二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題[高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

1、二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題自主學(xué)習(xí)Q甚砒自溜1 .已知點(diǎn)A (1,-1), B (5,-3), C (4,-5),則表示 ABC勺邊界及其內(nèi)部的約束條件是x 2y 1 0答案 2x y 13 04x 3y 1 0x y 0,2 . (2008 天津理，2)設(shè)變量x, y滿足約束條件x y 1,則目標(biāo)函數(shù)z=5x+y的最大值為x 2y 1,答案 53 .若點(diǎn)(1, 3)和(-4, -2)在直線2x+y+m=0的兩側(cè)，則m的取值范圍是.4. （ 2008 北京理）x若實(shí)數(shù)x, y滿足xx答案-5m0表示直線x-y+5=0上及 右下方的點(diǎn)的集合.x+y)0表示直線x+y=0上及 右上方的點(diǎn)

2、的集合，x03表示直線x=3上及左方 的點(diǎn)的集合.x y 5 0所以，不等式組x y 0x 3表示的平面區(qū)域如圖所示.結(jié)合圖中可行域得x 5,3 , ye -3,8 (2)由圖形及不等式組知x y x 52 x 3,且 x z2當(dāng)x=3時(shí),-3 wy08,有12個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x=2時(shí),-2 wy07,有10個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x=1時(shí),-1 WyW6,有8個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x=0時(shí)，0Wy05,有6個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=-1時(shí),1 Wy04,有4個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x=-2時(shí),2 0yw 3,有2個(gè)整點(diǎn)；;平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2+4+6+8+10+12=42（個(gè)）.x 1, 例2 （2008 湖南理，3）已知變量x、y滿足條件 x

3、y 0,則x+y的最大值是 .x 2y 9 0,答案 6例3 （14分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，計(jì)劃每天每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸，需煤9噸，電力4千瓦時(shí)，勞力3個(gè)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸，需煤4噸，電力5千瓦時(shí)，勞力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸的利潤為7萬元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為12萬元；但每天用煤不超過300噸，電力不超過200千瓦時(shí)，勞力只有300個(gè).問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使利潤總額達(dá)到最大解 設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸，利潤總額為z萬元，1分9x 4y 300 4x 5y 200則線性約束條件為 3x 10y 300 ,4分x 15 y 15目標(biāo)函數(shù)為

4、z=7x+12y,8分作出可行域如圖，10分作出一組平行直線 7x+12y=t,當(dāng)直線經(jīng)過直線 4x+5y=200和直線3x+10y=300的交點(diǎn)A（20 , 24）時(shí),利潤最大.12分即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20噸、24噸時(shí)，利潤總額最大，Zmax=7X 20+12X 24=428 （萬元）.答 每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品 20噸、乙產(chǎn)品24噸，才能使利潤總額達(dá)到最大.14分知能遷移x 0,1. （2008 浙江理，17）若a0, b0,且當(dāng) y 0,時(shí)，恒有ax+by1 ,則以a, b為坐標(biāo)的點(diǎn)P （a, b）所形成的平面區(qū)域的面積等于.答案1x y 0,2. （ 2008 全國I理，13）若x ,

5、 y滿足約束條件 x y 3 0,則z=2x-y的最大值為0x3,答案 93. 某家具公司制作木質(zhì)的書桌和椅子兩種家具，需要木工和漆工兩道工序，已知木工平均四個(gè)小時(shí)做一把椅子，八個(gè)小時(shí)做一張書桌，iK公司每星期木工最多有8 000個(gè)工作時(shí)；漆工平均兩小時(shí)漆一把椅子，一個(gè)小時(shí)漆一張書桌，該公司每星期漆工最多有1 300個(gè)工作時(shí).又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤分別是15元和20元，根據(jù)以上條件，怎樣安排生產(chǎn)能獲得最大利潤解依題意設(shè)每星期生產(chǎn)那么利潤p=15x+20y.其中x, y滿足限制條件x把椅子，y張書桌4x 8y 8 0002x y 1 300.x 0,x Ny 0, y N即點(diǎn)（x,y

6、）的允許區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，它們的邊界分別為 x=0（即 OA 和 y=0（即 O。.4x+8y=8 000（即 AB） , 2x+y=1 300（即 BC）,164M）對于某一個(gè)確定的 p=p。滿足p0=15x+20y,且點(diǎn)（x, y）屬于陰影部分的解x,y就是一個(gè)能獲得 出元利潤的 生產(chǎn)方案.對于不同的p, p=15x+20y表示一組斜率為-3的平行線，且p越大，相應(yīng)的直線位置越高；p越小，相應(yīng) 4的直線位置越低.按題意，要求p的最大值，需把直線 p=15x+20y盡量地往上平移，又考慮到x, y的允許范圍，當(dāng)直線通過B點(diǎn)時(shí)，處在這組平行線的最高位置，此時(shí)p取最大值.由 4x 8y 8 0

7、00，得 b（200, 900）,2x y 1 300當(dāng)x=200,y=900時(shí),p取最大值，即 pmax=15X 200+20X 900=21 000,即生產(chǎn)200把椅子、900張書桌可獲得最大利潤 21 000元.活頁作業(yè)、填空題1 . (2008 全國口理，5)設(shè)變量x,y滿足約束條件y x,x 2y 2,則z=x-3 y的最小值為.x 2,答案-8x y 0,2 .若不等式組 2x y 2,表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則 a的取值范圍是y 0,x y a,4答案 00,a，1)的圖象過區(qū)域 M的a的取值范圍是 答案2,9 x 4y 3 05 .如果實(shí)數(shù)x , y滿足3x 5y 25 0

8、,目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的最大值為12,x 1答案 26 . (2007 江蘇)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知平面區(qū)域 A=( x,y)| x+y01,且x)0,y 0,則平面區(qū)域B=( x+y,x-y)|( x,y)GA的面積為 答案1x 0,7 . (2008 安徽理，15)若A為不等式組 y 0,表示的平面區(qū)域，則當(dāng) a從-2連續(xù)變化y x 2,到1時(shí)，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為.答案-48 .設(shè)集合 A=(x,y)| y引 x-2, x0, B=(x,y)| y=kMB=3,此時(shí)x=0, y=2;Zmin=kM=,止匕時(shí) x=1 , y = 0.2x 2y 3 010

9、.已知變量x, y滿足的約束條件為x 3y 3 0 .若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a0)僅在點(diǎn)y 1 0(3, 0)處取得最大值，求 a的取值范圍.解 依據(jù)約束條件，畫出可行域.;直線x+2y-3=0的斜率 匕=-1 ,目標(biāo)函數(shù)2z=ax+y( a0)對應(yīng)直線的斜率 kz=-a,若符合題意，則須 冗kz,即-1-a,得a 1.2211.兩種大小不同的鋼板可按下表截成A B, C三種規(guī)格成品格類咄鋼板類1A、A規(guī)格第種例版11第二種洞板1某建筑工地需A, B, C三種規(guī)格的成品分別為 15, 18, 27塊，問怎樣截這兩種鋼板，可得所需三種規(guī)格成品，且所用鋼板張數(shù)最小.解 設(shè)需要第一種鋼板x張，

10、第二種鋼板y張，鋼板總數(shù)為z張，z=x+y2x y 15x2y18約束條件為： x3y27x0,xZy0,yZ作出可行域如圖所示：令z=0,作出基準(zhǔn)直線l:y=-x,平行移動直線l發(fā)現(xiàn)在可行域內(nèi)，經(jīng)過直線x+3y=27和直線2x+y=15的交z取最小，由于18 39都不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x, y)5 , 5中，x, y必須都是整數(shù)，可行域內(nèi)點(diǎn)A竺_39不5 5是最優(yōu)解;通過在可行域內(nèi)畫網(wǎng)格發(fā)現(xiàn)， 經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與A竺 X 點(diǎn)距離最近的直線是 x+y=12，經(jīng)過的整5 5大值，當(dāng)x e (1,2)時(shí)，f (x)取得極小值(1,2)內(nèi)，由二次函數(shù) f (x)=x2+ax+2bb 0a 2b

11、1 0,a b 2 0 Jf 3+1 3點(diǎn)是B(3,9)和C (4, 8),它們都是最優(yōu)解.答要截得所需三種規(guī)格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種:第一種截法是截第一種鋼板 3張，第二種鋼板9張;第二種截法是截第一種鋼板 4張，第二種鋼板8張;兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張.12.在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)= 1x+1aW+Zbx+c,當(dāng)xG (0,1)時(shí)取得極大值，當(dāng)xG(1,2)時(shí)取得極小值，求點(diǎn) 32(a, b)對應(yīng)的區(qū)域的面積以及b2的取值范圍. a 1解 函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f (x)=x2+ax+2b,當(dāng)x G (0,1)時(shí)，f(x)取得極則方程x2+ax+2b=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間f (0) 0的圖象與方程x2+ax+2b=0根的分布之間的關(guān)系可以得到f (1) 0f (2) 0在aOb