概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件(1學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計(sh l tn j)課件課件(1第一頁，共130頁。第1頁/共129頁第二頁，共130頁。第2頁/共129頁第三頁，共130頁。第3頁/共129頁第四頁，共130頁。51.1 1.1 隨機隨機(su j)(su j)事件事件及其運算及其運算1 概率論中一般研概率論中一般研究究(ynji)的是隨機的是隨機試驗試驗,以后簡稱試驗以后簡稱試驗,用字母用字母E,E1,E2,表示。理解教材表示。理解教材P3例例子。子。2. 基本事件和樣本基本事件和樣本空間是集合，樣本點空間是集合，樣本點是元素。是元素。3. 樣本空間可能會樣本空間可能會隨著試驗?zāi)康牡牟煌S著試驗

2、目的的不同而不同而不同(如例如例2，考慮，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)正面出現(xiàn)的次數(shù)).Definition 1.1現(xiàn)象現(xiàn)象(確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象,隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象)統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性試驗試驗隨機試驗：隨機試驗：1.可以在相同的條件下重復(fù)進行；可以在相同的條件下重復(fù)進行；每次實驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確實驗的所有可能結(jié)果；每次實驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確實驗的所有可能結(jié)果；3. 進行一次實驗之前進行一次實驗之前(zhqin)不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。一、基本概念一、基本概念Definition 1.2將隨機試驗 E 的每一種結(jié)果稱為該試驗的基本事件基本事件

3、,其所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E 的樣本空間樣本空間,記為 或U .樣本空間的元素,即 E 的每個結(jié)果,稱為樣本點,記為 或e .第4頁/共129頁第五頁，共130頁。61 事件中的樣本點一事件中的樣本點一般般(ybn)是滿足某種是滿足某種條件的人們常關(guān)心的條件的人們常關(guān)心的某些樣本點。某些樣本點。2. 理解事件發(fā)生與否理解事件發(fā)生與否的意義：隨機事件發(fā)的意義：隨機事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個樣本點在試驗的一個樣本點在試驗中出現(xiàn)。中出現(xiàn)。3. 注意應(yīng)用事件發(fā)生注意應(yīng)用事件發(fā)生與否來理解事件間的與否來理解事件間的關(guān)系和運算結(jié)果。關(guān)系和運算結(jié)果。4. A B C?5. 牢記差

4、事件的幾種牢記差事件的幾種等價形式。等價形式。Definition 1.3 樣本空間的子集稱為隨機事件樣本空間的子集稱為隨機事件(shjin)(簡稱事件簡稱事件(shjin).常用大寫字母常用大寫字母A,B,C,D表示。表示。注意理解下述概念的區(qū)別：注意理解下述概念的區(qū)別：隨機事件隨機事件(shjin) : 樣本空間的子集；樣本空間的子集；基本事件基本事件(shjin) : 由一個樣本點組成的單點集；由一個樣本點組成的單點集；必然事件必然事件(shjin) : 樣本空間樣本空間 本身；本身；不可能事件不可能事件(shjin) : 空集空集。1.包含：包含：AB(B發(fā)生則發(fā)生則A發(fā)生發(fā)生) 2.

5、相等：相等：A=B(B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生發(fā)生)3.和和(并并)事件：事件：AB(A、B至少發(fā)生一個至少發(fā)生一個(y )4.積積(交交)事件：事件：AB(A、B都發(fā)生都發(fā)生)5.差事件：差事件：A-B=A-AB=AB6.互斥事件：互斥事件：AB=7.對立事件：對立事件：AB=,AB=,此時此時A=B,B=A.8.完備事件組：樣本空間的一個完備事件組：樣本空間的一個(y )劃分。劃分。二、隨機事件間的關(guān)系二、隨機事件間的關(guān)系第5頁/共129頁第六頁，共130頁。71 運算律的作用是運算律的作用是化為需要化為需要(xyo)的的形式。形式。2. 對偶律的作用是對偶律的作用是交并互轉(zhuǎn)。交并互

6、轉(zhuǎn)。1.交換律：交換律：AB=BA,AB=BA2.結(jié)合律：結(jié)合律：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C3.分配律：分配律：A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)三、隨機事件三、隨機事件(shjin)間的運算間的運算nnnnnnnnAAAABABABABA,4.對偶律：對偶律：Example 1.1有一個有一個(y )問題問題,甲先答甲先答,若甲答錯若甲答錯,由乙答由乙答,若記事件若記事件A=甲答對甲答對,事件事件B=乙答對乙答對,求此問題最終由乙答出的表示法求此問題最終由乙答出的表示法.Example 1.2教材P10例6.Example 1.3教材P10例7.第

7、6頁/共129頁第七頁，共130頁。81.2 1.2 隨機隨機(su j)(su j)事件事件的概率的概率1.頻率性質(zhì)：非負性頻率性質(zhì)：非負性、規(guī)范性、可加性、規(guī)范性、可加性。2.2. 頻率具有頻率具有“穩(wěn)穩(wěn)定性定性”，即第一節(jié)，即第一節(jié)所講的所講的 “統(tǒng)計規(guī)統(tǒng)計規(guī)律性律性”，見教材，見教材P15。3.3. 概率的統(tǒng)計定概率的統(tǒng)計定義可以義可以(ky)幫助幫助理解概率，但利用理解概率，但利用這個定義求解具體這個定義求解具體問題的概率比較困問題的概率比較困難。難。4.4. 概率也有相應(yīng)的概率也有相應(yīng)的3條性質(zhì)。條性質(zhì)。一、概率一、概率(gil)的統(tǒng)計定義的統(tǒng)計定義頻 率 穩(wěn) 定 值 概率 事件發(fā)

8、生事件發(fā)生的頻繁程度的頻繁程度事件發(fā)生事件發(fā)生的可能性的大小的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的性質(zhì)Definition 1.4 在相同的條件下,進行了n 次試驗, 在這 n 次試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù) nA稱為事件 A 發(fā)生的頻數(shù)頻數(shù).比值 nA /n 稱為事件A 發(fā)生的頻率頻率,并記成 fn(A) .Definition 1.5 設(shè)隨機事件E的重復(fù)次數(shù)n充分大時,事件A發(fā)生的頻率fn(A)總在區(qū)間0，1上的一個確定的常數(shù)p附近作微小擺動,并逐漸穩(wěn)定于p,則稱常數(shù)p是事件A 發(fā)生的概率,記為P(A).第7頁/共129頁第八頁，共130頁。91.計算時一定要認清試計算時一定要認清試驗結(jié)果驗結(jié)果(基本

9、事件基本事件)是等是等可能性的本質(zhì)可能性的本質(zhì).例：擲二例：擲二枚骰子枚骰子(tu z),求事件求事件A為出現(xiàn)點數(shù)之和等于為出現(xiàn)點數(shù)之和等于3的概率。的概率。2. 一般來說求分母相對一般來說求分母相對簡單簡單,但分子在特定要求但分子在特定要求下較繁瑣下較繁瑣.3.為了以后計算的方便為了以后計算的方便我們首先復(fù)習(xí)：排列與我們首先復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念。組合的基本概念。Definition 1.6 若試驗具有下列兩個特征：若試驗具有下列兩個特征： 樣本空間的元素只有樣本空間的元素只有(zhyu)有限個；有限個； 每個樣本點發(fā)生的可能性相同每個樣本點發(fā)生的可能性相同.則稱此試驗為古典概型試驗則稱

10、此試驗為古典概型試驗(等可能概型等可能概型) 。二、概率的古典二、概率的古典(gdin)定義定義乘法原理乘法原理:設(shè)完成一件事需分兩步,第一步有n1種方法,第二步有n2種方法,則完成這件事共有n1n2種方法.Definition 1.7設(shè)古典概型試驗E的樣本空間中包含n個樣本點，隨機事件A中包含m個樣本點，則事件A發(fā)生的概率 P(A)=m/n.從從n個中抽取個中抽取k個的排列組合公式個的排列組合公式:排列:Pkn=Akn(無重復(fù)) ,nk(有重復(fù));組合:Ckn第8頁/共129頁第九頁，共130頁。101.牽涉到排列組合的牽涉到排列組合的概率概率(gil)問題一般問題一般都是古典概型，可按都是

11、古典概型，可按定義求解概率定義求解概率(gil)。2. 抽簽原理：抽到簽抽簽原理：抽到簽與抽簽的次序無關(guān)。與抽簽的次序無關(guān)。3.此模型稱為超幾何此模型稱為超幾何分布。分布。Example 1.5一口袋裝有一口袋裝有 a 只白球只白球,b 只紅球只紅球,求無放回取球求無放回取球中第中第k次取出的是白球的概率次取出的是白球的概率(gil).模型模型(mxng)一：隨機取球模型一：隨機取球模型(mxng)Example 1.4一口袋有外型相同的10個球，4個白球，6個紅球,現(xiàn)從中任取3個，試求：取出的3個球都是紅球的概率；取出的3個球中恰有一個是白球的概率。Example 1.6設(shè)有 N 件產(chǎn)品,其

12、中有 M 件次品,今從中任取 n 件,問其中恰有 k ( k M ) 件次品的概率是多少(不放回抽樣)?第9頁/共129頁第十頁，共130頁。11Example 1.7 將將 n 只球隨機的放入只球隨機的放入 N (N n) 個盒子個盒子(h zi)中去中去,求每個盒子求每個盒子(h zi)至多有一球的概率至多有一球的概率(設(shè)盒子設(shè)盒子(h zi)容量不限）容量不限）(P22，例，例6).Example 1.8 將將 15 名新生隨機地平均分配到名新生隨機地平均分配到 3 個班中去個班中去,這這15 名新生中有名新生中有 3 名是優(yōu)秀生名是優(yōu)秀生.問問:(1) 每個班各分配到一每個班各分配到一

13、 名優(yōu)秀生的概率名優(yōu)秀生的概率(gil)是多少是多少?(2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率(gil)是多少是多少?模型二：分房模型二：分房(fn fn)問題問題1.生日問題：生日問題：n個個人的班級里沒有人的班級里沒有兩人生日相同的兩人生日相同的概率是多少？概率是多少？第10頁/共129頁第十一頁，共130頁。121. 測度可能是長度測度可能是長度、面積、面積(min j)、體積，甚至是質(zhì)量體積，甚至是質(zhì)量。Definition 1.8 若試驗具有下列若試驗具有下列(xili)兩個特征：兩個特征： 樣本空間的元素有無限個；樣本空間的元素有無限個； 每個樣本點

14、的發(fā)生具有某種等可能性每個樣本點的發(fā)生具有某種等可能性.則稱此試驗為幾何概型試驗。則稱此試驗為幾何概型試驗。三、概率三、概率(gil)的幾何定義的幾何定義Definition 1.9 設(shè)試驗的每個樣本點是等可能落入?yún)^(qū)域上的隨機點M ，且D ( ) ，則M點落入子區(qū)域D(事件A)上的概率為:P(A)=m(D)/m().其中m()為自然測度.第11頁/共129頁第十二頁，共130頁。13Example 1.10 (會面問題會面問題)甲、乙二人約定在點到點之間在某地會面甲、乙二人約定在點到點之間在某地會面,先到者等先到者等30分鐘后即離去，設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達分鐘后即離去，設(shè)二人在這段時間

15、內(nèi)的各時刻到達(dod)是等是等可能的可能的,且二人互不影響且二人互不影響.求二人能會面的概率求二人能會面的概率.Example 1.9 (對表問題對表問題).小明的表停了，他打開收音機，想聽小明的表停了，他打開收音機，想聽電臺定點報時，求等待時間不超過電臺定點報時，求等待時間不超過(chogu)10分鐘的概率分鐘的概率.1.一維情形一維情形(qng xing)：測度是長：測度是長度。度。2.二維情形二維情形(qng xing)：測度是面：測度是面積。積。第12頁/共129頁第十三頁，共130頁。141. 這這3條公理條公理(gngl)是基礎(chǔ)，應(yīng)用最多的是基礎(chǔ)，應(yīng)用最多的是由此推出的性質(zhì)。是由

16、此推出的性質(zhì)。四、概率四、概率(gil)的公理化定義的公理化定義Definition 1.10 設(shè)設(shè) 是給定試驗是給定試驗E的樣本空間的樣本空間,對于任一事件對于任一事件 A 賦予賦予一個實數(shù)一個實數(shù)P(A),若若P(A)滿足滿足(mnz)非負性：非負性：0 P(A) 1；規(guī)范性：規(guī)范性：P() =1；可列可加性：當(dāng)事件可列可加性：當(dāng)事件A1,A2, ,An兩兩互斥時兩兩互斥時 P(A1+A2+An+) = P(An)則稱則稱P(A)為事件為事件A的概率。的概率。第13頁/共129頁第十四頁，共130頁。152. 還可以考慮還可以考慮(kol)n個事件的個事件的情形，見教材情形，見教材P30。

17、概率概率(gil)的性質(zhì)：的性質(zhì)：1. P() =0;2. 若若A1, A2 , An兩兩互斥，則兩兩互斥，則 P(A1+A2+An) = P(An)3. P(A) = 1P(A)4. 若若AB,則則P(A B) = P(A) P(B)5. P(AB) = P(A)+P(B) P(AB) 推廣推廣(tugung): P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(AB) P(AB)+P(ABC) 第14頁/共129頁第十五頁，共130頁。16Example 1.11 設(shè)在設(shè)在12件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)件次品，現(xiàn) 從中隨機抽取從中隨機抽取(chu q)5件，試求：件，試求：

18、取出的取出的5件產(chǎn)品中至少有一件次品的概率；件產(chǎn)品中至少有一件次品的概率；取出的取出的5件產(chǎn)品中至多有一件次品的概率。件產(chǎn)品中至多有一件次品的概率。Example 1.12 在在 1099 的整數(shù)的整數(shù)(zhngsh)中隨機的取一個數(shù)，問中隨機的取一個數(shù)，問取到的整數(shù)取到的整數(shù)(zhngsh)能被能被 2 或或 3 整除的概率是多少？整除的概率是多少？第15頁/共129頁第十六頁，共130頁。171.3 1.3 條件概率條件概率(gil)(gil)與全概率與全概率(gil)(gil)公式公式1. 條件概率條件概率(gil)等等同于樣本空間縮小后同于樣本空間縮小后求解的概率求解的概率(gil)。

19、一、條件一、條件(tiojin)概率概率Example 1.12 設(shè)箱內(nèi)有100件電子元件，其中有甲廠生產(chǎn)的正品30件，次品5件，乙廠生產(chǎn)的正品50件，次品15件?，F(xiàn)從箱內(nèi)任取一件產(chǎn)品，設(shè)A=取到甲廠的產(chǎn)品，B=取到次品，試求：取到甲廠的產(chǎn)品且為次品的概率；已知取到甲廠的產(chǎn)品下，取到次品的概率。第16頁/共129頁第十七頁，共130頁。182. 條件概率仍是條件概率仍是一種概率，具有概一種概率，具有概率的一般結(jié)論率的一般結(jié)論(3條條公理公理,5條性質(zhì)條性質(zhì))。3. 求條件概率的求條件概率的典型語句典型語句(yj)形形式：將條件語句式：將條件語句(yj)(若若,且且,已知已知)刪去刪去,仍然是一

20、個完仍然是一個完整的概率問題整的概率問題.一、條件一、條件(tiojin)概率概率Definition 1.11 在在E的樣本空間的樣本空間上有兩事件上有兩事件A,B,且且P(A)0,則稱則稱P(B|A)=P(AB)/P(A)為已知事件為已知事件A 發(fā)生條件發(fā)生條件(tiojin)下下,事件事件B發(fā)生的條件發(fā)生的條件(tiojin)概率概率.Example 1.13 某燈泡按設(shè)計要求使用壽命超過10年的概率為0.8，超過15年的概率為0.5，試求該燈泡在使用10年之后，將在5年內(nèi)損壞的概率是多少？第17頁/共129頁第十八頁，共130頁。19乘法公式不僅僅是乘法公式不僅僅是條件概率定義的簡單條

21、件概率定義的簡單變形變形,它還給出了求交它還給出了求交集集(jioj)概率的另一概率的另一種求法。種求法。2.注意注意Example 1.14 將并集轉(zhuǎn)交集將并集轉(zhuǎn)交集(jioj)的方法：對偶公式。的方法：對偶公式。 若P(A)0，則P(AB)=P(A)P(B|A) 若P(B)0，則P(AB)= P(B)P(A|B) 稱上式為概率(gil)的乘法公式。推廣(tugung)到多個事件：當(dāng)P(A1A2An-1)0時， P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)二、乘法公式二、乘法公式Example 1.14 小明忘記電話號碼的最后一個數(shù)字，因而

22、任意地按最后一個數(shù)，試求：不超過三次能打通電話的概率；若已知最后一個是偶數(shù)，則不超過三次能打通電話的概率。第18頁/共129頁第十九頁，共130頁。20 運用全概公式運用全概公式的關(guān)鍵：找到樣的關(guān)鍵：找到樣本空間的一個恰本空間的一個恰當(dāng)劃分。當(dāng)劃分。2.當(dāng)已知試驗當(dāng)已知試驗(shyn)結(jié)果并且結(jié)果并且要推測要推測“原因原因”時時，一般使用逆概，一般使用逆概公式。公式。三、全概率三、全概率(gil)公式與貝葉斯公式公式與貝葉斯公式Theorem 1.1 設(shè)設(shè)E的樣本空間為的樣本空間為，事件，事件A1A2 An為為的一個的一個(y )劃分，且劃分，且P(Ai)0,(i=1,2,n)，則對任一事件，

23、則對任一事件B，有：，有：全概率公式全概率公式:)|()()(1iiniABPAPBP貝葉斯公式貝葉斯公式:（逆概公式）（逆概公式）)0)()|()()|()()|(1BPABPAPABPAPBAPiinijjjExample 1.15 一商店銷售的某公司三個分廠生產(chǎn)的同型號空調(diào)，而這三個分廠的空調(diào)比例為3:1:2，它們的不合格率依次為0.01，0.12，0.05。某人從這批空調(diào)中任選一臺，試求： 此人購得不合格空調(diào)的概率；若已知購到不合格空調(diào)，則這空調(diào)是哪個分廠生產(chǎn)的可能性較大？第19頁/共129頁第二十頁，共130頁。21Example 1.16（肺結(jié)核確診率問題）（肺結(jié)核確診率問題）假設(shè)

24、患肺結(jié)核的人通過接受胸部透視，被診斷出的概率為假設(shè)患肺結(jié)核的人通過接受胸部透視，被診斷出的概率為0.95；而未患肺結(jié)核的人通過接受胸部透視，被診斷出的概率為；而未患肺結(jié)核的人通過接受胸部透視，被診斷出的概率為0.002.又設(shè)某城市成年居民患肺結(jié)核的概率為又設(shè)某城市成年居民患肺結(jié)核的概率為0.1%，若從中任，若從中任選一人，通過透視被診斷為肺結(jié)核，則此人確實選一人，通過透視被診斷為肺結(jié)核，則此人確實(qush)患有患有肺結(jié)核的概率為多少？肺結(jié)核的概率為多少？第20頁/共129頁第二十一頁，共130頁。221.4 1.4 隨機隨機(su j)(su j)事件的獨立性事件的獨立性1. 獨立可直觀解釋

25、為獨立可直觀解釋為：A發(fā)生對發(fā)生對B無影響無影響.類類似似, A不發(fā)生對不發(fā)生對B也無也無影響影響,即若即若P(A)0, P(B|A)=P(B)。2.注意獨立、互斥、對注意獨立、互斥、對立概念立概念(ginin)的區(qū)的區(qū)別。別。一、事件一、事件(shjin)的相互獨立性的相互獨立性Definition 1.13 對于事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B) 則稱事件A ,B相互獨立相互獨立.Theorem 1.2 設(shè)P(A)0,則A、B相互獨立的充要條件充要條件是 P(B|A)=P(B). 兩個兩個事件相互獨立的定義事件相互獨立的定義問題：問題：設(shè)袋中有外型相同的6個紅球，4個白球，現(xiàn)有放回

26、地抽取兩次，每次抽取一個。A=第一次取到白球， B=第二次取到白球，求P(A)， P(B)， P(AB)， P(B|A)。第21頁/共129頁第二十二頁，共130頁。233. 用定義用定義(dngy)判判斷獨立性常用在理論斷獨立性常用在理論推導(dǎo)和證明，而在實推導(dǎo)和證明，而在實際問題中，往往根據(jù)際問題中，往往根據(jù)問題的實際意義來判問題的實際意義來判斷獨立性。斷獨立性。Theorem 1.3 下列命題等價下列命題等價(dngji)(獨立性性質(zhì)獨立性性質(zhì))(1)A與與B相互獨立相互獨立; (2)A與與B相互獨立；相互獨立； (3)A與與B相互獨立相互獨立;(4)A與與B相互獨立。相互獨立。Examp

27、le 1.17設(shè)甲乙兩個射手設(shè)甲乙兩個射手(shshu)，他們每次射擊命中目，他們每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為標(biāo)的概率分別為0.8，0.7?，F(xiàn)兩人同時向一目標(biāo)射擊一次，試求?，F(xiàn)兩人同時向一目標(biāo)射擊一次，試求 ：(1)目標(biāo)被命中的概率；目標(biāo)被命中的概率；(2)若已知目標(biāo)被命中，則它是甲命中的概率是多少？若已知目標(biāo)被命中，則它是甲命中的概率是多少？第22頁/共129頁第二十三頁，共130頁。24Definition 1.14 對于事件對于事件A,B,C，若下面四個式子都成立，若下面四個式子都成立(chngl) P(AB)=P(A)P(B) , P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)

28、P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱事件則稱事件A ,B,C相互獨立相互獨立. 三個事件相互獨立三個事件相互獨立(dl)的定義的定義 n個事件相互獨立個事件相互獨立(dl)的定義的定義Definition 1.15 設(shè)有n個事件A1,A2,An, k為任意整數(shù),且1k n,若恒有 P(Ai1Ai2 Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)成立,則稱n個事件個事件A1,A2,An相互獨立相互獨立.1. 獨立條件下獨立條件下,能能把積事件的概把積事件的概率化為概率的率化為概率的積。積。2.一共有一共有2n-n-1個表個表達式達式,必須同時必須同時成立成立,思考思考P53.4

29、 。3. n個事件個事件兩兩獨兩兩獨立立與與n個事件個事件相相互獨立的互獨立的區(qū)別。區(qū)別。第23頁/共129頁第二十四頁，共130頁。251. 對對 n個事件，個事件， Th 1.3仍成立，只需將其中任仍成立，只需將其中任意意s個事件換成它們個事件換成它們(t men)的對立事件即可。的對立事件即可。 Theorem 1.4 設(shè)設(shè)n個事件個事件A1,A2,An相互相互(xingh)獨立，獨立， k, s為任意整數(shù)為任意整數(shù),且且10( )( )xf t dtF x上升的連續(xù)函數(shù)，( )( )( )f xF xf x在的連續(xù)點：,()0aP Xa R不一定為,()=0aP Xa R第37頁/共1

30、29頁第三十八頁，共130頁。392.4 2.4 幾種幾種(j zhn)(j zhn)常見的連續(xù)型隨常見的連續(xù)型隨機變量機變量1. 若若X服從服從 (a，b)區(qū)間上的均勻分布區(qū)間上的均勻分布，則，則X出現(xiàn)在出現(xiàn)在 (a，b)區(qū)間內(nèi)的概率為區(qū)間內(nèi)的概率為1。2.均勻分布隨機變均勻分布隨機變量量X落入落入(a，b)子子區(qū)間上的概率和子區(qū)間上的概率和子區(qū)間的位置無關(guān)，區(qū)間的位置無關(guān)，僅與子區(qū)間長度成僅與子區(qū)間長度成正比。正比。3. 應(yīng)用：數(shù)值計算應(yīng)用：數(shù)值計算中，研究四舍五入中，研究四舍五入引起引起(ynq)的誤差的誤差。Definition 2.6 若隨機變量若隨機變量(su j bin lin)

31、 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱隨機變量 X 服從區(qū)間(a，b)上的均勻分布均勻分布.記作 X U (a，b)。 1,0,axbf xba其它性質(zhì)：性質(zhì)：(1) P(Xa)=P(Xb)=0.(2) ( )c lclP cXclf x dxba 0,(3),1,xaxaF xaxbbaxb第38頁/共129頁第三十九頁，共130頁。401. 可利用簡捷可利用簡捷(jinji)的方式計算的方式計算概率。概率。Example 2.14 設(shè)公共汽車站從上午設(shè)公共汽車站從上午7時起每隔時起每隔15分鐘來一班車分鐘來一班車,如如果某乘客到達此站的時間是果某乘客到達此站的時間是 7:00 到到7:30之間

32、的均勻隨機變量試之間的均勻隨機變量試求該乘客候車時間不超過求該乘客候車時間不超過(chogu)5分鐘的概率。分鐘的概率。Example 2.15 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量服從區(qū)間服從區(qū)間(q jin)(-3，6)上的均勻分布上的均勻分布,試求試求方程方程 4x2+4x+2=0有實根的概率有實根的概率第39頁/共129頁第四十頁，共130頁。411. 指數(shù)分布又稱指數(shù)分布又稱為為“永遠青年永遠青年”的的分布。分布。2.性質(zhì)性質(zhì)4稱為稱為“無記無記憶性憶性”。3. 應(yīng)用應(yīng)用(yngyng)：描：描述衰老作用不明述衰老作用不明顯的壽命分布；顯的壽命分布； 1/為壽命為壽命X的平的平均值。均值。Defin

33、ition 2.7 若隨機變量若隨機變量 X 的密度的密度(md)函數(shù)為函數(shù)為則稱隨機變量則稱隨機變量(su j bin lin) X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布(0).記作記作 X E (). ,00,0 xexf xx性質(zhì)：性質(zhì)：(2) ;tP Xte 0,0(1)1,0 xxF xex1212(3) ;ttP tXtee(4),0, t sP Xst XsP Xt第40頁/共129頁第四十一頁，共130頁。42Example 2.15 某電子元件的壽命某電子元件的壽命(shumng)X(小時小時)滿足滿足 X E (1/100)。求。求5個同類型的元件在使用的前個同類型的元

34、件在使用的前150小時內(nèi)恰有小時內(nèi)恰有2個需要更換的概率。個需要更換的概率。第41頁/共129頁第四十二頁，共130頁。431.密度函數(shù)的特征密度函數(shù)的特征：關(guān)于：關(guān)于x=對對稱稱; 的大小反映的大小反映(fnyng)峰值的峰值的大小大小, 愈小峰愈小峰值愈大值愈大,隨機變隨機變量的取值就愈集量的取值就愈集中中.定義定義(dngy)2.8 若隨機變量若隨機變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 則稱 X 服從(fcng)參數(shù)為(，2)的正態(tài)分布, 記作 X N ( , 2). 2221,02xxf xe ， 221,2xxex 221,2txx xt dtedtx )( x 若 =0， 2=1,則

35、稱N(0，1)為標(biāo)準正態(tài)分布標(biāo)準正態(tài)分布：第42頁/共129頁第四十三頁，共130頁。441. 應(yīng)用標(biāo)準正態(tài)應(yīng)用標(biāo)準正態(tài)分布密度函數(shù)的分布密度函數(shù)的圖形特征容易說圖形特征容易說明相關(guān)結(jié)論。明相關(guān)結(jié)論。2. 定理的證明定理的證明(zhngmng)思想思想和下一節(jié)內(nèi)容息和下一節(jié)內(nèi)容息息相關(guān)息相關(guān),要掌握。要掌握。正態(tài)分布的概率正態(tài)分布的概率(gil)計算：計算：(4)P(|X| a) =2(1 (a).x0( )xa-a定理定理(dngl) 2.1 (一般正態(tài)分布的標(biāo)準化一般正態(tài)分布的標(biāo)準化)(2)P(X a) = ( a)=1 (a)；(3)P(|X| a) =2 (a) 1； 設(shè)設(shè)XN(0，1

36、)，a0，則：，則：(1)P(X a) = (a)； 2*( ,),(0,1).XXNXN 設(shè) 則 第43頁/共129頁第四十四頁，共130頁。451. 企業(yè)管理企業(yè)管理(gunl)中，經(jīng)常應(yīng)用中，經(jīng)常應(yīng)用3-規(guī)則進行質(zhì)量檢查規(guī)則進行質(zhì)量檢查。2. 這個定義將在第這個定義將在第六章經(jīng)常用到。六章經(jīng)常用到。 設(shè)設(shè)XN( ， 2)，則，則()P aXb設(shè)XN( , 2), 則 P( -3 X +3 ) =()aXbP()()ba3-規(guī)則規(guī)則(guz)：x0( )xz1z0.9973 (0,1)(,(01) ),P XZZXNZ2.9 設(shè) 若滿足則稱點為標(biāo)上定義準正分態(tài)分布的位點. 第44頁/共12

37、9頁第四十五頁，共130頁。46例例 2.17 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下以下來設(shè)計的。設(shè)男子身高來設(shè)計的。設(shè)男子身高(shn o)XN(170,62),問車門高度應(yīng)如何確問車門高度應(yīng)如何確定定? 1.正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布的重要性：大量的隨機現(xiàn)象服大量的隨機現(xiàn)象服從或近似從或近似(jn s)服從服從正態(tài)分布；正態(tài)分布；當(dāng)一個量可以看成當(dāng)一個量可以看成由許多微小的獨立的由許多微小的獨立的隨機因素作用的總后隨機因素作用的總后果，這個量都服從或果，這個量都服從或近似近似(jn s)服從正態(tài)服從正態(tài)分布。分布。第45頁/

38、共129頁第四十六頁，共130頁。472.5 2.5 隨機變量隨機變量(su j bin lin)(su j bin lin)函數(shù)的分布函數(shù)的分布1. 離散型隨機變量離散型隨機變量的函數(shù)仍然的函數(shù)仍然(rngrn)為離散型為離散型隨機變量，其分布常隨機變量，其分布常表現(xiàn)為分布律形式。表現(xiàn)為分布律形式。一、離散型隨機變量函數(shù)一、離散型隨機變量函數(shù)(hnsh)的分布的分布例例 2.18 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 具有以下的分布律，具有以下的分布律，(1)(2)(),XYg XY問題：已知的分布，求 的分布。pkX1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4試求試求:(1) Y1=2X+1，(2)

39、Y2 = X2 的分布律的分布律.12ixxx12ipppXP12()()()ig xg xg x12ipppYP若若X的分布律為：的分布律為：則則1(),()ig xg x若有相同值，則合2.并同值列。第46頁/共129頁第四十七頁，共130頁。481. 若若X連續(xù)，則一般連續(xù)，則一般Y=g(X) 也連續(xù)也連續(xù).2.分布函數(shù)法：分布函數(shù)法： 先求先求Y的分布函數(shù)的分布函數(shù),然后求導(dǎo)。然后求導(dǎo)。3. 掌握掌握(zhngw)變上下限積分求導(dǎo)變上下限積分求導(dǎo)公式。公式。二、連續(xù)型隨機變量二、連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)函數(shù)的分布函數(shù)的分布 YFyP Yy(2) ( )( )Xg xy

40、fx dx YYfyFy(3) 分布分布(fnb)函數(shù)法：函數(shù)法：( )( )( )( ),yyF yf x dx若( ) ( ) ( ) ( )( )Fyfyyfyy則特別：特別：P g XyXY(1)由確定，2.19 (0,1)XXNYe例設(shè)，求的概率密度。第47頁/共129頁第四十八頁，共130頁。49公式公式(gngsh)法法：2.19 (0,1)XXNYe例設(shè)，求的概率密度。(1)( ),( )xhyg xy當(dāng)是一處處可導(dǎo)的單調(diào)函數(shù)時，其反函數(shù)為則( )( ) ,( )0,YYYf h yh yyfyy 1122( )( )( )( ) ,( )0,YYYf h yh yf hyhy

41、yfyy 1212( ),( )( )( )2XXxhxhygyyx當(dāng)是分段單調(diào)函數(shù)時，且設(shè)其在上單調(diào)，反函數(shù)分別為和，則有：1. 要注意要注意(zh y)公公式法的條件。式法的條件。第48頁/共129頁第四十九頁，共130頁。50例例 2.21 P95 A.4定理定理(dngl) 2.2 設(shè)設(shè) XN(, 2)， Y=aX+b (a0)，則：，則：YN(a+b, a22 ) 。 2.20 (0, )sinXUYX例設(shè),求的概率密度。第49頁/共129頁第五十頁，共130頁。512.6 2.6 二維隨機變量及其聯(lián)合分布二維隨機變量及其聯(lián)合分布(fnb)(fnb)函數(shù)函數(shù)1. (X, Y) 應(yīng)看成

42、一應(yīng)看成一個整體個整體,它的二個分它的二個分量是有內(nèi)在聯(lián)系的量是有內(nèi)在聯(lián)系的。2. 從幾何從幾何(j h)上可上可以將以將(X, Y) 看成二維看成二維平面上的一個隨機平面上的一個隨機點。點。一、二維隨機變量一、二維隨機變量(su j bin lin)的概念的概念定義定義 2.10 設(shè)設(shè) = 是某一個隨機試驗是某一個隨機試驗E的樣本空間，的樣本空間，X=X()和和Y=Y()是定義在是定義在上的隨機變量。稱有序二元總體上的隨機變量。稱有序二元總體 (X, Y) 為一個為一個二二維隨機變量維隨機變量(或或二維隨機向量二維隨機向量)，并稱，并稱X和和Y是是二維隨機變量二維隨機變量 (X, Y)的的兩

43、兩個分量個分量。舉例舉例:(1)某地區(qū)學(xué)齡兒童的身體發(fā)育狀況：某地區(qū)學(xué)齡兒童的身體發(fā)育狀況：需采集身高需采集身高X和體重和體重Y的分布組成二維隨機變量的分布組成二維隨機變量(X, Y);(2) 向一平面靶射箭：向一平面靶射箭： 擊中點需用二維隨機變量擊中點需用二維隨機變量(X, Y)來刻畫。來刻畫。第50頁/共129頁第五十一頁，共130頁。521. F(x,y)在點在點(x,y)處處的函數(shù)值就是隨機的函數(shù)值就是隨機點點(X,Y)落在以落在以(x,y)為頂點為頂點, 位于位于(wiy)該點左下方該點左下方的無窮矩形域內(nèi)的的無窮矩形域內(nèi)的概率概率 。定義定義 2.11 設(shè)設(shè)(X, Y)是一個二維

44、隨機變量是一個二維隨機變量,對于任意一對對于任意一對(y du)實數(shù)實數(shù)(x, y), 稱稱F(x,y)=P(Xx,Yy)=P(Xx)(Yy)為為(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù), 簡稱為分布函數(shù)簡稱為分布函數(shù).一個重要一個重要(zhngyo)的公式：的公式：二、聯(lián)合分布函數(shù)的定義與意義二、聯(lián)合分布函數(shù)的定義與意義yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1212,P xXxyYyyo(x, y)(X, Y )x22211211(,)(,)(,)(,)F xyF xyF x yF x y第51頁/共129頁第五十二頁，共

45、130頁。531.若某二元函數(shù)具若某二元函數(shù)具有這四條性質(zhì)有這四條性質(zhì),則它則它必是某二維隨機變必是某二維隨機變量的分布函數(shù)，并量的分布函數(shù)，并且且(bngqi)這四條這四條性質(zhì)缺一不可性質(zhì)缺一不可.2.性質(zhì)性質(zhì)4還給出了還給出了由聯(lián)合分布求分量由聯(lián)合分布求分量分布的表達式。分布的表達式。3.聯(lián)合分布包含更聯(lián)合分布包含更多的信息多的信息,由聯(lián)合分由聯(lián)合分布可以求出邊緣分布可以求出邊緣分布布, 由邊緣分布一由邊緣分布一般無法求出聯(lián)合分般無法求出聯(lián)合分布布.三、聯(lián)合分布函數(shù)三、聯(lián)合分布函數(shù)(hnsh)的性質(zhì)的性質(zhì)(2) F (x,y )是變量(binling) x或y 的單調(diào)不減右連續(xù)函數(shù)；(1)

46、 0( , )1,(,)1F x yF ；22211211(3)(,)(,)(,)(,)0;F xyF xyF x yF x y（相容性）(,)( ,)(, )0;FF xFy (4) ( ,)()( )XF xP XxFx -X的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)(, )()( )YFyP YyFy-Y的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)第52頁/共129頁第五十三頁，共130頁。54例例 2.23 P99.1例例2.22問二元函數(shù)是否可作為某二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)？1,0( , )0,0 xyF x yxy當(dāng)當(dāng)?shù)?3頁/共129頁第五十四頁，共130頁。552.7 2.7 二維離散二維離散(lsn)(

47、lsn)型隨機變型隨機變量量一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合一、二維離散型隨機變量及聯(lián)合(linh)分布律分布律定義定義 2.12 如果二維隨機變量如果二維隨機變量(X, Y)可能可能(knng)取的值只有有限個或可列個取的值只有有限個或可列個，則稱，則稱(X, Y)為二維離散型隨機變量。為二維離散型隨機變量。 定義定義 2.13 設(shè)二維離散型隨機變量(X, Y)所有可能取的值為(xi, yj) ， (i=1,2, j=1,2,) 則稱 PX =xi,Y =yj=pij, (i, j=1,2,)為(X, Y)的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律，或稱為(X, Y)的分布律分布律。第54頁/共129頁第五十五頁，

48、共130頁。56二維離散(lsn)型隨機變量(X, Y) 分布律也可表為： 聯(lián)合分布(fnb)律的性質(zhì)：(1)0( ,1,2,)ijpi j(2)1ijijp (3) ( , )ijxx yyijF x yp 第55頁/共129頁第五十六頁，共130頁。57例例 2.23 一個口袋一個口袋(ku di)中有外型相同的中有外型相同的2紅、紅、4白白6個球個球,從袋中從袋中不放回地抽取兩次球，每次取一個不放回地抽取兩次球，每次取一個.設(shè)設(shè)X=第一次取得白球的個數(shù)第一次取得白球的個數(shù), Y=第二次取得白球的個數(shù)第二次取得白球的個數(shù), 試求：試求： (X, Y)的分布律；的分布律；F(0.5，1)；P

49、(XY).第56頁/共129頁第五十七頁，共130頁。581. 試求例試求例2.23中中X,Y 的邊緣的邊緣(binyun)分分布律布律.二、邊緣二、邊緣(binyun)分布律分布律定義定義 2.14 設(shè)設(shè) (X, Y)是二維離散型隨機變量是二維離散型隨機變量(su j bin lin)， X的分布律：的分布律： (),iiijijjjPP XxP Xx Yyp (),jjijijiiPP YyP Xx Yyp Y的分布律：稱為(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布律邊緣分布律； 稱為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布律邊緣分布律。 1,2,i 1,2,j 第57頁/共129頁第五十八頁，共130頁。591.

50、 條件分布律仍然條件分布律仍然是分布律是分布律,和一般分布和一般分布律相比律相比,在形式上多了在形式上多了一個條件一個條件. 它滿足它滿足(mnz)性性質(zhì)：質(zhì)：三、條件三、條件(tiojin)分布律分布律 定義定義 2.15 設(shè)設(shè) (X, Y)是二維離散型隨機變量是二維離散型隨機變量(su j bin lin)，對于固定的，對于固定的 j ，若，若PY= yj0， 則則Y= yj已發(fā)生的條件下，已發(fā)生的條件下，X= xi發(fā)生的概率：發(fā)生的概率：PX=xi|Y=yj=pij/pj (i=1,2,),稱為在稱為在Y= yj下下X的條件分布律；的條件分布律；類似，若PX= xi0，則稱 PY=yj|

51、X=xi=pij/pi (j=1,2,)為在在X= xi下下Y的條件分布律的條件分布律。(1)/0.ijjpp例例2.24 p104,A.1(2)/1.ijjipp第58頁/共129頁第五十九頁，共130頁。602.8 2.8 二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量(su j (su j bin lin)bin lin)1. 和一維情形一和一維情形一樣樣,要求：明了要求：明了密度密度(md)的形的形式會求解積分式會求解積分。2. 從定義可看出從定義可看出此時的分布函數(shù)此時的分布函數(shù)關(guān)于關(guān)于x或或y均是連均是連續(xù)的。續(xù)的。3. 幾何上幾何上 z = f (x,y)表示空間的表示空間的一個曲面一個曲

52、面, P(X,Y)G 表示表示以以 G 為底為底,以曲面以曲面z = f (x,y)為頂?shù)臑轫數(shù)那斨w的體積曲頂柱體的體積。一、聯(lián)合一、聯(lián)合(linh)概率密度概率密度定義定義 2.16 設(shè)二維隨機變量(X,Y) 的分布函數(shù)為F(x,y),如果存在非負實值函數(shù) f (x,y),使得對于任意實數(shù) x,yR,有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量，f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度，簡稱為概率密度概率密度或密度密度。( , )(,), )(xyfdF x yP XxudvvYyu yo(x, y)(X, Y )x第59頁/共129頁第六十頁，共130頁。611.性

53、質(zhì)給出了二維性質(zhì)給出了二維連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)問題一般和二重問題一般和二重積分有關(guān)積分有關(guān),要熟練要熟練求解二重積分求解二重積分.2(4)( , )( , )( , )( , );f x yx yF x yf x yxy若在點連續(xù)，則有(5)()0.LP XYL對任一條平面曲線有，(1)( , )0;f x y (2)( , )1;f x y dxdy (3)(, )( , );GPX YGf x y dxdy二、密度二、密度(md)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)(,)( , );P xXxx yYyyf x yx y 第60頁/共129頁第六十一頁，共130頁。62

54、例例 2.25 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(su j bin lin) (X, Y) 的密度為的密度為,()0,0( , )0,x ycexyf x y 其它x+y=1例例 2.26 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(su j bin lin) (X, Y) 的密度為的密度為2101 023( , )0 xxyxyf x y ，其它求：1YXPx=1(1)(2) 1;cP XY求：常數(shù) ； (3)(, )X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)1yxoyxo1x+y=12y=2第61頁/共129頁第六十二頁，共130頁。631.聯(lián)合分布包含更聯(lián)合分布包含更多的信息多的信息,由聯(lián)合分由聯(lián)合分布可以求出邊緣分布可以求

55、出邊緣分布布,但由邊緣分布一但由邊緣分布一般般(ybn)無法求出無法求出聯(lián)合分布聯(lián)合分布.2. 注意求解積分注意求解積分,二維情形最好畫出二維情形最好畫出草圖。草圖。三、邊緣三、邊緣(binyun)概率密度概率密度 ,XFxP XxF x ,YFyP YyFy ( ),XXfxFxfx y dy ( ),YYfyFyfx y dx,xf u y dy du ,yfx v dx dv 例例 2.27 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(su j bin lin) (X, Y) 的密度為的密度為2101 023( , )0 xxyxyf x y ，其它試求兩個邊緣概率密度。試求兩個邊緣概率密度。第62頁

56、/共129頁第六十三頁，共130頁。641.條件密度仍然是密度條件密度仍然是密度,和一般和一般(ybn)密度函數(shù)密度函數(shù)相比相比,在形式上多了一個在形式上多了一個條件。條件。四、條件四、條件(tiojin)概率密度概率密度定義定義 2.17 設(shè)設(shè) (X, Y)是二維連續(xù)型隨機變量是二維連續(xù)型隨機變量,對于固定對于固定(gdng)的的 y , 若若fY(y)0, 則稱則稱f(x|y)= fX|Y (x|y)= f(x,y)/fY(y)為在為在Y= y下下X的條件概率密度；的條件概率密度；類似類似,對于固定對于固定(gdng)的的 x , 若若fX(x)0, 則稱則稱f(y|x)= fY|X (y

57、|x)= f(x,y)/fX(x) 為在為在X= x下下Y的條件概率密度的條件概率密度.條件概率密度的性質(zhì)條件概率密度的性質(zhì):(1) ( | )0;f x y (2)|1.f x y dx第63頁/共129頁第六十四頁，共130頁。65定義定義 2.18 設(shè)設(shè) (X, Y)是二維連續(xù)型隨機變量是二維連續(xù)型隨機變量(su j bin lin),對于固定的對于固定的 y , 若若fY(y)0, 則稱則稱為在Y= y下X的條件分布函數(shù)(hnsh)；類似,對于固定的 x , 若fX(x)0, 則稱,)|()|()|(xduyufyYxXPyxF為在X= x下Y的條件分布(fnb)函數(shù).,)|()|()

58、|(ydvxvfxXyYPxyF1. 利用條件密度利用條件密度可以求解形如可以求解形如PX x|Y=y的概的概率率,但要注意形如但要注意形如PX x|Y y的概率的概率求解方法的不同求解方法的不同.第64頁/共129頁第六十五頁，共130頁。66例例 2.28 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(su j bin lin) (X, Y) 的密度為的密度為46,0,0,(1)( , )0,.xyx yf x y 其它: 1( );Yfy求 （）|(2)0( | );X Yyfx y當(dāng)時，(3) 01|1;PXY(4) 1/2|0P XY第65頁/共129頁第六十六頁，共130頁。671. 若若(X,Y

59、)服從區(qū)域服從區(qū)域D上的均勻分布上的均勻分布, (X,Y)出現(xiàn)在出現(xiàn)在 D內(nèi)的內(nèi)的概率為概率為1.2.若若(X,Y)服從區(qū)域服從區(qū)域D上的均勻分布上的均勻分布, 則則(X,Y)落入落入D內(nèi)子區(qū)內(nèi)子區(qū)域域D1上的概率與上的概率與D1的位置及形狀無關(guān)的位置及形狀無關(guān),僅與僅與D1的面積呈正的面積呈正比比,比例系數(shù)是比例系數(shù)是1/A。3. 雖然雖然(surn)(X, Y)的聯(lián)合分布是二的聯(lián)合分布是二維均勻分布維均勻分布,但其邊但其邊緣分布卻不是一維緣分布卻不是一維均勻分布均勻分布.定義定義 2.19 設(shè)設(shè)D是平面上的有界區(qū)域是平面上的有界區(qū)域,面積為面積為A,若隨機變量若隨機變量(su j bin

60、lin) (X,Y) 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱隨機變量則稱隨機變量(su j bin lin) (X,Y) 服從區(qū)域服從區(qū)域D上的均勻分布上的均勻分布.五、兩種重要的二維連續(xù)型分布五、兩種重要的二維連續(xù)型分布., 0,),(,/1),(其它DyxAyxf例例 2.29 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域D由由y=x2及及y=x所圍所圍, 隨機變量隨機變量 (X, Y) 服從區(qū)域服從區(qū)域D上的均上的均勻分布勻分布,求求(X, Y)的聯(lián)合概率密度和各自的邊緣概率密度的聯(lián)合概率密度和各自的邊緣概率密度.y=xy=x21yxo第66頁/共129頁第六十七頁，共130頁。681. 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布的密度不要求強的