數(shù)學(xué)物理方法2012實(shí)用教案

1、1其中其中(qzhng)三角函數(shù)三角函數(shù)(snjihnsh)族：完備性，傅里葉級(jí)數(shù)平均族：完備性，傅里葉級(jí)數(shù)平均收斂于收斂于f(x)。狄里希利定理：狄里希利定理： 若函數(shù)若函數(shù) f(z) 滿足條件滿足條件 (1) 處處連續(xù)，或在每個(gè)周期處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2) 在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則三角則三角(snjio)級(jí)數(shù)收斂，且級(jí)數(shù)收斂，且級(jí)數(shù)和第1頁/共30頁第一頁，共30頁。2三角函數(shù)族：完備性的證明三角函數(shù)族：完備性的證明(zhngmng)（狄里（狄里希利定理）希利定理）帕塞瓦爾等式帕塞瓦爾等式(dng

2、sh)（能量（能量守恒）守恒）01( )cossinkkkk xk xf xaabll 第2頁/共30頁第二頁，共30頁。3頻譜頻譜頻率頻率(pnl)幅度幅度(fd)02 4 6 02E 043E 0435E 0415E 各個(gè)頻率分量各個(gè)頻率分量(fn ling)的幅的幅度度通常，函數(shù)通常，函數(shù) f(t) 表示某系統(tǒng)按時(shí)間變化的性質(zhì)，是表示某系統(tǒng)按時(shí)間變化的性質(zhì)，是時(shí)域時(shí)域中的表示。中的表示。而在而在頻域頻域中，可用頻譜表示。中，可用頻譜表示。因此，傅里葉級(jí)數(shù)也是一種從因此，傅里葉級(jí)數(shù)也是一種從時(shí)域到頻域的變換時(shí)域到頻域的變換。頻譜分析在現(xiàn)代技術(shù)中廣泛使用頻譜分析在現(xiàn)代技術(shù)中廣泛使用例例:交流

3、電壓交流電壓 經(jīng)過全波整流后的傅立葉級(jí)數(shù)經(jīng)過全波整流后的傅立葉級(jí)數(shù)第3頁/共30頁第三頁，共30頁。4（二）奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開（二）奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開(zhn ki)是奇函數(shù)是奇函數(shù)是偶函數(shù)是偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù) f(z) 有有偶函數(shù)偶函數(shù) f(z) 有有第4頁/共30頁第四頁，共30頁。5（三）（三） 有限有限(yuxin)區(qū)間中的函數(shù)的傅里區(qū)間中的函數(shù)的傅里葉展開葉展開f(x) 定義定義(dngy)于于 (0, l)可以認(rèn)為它是某個(gè)周期為可以認(rèn)為它是某個(gè)周期為 2l 的函數(shù)在半個(gè)周期中的部分的函數(shù)在半個(gè)周期中的部分(b fen)。即令此周期函數(shù)為。即令此周期函數(shù)為 g(x),

4、 在半周期在半周期 (0, l) 中中 g(x)=f(x) 這種這種做法叫延拓。做法叫延拓。例( ), ( )f xg x偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓第5頁/共30頁第五頁，共30頁。6（四）（四） 復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式(xngsh)的傅里葉的傅里葉展開展開其中其中(qzhng)第6頁/共30頁第六頁，共30頁。7例：例：作業(yè)作業(yè)(zuy)：證明(zhngmng)帕塞瓦爾等式P72,1,3,4(2),5(2)(3)利用(lyng)帕塞瓦爾等式例：例：第7頁/共30頁第七頁，共30頁。8傅里葉展開傅里葉展開(zhn ki)與洛朗展與洛朗展開開(zhn ki)的關(guān)系的關(guān)系若f(z)在環(huán)域內(nèi)解析(ji x)

5、，其洛朗展開若()在區(qū)間0,2連續(xù)(linx)，且為2的周期函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)為第8頁/共30頁第八頁，共30頁。9令：令：則則若若 有限有限(yuxin)，則，則5.2 傅里葉積分傅里葉積分(jfn)與傅里葉變與傅里葉變換換（一）（一） 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)(shsh)形式的傅里形式的傅里葉變換葉變換第9頁/共30頁第九頁，共30頁。10余弦余弦(yxin)部分的極部分的極限限正弦部分正弦部分(b fen)的的極限極限故故其中其中(qzhng)第10頁/共30頁第十頁，共30頁。11傅里葉積分定理：若函數(shù)傅里葉積分定理：若函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間(-，+)上上滿足條件滿足條件(1) 在任意在任意(r

6、ny)有限區(qū)間滿足狄里希利條有限區(qū)間滿足狄里希利條件；件；(2) 在區(qū)間在區(qū)間 (-，+ )上絕對(duì)可積（即上絕對(duì)可積（即 收斂），則收斂），則f(x) 可表為可表為 傅里葉積分，且傅里葉積分傅里葉積分，且傅里葉積分值值=11( )( )cos,( )( )sin.AfdBfd 第11頁/共30頁第十一頁，共30頁。12振幅振幅(zhnf)譜和譜和相位譜相位譜為振幅(zhnf)譜為相位譜奇、偶函數(shù)奇、偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)第12頁/共30頁第十二頁，共30頁。13例例定義定義(dngy)矩矩形函數(shù)為形函數(shù)為x將矩形脈沖將矩形脈沖 展開展開(zhn ki)作傅里葉積作傅里葉積分。分。偶函數(shù)

7、偶函數(shù)(1)第13頁/共30頁第十三頁，共30頁。14（二）（二） 復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式(xngsh)的傅里葉的傅里葉積分積分第14頁/共30頁第十四頁，共30頁。15像函數(shù)像函數(shù)(hnsh)原函數(shù)原函數(shù)例例同前例同前例(qinl)（三）（三） 傅里葉變換的基本傅里葉變換的基本(jbn)性質(zhì)性質(zhì)第15頁/共30頁第十五頁，共30頁。16(1) 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(do sh)定理定理證明證明(zhngmng)(2) 積分積分(jfn)定定理理(3) 相似性定理相似性定理(4) 延遲定理延遲定理(5) 位移定理位移定理(6) 卷積定理卷積定理若若和和則卷積卷積第16頁/共30頁第十六頁，共30頁。傅里葉變換性

8、質(zhì)傅里葉變換性質(zhì)(xngzh)物理應(yīng)用物理應(yīng)用（1）帕塞瓦爾等式）帕塞瓦爾等式(dngsh)能量守恒能量守恒或?qū)τ趯?shí)函數(shù)(hnsh)f(x),定義自相關(guān)可證其為偶函數(shù)第17頁/共30頁第十七頁，共30頁。（2）高斯函數(shù)）高斯函數(shù)(hnsh)傅里葉變換傅里葉變換令則問題(wnt)來源？問解析(ji x)延拓，取作業(yè)：作業(yè)：P82,5 及 的傅里葉變換第18頁/共30頁第十八頁，共30頁。19-RR直接(zhji)計(jì)算第19頁/共30頁第十九頁，共30頁。20數(shù)學(xué)上可以將無限小的范圍數(shù)學(xué)上可以將無限小的范圍(fnwi)看作有限大小范圍看作有限大小范圍(fnwi)的極限的極限一維一維考慮考慮(kol

9、)線質(zhì)量線質(zhì)量密度密度l 0 x總質(zhì)量總質(zhì)量(zhling)的極限下總質(zhì)量不變的極限下總質(zhì)量不變密度密度作為廣義函數(shù)引入作為廣義函數(shù)引入 函數(shù)：函數(shù)：x05.3 函數(shù)函數(shù)第20頁/共30頁第二十頁，共30頁。21性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)(1) 偶函數(shù)偶函數(shù)從圖形可以從圖形可以(ky)看出看出(2) 階躍函數(shù)階躍函數(shù)(hnsh)或亥維賽單位函數(shù)或亥維賽單位函數(shù)(hnsh)0 x1(3) 挑選性挑選性對(duì)連續(xù)函數(shù)對(duì)連續(xù)函數(shù) ：(4) 表示連續(xù)量表示連續(xù)量(5) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)若若 的實(shí)根的實(shí)根 全部是單根，則全部是單根，則第21頁/共30頁第二十一頁，共30頁。22() ( )()kkkxxxx 證

10、明證明(zhngmng)：按定義：按定義在第在第n個(gè)根附近個(gè)根附近(fjn)積分積分例第22頁/共30頁第二十二頁，共30頁。23 函數(shù)是一種函數(shù)是一種(y zhn)廣義函數(shù)廣義函數(shù)第23頁/共30頁第二十三頁，共30頁。241 sin( )limnnxxx 作業(yè)作業(yè)(zuy)：證明狄里希利：證明狄里希利定理定理參考(cnko)P6習(xí)題第24頁/共30頁第二十四頁，共30頁。25 函數(shù)函數(shù)(hnsh)傅里葉變換傅里葉變換階躍函數(shù)階躍函數(shù)(hnsh)的傅里葉變換的傅里葉變換不滿足傅立葉積分定理，不能直接給出其不滿足傅立葉積分定理，不能直接給出其傅立葉變換，必須采用極限傅立葉變換，必須采用極限(jxin)處理處理第25頁/共30頁第二十五頁，共30頁。26從極限過程從極限過程(guchng)理解：理解：1( ),2ixxed 練習(xí)練習(xí)(linx)：將函數(shù)：將函數(shù)表示表示(biosh)成傅里葉積分，并證明成傅里葉積分，并證明多維多維 函數(shù)函數(shù)第26頁/共30頁第二十六頁，共30頁。多重傅里葉積分多重傅里葉積分(jfn)： 函數(shù)的物理函數(shù)的物理(wl)應(yīng)用：格林公式（點(diǎn)電荷的場(chǎng)分布）應(yīng)用：格林公式（點(diǎn)電荷的場(chǎng)分布）