第章 平面問(wèn)題高階單元PPT課件

1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式單擊此處編輯母版文本樣式第二級(jí)第三級(jí)第四級(jí)第五級(jí)*第7章 平面問(wèn)題高階單元 7.1 位移模式階次的選擇 在前面兩章中討論了平面問(wèn)題三結(jié)點(diǎn)三角形單元，其位移模式的最高階是坐標(biāo)x、y的一次項(xiàng)。這種位移模式導(dǎo)致單元常應(yīng)變、常應(yīng)力特性，單元應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣、剛度矩陣均為常數(shù)矩陣，因此計(jì)算非常簡(jiǎn)單。但這種單元難以反映應(yīng)力梯度的迅速變化。要想提高計(jì)算精度，必須細(xì)分網(wǎng)格，增加單元數(shù)和點(diǎn)數(shù)，因而加大輸入數(shù)據(jù)的工作量。 提高計(jì)算精度的另一條有效途徑是采用高階單元。由于高階單元的應(yīng)變、應(yīng)力不再是常數(shù)，因此采用少量單元就 可能達(dá)到較高的精度。圖7-1懸臂梁分別采用高、低階單元計(jì)算就是一個(gè)典

2、型的例子。h4hPAB懸臂深梁解析解：A=1.0 B=1.0常應(yīng)變單元：A=0.866 B=0.619高階單元：A=0.99 B=0.99圖7-1選擇位移模式時(shí)，第2章提到要考慮解的收斂性，即要考慮到位移模式的完備性和協(xié)調(diào)性。實(shí)際操作中，一般應(yīng)考慮位移模式的對(duì)稱性。這是因?yàn)?，有限元位移模式的選擇實(shí)際是以帕斯卡（Pascal）三解形基礎(chǔ)上的（如圖7-2所示），由低價(jià)至高階，順序選取，組成多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中的項(xiàng)數(shù)等于單元節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)。如三節(jié)點(diǎn)三角形單元，位移模式取完全一次式，共3項(xiàng)。六節(jié)點(diǎn)三角形單元，位移模式取完全二次式共6項(xiàng)。如果某一階次不能全取，則應(yīng)按對(duì)稱性原則適當(dāng)選取。 1 x y x2 xy

3、 y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 圖7-2 多項(xiàng)式選擇的 怕斯卡三角形 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 圖7-2 多項(xiàng)式選擇的 怕斯卡三角形例如在下節(jié)將要討論的四結(jié)點(diǎn)矩形單元中，位移模式不能取1，x，y，x2四項(xiàng)，也不能取1，x，y， y2四項(xiàng)，而應(yīng)取1，x，y，xy四項(xiàng)。 7.2 四節(jié)點(diǎn)矩形單元 圖7-3示出的矩形單元，邊長(zhǎng)分別為2a和2b。取4個(gè)角點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，編號(hào)為i，j，l，m。將x軸和y軸置于單元的對(duì)稱軸上。單元的位移函數(shù)可取為：1、位移函數(shù) 在上式表示的位移模式中，a1, a2, a

4、3, a5, a6, a7， a8反映了單元的剛體位移和常應(yīng)變。在單元的邊界(x=a或y =a)上（或），位移是按線性分布的。因此，相鄰單元在公共邊上的位移是連續(xù)的。這樣，位移模式滿足了解答收斂性的充分條件。 ijlmxyaabb圖7-3在式（7-1）中代入節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)后，可解出（7-1）式中形函數(shù)為 ：（7-3）（7-2）各待定系數(shù)(a1 a8)。將這些系數(shù)再代入式（7-1），可得：則式（7-3）可簡(jiǎn)寫(xiě)為（7-4）將位移函數(shù)寫(xiě)成矩陣形式，即有與式（2-20）相同的形式 （7-5）式中（7-6）令 在節(jié)點(diǎn)上的值為： （7-7）其中，I為二階單位矩陣。2、應(yīng)變矩陣根據(jù)幾何方程，可得與式（2

5、-25）同樣的形式（7-8）把應(yīng)變矩陣B寫(xiě)成子矩陣形式（7-9） 其 中（7-10） 由此可見(jiàn)，B是、 的函數(shù)，即是x、y的函數(shù)。因此單元中的應(yīng)變不再是常數(shù)。 3、應(yīng)力矩陣根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，可以計(jì)算單元中的應(yīng)力，得到式（2-28）同樣形式 （7-11）應(yīng)力矩陣S具有與式（2-29）同樣形式（7-12）將S寫(xiě)成子矩陣形式 （7-13）其 中 （7-14）上式對(duì)應(yīng)平面應(yīng)力情形。對(duì)于平面應(yīng)變情形，只需將其中的E，作相應(yīng)的改變即可。 4、單元?jiǎng)偠染仃?單元?jiǎng)偠染仃嚳刹捎檬剑?-33a）進(jìn)行計(jì)算（2-33a）在四節(jié)點(diǎn)矩形單元中，k是一個(gè)88的矩陣。將k寫(xiě)成分塊形式： （7-16）其中的子矩陣krs22

6、可由下式計(jì)算 （7-17） 上式對(duì)應(yīng)平面應(yīng)力情形。對(duì)于平面應(yīng)變情形，只須將上式中的E、作相應(yīng)的改變。 5、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 單元體積力和表面力引起的節(jié)點(diǎn)力仍可用式（2-45）和（2-46）進(jìn)行計(jì)算。 對(duì)本問(wèn)題給定的位移函數(shù)，若體積力是重力的情形（設(shè)重度為），單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)載荷列陣為：（2-45）（2-46）（7-18） 有了對(duì)單元的上述結(jié)果，便可應(yīng)用第5章的方法組集結(jié)構(gòu)剛度矩陣和節(jié)點(diǎn)荷載向量；求解節(jié)點(diǎn)位移；計(jì)算內(nèi)力和應(yīng)力。 四節(jié)點(diǎn)矩形單元采用較高階的位移模式，具有比三節(jié)點(diǎn)三角形單元較高的計(jì)算精度。但矩形單元也有缺點(diǎn)， 在三角形單元i, j, m的各邊中點(diǎn)增設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)，使每個(gè)單元具有6個(gè)節(jié)點(diǎn)，得到圖7-

7、4所示的六節(jié)點(diǎn)三角形單元。 這種單元具有12個(gè)自由度，可以采用完全二次多項(xiàng)式的位移模式： 一是不能適應(yīng)斜線及曲線邊界，二是不便于采用大小不同的單元。7.3 六節(jié)點(diǎn)三角形單元 1、位移模式 ijmijmxy圖7-4（7-20）所取位移模式反映了單元的剛體位移和常應(yīng)變；單元內(nèi)部是連續(xù)的；在單元邊界上位移分量按拋物線變化，而每條公共邊界上有3個(gè)公共結(jié)點(diǎn)，可以保證相鄰兩單元位移的連續(xù)性。因此，上述位移模式滿足收斂的必要和充分條件。 上述位移模式確定之后，可以用分析三節(jié)點(diǎn)三角形單元和四節(jié)點(diǎn)矩形單元相同的方法進(jìn)行分析。得到形函數(shù)、應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣、單元?jiǎng)偠染仃?、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力向量。但其過(guò)程十分繁復(fù)，采用面積

8、坐標(biāo)可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算。2、面積坐標(biāo) 對(duì)于一個(gè)三角形ijm（圖7-5），三角形內(nèi)任一點(diǎn)P（x,y）的位置，可以用如下的三個(gè)比值來(lái)確定：ijmxy圖7-5P（7-21）AiAjAm（1）定義其中A為三角形ijm的面積，Ai, Aj, Am分別為三角形的Pjm, Pmi, Pijd的面積。這三個(gè)比值Li, Lj, Lm稱為P點(diǎn)的面積坐標(biāo)。 由于 則 （7-22）由此可見(jiàn)，P點(diǎn)的三個(gè)面積坐標(biāo)不是獨(dú)立的。同時(shí)，面積坐標(biāo)只是用以確定三角形內(nèi)部某點(diǎn)的位置，因而是一種局部坐標(biāo)。下面進(jìn)一步給出面積坐標(biāo)的幾個(gè)性質(zhì)。 （2）面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系在圖7-5中，三角形Pjm的面積為 （7-23）由式（7-23），式

9、（7-21）化為 （7-24）將式（7-24）、（7-23a）和式（2-18）、 （2-17）對(duì)比，可知，面積坐標(biāo)就是三節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù) （7-23a）Ni、Nj、Nm。 將式（7-24）的3個(gè)式子分別乘以xi, xj, xm，然后相加，并利用關(guān)系式（7-23a），有同理 （7-25）（3）面積坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)公式 根據(jù)面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有（7-26）（4）面積坐標(biāo)的積分公式下面給出面積坐標(biāo)的冪函數(shù)積分公式。它們?cè)谟?jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃ЫY(jié)點(diǎn)載荷時(shí)有用。 在三角形單元上進(jìn)行積分時(shí)，有（7-27）在三角形某一邊（設(shè)ij邊，邊長(zhǎng)為l）上進(jìn)行積分時(shí)，有 （7-28）3、用

10、面積坐標(biāo)表示六節(jié)點(diǎn)三角形單元計(jì)算公式 對(duì)應(yīng)如圖7-4所示的六節(jié)點(diǎn)三角形單元，形函數(shù)可用面積坐標(biāo)表示為 （1）形函數(shù)和位移表達(dá)式ijmijmxy圖7-6現(xiàn)利用形函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)式（7-29）的正確性。先考慮三角形的角點(diǎn)，例如圖7-6中的i點(diǎn)，有 由式（7-21）（P16），有代入式（7-29），有 （7-29） 再考慮三角形的邊中點(diǎn)，例如i點(diǎn)，面積劃分如圖7-7所示。顯然有： ijmijmxy圖7-7由式（7-21）(P16)，有 代入式（7-29） (P16) ，進(jìn)一步說(shuō)明式（7-29）所表示的形函數(shù)的正確性。 說(shuō)明形函數(shù)Ni在i點(diǎn)等于1，在其它節(jié)點(diǎn)等于0，因此是正確的。形函數(shù)確定后，單元中任意

11、一點(diǎn)的位移可以表示為：（7-30）其 中 （7-31）（7-32）其中I為二階單位陣，形函數(shù)由式（7-29）確定。 （2）應(yīng)變矩陣單元中的應(yīng)變?nèi)钥杀硎緸椋?（7-33） 式中應(yīng)變矩陣B為：（7-34）其中（7-35）單元中的應(yīng)力仍可表示為： （3）應(yīng)力矩陣（7-36） 式中D是彈性矩陣，由式（2-9）確定；應(yīng)變矩陣由式（7-34）、（7-35）確定。根據(jù)矩陣乘法，可以給出用面積坐標(biāo)表示的應(yīng)力矩陣S（4）單元?jiǎng)偠染仃?單元?jiǎng)偠染仃嚾钥杀硎緸椋海?-37） 根據(jù)B、D的表達(dá)式以及面積坐標(biāo)的積分公式（7-27），可以求出k中元素的顯式表示。由于較為繁復(fù)，這里就不列出詳細(xì)結(jié)果。 （5）等價(jià)節(jié)點(diǎn)力向量

12、由于位移模式是非線性的，因此體積力和表面力引起的節(jié)點(diǎn)力向量不能采用靜力等效原理進(jìn)行分配，而應(yīng)采用相應(yīng)公式進(jìn)行計(jì)算。 單元體積力引起的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式仍為： （7-38） 將由式（7-29）、（7-32）表示的N代入，并應(yīng)用積分式（7-27），可以計(jì)算FVe。例如對(duì)于重力引起的FVe ，有 它表示各邊中點(diǎn)承擔(dān)單元重力的1/3。 單元表面力引起的結(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式仍為： （7-39）設(shè)在ij邊上受有x方向的均勻分布力ps，對(duì)應(yīng)的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力向量為（圖7-8） pslh/6pslh/64pslh/6ijmijmxy圖7-9lpsijmijmxy圖7-8lpspslh/62pslh/6如在ij邊上受到x方

13、向的三角形分布面力，其集度在i點(diǎn)為ps，在j點(diǎn)為0。對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力向量為（圖3-9） 它表示邊中點(diǎn)承擔(dān)載荷的2/3，載荷集度大的角節(jié)點(diǎn)承擔(dān)1/3。 六結(jié)點(diǎn)三角形單元中的應(yīng)變、應(yīng)力不為常量，因此可以應(yīng)用于應(yīng)力梯度較大的地方，精度較高。顯然，其計(jì)算也較復(fù)雜。 7.4 四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元 1、等參數(shù)單元的概念 現(xiàn)在，我們從任意四邊形單元著手，介紹等參數(shù)單元的概念。1234xy圖7-10 任意四邊形單元 前面講到的四節(jié)點(diǎn)矩形單元雖然比較簡(jiǎn)單，但難以應(yīng)用于斜線邊界。圖7-10所示四節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元容易適應(yīng)這種邊界，但要在整體坐標(biāo)系內(nèi)，寫(xiě)出它的統(tǒng)一的形函數(shù)又是相當(dāng)復(fù)雜和困難的。 但是若能找到它與一個(gè)規(guī)

14、則正方形的關(guān)系，就能寫(xiě)出它的統(tǒng)一的位移模式，這可以通過(guò)坐標(biāo)變換來(lái)解決。在圖7-10所示四邊形單元上，用等分四邊的兩族直線分割該四邊形，以兩族曲線的中心（ =0、=0 ）為原點(diǎn)，沿、 增大的方向作軸和軸，并令四邊的=1、 =1，就得出一組新坐標(biāo)系 （圖7-11）。1234xy圖11 實(shí)際單元= -1= 1= 1= -1這里，、是一種局部（單元）坐標(biāo)，它只應(yīng)用于單元范圍內(nèi)。而x，y是整體（結(jié)構(gòu)）坐標(biāo)，它適用于所有的單元。圖中的任意四邊形單元是研究對(duì)象，稱為實(shí)際單元。參照式（7-2）和（7-3）P6，此基本單元位移函數(shù)可寫(xiě)為： （7-40） 1234= -1= 1= -1= 1圖7-12 基本單元

15、為了得出實(shí)際單元的位移模式和局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，引入一個(gè)四節(jié)點(diǎn)的正方形單元，稱基本單元（圖7-12） 。其中，形函數(shù)應(yīng)為：引入新變量 i、i （i=1,2,3,4)基本單元的形函數(shù)被寫(xiě)成：（7-41） 現(xiàn)在，把基本單元的位移模式（7-40）和形函數(shù)式（7-41）移用于圖（7-11）所示的實(shí)際單元，則實(shí)際單元的位移模式取為： （7-40）在結(jié)點(diǎn)處 ：在其它結(jié)點(diǎn)處：且，式中的形函數(shù)Ni仍由式（7-41）確定。而把式（7-41）中的、理解為圖7-11所示實(shí)際單元的局部坐標(biāo)，i、i便是實(shí)際單元中節(jié)點(diǎn)i的局部坐標(biāo)。 （7-42）利用形函數(shù)的上述性質(zhì)，可以將任意四邊形的整體坐標(biāo)寫(xiě)成：任意四邊

16、形單元中結(jié)點(diǎn)的整體坐標(biāo)，如果它已知，那么(7-42)表示了局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的變換 另一方面，式（7-42）表明了實(shí)際單元中局部坐標(biāo)（、）與整體坐標(biāo)（x、y）的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，是一個(gè)坐標(biāo)變換式。 實(shí)際單元是任意四邊形四節(jié)點(diǎn)單元，基本單元是正方形單元，可以認(rèn)為：實(shí)際單元是對(duì)基本單元通過(guò)變換得來(lái)的。由于實(shí)際單元的位移模式中采用了基本單元等同的形函數(shù)，這個(gè)實(shí)際單元就稱為等參數(shù)單元。 類似于本章3.2節(jié)進(jìn)行的四結(jié)點(diǎn)矩形單元的特性分析，可以建立等參單元的應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣、剛度矩陣、節(jié)點(diǎn)力向量等的計(jì)算公式。與前面不同之處在于，在等參數(shù)單元法中，要將對(duì)整體坐標(biāo)x、y的導(dǎo)數(shù)計(jì)算和積分計(jì)算轉(zhuǎn)換為對(duì)局部坐標(biāo)、的導(dǎo)

17、數(shù)計(jì)算和積分計(jì)算。例：實(shí)際單元的結(jié)點(diǎn)整體坐標(biāo)如圖(a)中括號(hào)內(nèi)數(shù)字所示，基本單元的結(jié)點(diǎn)局部坐標(biāo)如圖(b)中括號(hào)內(nèi)數(shù)字所示。圖(a) 實(shí)際單元1(0,0)(1) 試驗(yàn)證基本單元上的結(jié)點(diǎn)局部坐標(biāo)與實(shí)際單元上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的整體坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。(2) 求基本單元的局部坐標(biāo)原點(diǎn)( ),在實(shí)際單元上的整體坐標(biāo)(x,y)是多少？4(0,1)3(1,2)2(2,0)xy0(3/4,3/4)01(1,1)2(1,1)3(1,1)4(1,1)圖(b) 基本單元解（1）以3結(jié)點(diǎn)為例，根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)：在3結(jié)點(diǎn)處 ：應(yīng)用式（7-42）說(shuō)明了由基本單元上結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)可映射出實(shí)際單元上對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)整體坐標(biāo)（2）由于 ，由（7-

18、40）P33 得：代入（7-42）由上例可知：利用（7-42）在基本單元上任意一點(diǎn) ，都可以在實(shí)際單元上找到一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y), 這樣就把實(shí)際單元與基本單元緊密地聯(lián)系起來(lái)。反之，則比較困難，這是因?yàn)樾魏瘮?shù)是一個(gè)二次函數(shù)。為了避開(kāi)這個(gè)困難，一般都假定基本單元上已知點(diǎn)去求實(shí)際單元上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。 2、應(yīng)變矩陣 單元的幾何方程與式（7-8）、（7-9）相同，即：（7-8）（7-9）（7-43）式中（7-44）?這里采用記號(hào) 由于形函數(shù)式（3-41）是用局部坐標(biāo)、給出的，將、看作x、y的函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則，有：上式可記為： （7-45）上式右邊第一個(gè)矩陣稱為雅可比（Jacobi）矩陣：

19、其逆矩陣為： 式中|J|為雅可比行列式 （7-48）由式（7-42）p35，有 (7-46)(7-47)（7-49）由式（7-41）p34，有（7-50）由式（7-45）p41，有（7-51）式中分別由式（7-47）和（7-50）確定。 從而由式（3-43）、（3-44）確定出應(yīng)變矩陣B。和3、應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣仍由下式得到 （7-52） 4、單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)88的矩陣，仍為 （7-53）由于B是用局部坐標(biāo)系、給出的，坐標(biāo)變換時(shí)有面積微元公式 因此，k可由下式計(jì)算 5、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力向量（1）體積力 設(shè)單元的體積力是 ，則等價(jià)節(jié)點(diǎn)力公式為（7-54）(2) 表面力 設(shè)單元的某邊（如對(duì)應(yīng)的=1）上作用有表面力ps=psx psyT，則該邊上節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力為（7-55） 上式中，用到坐標(biāo)變換時(shí)線積分微元公式(當(dāng)=常量時(shí)) p37對(duì)于=1的邊界表面力，等價(jià)節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算過(guò)程完全一樣。 6、關(guān)于高斯（Gauss）積分 在計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃囀剑?-53）和等價(jià)節(jié)點(diǎn)載荷向量式（7-54）、（7-55）時(shí)，由于被積函數(shù)比較復(fù)雜，通?？刹捎脭?shù)值積分。即在單元上選擇某些點(diǎn)，稱為積分點(diǎn)，求出被積函數(shù)在這些積分點(diǎn)上的數(shù)值，再用一些權(quán)函數(shù)乘這些函