Ch 6-4冪級數(shù)

1、第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念一、函數(shù)項級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算 冪級數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第六章 四、冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)四、冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì) 一、一、 函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)121( )( )( )( )nnnuxu xuxuxLL為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) .對, I0 x若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu斂點斂點, 所有收斂點的全體稱為其收斂域收斂域 ;若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 稱收斂,發(fā)散 ,所有0 x稱為其收收 0 x稱為其發(fā)散點發(fā)散點, ),2, 1(

2、)(nxun發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域發(fā)散域 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , )(xS為級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù) , 并寫成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余項)()()(xSxSxrnn則在收斂域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和, 即在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù) 稱它機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如, 等比級數(shù)它的收斂域是, )1,1(,11,(），及201nnnxxxx LLxxnn110它的發(fā)散域是或?qū)懽?1x又如又如, 級數(shù), )0(02xnxxnnn,)(limxunn級數(shù)發(fā)

3、散 ;所以級數(shù)的收斂域僅為. 1x,)1,1(時當x有和函數(shù) ,1時收斂當x,10時但當 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 討論下列級數(shù)的收斂域21sin(1)nnxn111(2)()1nxnxn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù), 其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論00 x0nnnxa2012nnaa xa xa xLL例如, 冪級數(shù)1,110 xxxnn為冪級數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形.的情形, 即0()nnaxxLL稱 機動 目錄 上

4、頁 下頁 返回 結(jié)束 ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂發(fā)散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數(shù)0nnnxa,0點收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.反之, 若當0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式證證: 設(shè)00nnnxa, 0lim0nnnxa收斂, 則必有),2, 1(0nMxann于是存在常數(shù) M 0, 使阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當 時, 0 xx 00nnxxM收斂,0nnnxa故原冪級數(shù)絕對收斂 .也收斂,反之, 若當0 xx 時該冪級數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之.假設(shè)有一點1x01

5、xx0 x滿足不等式0 xx 所以若當0 xx 滿足且使級數(shù)收斂 ,面的證明可知, 級數(shù)在點故假設(shè)不真. 的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散 . 時冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切則由前也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0證畢機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 級數(shù)由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間. 定理2. 對于任意的具有非零的收斂點和發(fā)散點的冪的收斂域是以原點為，必存在一個確定的非負數(shù) R ，使得Rx發(fā)散；當時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0nnnxa當 | x | R 時，級數(shù)冪級數(shù)在 (, +) 收斂 ;用

6、R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點, 則R = 0 時, 冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;R = 時,0 R冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點稱為收斂域收斂域.R 稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散; 在(R , R ) 稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理3. 若0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:1) 若 0,則根據(jù)比值審斂法可知:當,1x原級數(shù)收斂;當,1x原級數(shù)發(fā)散.x即1x時,1

7、) 當 0 時,2) 當 0 時,3) 當 時,即時,則 1x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 若, 0則根據(jù)比值審斂法可知,;R絕對收斂 ,3) 若,則對除 x = 0 以外的一切 x 原級發(fā)散 ,.0R對任意 x 原級數(shù)因此因此 0nnnxa的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理1limnnnaaR因此級數(shù)的收斂半徑.1R機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對端點 x =1, 1limnnnaaR231( 1)23nnxxxxn LL的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù),1) 1(11nnn收斂; 級數(shù)為,11nn發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域為

8、例例1 1.求冪級數(shù) limn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收斂域為. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 1! ) 1(1n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.nnxnn202) !(! )2(求冪級數(shù)的收斂半徑 .解解: 級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1(

9、 ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21R21x即142x當21x即) 1(2nxnx2故直接由機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 收斂域(Raabe判別法)例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域.解解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當 t = 2 時, 級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散;當 t = 2 時, 級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為,22t故原級數(shù)的收斂域為,212x即.

10、31x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.lim |,nnnal0nnna x1/000llRll 01121 1nnxnx求冪級數(shù)的收斂域.定理定理4. 若則的收斂半徑為例例6. 求211( 1)2nnnnx的收斂區(qū)間。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、冪級數(shù)的四則運算三、冪級數(shù)的四則運算定理定理5. 設(shè)冪級數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21RR令nnnxa0)(0為常數(shù)nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 則有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上結(jié)論可用部分和的極限證明

11、 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)乘加、減乘法除法除法利用乘法可以解決兩個冪級數(shù)的除法設(shè)000nnnnnnnnna xb xc x00,0,1,2,nbc n為待定系數(shù).000() ()nnnnnnnnnb xc xa x由比較兩端同次冪系數(shù)，即可得nc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多. 例如, 設(shè) nnnxa0nnnxb00(1,0,1, 2,)naanL011,1,0,2,3,nbbbn L它們的收斂半徑均為,R但是nnnxa021nxxx LL其收斂半徑只是 .1R1x1nnnxb0 x11機動

12、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)四、冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級數(shù)0( )nnna xS x(, )xR R ，收斂半徑 R 0.Prop1: 和函數(shù) S (x) 在 (-R , R) 內(nèi)連續(xù)，若級數(shù)在該區(qū)間端點處收斂，則 S (x) 在該端點單側(cè)連續(xù)。和函數(shù)的連和函數(shù)的連續(xù)性續(xù)性Prop2: 和函數(shù) S (x) 在 (-R , R) 內(nèi)的任何閉區(qū)間上可積, 特別1000000( )()1xxxnnnnnnnnnaS t dta t dta t dtxn, 冪級數(shù)可逐項積分, 即可積和逐項可積和逐項可積性可積性積分后所得冪級數(shù)收斂半徑仍為 R.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

13、束 Prop3:)(xS數(shù)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRx和函在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項求導(dǎo)，運算前后收斂半徑相同: 注注 1: 冪級數(shù)的和函數(shù)可逐項求導(dǎo)任意次, 且收斂半徑機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 不變.注注 2: 逐項積分和逐項求導(dǎo)后所得冪級數(shù)收斂半徑不變,但在區(qū)間端點處的收斂性可能改變.解解: 易知級數(shù)的收斂半徑 R+.例例1.0!nnnx求冪級數(shù)0!)(nnnxxS)(x則11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函數(shù) .因此得設(shè)機動 目錄 上頁 下頁

14、 返回 結(jié)束 例例2. 1nnxn求冪級數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時級數(shù)發(fā),)1,1(時故當x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求級數(shù)01nnnx的和函數(shù). )(xS解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時級數(shù)且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x 及收斂 , 有時則當,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1l

15、n(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x 及機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.2) 1(122的和求數(shù)項級數(shù)nnn解解: 設(shè),1)(22nnnxxS則, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(

16、212xxx21S2ln4385)0( x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11( 1).nnn例5：求級數(shù)的和2311111( 1,1),11( 1)1nnnxxxxxxx 解：即111011( 1)( 1)ln(1)( )nxnnnnnxxdxxS xn在(-1,1)內(nèi)逐項積分，則有111( 1)(1)limln(1)ln2nxnSxn左端級數(shù)在 x =1收斂，故其和函數(shù) S (x)在 x =1左連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標準型冪級數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性 .2) 對非標準型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半

17、徑時直接用比值法或根值法,2. 冪級數(shù)的性質(zhì)1) 兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過換元化為標準型再求 .乘法運算. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 已知nnnxa00 xx 在處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂半徑是多少 ?答答: 根據(jù)Abel 定理可知, 級數(shù)在0 xx 收斂 ,0 xx 時發(fā)散 . 故收斂半徑為.0 xR 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 在冪級數(shù)nnnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 為奇數(shù),23n 為偶