高數(shù)I第16講：函數(shù)的微分,高階導數(shù)

1、第十六講第十六講 函數(shù)的微分函數(shù)的微分,高階導數(shù)高階導數(shù)一、微分的產(chǎn)生一、微分的產(chǎn)生二、二、微分的定義微分的定義三、如何判斷函數(shù)在某點是否存在微分三、如何判斷函數(shù)在某點是否存在微分四、四、微分的計算微分的計算（微分形式不變性）（微分形式不變性）五、高階導數(shù)五、高階導數(shù)函數(shù)的微分函數(shù)的微分 在工程技術(shù)中，會遇到與導數(shù)密切相關(guān)的另一在工程技術(shù)中，會遇到與導數(shù)密切相關(guān)的另一類問題，這就是當自變量有一個微小的增量時，類問題，這就是當自變量有一個微小的增量時，要求計算函數(shù)的相應的增量。一般來說，計算函要求計算函數(shù)的相應的增量。一般來說，計算函數(shù)增量的準確值是比較繁難的，所以需要考慮用數(shù)增量的準確值是比較

2、繁難的，所以需要考慮用簡便的計算方法來計算它的近似值。由此引出了簡便的計算方法來計算它的近似值。由此引出了微分學的另一個基本概念微分學的另一個基本概念微分。微分。一、微分的產(chǎn)生一、微分的產(chǎn)生20 xA 0 x0 x2020)(xxxS .)(220 xxx )1()2(.,很小時可忽略很小時可忽略當當?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx ;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0 實例實例: :正方形金屬薄片邊長為正方形金屬薄片邊長為 ，受熱后邊，受熱后邊長增加了長增加了 ，問面積的改變了多少？（假設(shè)受，問面積的改變了多少？（假設(shè)受

3、熱后還是正方形）熱后還是正方形）0 xx 2xS 正正方方形形面面積積再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,0時時當當 x.320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值二、微分的定義二、微分的定義定義定義.,)(,)(),()()()(,)(000000 xAdydyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfy 即即記記作作的的微微分分相相應應于于自自變變量量增增量

4、量在在點點為為函函數(shù)數(shù)并并且且稱稱可可微微在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與其其中中成成立立如如果果在在這這個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的某某個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)) )有關(guān)說明有關(guān)說明 : : .)x(dfdy,x)x(fyxxxx0001 或或記記作作的的微微分分在在點點函函數(shù)數(shù)處處的的微微分分在在任任意意點點函函數(shù)數(shù)表表示示或或符符號號x)x(fy)x(dfdy .)(2xdxdyxxxxyxy 時時，特特別別，.Adxdy Adxdy )(xf .dx)x(fdy )(

5、xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 微分幾何意義微分幾何意義:(:(如圖如圖) ).,對應的增量對應的增量就是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當當dyy xx0 P 三、如何判斷函數(shù)在某一點是否存在微分三、如何判斷函數(shù)在某一點是否存在微分AAlimAlim00 xxxxyAAAlim0 xxyxAlim0 xyx).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處處可可導導在在點點數(shù)數(shù)可可微微的的充充要要條條件件是是函函在在點點函函數(shù)數(shù)定理定理證證可可微微在在點點0)(xxf0Alim0 xxyx可可導導在在點點0)(xxfxxfdy )(例例1

6、1解解.3的的微微分分求求函函數(shù)數(shù)xy dx)x(dy 3.dxx23 例例2 2解解.02. 0, 23時時的的微微分分當當求求函函數(shù)數(shù) xxxydxxdy)(3 .32dxx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 四、微分的計算四、微分的計算dxxfdy)( 法一法一: : 計算函數(shù)的導數(shù)計算函數(shù)的導數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdC

7、dcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 法二法二: :結(jié)合微分的運算性質(zhì)結(jié)合微分的運算性質(zhì)dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cotarc(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(

8、cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 微分的性質(zhì)微分的性質(zhì)(形式的不變性形式的不變性);)(,)1(dxxfdyx 是自變量時是自變量時若若 )t (fy),t (xt,x 則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即另一變量即另一變量是中間變量時是中間變量時若若2),()(xfxfy 有有導導數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論結(jié)論：的微分都成立的微分都成立函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(

9、,xfyx dxxfdy)( 例例5 5解解.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例4 4解解.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx .94.999. 73的近似值的近似值用微分近似計算用微分近似計算例例33300006. 011099994. 01094.999 分析：分析：)00006. 01(00006. 0110,10)

10、(33 fxxf解：令解：令)1()00006. 01()1()00006. 01(ffff 而：而：00006. 0)1()1(1)1( xdxdxffdyfyf）（9998. 910311000006. 0132 xxxx思考題思考題 因因為為一一元元函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導導性性是是等等價價的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導導數(shù)數(shù)，導導數(shù)數(shù)就就是是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？思考題解答思考題解答說法不對說法不對. 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導數(shù)是從函數(shù)變化出線性主部而得到的，導數(shù)是

11、從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念的極限，它們是完全不同的概念. 二、高階導數(shù)的概念二、高階導數(shù)的概念定義定義.若函數(shù)若函數(shù))(xfy 的導數(shù)的導數(shù))(xfy可導可導, ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy類似地類似地 , 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù) ,1n階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)的導數(shù)稱為 n 階導數(shù)階導數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的的二階導數(shù)二階導數(shù) ,記作記作y )(xf 的導數(shù)稱為的導數(shù)稱為依次類推依

12、次類推 ,分別記作分別記作則稱則稱例例1 1).0( ),0( ,arctan)( ffxxfy 求求設(shè)設(shè)解解,112xy )11(2 xyxx2)1(122 )1 (2(22 xxy22222)1 (2)1 ( 2)2()1 ( 2xxxxx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf;0 . 2 ,)1(222xx 322)1 () 13( 2xx 例例2 2.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !

13、()1( nyn. 0 例例3 3.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n階導數(shù)時階導數(shù)時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分分析結(jié)果的規(guī)律性析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導數(shù)階導數(shù).(數(shù)學歸納法證明數(shù)學歸納法證明).,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn* *例例4 4)2cos

14、(,cos)( nxyxyn類似地：類似地：隱函數(shù)的高階導數(shù)yyyxxyy 所確定，求有方程：設(shè)函數(shù)例0sin21)(. 50)cos21(1:yyy等式兩邊求導得：解yycos222)cos2()2()cos2()cos2()2(yyyy 2)cos2()sin2(yyy3)cos2(sin4yy的表達式代入上式將 y導法則：隱函數(shù)的高階導數(shù)的求.)(,)(,)()1(kkyxyyyyyxyyyyy求導得到復合函數(shù)的的函數(shù)為含按復合函數(shù)求導法則的表達式再對求導得到復合函數(shù)的的函數(shù)為含按復合函數(shù)求導法則的表達式再對求出用一階隱函數(shù)求導法則 的二階導數(shù)由參數(shù)方程所確定函數(shù))0)()()(ttytx其中：所確定設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程：)()(tty由于：)()()()()(tttdtddtdxdtyddxydy )()()()()()(2tttttt 3)()()()()(ttttt )cos1 ()sin(. 6tayttax：已知擺線的參數(shù)方程為例22dxyd數(shù)的二階導數(shù)求該參數(shù)方程所確定函),cos1 ()(),sin()(tatttat