圖像的旋轉(zhuǎn)點的計算

1、 圖像的旋轉(zhuǎn)是指以圖像中的某一點為原點以逆時針圖像的旋轉(zhuǎn)是指以圖像中的某一點為原點以逆時針或順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度。通常是繞圖像的起始或順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度。通常是繞圖像的起始點以逆時針旋轉(zhuǎn)。點以逆時針旋轉(zhuǎn)。 其本質(zhì)是以圖像的中心為原點，將圖像上的所有像其本質(zhì)是以圖像的中心為原點，將圖像上的所有像素都旋轉(zhuǎn)一個相同的角度。素都旋轉(zhuǎn)一個相同的角度。 與圖像平移一樣，圖像旋轉(zhuǎn)也是圖像的位置變換，與圖像平移一樣，圖像旋轉(zhuǎn)也是圖像的位置變換，對于旋轉(zhuǎn)后超出源圖像范圍的區(qū)域要處理為不顯示。對于旋轉(zhuǎn)后超出源圖像范圍的區(qū)域要處理為不顯示。 旋轉(zhuǎn)后的圖像不會變形，但是其垂直對稱軸和水平對稱軸旋轉(zhuǎn)后的圖像不

2、會變形，但是其垂直對稱軸和水平對稱軸都發(fā)生了改變，旋轉(zhuǎn)后像素的坐標(biāo)需要經(jīng)過較復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算都發(fā)生了改變，旋轉(zhuǎn)后像素的坐標(biāo)需要經(jīng)過較復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算得出。而且圖像在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后，其寬度和高度都要發(fā)生變得出。而且圖像在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后，其寬度和高度都要發(fā)生變化，所以原始圖像的中心點和輸出圖像的中心點的坐標(biāo)是不同化，所以原始圖像的中心點和輸出圖像的中心點的坐標(biāo)是不同的。的。旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)100度度旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)250度度基本原理：基本原理： 圖像的旋轉(zhuǎn)不再是由一個矩陣變換就能獲得坐標(biāo)圖像的旋轉(zhuǎn)不再是由一個矩陣變換就能獲得坐標(biāo)的映射關(guān)系，它涉及多次矩陣變換。的映射關(guān)系，它涉及多次矩陣變換。 下面具體分析源圖像與旋轉(zhuǎn)

3、后圖像的對應(yīng)像素之間下面具體分析源圖像與旋轉(zhuǎn)后圖像的對應(yīng)像素之間的關(guān)系。的關(guān)系?；驹恚夯驹恚?、旋轉(zhuǎn)公式：、旋轉(zhuǎn)公式： 下面在數(shù)學(xué)坐標(biāo)系中推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)公式。將坐標(biāo)為下面在數(shù)學(xué)坐標(biāo)系中推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)公式。將坐標(biāo)為 的像的像素點順時針旋轉(zhuǎn)素點順時針旋轉(zhuǎn)角度后，其坐標(biāo)為角度后，其坐標(biāo)為 ，如圖，如圖1所示。所示。00(,)xy( , )x yy軸軸x軸軸r( , )x y00(,)xy圖圖1 旋轉(zhuǎn)示意圖旋轉(zhuǎn)示意圖 其中其中r表示像素坐標(biāo)距離原點表示像素坐標(biāo)距離原點的距離，的距離，表示旋轉(zhuǎn)前像素點與原表示旋轉(zhuǎn)前像素點與原點連線夾角的度數(shù)。點連線夾角的度數(shù)?；驹恚夯驹恚簓軸軸x軸軸r( , )x

4、y00(,)xy圖圖1 旋轉(zhuǎn)示意圖旋轉(zhuǎn)示意圖旋轉(zhuǎn)前有如下等式成立：旋轉(zhuǎn)前有如下等式成立：00cossinxrayra旋轉(zhuǎn)后則有：旋轉(zhuǎn)后則有：cos()sin()xrayracos()cos cossin sinaaa因為sin()sincoscos sinaaa帶入旋轉(zhuǎn)后的公式，得帶入旋轉(zhuǎn)后的公式，得0000cos cossin sincossinsincoscos sinsincosxraraxyyraraxy 得：得：其矩陣表示為：其矩陣表示為： 00cossin011sincos0001xyxy其逆變換為：其逆變換為： 00cossin011sincos0001xyxy2、坐標(biāo)變換：、坐

5、標(biāo)變換： 圖像的坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)系不一樣。在數(shù)字圖像的坐圖像的坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)系不一樣。在數(shù)字圖像的坐標(biāo)系中，標(biāo)系中，y軸在下方；而在數(shù)學(xué)坐標(biāo)系中，軸在下方；而在數(shù)學(xué)坐標(biāo)系中，y軸在上方，如圖軸在上方，如圖2所示。所示。坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點y軸軸x軸軸x軸軸y軸軸坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點輸入圖像的坐標(biāo)系輸入圖像的坐標(biāo)系數(shù)學(xué)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)坐標(biāo)系圖圖2在旋轉(zhuǎn)過程中，需要進行兩次坐標(biāo)變換。在旋轉(zhuǎn)過程中，需要進行兩次坐標(biāo)變換。（1）旋轉(zhuǎn)操作前）旋轉(zhuǎn)操作前 圖像的旋轉(zhuǎn)是按照圖像的中心點旋轉(zhuǎn)指定角度，為了轉(zhuǎn)換方圖像的旋轉(zhuǎn)是按照圖像的中心點旋轉(zhuǎn)指定角度，為了轉(zhuǎn)換方便，需要以圖像的中心作為坐標(biāo)原點，故在進行旋轉(zhuǎn)操作前

6、需要便，需要以圖像的中心作為坐標(biāo)原點，故在進行旋轉(zhuǎn)操作前需要先對坐標(biāo)進行變換，即將圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)坐標(biāo)系，如圖先對坐標(biāo)進行變換，即將圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)坐標(biāo)系，如圖2右圖所示。右圖所示。 設(shè)原始圖像的寬度和高度分別為設(shè)原始圖像的寬度和高度分別為W和和H，則第，則第1次變換的映射次變換的映射關(guān)系為：關(guān)系為：000.50.5xxWyyH 000.50.5xxWyyH 其矩陣表達如下：其矩陣表達如下： 00100110100.50.51xyxyWH其逆運算為：其逆運算為： 00100110100.50.51xyxyWH（2）旋轉(zhuǎn)操作后）旋轉(zhuǎn)操作后 如圖如圖3所示，圖像經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后需要再次進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)

7、換，將數(shù)所示，圖像經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后需要再次進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將數(shù)學(xué)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像的坐標(biāo)系。轉(zhuǎn)換方式與第學(xué)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像的坐標(biāo)系。轉(zhuǎn)換方式與第1次坐標(biāo)變換次坐標(biāo)變換相似，唯一不同的是輸出圖像的中心不再是（相似，唯一不同的是輸出圖像的中心不再是（0.5W，0.5H）。）。 newnewWH如果設(shè)和分別表示輸出圖像的寬度和高度，0.50.5newnewWH那么輸出圖像的中心為（，）。x軸軸y軸軸坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點數(shù)學(xué)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)坐標(biāo)系坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點y軸軸x軸軸輸出圖像的坐標(biāo)系輸出圖像的坐標(biāo)系圖圖3故第故第2次坐標(biāo)變換的映射關(guān)系為：次坐標(biāo)變換的映射關(guān)系為：00+0.50.5newnewxxWyyH 其

8、矩陣表達如下：其矩陣表達如下：其逆運算為：其逆運算為： 00100110100.50.51newnewxyxyWH 00100110100.50.51newnewxyxyWH（3）旋轉(zhuǎn)公式）旋轉(zhuǎn)公式圖像的每個像素需要經(jīng)過如下圖像的每個像素需要經(jīng)過如下3步完成旋轉(zhuǎn)。步完成旋轉(zhuǎn)。由輸入圖像的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)坐標(biāo)系。由輸入圖像的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)坐標(biāo)系。通過數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系計算指定像素旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)。通過數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系計算指定像素旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)。由旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為輸出圖像的坐標(biāo)系。由旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為輸出圖像的坐標(biāo)系。則圖像的旋轉(zhuǎn)公式可由如下矩陣計算：則圖像的旋轉(zhuǎn)公式可由如下矩陣計算： 00100 cossi

9、n010011010sincos00100.50.51001 0.50.51newnewxyxyWHWH00cossin01sincos00.5 cos0.5 sin0.50.5 sin0.5 cos0.51newnewxyWHWWHH其逆運算為：其逆運算為： 00100cossin010011010sincos00100.50.510010.50.51newnewxyxyWHWHcossin01sincos00.5cos0.5sin0.50.5sin0.5cos0.51newnewnewnewx yWHWWHH這就是旋轉(zhuǎn)后映射的矩陣關(guān)系。這就是旋轉(zhuǎn)后映射的矩陣關(guān)系?？梢杂脙蓚€變量來表示與可以用兩個變量來表示與x、y無關(guān)的表達式：無關(guān)的表達式：10.5cos0.5sin0.520.5sin0.5cos0.5newnewnewnewnumWHWnumWHH 則有：則有：00cossin1sincos2xxynumyxynum 這就是圖像旋轉(zhuǎn)的核心公式。這就是圖像旋轉(zhuǎn)的核心公式。 通過這個公式能夠求得輸出圖像任意像素映射在原始圖像的通過這個公式能夠求得輸出圖像任意像素映射在原始圖像的坐標(biāo)位置。坐標(biāo)位置。（4）利用插值進行圖像的旋轉(zhuǎn)）利用插值進行圖像的旋轉(zhuǎn) 通過前面介紹的旋轉(zhuǎn)公式