212122ni ,2,1由于正負誤差出現(xiàn)的概率相等，當由于正負誤差出

23、現(xiàn)的概率相等，當n足夠大時，將所有足夠大時，將所有 相加，相加，則非平方項對消而得出：則非平方項對消而得出：2iy nirirniiniiiniixxyxxyxxyy12212222121212兩邊除以兩邊除以n再開方得標準誤差：再開方得標準誤差：2222222121rrySxySxySxyS 相對標準誤差：相對標準誤差：2222222121111rryySxyySxyySxyyySe )(321rxxxxfy nirirniiniiiniixxyxxyxxyy122122221212121-2 1-2 實驗數(shù)據(jù)表示法實驗數(shù)據(jù)表示法一、圖示法一、圖示法 用幾何圖形把實驗數(shù)據(jù)表示出來的一種方法。

24、用幾何圖形把實驗數(shù)據(jù)表示出來的一種方法。 主要優(yōu)點主要優(yōu)點: :形式直觀，便于比較，能顯示數(shù)據(jù)中最大或最小形式直觀，便于比較，能顯示數(shù)據(jù)中最大或最小 值、轉折點或周期性等特點。值、轉折點或周期性等特點。 作圖注意事項：作圖注意事項：（1 1）坐標軸中的）坐標軸中的x軸永遠代表自變量，軸永遠代表自變量，y軸永遠代表因變量。軸永遠代表因變量。 各坐標線的間距應以每一點在坐標紙上能迅速方便地找到，各坐標線的間距應以每一點在坐標紙上能迅速方便地找到， 一般直角坐標紙的各坐標線的間距以分格為一般直角坐標紙的各坐標線的間距以分格為1 1，2 2，5 5最方便。最方便。（2 2）坐標的最小分格應相應于被表示

25、量的誤差。）坐標的最小分格應相應于被表示量的誤差。 分格過細超過實驗精度，會造成曲線的人為彎曲、具有虛假分格過細超過實驗精度，會造成曲線的人為彎曲、具有虛假 精度。分格過粗又降低了實驗精度，使曲線過于平直。一般精度。分格過粗又降低了實驗精度，使曲線過于平直。一般 使曲線在橫縱坐標之間的使曲線在橫縱坐標之間的 方向為宜。方向為宜。045（3 3）對于只看變化趨勢的情況，則將數(shù)據(jù)點描在圖紙上即可）對于只看變化趨勢的情況，則將數(shù)據(jù)點描在圖紙上即可, , 對于作為準確實驗工具用的曲線圖，則要按一定規(guī)矩描點。對于作為準確實驗工具用的曲線圖，則要按一定規(guī)矩描點。 由于實驗數(shù)據(jù)都有一定的誤差，因此畫圖時，不

26、能簡單描由于實驗數(shù)據(jù)都有一定的誤差，因此畫圖時，不能簡單描 點，而應用一矩形表示。矩形兩邊分別代表自變量和因變量點，而應用一矩形表示。矩形兩邊分別代表自變量和因變量 的誤差，中心代表算術平均值，真值應在此矩形內。若用兩的誤差，中心代表算術平均值，真值應在此矩形內。若用兩 倍的標準誤差作誤差的合理范圍，這樣所得曲線介于兩條虛倍的標準誤差作誤差的合理范圍，這樣所得曲線介于兩條虛 線間的概率為線間的概率為95%。（4 4）連接曲線時因光滑連續(xù)。）連接曲線時因光滑連續(xù)。 在實驗測量中，有時出現(xiàn)一個或幾個過大或過小的數(shù)據(jù)，這在實驗測量中，有時出現(xiàn)一個或幾個過大或過小的數(shù)據(jù)，這 時不能按主觀判斷加以取舍，

27、這是錯誤的。對于可疑的異常時不能按主觀判斷加以取舍，這是錯誤的。對于可疑的異常 數(shù)據(jù)一般要分析出明確的物理和技術原因，然后決定取舍。數(shù)據(jù)一般要分析出明確的物理和技術原因，然后決定取舍。 例如：用應變片測量構件應變時，個別應變數(shù)據(jù)過大或過小，例如：用應變片測量構件應變時，個別應變數(shù)據(jù)過大或過小， 如經分析是由于應變片質量或安裝（粘貼）上的原因造成異如經分析是由于應變片質量或安裝（粘貼）上的原因造成異 常，則可舍去，但如果分析不出原因，則應根據(jù)統(tǒng)計學的偶常，則可舍去，但如果分析不出原因，則應根據(jù)統(tǒng)計學的偶 然誤差理論來取舍處理這些可疑數(shù)據(jù)。然誤差理論來取舍處理這些可疑數(shù)據(jù)。二、列表法二、列表法 列

28、表法就是將一組實驗數(shù)據(jù)中的自變量、因變量等各個數(shù)值依一列表法就是將一組實驗數(shù)據(jù)中的自變量、因變量等各個數(shù)值依一 定形式和順序一一對應排列成表格。定形式和順序一一對應排列成表格。 主要優(yōu)點：主要優(yōu)點：簡單易作，形式緊湊，數(shù)據(jù)易于參考比較。簡單易作，形式緊湊，數(shù)據(jù)易于參考比較。 列表注意事項：列表注意事項：（1 1）自變量）自變量x間距的選擇。間距的選擇。一般一般x為為1 1，2 2或或5 5乘以乘以 。x不能過大不能過大 或過小，過小則表太繁且篇幅太大，過大時不準確?；蜻^小，過小則表太繁且篇幅太大，過大時不準確。n10（2 2）表中所有數(shù)值的有效位數(shù)應取舍合理）表中所有數(shù)值的有效位數(shù)應取舍合理

29、自變量假定其無誤差，因變量的位數(shù)取決于實驗精確度。自變量假定其無誤差，因變量的位數(shù)取決于實驗精確度。（3 3）數(shù)據(jù)分度的方法）數(shù)據(jù)分度的方法 通常由實驗測得的數(shù)據(jù)，自變量或因變量的變化一般不夠規(guī)通常由實驗測得的數(shù)據(jù)，自變量或因變量的變化一般不夠規(guī) 則，應用也不方便，而且原始實驗數(shù)據(jù)未經處理可能包含一則，應用也不方便，而且原始實驗數(shù)據(jù)未經處理可能包含一 些錯誤（如異常的可疑數(shù)據(jù)等），使表格數(shù)值不準確。數(shù)據(jù)些錯誤（如異常的可疑數(shù)據(jù)等），使表格數(shù)值不準確。數(shù)據(jù) 的分度就是將表中所列數(shù)據(jù)更有規(guī)則地排列起來，當自變量的分度就是將表中所列數(shù)據(jù)更有規(guī)則地排列起來，當自變量 作等間距順序變化時，因變量亦隨著漸

30、變，這樣的表應用方作等間距順序變化時，因變量亦隨著漸變，這樣的表應用方 便而較準確。便而較準確。 數(shù)據(jù)分度的方法有圖示法、最小二乘法等。數(shù)據(jù)分度的方法有圖示法、最小二乘法等。圖示法圖示法先將原始實驗數(shù)據(jù)在坐標紙上描點作出光滑曲先將原始實驗數(shù)據(jù)在坐標紙上描點作出光滑曲 線，然線，然 后按規(guī)則后按規(guī)則x等間距自曲線上逐個讀出等間距自曲線上逐個讀出y的數(shù)值列成表格。的數(shù)值列成表格。工程上，常需要根據(jù)幾個變量的幾組實驗數(shù)據(jù)，來找到這幾工程上，常需要根據(jù)幾個變量的幾組實驗數(shù)據(jù)，來找到這幾個變量之間的函數(shù)關系，這個函數(shù)的近似表達式叫經驗公式個變量之間的函數(shù)關系，這個函數(shù)的近似表達式叫經驗公式最常用的擬合經

31、驗公式的方法有最小二乘法最常用的擬合經驗公式的方法有最小二乘法從實驗數(shù)據(jù)找經驗公式從實驗數(shù)據(jù)找經驗公式根據(jù)實驗數(shù)據(jù)畫圖根據(jù)實驗數(shù)據(jù)畫圖判斷經驗公式應有的形式判斷經驗公式應有的形式用實驗數(shù)據(jù)去驗證用實驗數(shù)據(jù)去驗證根據(jù)圖形和經驗根據(jù)圖形和經驗及解析幾何原理及解析幾何原理若不合適，則若不合適，則建立新的形式建立新的形式三、列方程法三、列方程法 列方程法是用一個方程式或經驗公式將實驗數(shù)據(jù)表示出來。列方程法是用一個方程式或經驗公式將實驗數(shù)據(jù)表示出來。 主要優(yōu)點：主要優(yōu)點：形式緊湊，而且便于進行微積分運算。形式緊湊，而且便于進行微積分運算。例如：例如：為了測量刀具的磨損速度，做這樣一個實驗，每隔為了測量刀

32、具的磨損速度，做這樣一個實驗，每隔 一小時，測量一次刀具的厚度，得到一組實驗數(shù)據(jù)。一小時，測量一次刀具的厚度，得到一組實驗數(shù)據(jù)。時間時間 ti（小時）（小時）01 2 3 4 5 6 7厚度厚度 yi（cm）27.026.826.526.326.125.725.324.8最小二乘法最小二乘法根據(jù)實驗數(shù)據(jù)建立根據(jù)實驗數(shù)據(jù)建立y與與t 之間的經驗公式，設之間的經驗公式，設y = = f（t）。）。首先確定首先確定f（t）的類型，）的類型，即即f（t）可能是直線還是曲線，）可能是直線還是曲線，為此在直角坐標系中將為此在直角坐標系中將 線畫出。線畫出。iity ,從圖中可見這些點的連線大致是一條直線，

33、于是認為從圖中可見這些點的連線大致是一條直線，于是認為f（t）是線性函數(shù)）是線性函數(shù) battf)(待定常數(shù)待定常數(shù)a、b的選取的選取: :理想情況：理想情況：選取能使選取能使 經過圖中各測點，但這是不可經過圖中各測點，但這是不可 能的，因為這些點本來就不在同一直線上。能的，因為這些點本來就不在同一直線上。實際情況：實際情況：只能要求只能要求a、b使得使得 在在 處處 的函數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)的函數(shù)值與實驗數(shù)據(jù) 的偏差最小。的偏差最小。 battf)(battf)(7210,tttt 7210,yyyy mintfyiii707,2,1,0 i mintfyiii70偏差的和最小時，不能保證函數(shù)值與

34、實驗數(shù)據(jù)的偏差偏差的和最小時，不能保證函數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)的偏差也最小。因偏差有正有負，在求和時可能相互抵消也最小。因偏差有正有負，在求和時可能相互抵消 。 mintfyii7,2,1,0 i設：設：讓偏差的絕對值之和最小。但加絕對值不便于進一步分析討論。讓偏差的絕對值之和最小。但加絕對值不便于進一步分析討論。 minbatytfyMiiiiii2702707,2,1,0 i根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)a、b的方法叫最小二乘法。的方法叫最小二乘法。M最小的條件：最小的條件： 0270iiiitbatyaM0270iiibatybM 125.27304

35、. 0ttfy一般計算比較繁瑣，可用計算機輔助計算。一般計算比較繁瑣，可用計算機輔助計算。125.27304. 0ba解此方程組得：解此方程組得：擬合經驗公式擬合經驗公式 ：第二章第二章 結構的相似性結構的相似性工程中在實際構件上做實驗有時很困難，那么如何用模型代替實際構件呢？工程中在實際構件上做實驗有時很困難，那么如何用模型代替實際構件呢？ 相似理論是研究原型與模型之間規(guī)律的基礎理論。相似理論是研究原型與模型之間規(guī)律的基礎理論。 在工程中什么樣的問題需要用到模型實驗？在工程中什么樣的問題需要用到模型實驗？1 1、尺寸大的構件：、尺寸大的構件： 如：大樓的抗震實驗；水壩的強度實驗等。如：大樓的

36、抗震實驗；水壩的強度實驗等。 必須先做實驗后建大樓和水壩。必須先做實驗后建大樓和水壩。2 2、破壞性實驗：、破壞性實驗： 如：坦克的破壞實驗。一臺坦克的造價約為如：坦克的破壞實驗。一臺坦克的造價約為17001700萬元，萬元， 破壞一臺造價太高，所以只能做模型破壞實驗。破壞一臺造價太高，所以只能做模型破壞實驗。3 3、尺寸非常小的構件：、尺寸非常小的構件： 尺寸非常小的構件，在實際構件上做實驗很困難，尺寸非常小的構件，在實際構件上做實驗很困難， 這就需要在放大后的模型上做實驗。這就需要在放大后的模型上做實驗。原型（實體）原型（實體） 模型模型( (模型實驗得到的數(shù)據(jù)模型實驗得到的數(shù)據(jù)) ) 相

37、似理論相似理論 2-1 2-1 相似理論相似理論一、相似現(xiàn)象及相似理論的基本概念一、相似現(xiàn)象及相似理論的基本概念1 1、相似現(xiàn)象：、相似現(xiàn)象： 幾何相似：幾何相似：指形狀、大小相似。指形狀、大小相似。 物理相似：物理相似：指物理性能相似。如：熱性能；粘性；彈性性能相似等。指物理性能相似。如：熱性能；粘性；彈性性能相似等。 數(shù)學相似：數(shù)學相似：指描述某些現(xiàn)象的數(shù)學方程式相同。如：彈力中的薄膜比指描述某些現(xiàn)象的數(shù)學方程式相同。如：彈力中的薄膜比 擬法與扭轉毫無關系，但是它們的數(shù)學方程式是相似的，擬法與扭轉毫無關系，但是它們的數(shù)學方程式是相似的， 所以可用薄膜比擬法來解扭轉問題。所以可用薄膜比擬法來

38、解扭轉問題。2 2、相似理論的基本概念：、相似理論的基本概念：（1 1）相似系數(shù)：）相似系數(shù)：兩個相似現(xiàn)象中同類物理量成常數(shù)比，其比值稱為相似兩個相似現(xiàn)象中同類物理量成常數(shù)比，其比值稱為相似 系數(shù)。系數(shù)。 如廣義虎克定律：如廣義虎克定律：zyxxE1原型：原型： 模型：模型： mmmmppppEE,若模型與原型相似，則相應的參數(shù)之比為常數(shù)若模型與原型相似，則相應的參數(shù)之比為常數(shù)mpCmpCmpEEEC mpCCCCCE比例常數(shù)比例常數(shù) 相似系數(shù)。相似系數(shù)。 CCCCE,（2 2）相似指標：）相似指標：mpCmpCmEpECEmpC原型：原型： zpyppxppxpE1zmymmxmmExmCC

39、CECC1zmymmExmEmxmCCCCCCCE1當相似系數(shù)的組合比等于當相似系數(shù)的組合比等于1 1時，模型與原型的廣義虎克定律相同時，模型與原型的廣義虎克定律相同1ECCC1ECCCC若模型與原型相似，則所描述的方程必須相同若模型與原型相似，則所描述的方程必須相同11ECCCC12ECCCCC相似指標相似指標 21,cc（3 3）相似判據(jù)：）相似判據(jù)： 把相似指標中的相似系數(shù)換成相應的物理量把相似指標中的相似系數(shù)換成相應的物理量相似判據(jù)相似判據(jù)11ECCCC相似判據(jù)相似判據(jù) Eidem112ECCCCC相似判據(jù)相似判據(jù) Eidem2（4 4）判據(jù)方程：）判據(jù)方程：mmmEmEmmpppEC

40、CCECCCE11ECCCCmmmpppEE判據(jù)方程判據(jù)方程 模型的相似判據(jù)：模型的相似判據(jù)： 模型的相似判據(jù)：模型的相似判據(jù)： mmmmEmEmmmppppECCCCECCCCEmmmmppppEE12ECCCCC判據(jù)方程判據(jù)方程 相似指標相似指標相似指標相似指標Eidem1Eidem2二、相似理論二、相似理論1 1、相似第一定理、相似第一定理 在相似現(xiàn)象中，相似指標等于在相似現(xiàn)象中，相似指標等于1 1或相似判據(jù)為一個不變量?；蛳嗨婆袚?jù)為一個不變量。 在相似現(xiàn)象，其相似判據(jù)是相同的，是一個不變量。在相似現(xiàn)象，其相似判據(jù)是相同的，是一個不變量。2 2、相似第二定理、相似第二定理 表示某現(xiàn)象各物

41、理量之間的關系方程式，都可轉換成無量綱方表示某現(xiàn)象各物理量之間的關系方程式，都可轉換成無量綱方 程，無量綱方程的各項即是相似判據(jù)。程，無量綱方程的各項即是相似判據(jù)。 因此表示某現(xiàn)象各物理量之間的關系方程式，都可寫成相似判因此表示某現(xiàn)象各物理量之間的關系方程式，都可寫成相似判 據(jù)方程。據(jù)方程。 如如: :廣義虎克定律廣義虎克定律zyxxE1xzxyxxEEE1EEidemxx1EEEidemxzxy23 3、相似第三定理、相似第三定理 在物理方程相同的情況下，兩個現(xiàn)象只要下面的條件相似，在物理方程相同的情況下，兩個現(xiàn)象只要下面的條件相似， 則這兩個現(xiàn)象必相似。則這兩個現(xiàn)象必相似。 （1 1）幾何

42、相似）幾何相似 （2 2）時間相似）時間相似（動態(tài)或動力學問題要求時間相似）（動態(tài)或動力學問題要求時間相似） （3 3）物理參數(shù)相似）物理參數(shù)相似 （指（指E、密度、密度等相似）等相似） （4 4）邊界條件相似）邊界條件相似 （5 5）初始條件相似）初始條件相似 （6 6）數(shù)學相似）數(shù)學相似相似定理中第一定理最重要，因為給出了相似理論的必要相似定理中第一定理最重要，因為給出了相似理論的必要條件。即相似必滿足以上條件，但滿足此條件不一定相似。條件。即相似必滿足以上條件，但滿足此條件不一定相似。相似第三定理給出了相似的充分條件，即以上幾方面都相相似第三定理給出了相似的充分條件，即以上幾方面都相似則

43、兩個現(xiàn)象必相似。似則兩個現(xiàn)象必相似。相似理論是數(shù)學問題，下面把數(shù)學中的相似理論應用到彈性結構中。相似理論是數(shù)學問題，下面把數(shù)學中的相似理論應用到彈性結構中。三、彈性結構的相似性三、彈性結構的相似性例例1 1：懸臂梁結構的相似性。懸臂梁結構的相似性。x截面的彎矩：截面的彎矩：x截面的最大應力：截面的最大應力：x截面的撓度：截面的撓度： xLPxMzzWxLPWxM)()(max)3(6)(2xLEIPxxy懸臂梁自由端受集中力作用時懸臂梁自由端受集中力作用時相似系數(shù)：相似系數(shù)： mPMMMCmPCmPyyyC mPEEECmPPPPCmPLLLCmPLWWC3mPLIIC4 慣性矩慣性矩抗彎截面

44、模量抗彎截面模量把相似系數(shù)代入彎矩、應力和撓度方程把相似系數(shù)代入彎矩、應力和撓度方程 )()(mmLmPmMxLCPCxMC)()(mmmMLPmxLPCCCxM彎矩彎矩方程方程 ： ppppxLPxM1MLPCCC相似指標相似指標 應力應力方程方程 ：mLmmLmPmWCxLCPCC3max,)(mmLPmmLLPmWxLPCCCWxLPCCCC)()(23max,pppppppWxLPWxM)()(max,12LPCCC相似指標相似指標 撓度方程：撓度方程：)3(62pppppppxLIExPy)3(6422mmLmLmEmLmPmyxLCICECxCPCyC)3(62mmmmmmLEyP

45、mxLIExPCCCCy相似指標：相似指標： 1MLPCCC12LPCCC1LEyPCCCC相似判據(jù)：相似判據(jù)： MPLidem 2LPidemyELPidem 判據(jù)方程：判據(jù)方程： mmmPPPMLPMLPmmmPPPMLPLPM22mmmPPPLPLPmPmmPPLPLP22mmmmPPPPLEyPLEyPmPPmmmPPyLEPLEPy)3(62mmmmmmLEyPmxLIExPCCCCy1LEyPCCCC相似指標相似指標 若要使模型與原型中應力相等若要使模型與原型中應力相等 122PmmPLPLP22mPmPLLPP例例2 2、求解各向同性的彈性結構的應力和變形求解各向同性的彈性結構的

46、應力和變形 一個各向同性的彈性結構要求解其應力和變形時就必須考慮平一個各向同性的彈性結構要求解其應力和變形時就必須考慮平 衡、幾何、物理方程和邊界條件。利用這些方程和邊界條件建衡、幾何、物理方程和邊界條件。利用這些方程和邊界條件建 立相似判據(jù)方程。若模型與原型相似，根據(jù)相似第一定理，相立相似判據(jù)方程。若模型與原型相似，根據(jù)相似第一定理，相 似判據(jù)為一個不變量，所以根據(jù)判據(jù)方程式，可得模型與原型似判據(jù)為一個不變量，所以根據(jù)判據(jù)方程式，可得模型與原型 諸物理量之間的關系式。諸物理量之間的關系式。 彈性結構中的相似系數(shù)有：彈性結構中的相似系數(shù)有：幾何相似系數(shù)：幾何相似系數(shù)： ； 應力相似系數(shù)：應力相

47、似系數(shù)：應變相似系數(shù)：應變相似系數(shù)： ； 彈性模量相似系數(shù)：彈性模量相似系數(shù)：mPLLLCmPmPCmpmPCmPEEECmPmmPPLPLP22泊松比相似系數(shù)：泊松比相似系數(shù)： ； 位移相似系數(shù)：位移相似系數(shù)：體積力相似系數(shù)：體積力相似系數(shù)： ； 邊界面力相似系數(shù)：邊界面力相似系數(shù)： （分布載荷）（分布載荷）mPCmPCmPfffCmpqqqC 1 1、平衡方程、平衡方程0 xxzxyxfzyx原型（實體）：原型（實體）： 0pppppppfzyx三個平衡方程求出的相似判據(jù)均相同三個平衡方程求出的相似判據(jù)均相同 代入相似系數(shù)：代入相似系數(shù)： 0mfmLmmLmmLmfCzCCyCCxCC0m

48、mmmmfLmmfLfzyCCCxCCC相似指標為：相似指標為： ， 相似判據(jù)為：相似判據(jù)為：1fLCCCLfidem判據(jù)方程為：判據(jù)方程為： mmmpppfLfLmmmpPpfLfL若不考慮體積力，若不考慮體積力，平衡方程平衡方程 ：0mmmmmmLzyxCC0ppppppzyxLCC任意常數(shù)時均符合相似條件任意常數(shù)時均符合相似條件 因此不考慮體積力時，平衡微分方程對因此不考慮體積力時，平衡微分方程對 和和 無制約關系，無制約關系，只要其它條件相似，模型中的應力與原型中的應力保持相似。只要其它條件相似，模型中的應力與原型中的應力保持相似。 CLC 2 2、物理方程、物理方程zpyppxppx

49、pE1原型（實體）：原型（實體）： 代入相似系數(shù)：代入相似系數(shù)： zmymExmEmxmCCCCCCCE11CCCE1CCCCE相似指標：相似指標：1CCCE1Cpm誤差是不可避免的，因為模型與原型的材料不同，所以泊松比也不誤差是不可避免的，因為模型與原型的材料不同，所以泊松比也不會完全相同。一般情況原型是用金屬材料制成的，金屬材料的泊松會完全相同。一般情況原型是用金屬材料制成的，金屬材料的泊松比比 = 0.280.3, , 模型是用環(huán)氧樹脂材料制成的，而環(huán)氧樹脂材料模型是用環(huán)氧樹脂材料制成的，而環(huán)氧樹脂材料的泊松比的泊松比 = 0.360.38，所以由泊松比引起的誤差不會很大。，所以由泊松比

50、引起的誤差不會很大。若模型與原型相似，模型材料的泊松比必須若模型與原型相似，模型材料的泊松比必須與原型材料的泊松比相同，否則將帶來誤差。與原型材料的泊松比相同，否則將帶來誤差。Eidem mmmpppEE相似判據(jù)：相似判據(jù)： 判據(jù)方程：判據(jù)方程：mmPPmpEE 3 3、幾何方程：、幾何方程：xUxppxpxU原型（實體）：原型（實體）： mLmxmxCUCCmmLxmxUCCC代入相似系數(shù)：代入相似系數(shù)： 相似指標：相似指標： 相似判據(jù)：相似判據(jù)：1CCCLLidemmmmpppLL判據(jù)方程：判據(jù)方程：mmmpppLLxVyxVyUxy4 4、邊界條件：、邊界條件：xzxyxxnmlqxzp

51、xypxpxpnmlq原型（實體）：原型（實體）： 代入相似系數(shù)：代入相似系數(shù)： xzmxymxmxmqnCmClCqCxzmxymxmqxmnmlCCq相似指標：相似指標： 相似判據(jù)：相似判據(jù)： 1qCCqidem判據(jù)方程判據(jù)方程 ：mmppqqmmppqq單位面積上的載荷單位面積上的載荷集中載荷集中載荷Pq22mmppmpLqLqPP若表面上作用集中力，則需經下式換算若表面上作用集中力，則需經下式換算總之，若模型與原型相似，則模型與原型中的總之，若模型與原型相似，則模型與原型中的所有物理量應滿足上面所列的所有物理量應滿足上面所列的5 5個相似判據(jù)方程。個相似判據(jù)方程。mmmpPpfLfLm

52、mPPmpEEmmmpppLLmmppqqpm1 1、平衡方程、平衡方程 2 2、物理方程、物理方程 3 3、幾何方程：、幾何方程：4 4、邊界條件：、邊界條件：若不考慮體積力，（除若不考慮體積力，（除 外只有三個條件）外只有三個條件）mpmmpmppEEmmppmpLLmmppqq應變換算公式應變換算公式 : :mpmmppEqEq位移換算公式：位移換算公式： mmpmpmppLEqLEq應力換算公式：應力換算公式： mmppqq2-2 2-2 用量綱分析法分析結構相似用量綱分析法分析結構相似一、量綱分析的基本概念一、量綱分析的基本概念單位：表示所度量物理量的大小。是物理量的度量標準，單位：

53、表示所度量物理量的大小。是物理量的度量標準， 它是不唯一的，能夠受到人們主觀意志的影響。它是不唯一的，能夠受到人們主觀意志的影響。 量綱：表示所度量物理量的類型。是物理量的物理屬性，量綱：表示所度量物理量的類型。是物理量的物理屬性， 它是唯一的，不隨人的主觀意志而轉移。它是唯一的，不隨人的主觀意志而轉移。如：如：5米，米，10分米，分米，3厘米，厘米，11毫米等雖然它們的大小不同，但都表示長毫米等雖然它們的大小不同，但都表示長 度，屬于同一種類型的物理量，因此它們的量綱相同。長度的量綱度，屬于同一種類型的物理量，因此它們的量綱相同。長度的量綱 用用 L 表示。表示。如：如：10小時，小時，3分

54、，分，2秒等雖然它們的大小不同，但都表示時間，屬于同秒等雖然它們的大小不同，但都表示時間，屬于同 一種類型的物理量，因此它們的量綱相同。時間的量綱用一種類型的物理量，因此它們的量綱相同。時間的量綱用 T 表示。表示。物理量的量綱分為基本量綱和導出量綱物理量的量綱分為基本量綱和導出量綱1 1、基本量綱、基本量綱 通常力學中以長度、力、時間和溫度作為基本量綱，通常力學中以長度、力、時間和溫度作為基本量綱， 其量綱單位分別以其量綱單位分別以 L 、 F 、 T 和和 表示；表示；2 2、導出量綱：、導出量綱： 常用的由基本量綱表示的導出量綱有：常用的由基本量綱表示的導出量綱有： 速度速度加速度加速度

55、力力密度密度應力應力應變應變泊松比泊松比彈性模量彈性模量 21121322100TMLELLLLTMLAFMLMLTFLTaLTu1 1、基本量綱、基本量綱 通常力學中以長度、質量、時間和溫度作為基本量綱，通常力學中以長度、質量、時間和溫度作為基本量綱， 其量綱單位分別以其量綱單位分別以 L 、 M 、 T 和和表示；表示；二、量綱一致性原理二、量綱一致性原理 一個正確、完善的反映客觀規(guī)律的物理方程中，一個正確、完善的反映客觀規(guī)律的物理方程中， 各項的量綱是一致的，這就是量綱的一致性原理。各項的量綱是一致的，這就是量綱的一致性原理。1 1、確定方程式中系數(shù)的量綱：、確定方程式中系數(shù)的量綱：例：

56、例：動力學方程如下，動力學方程如下，試：試：確定方程中確定方程中k、的物理含義。的物理含義。022kdtdxkdtxdm方程式中的第一項表示力方程式中的第一項表示力 ，其量綱為，其量綱為 22dtxdmmaFx2 MLTF022kdtdxkdtxdm方程式中的第二項也表示力，其中速度的量綱為方程式中的第二項也表示力，其中速度的量綱為 ，所以所以k k的量綱為的量綱為 ，表示質量隨時間的變化率。，表示質量隨時間的變化率。同理可知，同理可知，表示速度。表示速度。例：例：伯努利方程伯努利方程 各項皆為長度的量綱，滿足量綱一致性原理。各項皆為長度的量綱，滿足量綱一致性原理。 否則就會出現(xiàn)長度加時間的錯

57、誤結論。否則就會出現(xiàn)長度加時間的錯誤結論。 同時也可確定同時也可確定是無量綱數(shù)。是無量綱數(shù)。2 2、確定方程式中物理量的指數(shù)：、確定方程式中物理量的指數(shù)： 量綱的一致性原理是量綱分析法的理論依據(jù)量綱的一致性原理是量綱分析法的理論依據(jù)whgVgpzgVgpz2222222211111 LTV1 MTk三、量綱分析法三、量綱分析法 若一個問題中諸物理量之間的關系方程式未知，而只知道參若一個問題中諸物理量之間的關系方程式未知，而只知道參 與該問題現(xiàn)象有那些物理量，此時要采用量綱分析的方法，來求與該問題現(xiàn)象有那些物理量，此時要采用量綱分析的方法，來求 各物理量之間的關系式。各物理量之間的關系式。 定理

58、可將該物理現(xiàn)象所涉及的物理量組成無量綱綜合量，定理可將該物理現(xiàn)象所涉及的物理量組成無量綱綜合量， 并使無量綱綜合量構成函數(shù)關系，它反映了物理量之間的內在并使無量綱綜合量構成函數(shù)關系，它反映了物理量之間的內在 規(guī)律。規(guī)律。1 1、定理：定理： 假設某一物理現(xiàn)象與假設某一物理現(xiàn)象與n個物理量個物理量 有關，而這有關，而這 n個物理量存在的函數(shù)關系為：個物理量存在的函數(shù)關系為： 若這若這n個物理量的基本量綱數(shù)為個物理量的基本量綱數(shù)為m，則這，則這n個物理量可組合成個物理量可組合成 n-m個獨立的無量綱數(shù)個獨立的無量綱數(shù) ，這些無量綱數(shù)也存在，這些無量綱數(shù)也存在 某種函數(shù)關系：某種函數(shù)關系： nxxx

59、,21 021nxxxf，mn ,21021mnF，例如：例如：懸臂梁自由端受集中力作用。懸臂梁自由端受集中力作用。 求：求：懸臂梁懸臂梁梁中應力的形式梁中應力的形式。解：解：因為梁中的應力只與載荷、彎矩和梁的尺寸有關，因為梁中的應力只與載荷、彎矩和梁的尺寸有關， 而與材料無關。因此梁中的應力可表示為：而與材料無關。因此梁中的應力可表示為：LMPf，共四個物理量共四個物理量 n=4四個物理量只有兩個獨立的基本單位量綱四個物理量只有兩個獨立的基本單位量綱 m=2獨立的無量綱數(shù)獨立的無量綱數(shù) n-m=2 量綱分別為：量綱分別為： :; :, :; :2LLFLMFPFL任選兩個任選兩個M和和L作為

60、循環(huán)量，與余下的作為循環(huán)量，與余下的和和P組合成無量綱數(shù)組合成無量綱數(shù) 和和 。12111baLM2222212baabaLFLFLF222baLPM（1 1）無量綱數(shù)）無量綱數(shù) 111112121baabaLFLFLFL302:101:11111bbaLaaFMLLM3311（2 2）無量綱數(shù)）無量綱數(shù)111baLM222baLPM10:101:22222bbaLaaFMPLLPM12（5 5） 之間的關系之間的關系 由由定理可知，這些無量綱數(shù)之間存在函數(shù)關系定理可知，這些無量綱數(shù)之間存在函數(shù)關系21,0,21FMPLfMLMPLMLF330,隱式隱式顯式顯式2222212baabaLFLF