高階微分方程及應(yīng)用

1、),(yxfy 可降階高階微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 習(xí)題習(xí)題3.63.66(3)(5),8,10 (B)3 一、一、)()(xfyn 型的微分方程型的微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. .cos2xeyx 求解求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxex xey241 xey281 1121CC 此處此處xsin 21xC32CxC xcos 21CxC ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè)設(shè)

2、, )(xpy ,py 則則原方程化為一階方程原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cxp 則得則得),(1Cxy 再一次積分再一次積分, 得原方程的通解得原方程的通解21d),(CxCxy 二、二、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 y不顯含自變量不顯含自變量 例例. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè)設(shè),py 則則代入方程得代入方程得pxpx2)1(2 分離變量分離變量)1(d2d2xxxpp積分得積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用利用, 31 C得得于是有于是有)1(32xy兩端再積分

3、得兩端再積分得233Cxxy利用利用,10 xy, 12 C得得133 xxy因此所求特解為因此所求特解為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則則xyypdddd yppdd 故方程化為故方程化為),(ddpyfypp 設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cyp 即得即得),(1Cyy 分離變量后積分分離變量后積分, 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x不顯含自變量不顯含自變量 例例. 求解求解.02 yyy代入方程得代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd 即即兩端

4、積分得兩端積分得,lnlnln1Cyp ,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程一階線性齊次方程)故所求通解為故所求通解為xCeCy12 解解:),(ypy 設(shè)設(shè)xpydd 則則xyypdddd yppdd 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 解初值問題解初值問題解解: 令令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則則代入方程得代入方程得yeppydd2 積分得積分得1221221Cepy 利用初始條件利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)根據(jù)yepxy dd積分得積分得,2Cxey , 00 xy再由再由12 C得得故所求特解為故所求特解為xey

5、1得得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分方程的應(yīng)用 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0 解解:令令txu uufxxfxd)(sin)(0 則有則有xxfxfcos)()( 0)0( f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例微分方程的應(yīng)用 例例2. 設(shè)有微分方程設(shè)有微分方程, )(xfyy 其中其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解的連續(xù)解.解解: 1)

6、先解定解問題先解定解問題10, 2xyy00 xy利用通解公式利用通解公式, 得得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用利用00 xy得21C故有故有) 10(22xeyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 再解定解問題再解定解問題1,0 xyy1122)1( eyyx此齊次線性方程的通解為此齊次線性方程的通解為)1(2 xeCyx利用銜接條件得利用銜接條件得) 1(22eC因此有因此有)1()1(2 xeeyx3) 原問題的解為原問題的解為 y10),1(2 xex1,)1(2 xeex機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0

7、M求在求在衰變過程中鈾含量衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意, 有有)0(dd MtM00MMt (初始條件)對方程分離變量對方程分離變量, MMd,lnlnCtM 得得即teCM 利用初始條件利用初始條件, 得得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMM M0Mto然后積分然后積分:td)(已知已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變原已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變原機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例.成正比成正比,求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程根據(jù)牛頓第二定

8、律列方程 tvmdd00 tv初始條件為初始條件為對方程分離變量對方程分離變量,mtvkmgvdd 然后積分然后積分 :得得Cmtvkgmk )(ln1)0( vkgm此處此處利用初始條件利用初始條件, 得得)(ln1gmkC 代入上式后化簡代入上式后化簡, 得特解得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為速度為0,)1(tmkekgmv mgvk 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. kmgv t 足夠大時(shí)足夠大時(shí)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,

9、00 tx例例. 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿的作用沿 ox 軸作直線軸作直線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),在開始時(shí)刻在開始時(shí)刻,)0(0FF 隨著時(shí)間的增大隨著時(shí)間的增大 , 此力此力 F 均勻地減均勻地減直到直到 t = T 時(shí)時(shí) F(T) = 0 .如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn)如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn), 解解: 據(jù)題意有據(jù)題意有)(dd22tFtxm tFoT0FF)1(0TtF 0dd0 ttx)1(0TtFt = 0 時(shí)時(shí)設(shè)力設(shè)力 F 僅是時(shí)間僅是時(shí)間 t 的函數(shù)的函數(shù): F = F (t) . 小小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 初速度為初速度為0, 且對方程兩邊積分對方程兩邊積分,

10、得得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 120)2(ddCTttmFtx 利用初始條件利用初始條件, 01 C得得于是于是)2(dd20TttmFtx 兩邊再積分得兩邊再積分得2320)62(CTttmFx 再利用再利用00 tx, 02 C得得故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為)3(2320TttmFx 0dd0 ttx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 混合問題混合問題有一容器內(nèi)盛清水有一容器內(nèi)盛清水100100升，現(xiàn)將每升含鹽量升，現(xiàn)將每升含鹽量4 4克的鹽水以每分克的鹽水以每分5 5升的速率注入容器。并不斷進(jìn)行攪拌使混合液迅速達(dá)到均勻升的速率注入容器。并不斷進(jìn)行攪拌使混合

11、液迅速達(dá)到均勻同時(shí)混合液以每分鐘同時(shí)混合液以每分鐘3 3升的速率流出容器，問在任一時(shí)刻升的速率流出容器，問在任一時(shí)刻 t t容器內(nèi)的含鹽量是多少？在容器內(nèi)的含鹽量是多少？在20 20 分鐘末容器中的含分鐘末容器中的含 鹽量是多少？鹽量是多少？解解設(shè)設(shè) t 時(shí)時(shí)，含鹽量含鹽量 x 克克, ,變化率為變化率為dtdx t 時(shí)，鹽水容量為時(shí)，鹽水容量為100+(5-3) t 鹽水濃度為鹽水濃度為 tx2100 單位時(shí)間流入單位時(shí)間流入2020克克，tx21003 txdtdx2100320 分分升升/5235)2100(104)2100(4 ttx0)0( x時(shí)，時(shí)，20 t克）克）(5 .318

12、x分分升升/3流出流出克克 為曲邊的曲邊梯形面積為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面軸圍成的三角形面例例.)0()( xxy設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), 且且, 0)( xy)(xyy 過曲線過曲線上任一點(diǎn)上任一點(diǎn) P(x, y) 作該曲線的作該曲線的切線及切線及 x 軸的垂線軸的垂線,1S區(qū)間區(qū)間 0, x 上以上以,2S記為記為)(xy,1221 SS且且)(xyy 求求解解:, 0)(, 1)0( xyy因?yàn)橐驗(yàn)? 0)( xy所以所以于是于是 cot2121yS yy 222S)(xyy 設(shè)曲線設(shè)曲線在點(diǎn)在點(diǎn) P(x, y) 處的切線傾角為處的切線傾角為

13、 ,滿足的方程滿足的方程 .,1)0( y積記為積記為( 99 考研考研 )ttySxd)(02 Pxy1S1oyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再利用再利用 y (0) = 1 得得利用利用,1221 SS得得 xttyyy021d)(兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得2)( yyy 定解條件為定解條件為 )0(, 1)0(yy),(ypy 令令方程化為方程化為,ddyppy 則則yyppdd ,1yCp 解得解得利用定解條件得利用定解條件得,11 C, yy 再解再解得得,2xeCy , 12 C故所求曲線方程為故所求曲線方程為xey 2ddpyppy 12SPxy1S1oyx機(jī)動(dòng)

14、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 游船上的傳染病人數(shù)游船上的傳染病人數(shù) 一只游船上有一只游船上有800800人，一名游客患了某種傳人，一名游客患了某種傳染病，染病，1212小時(shí)后有小時(shí)后有3 3人發(fā)病，由于這種傳染病人發(fā)病，由于這種傳染病沒有早期癥狀，故感染者不能被及時(shí)隔離，沒有早期癥狀，故感染者不能被及時(shí)隔離，直升機(jī)將在直升機(jī)將在6060至至7272小時(shí)之間將疫苗運(yùn)到，試小時(shí)之間將疫苗運(yùn)到，試估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù)。估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù)。例例800800人，一名游客患了某種傳染病，人，一名游客患了某種傳染病，1212小時(shí)后有小時(shí)后有3 3人人發(fā)病，發(fā)病，6060至至7272小時(shí)

15、之間患此傳染病的人數(shù)。小時(shí)之間患此傳染病的人數(shù)。設(shè)設(shè)y(t)y(t)表示發(fā)現(xiàn)首例病人后表示發(fā)現(xiàn)首例病人后t t小時(shí)時(shí)刻的感染人數(shù)小時(shí)時(shí)刻的感染人數(shù)分析分析 3)12(1)0()800(yyykydtdy799,09176. 0800 Ckt=60時(shí)感染人數(shù)為時(shí)感染人數(shù)為 y(60) 188則則800-y(t)800-y(t)表示此刻未受感染的人數(shù)表示此刻未受感染的人數(shù) 由題意知由題意知y(0)=1, y(12)=3 3)12(1)0(1800)(800yyCetykttety09176. 07991800)( t=72時(shí)感染人數(shù)為時(shí)感染人數(shù)為 y(72) 385可見傳染病流行時(shí)及時(shí)采取可見傳染

16、病流行時(shí)及時(shí)采取措施是至觀重要的措施是至觀重要的(1) 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 ( 如: 例6 )(2) 利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解. 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 oyx) 1 , 0(A速度速度大小為大小為 2v, 方向指向方向指向A , )0 , 1(),(yxBtv解解: 設(shè)設(shè) t 時(shí)刻時(shí)刻 B 位于位于

17、 ( x, y ), 如圖所示如圖所示, 則有則有 ytsvdd2xysxd112xytxd1dd12txydd12去分母后兩邊對去分母后兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得xtvxyxdddd22又由于又由于ytv 1x 設(shè)物體設(shè)物體 A 從點(diǎn)從點(diǎn)( 0, 1 )出發(fā)出發(fā), 以大小為常數(shù)以大小為常數(shù) v 例例的速度沿的速度沿 y 軸正向運(yùn)動(dòng)軸正向運(yùn)動(dòng), 物體物體 B 從從 (1, 0 ) 出發(fā)出發(fā), 試建立物體試建立物體 B 的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)滿的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)滿足的微分方程及初始條件足的微分方程及初始條件.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2)dd(121ddxyvxt0121dd222yxyx代入代入 式得所求微分方程式得所求微分方程:其初始條件為其初始條件為, 01xy11xyoyxA)0 , 1(),(yxBtv機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程;定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法:說明說明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解