材料力學第十章壓桿穩(wěn)定問題劉鋒

1、第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page 1第第十十章章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page 2一、問題的提出一、問題的提出: :強度條件是否適用于下列拉壓桿？強度條件是否適用于下列拉壓桿？ NFA 回顧：拉壓桿的強度條件回顧：拉壓桿的強度條件FFFF短粗桿短粗桿FFFF細長桿細長桿第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page 3左圖：隋朝建成左圖：隋朝建成的趙州橋的趙州橋右圖：右圖： Tacoma 海峽大海峽大橋橋19401940年破壞年破壞Euler(1707-1783)首先從理論上研究了壓桿穩(wěn)定問題首先從理論上研究了壓桿穩(wěn)定問題(Euler理論

2、理論）l 工程實例：石橋、鋼橋與穩(wěn)定問題工程實例：石橋、鋼橋與穩(wěn)定問題第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page 4 其他形式的穩(wěn)定問題實例其他形式的穩(wěn)定問題實例crFF 窄高梁彎曲窄高梁彎曲薄壁件受外壓薄壁件受外壓薄壁圓筒軸向受壓薄壁圓筒軸向受壓第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page 5二、剛體與變形體的穩(wěn)定性二、剛體與變形體的穩(wěn)定性 （1）剛性面上，剛性球受微干擾）剛性面上，剛性球受微干擾a. 合力合力FR指向平衡位置指向平衡位置穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡b. FR為為0c. FR偏離平衡位置偏離平衡位置不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界臨界( (隨遇隨遇) )平衡平衡FRFWFRFWW第十章第十

3、章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page 6（2）剛桿彈簧系統(tǒng)受微干擾）剛桿彈簧系統(tǒng)受微干擾穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡. aFk l 臨界臨界(隨遇隨遇)平衡平衡. bFk l 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡. cFk l 臨界載荷臨界載荷crFkl 驅動力矩驅動力矩F 恢復力矩恢復力矩k l Fkl剛桿彈簧系統(tǒng)穩(wěn)定性演示剛桿彈簧系統(tǒng)穩(wěn)定性演示第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page 7（3）受壓彈性桿受微干擾）受壓彈性桿受微干擾F Fcr 穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡FFcr 臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)壓桿在微彎位置不能平衡壓桿在微彎位置不能平衡, ,要恢復直線要恢復直線壓桿微彎位置不能平衡壓桿微彎位置不能平衡, ,要繼續(xù)彎曲要繼

4、續(xù)彎曲, ,導致失穩(wěn)導致失穩(wěn)F Fcr 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡壓桿在任意微彎位置均可保持平衡壓桿在任意微彎位置均可保持平衡臨界載荷臨界載荷 Fcr: 壓桿直線形式的平壓桿直線形式的平衡由穩(wěn)定轉變?yōu)椴环€(wěn)定時的軸向壓衡由穩(wěn)定轉變?yōu)椴环€(wěn)定時的軸向壓力值。力值。第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page 8三、桁架的穩(wěn)定性三、桁架的穩(wěn)定性為什么桁架要盡可能設計成各桿受拉為什么桁架要盡可能設計成各桿受拉？第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page 9兩端鉸支壓桿兩端鉸支壓桿 臨界載荷實驗測定臨界載荷實驗測定第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page10 舉重問題的分析第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題

5、壓桿穩(wěn)定問題Page11 一、臨界載荷的歐拉公式一、臨界載荷的歐拉公式兩端受壓簡支桿兩端受壓簡支桿FM(x)xFw( )M xFw 22()dwMxd xE I FFFF臨界平衡狀態(tài)臨界平衡狀態(tài)驅動與恢復內力矩驅動與恢復內力矩驅動內力矩驅動內力矩恢復內力矩恢復內力矩22()dwMxE Id x 第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page12( )M xFw 驅動內力矩驅動內力矩恢復內力矩恢復內力矩22()dwMxE Idx 0222 wkdxwdwEIFdxwd 222kEIF 壓桿穩(wěn)定微分方程壓桿穩(wěn)定微分方程FF通解：通解：sincoswAkxBkx 位移邊界條件：位移邊界條件： 0 B

6、0sin klA, 0 x0 w, lx 0 w存在非零解的條件：存在非零解的條件：sin0kl 第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page1322crE IFl 設：設： n=1sin0kl kln nkl 222(1,2)nEIFnl 臨界載荷歐拉公式臨界載荷歐拉公式FF2,FkE I 注意到：注意到：第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page14臨界載荷（歐拉臨界載荷臨界載荷（歐拉臨界載荷) )與截面抗彎剛度成正比，與截面抗彎剛度成正比，與桿長的平方成反比。與桿長的平方成反比。22crE IFl 二、臨界載荷的歐拉公式的幾點討論二、臨界載荷的歐拉公式的幾點討論壓桿在臨界狀態(tài)時的平

7、衡是一種有條件的隨遇平衡壓桿在臨界狀態(tài)時的平衡是一種有條件的隨遇平衡可有任意的微彎程度可有任意的微彎程度, , 但軸線形狀一定。但軸線形狀一定。sinxwAl 兩端簡支壓桿的撓曲軸兩端簡支壓桿的撓曲軸第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page15三、歐拉公式的適用范圍：三、歐拉公式的適用范圍：QQ 壓力沿桿件軸線壓力沿桿件軸線QQ 小撓度小撓度( (小變形小變形) )QQ 線彈性線彈性QQ 理想均質材料理想均質材料, ,細長桿細長桿 EIxMdxwd)(22 FF第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page16 解析法確定臨界載荷：鉸支解析法確定臨界載荷：鉸支- -固支壓桿固支壓桿 類比

8、法確定臨界載荷類比法確定臨界載荷 相當長度與長度因素相當長度與長度因素 例題例題第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page17一、一、解析法確定臨界載荷解析法確定臨界載荷FABlFABl根據(jù)微彎臨界平衡狀態(tài)根據(jù)微彎臨界平衡狀態(tài)建立微分方程建立微分方程22()d wMxdxEI ( )()M xFw 22()d wFwdxEI 2FkE I 令令 2222kwkdxwd 1. 1. 固支固支-自由壓桿自由壓桿FwxMF第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page18通解：通解：sincoswAkxBkx 考慮位移邊界條件：考慮位移邊界條件：0,0,xw ,xl w B 0 ,0d wxd

9、x sincosAklBkl FABlxw 2222kwkdxwd 0Ak 或或0A cos0kl 存在非零解的條件：存在非零解的條件：第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page1921(1,2)2nkln （）取取n=1, 得固支得固支-自由壓桿的臨界載荷：自由壓桿的臨界載荷：22)2( lEIFcr FABlxwcos0kl 存在非零解的條件：存在非零解的條件：注意到：注意到：2FkEI 22221(2 )nEIFl （）得：得：第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page202. 一端固支一端鉸支細長壓桿的臨界載荷一端固支一端鉸支細長壓桿的臨界載荷lFFFRxFRFwxl FRF)

10、( xM根據(jù)微彎臨界平衡狀態(tài)根據(jù)微彎臨界平衡狀態(tài)建立微分方程建立微分方程( )()RM xFwF lx EIxMdxwd)(22 22()RFd wFwlxdxEIEI )(cossin2xlEIkFkxBkxAwR )(2EIFk 通解：通解：第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page21FRFxl0,0 xw RFlBE Ik 20)(cossin2xlEIkFkxBkxAwR )(2EIFk 通解：通解：考慮位移邊界條件：考慮位移邊界條件：20RFAkEIk 0,0 xw sincos0AklBkl ,0 xl w 第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page22sincoslEI

11、kkEIkklkl 22011000RFlBE Ik 2020RFAkEIk sincos0AklBkl FRFxl存在非零解的條件：存在非零解的條件：klkl tan第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page23EIkF2 22224.493(0.7 )crEIEIFll FRFxlklkl tan2ykl 1tanykl ( )4.493akl 4.493FlEI 思考討論題：思考討論題：力學模型（有條件的隨遇平衡）、力學模型（有條件的隨遇平衡）、數(shù)學方程（微分方程）、有條件的數(shù)學方程（微分方程）、有條件的隨遇平衡的數(shù)學表達（齊次方程的隨遇平衡的數(shù)學表達（齊次方程的非零解）之間的對應關

12、系。非零解）之間的對應關系。第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page242222(2 )4crEIEIFll lFlFlF1. 一端固支一端自由：一端固支一端自由：二、二、類比法確定臨界載荷類比法確定臨界載荷觀察：受力與變形與兩端觀察：受力與變形與兩端鉸支壓桿左半部分相同鉸支壓桿左半部分相同類比：一端固支一端自由長類比：一端固支一端自由長l的壓桿的臨界載荷等于的壓桿的臨界載荷等于長長2l的對應鉸支壓桿的臨界載荷。的對應鉸支壓桿的臨界載荷。與解析法結果相同與解析法結果相同第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page252. 一端固支、一端鉸支一端固支、一端鉸支22)7 . 0(lEIFc

13、r lFcrABFcr0.7lFcrBCFcrl 7 . 0拐點拐點ABC變形曲線觀察：與變形曲線觀察：與B端相端相距約距約0.7l處有一拐點處有一拐點C類比：拐點類比：拐點C處彎矩為零，處彎矩為零，將將C點坐標轉動到變形前位點坐標轉動到變形前位置，置，BC段類比鉸支壓桿。段類比鉸支壓桿。近似性討論：由于變形后近似性討論：由于變形后拐點拐點C離開軸線，離開軸線，B處有約束處有約束反力，小變形條件下很小。反力，小變形條件下很小。第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page263. 兩端固支壓桿兩端固支壓桿：22)2/(lEIFcr crF拐點拐點拐點拐點2l4l4lcrF2lcrF第十章第十章

14、 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page27三、歐拉公式的統(tǒng)一表達式：三、歐拉公式的統(tǒng)一表達式：22)( lEIFcr l 相當長度：相當?shù)膬啥算q支壓桿的長度相當長度：相當?shù)膬啥算q支壓桿的長度 長度因數(shù)長度因數(shù): :支持方式對臨界載荷的影響支持方式對臨界載荷的影響cr2EIFl cr2/2EIFl cr2(0.7 )EIFl cr2(2 )EIFl 1 2 21 7 . 0 歐拉公式可以寫成統(tǒng)一形式：歐拉公式可以寫成統(tǒng)一形式：第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page2822crEIFl 問題：結構在哪個平面內失穩(wěn)？問題：結構在哪個平面內失穩(wěn)？臨界載荷等于多少？臨界載荷等于多少？解：解：臨界載荷

15、臨界載荷例例10-110-1：確定圖示壓桿的臨界載荷確定圖示壓桿的臨界載荷( (hb) )bhyz a aFlFOxyz1. 當兩端的約束是球形鉸。當兩端的約束是球形鉸。2. 當兩端的約束是圓柱形鉸，圓柱銷軸線沿當兩端的約束是圓柱形鉸，圓柱銷軸線沿z軸。軸。第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page2922crEIFl 123bhIz 123hbIy 解：解：臨界載荷臨界載荷壓桿在壓桿在x- -z z平面內失穩(wěn)平面內失穩(wěn)bhcos2sin222yzyzyzIIIIII a aa a FlFOxyz1. 當兩端的約束是球形鉸。當兩端的約束是球形鉸。yz a a2222ycrEIEIFwhen

16、hbll 第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page302()2xyzcrEIFl 123bhIz 123hbIy bhFlFOxyzyz a a2. 當兩端的約束是圓柱形鉸，圓柱銷軸線沿當兩端的約束是圓柱形鉸，圓柱銷軸線沿z軸。軸。壓桿在壓桿在x- -z z平面內，平面內，2()2()yxzcrEIFl 壓桿在壓桿在x- -y y平面內，平面內，其中其中 =0.5 1， IyIx 需要判斷，桿件總沿臨界載荷最小的方向失穩(wěn)需要判斷，桿件總沿臨界載荷最小的方向失穩(wěn)第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page31例例10-2：大柔度立柱，大柔度立柱，失穩(wěn)時結構如何運動？失穩(wěn)時結構如何運動？A

17、A截面截面FzxAAb3b 旋轉失穩(wěn)旋轉失穩(wěn)第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page32問題：歐拉公式適用范圍？如何研究此問題：歐拉公式適用范圍？如何研究此范圍之外的壓桿的失效？范圍之外的壓桿的失效？歐拉公式一般表達式歐拉公式一般表達式 cr2()EIFl第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page33一、一、 臨界應力與柔度臨界應力與柔度crcrFA 22cr EIAl 臨界應力臨界應力 22cr EIFl 定義定義AIi 截面的慣性半徑，只與截面形狀相關截面的慣性半徑，只與截面形狀相關il 壓桿的柔度或長細比，無量綱量壓桿的柔度或長細比，無量綱量 22 Ecr 歐拉公式可以寫成歐拉

18、公式可以寫成 綜合反映了壓桿長度綜合反映了壓桿長度l，支撐方式支撐方式 與截面幾何與截面幾何性質性質i對臨界應力的影響。對臨界應力的影響。第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page34二二、 Euler公式的適用范圍公式的適用范圍22crpE pE 令令ppE p Euler公式的適用條件：公式的適用條件： p 的的壓桿，稱為大柔度桿壓桿，稱為大柔度桿 p：材料常數(shù)，僅與材料彈性模量材料常數(shù)，僅與材料彈性模量E及比例極限及比例極限 p有關有關第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page35三、臨界應力的經(jīng)驗公式三、臨界應力的經(jīng)驗公式p 的壓桿的壓桿非細長桿非細長桿，屬于超過材料比例極限的

19、屬于超過材料比例極限的穩(wěn)定問題，通常用經(jīng)驗公式計算。穩(wěn)定問題，通常用經(jīng)驗公式計算。 （I）直線型經(jīng)驗公式）直線型經(jīng)驗公式(合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等) bacr 式中式中a, b為材料常數(shù)，單位為材料常數(shù)，單位MPa, 可查表。可查表。 臨界應力不能小于材料的極限應力臨界應力不能小于材料的極限應力 cu，令，令:0cuab p，大柔度桿；大柔度桿； 0 0 p，中柔度桿；，中柔度桿； 強度安全因數(shù)。強度安全因數(shù)。第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page4122crElAliI crab二、壓桿的合理設計二、壓桿的合理設計依據(jù)：依據(jù)： 歐拉公式歐拉公式經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式臨界應力總圖臨界應力總圖1. 合理截面形狀：合理截面形狀： ,iorI A 選擇慣性矩較大的截面形狀選擇慣性矩較大的截面形狀 注意失穩(wěn)的方向性注意失穩(wěn)的方向性第十章第十章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題Page42 注意失穩(wěn)的方向性注意失穩(wěn)的方向性zzzlIA yyylIA 在在x-yx-y平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)1z . 0 7y 在在x-zx-z平面失穩(wěn)平面失穩(wěn) z y，設計設計I Iz zIIy y; 等穩(wěn)定設計等穩(wěn)定設計：/zzyyI