第05講(向量組的線性相關(guān)性的判定、向量組的秩)

1、練習(xí)三答案練習(xí)三答案一、一、 1、73 或或2、 21211111 D23rr 001111 )1(111 . 01, 0 或或即即則需則需要使方程組有非零解，要使方程組有非零解，D二、二、060423243112 D6011231143412,6041132113142,18042112411114321 DDD. 1, 1, 3:321 xxx有唯一解有唯一解三、三、2.2 向量組的向量組的 線性相關(guān)性的判定線性相關(guān)性的判定線性相關(guān)性的判定、線性相關(guān)性的判定、線性相關(guān)性的性質(zhì)線性相關(guān)性的性質(zhì)主要主要內(nèi)容：內(nèi)容：定理定理1 1: :向量組向量組 （當(dāng)（當(dāng) 時）線性相關(guān)時）線性相關(guān)的充分必要條

2、件是的充分必要條件是 中至少有一個向中至少有一個向量可由其余量可由其余 個向量線性表示個向量線性表示m ,212 mm ,211 m證明：證明： 充分性充分性 設(shè)設(shè) 中有一個向量（比如中有一個向量（比如 ）能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.12,m m即有即有112211mmmkkk故故11221110mmmkkka 因因 這這 個數(shù)不全為個數(shù)不全為0，121,1mk kkm故故 線性相關(guān)線性相關(guān).m ,21必要性必要性設(shè)設(shè) 線性相關(guān)，線性相關(guān)，m ,21則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0，mkkk,2

3、1不妨設(shè)則有不妨設(shè)則有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.1 證畢證畢.注注：向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) 的充要條件是至少有一個向量的充要條件是至少有一個向量 可由可由 線性表示。線性表示。-P44-45121,(0)r 其其中中(1)iir 121,i 性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 任意一個包含零向量的向量組必線性相關(guān)。任意一個包含零向量的向量組必線性相關(guān)。性質(zhì)性質(zhì)2 兩個向量相關(guān)的充要條件是兩個向量相關(guān)的充要條件是 它們的它們的 各對應(yīng)分量成比例。各對應(yīng)分量成比例。也即：由兩個不成比例的向量構(gòu)成的向量組線性無關(guān)也即：由兩個不成比例的向量

4、構(gòu)成的向量組線性無關(guān)性質(zhì)性質(zhì)3 如果一個向量組的一部分向量線性相關(guān)，如果一個向量組的一部分向量線性相關(guān)， 則整個向量組就線性相關(guān)。則整個向量組就線性相關(guān)。性質(zhì)性質(zhì)4 如果一個向量組線性無關(guān)，如果一個向量組線性無關(guān)， 則它的任意一部分向量組也線性無關(guān)。則它的任意一部分向量組也線性無關(guān)。部分向量組相關(guān)，則向量組相關(guān)。部分向量組相關(guān)，則向量組相關(guān)。向量組無關(guān)，部分向量組也無關(guān)。向量組無關(guān)，部分向量組也無關(guān)。簡記：簡記：因為因為12,mb 線性相關(guān)，線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)所以存在不全為零的數(shù)12, ,mk kkk使得使得11220mmkkkkb若若0,k則存在不全為零的數(shù)則存在不全為零的數(shù)12

5、,mk kk使得使得1122mmkkk0證明證明:定理定理2 設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無關(guān)線性無關(guān),而向而向量組量組 線性相關(guān)線性相關(guān),則向量則向量b必能由必能由向量組向量組A線性表示線性表示,且表示式是唯一的且表示式是唯一的.12:,mA 12:,mBb 12,m 這這與與線性無關(guān)矛盾。線性無關(guān)矛盾。所以所以0,k 從而從而1212()()()mmkkkbkkk即即 b可由可由 線性表示線性表示.12,m 定理定理3 設(shè)設(shè)1212,1(,) (1,2,)(,) (1,2,)iiiiriiiiri raaaimaaaaim即即 添上一個分量后得向量添上一個分量后得向量 . .若向量組若向量組 線

6、性無關(guān)，線性無關(guān)，則向量組則向量組 也線性無關(guān)也線性無關(guān). .12,mB ：12,mA ：ii反言之反言之,若向量組若向量組B線性相關(guān)線性相關(guān),則向量組則向量組A也線性相關(guān)也線性相關(guān).但是但是，無關(guān)組減少分量不一定無關(guān)；無關(guān)組減少分量不一定無關(guān)； 相關(guān)組增加分量不一定相關(guān)。相關(guān)組增加分量不一定相關(guān)。12(2,4,1),(4,8,5)線性無關(guān)，線性無關(guān)，推論推論在在r維向量組的每個向量上添加維向量組的每個向量上添加n-r個個分量，使之成為分量，使之成為n維向量組。如果維向量組。如果r維向量組維向量組線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則n維向量組也線性無關(guān)。維向量組也線性無關(guān)。例如例如簡言之：簡言之：無關(guān)組增

7、加分量仍無關(guān)；無關(guān)組增加分量仍無關(guān)；相關(guān)組減少分量仍相關(guān)。相關(guān)組減少分量仍相關(guān)。12(2,4),(4,8)bb線性相關(guān)線性相關(guān).但是但是定理定理4任意任意n+1個個n維向量構(gòu)成的向量組維向量構(gòu)成的向量組都是線性相關(guān)的。都是線性相關(guān)的。推論推論 設(shè)設(shè) 都是都是n維向量，如果維向量，如果 那么那么 必線性相關(guān)。必線性相關(guān)。12,m mn12,m 簡言之：簡言之：個數(shù)大于維數(shù)的向個數(shù)大于維數(shù)的向 量組一定線性相關(guān)量組一定線性相關(guān)2.3 向量組的秩向量組的秩向量組的等價、向量組的等價、向量組的秩、向量組的秩、向量組秩的性質(zhì)向量組秩的性質(zhì)主要主要內(nèi)容：內(nèi)容：兩個向量組的線性表示、等價關(guān)系兩個向量組的線性

8、表示、等價關(guān)系設(shè)有兩個設(shè)有兩個n維向量組維向量組1212:,;:,.rsAB 若向量組若向量組A中的每個向量都可由向量組中的每個向量都可由向量組B中的向量線性表示，則稱中的向量線性表示，則稱向量組向量組A可由可由向量組向量組B線性表示線性表示。若向量組若向量組A可由向量組可由向量組B線性表示，向線性表示，向量組量組B也可由向量組也可由向量組A線性表示，則稱線性表示，則稱向量向量組組A與向量組與向量組B等價等價。向量組與向量組之間的線性表示關(guān)系，向量組與向量組之間的線性表示關(guān)系，具有具有傳遞性傳遞性。 向量組與向量組之間的等價關(guān)系，具有向量組與向量組之間的等價關(guān)系，具有反身性、對稱性、傳遞性反身

9、性、對稱性、傳遞性。例如例如 ：向量組：向量組A可由向量組可由向量組B線性表示；線性表示； 向量組向量組B可由向量組可由向量組C線性表示；線性表示； 則向量組則向量組A可由向量組可由向量組C線性表示。線性表示。例如例如 ：向量組：向量組A與向量組與向量組B等價；等價； 向量組向量組B與向量組與向量組C等價；等價； 則向量組則向量組A與向量組與向量組C等價。等價。最大線性無關(guān)向量組最大線性無關(guān)向量組定義定義1 一個向量組中的部分向量一個向量組中的部分向量12,m 若具有性質(zhì)：若具有性質(zhì)：12,m (1) 線性無關(guān)線性無關(guān);12,m (2)向量組中任一向量都是向量組中任一向量都是 的線性組合的線性

10、組合.12,m 則稱則稱 是該向量組的一個最大線是該向量組的一個最大線性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組.例例1 求下列向量組的一個最大無關(guān)組。求下列向量組的一個最大無關(guān)組。123(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)解解: （篩選法）（篩選法）12, 線性無關(guān)，線性無關(guān)，所以所以 是一個最大無關(guān)組為是一個最大無關(guān)組為12, 同樣，同樣，1323,;, 也是最大無關(guān)組。也是最大無關(guān)組。312,而而說明：說明：（3）一個向量組的任意兩個最大無關(guān)組等價；）一個向量組的任意兩個最大無關(guān)組等價；（4）一個線性無關(guān)向量組的最大無關(guān)組就是它本身）一個線性無關(guān)向量組的最大無關(guān)組

11、就是它本身.（1）最大無關(guān)組不唯一；）最大無關(guān)組不唯一；（2）一個向量組與它的最大線性無關(guān)組是等價的；）一個向量組與它的最大線性無關(guān)組是等價的；（5）一個向量組的向量都是零向量時，該向量組沒）一個向量組的向量都是零向量時，該向量組沒有最大無關(guān)組有最大無關(guān)組. 根據(jù)最大無關(guān)組的定義根據(jù)最大無關(guān)組的定義,向量組向量組E是是 的最大線性無的最大線性無關(guān)組關(guān)組.nR事實上中任意事實上中任意n個線性無關(guān)的個線性無關(guān)的n維向量都構(gòu)成維向量都構(gòu)成的最大線性無關(guān)組。的最大線性無關(guān)組。nRnR 全體全體n維向量所構(gòu)成的向量組記作維向量所構(gòu)成的向量組記作 .設(shè)設(shè)n維單位維單位向量組向量組E為為: ,則則E是是 的

12、一個最大線性的一個最大線性無關(guān)組無關(guān)組.nR12,n nR例例2解解: : 12,n 因為因為n維單位向量組維單位向量組E 是線性無關(guān)的是線性無關(guān)的.設(shè)設(shè) 是是 的任意一向量的任意一向量,則則 可由可由12(,)na aanR12,n n維單位向量組維單位向量組 線性表示線性表示.任意任意n+1個個n維向量構(gòu)成的向量組都是線性相關(guān)的維向量構(gòu)成的向量組都是線性相關(guān)的.定理定理2 設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無關(guān)線性無關(guān),而向而向量組量組 線性相關(guān)線性相關(guān),則向量則向量b必能由必能由向量組向量組A線性表示線性表示,且表示式是唯一的且表示式是唯一的.12:,mA 12:,mBb 為什么為什么? 定理定理5

13、 設(shè)有兩個設(shè)有兩個n維向量組維向量組如果向量組如果向量組A可以由向量組可以由向量組B線性表示，線性表示，而且向量組而且向量組A線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則1212:,;:,.rsAB rs推論推論1 1兩個線性無關(guān)的等價的向量組，一定兩個線性無關(guān)的等價的向量組，一定包含相同個數(shù)的向量。包含相同個數(shù)的向量。推論推論2 2在一個向量組中，它的任意兩個最大在一個向量組中，它的任意兩個最大無關(guān)組所含的向量個數(shù)相等。無關(guān)組所含的向量個數(shù)相等。 由此可見，一個向量組的最大無關(guān)由此可見，一個向量組的最大無關(guān)組雖然可以不唯一，但最大無關(guān)組所含向組雖然可以不唯一，但最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)總是確定的，由此引入定義：

14、量的個數(shù)總是確定的，由此引入定義：定義定義 向量組的最大無關(guān)組所含向量的向量組的最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量的秩個數(shù)稱為這個向量的秩.向量組的秩向量組的秩. 等等價價的的向向量量組組的的秩秩相相等等推論推論3. rsBA和和的的秩秩依依次次為為與與向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組證證示示，表表兩兩個個向向量量組組能能相相互互線線性性因因兩兩個個向向量量組組等等價價，即即. rs 所以所以,同時成立同時成立與與故故srrs 證證: :由于由于12,n 可由可由n維單位向量組線性表示維單位向量組線性表示,由已知，由已知，12,n 可由可由12,n 線性表示線性表示12,n 12,n 與與等價等

15、價所以所以,秩秩12,n 與秩與秩12,n 相等相等,都等于都等于n ,12,n 12,n 12,n 例例3 若若n維單位向量組維單位向量組 可由可由 n維向維向量組量組 線性表示，則線性表示，則線性無關(guān)線性無關(guān).因此，因此，12,n 線性無關(guān)。線性無關(guān)。因此，因此，例例4 求下列向量組的一個最大無關(guān)組及向量求下列向量組的一個最大無關(guān)組及向量組的秩。組的秩。123(1,2,1,3),(1,2, 3, 2),(3,6, 5, 1)TTT 解解: (篩選法篩選法)12, 線性無關(guān)，線性無關(guān)，所以所以123, 線性相關(guān)線性相關(guān)所以，最大無關(guān)組為所以，最大無關(guān)組為12, 秩為秩為 2同樣，同樣，132

16、3,;, 也是最大無關(guān)組。也是最大無關(guān)組。（最大無關(guān)組不唯一：有三組最大無關(guān)組。）（最大無關(guān)組不唯一：有三組最大無關(guān)組。）3122,對應(yīng)元素不成比例對應(yīng)元素不成比例定理定理2 設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無關(guān)線性無關(guān),而向而向量組量組 線性相關(guān)線性相關(guān),則向量則向量b必能由必能由向量組向量組A線性表示線性表示,且表示式是唯一的且表示式是唯一的.12:,mA 12:,mBb 例例5設(shè)設(shè)112123123, 且且 線性無關(guān)，證明線性無關(guān)，證明 線性無關(guān)。線性無關(guān)。123, 123, 線性無關(guān)的證明方法：線性無關(guān)的證明方法：線性無關(guān)的定義線性無關(guān)的定義向量組的等價向量組的等價向量組的秩等于向量組中向量的個數(shù)向量組的秩等于向量組中向量的個數(shù)n個個n維向量所組成的向量組