線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差

1、 7-1 7-1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念 7-2 7-2 信號(hào)的采樣及保持信號(hào)的采樣及保持 7-3 Z 7-3 Z變換理論變換理論 7-4 7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7-5 7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差7-6 7-6 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析7-7 7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正離散系統(tǒng)的數(shù)字校正7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差1 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件2 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)3 采樣周期與開環(huán)增益對(duì)穩(wěn)定性的影響采樣周期與開環(huán)增益對(duì)穩(wěn)定性

2、的影響4 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差5 離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù) 定義定義: 若離散系統(tǒng)在有界輸入序列作用下，其輸出序列也是有界若離散系統(tǒng)在有界輸入序列作用下，其輸出序列也是有界的，則稱該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。的，則稱該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：時(shí)域中穩(wěn)定的充要條件（差分方程）時(shí)域中穩(wěn)定的充要條件（差分方程）Z Z域中穩(wěn)定的充要條件（脈沖傳遞函數(shù)）域中穩(wěn)定的充要條件（脈沖傳遞函數(shù)）1 、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件（1）時(shí)域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件）時(shí)域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定

3、的充要條件101110()0llll nlnnnAAa Aa AAaa 設(shè)通解為，待入齊次方程得：0111100nnnnnaaaa整理得差分方程的特征方程：即：111n,( )nllnnc kAA設(shè)有 個(gè)不同的特征根則差分方程的通解：1( )()0niic kac ki齊次差分方程：1lim ( )0ikc k當(dāng)，有1,i系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：當(dāng)且僅當(dāng)差分方程所有特征根的模則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。( )1( )0D zGH z 典型離散系統(tǒng)的特征方程：1nzz設(shè)特征方程的根為各不相同 ， ， 。sz由 域到 域的映射關(guān)系：sz左半平面映射為 平面上的單位圓內(nèi)的區(qū)域；對(duì)應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域；sz右半平面映射為 平

4、面上的單位圓外的區(qū)域；對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定區(qū)域；sz平面上的虛軸，映射為 平面上的單位圓周；對(duì)應(yīng)臨界穩(wěn)定。zz11 ,iz 在 域中，線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：當(dāng)且僅當(dāng)離散特征方程的全部特征根均分布在 平面的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模均小于 ，即（） 則相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）z域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件(0)0,1lim ( )01ncac na 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件解：給定系統(tǒng)相應(yīng)的奇次方程為解：給定系統(tǒng)相應(yīng)的奇次方程為1(1)(0)nc nac利用迭代法，可求出通解(1)( )0c nac n(1)( )( ),(0)0c nac nbr nc例例

5、7-26:設(shè)一離散系統(tǒng)可用下列差分方程描述：設(shè)一離散系統(tǒng)可用下列差分方程描述：試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件。試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件。1110(1)1( )10(1)()ezG zzze 閉環(huán)特征方程( )10/ (1),( )1,1,G ss sH sT例7-27:設(shè)離散系統(tǒng)如圖所示，其中試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1110(1)( )(1)()ezG zzze系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為24.9520.3680zz( )r t*( )et*( )ct( )c tT)( sG)( sH*( )()rt Rz( )e t( )E z()Cz120.076,4.876zz iz1， 不穩(wěn)定。（1）w變

6、換與勞思穩(wěn)定判據(jù)變換與勞思穩(wěn)定判據(jù)雙線性變換法雙線性變換法11wwz11zwz則，Z和和W均為復(fù)變均為復(fù)變量量jyxzjvuw222222) 1(2) 1(1)(yxyjyxyxjvuw討論：討論：（1）W平面的虛軸平面的虛軸0) 1(1)(2222yxyxu01)(22 yx對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于Z平平面單位圓面單位圓3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)（2）W平面的左半平面平面的左半平面0) 1(1)(2222yxyxu1)(22 yx（3）W平面的左半平面平面的左半平面0) 1(1)(2222yxyxu1)(22 yxW平面平面Z平面平面 結(jié)論結(jié)論由特征方程由特征方程1+GH(z)=0所

7、有根都在單位圓內(nèi)轉(zhuǎn)換為特征方所有根都在單位圓內(nèi)轉(zhuǎn)換為特征方程程1+GH(w)0所有根都在左所有根都在左w平面。平面。根據(jù)根據(jù)w域，可直接應(yīng)用勞思判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。域，可直接應(yīng)用勞思判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。22210( )( )1( )( )(0.6321.368)0.368010.6321.26(2.7360.632)010.6322.7360.6321.26402.7360.6320K04.33G zzG zG zzKzwzwwKwRauthwKKwwKK閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為:閉環(huán)特征方程為:1+=令待入，整理得：列出表，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，勞思表第一列大于零則得系統(tǒng)穩(wěn)定 的取值為例例8

8、12 設(shè)控制系統(tǒng)如下圖所示設(shè)控制系統(tǒng)如下圖所示)4()(1ssKsG)(sR)(*sE)(sCT)(sG其中其中,采樣周期為采樣周期為sT25. 0求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K1取值范圍。取值范圍。114114411( )( )(4)4414141TTTKKG zZ G sZZs sssezKKzzzzezze( )( )( )1( )C zG zR zG z4411( )114TTKG zzzeez0111411111111wweKewwww0158. 0736. 2264. 1158. 0121KwwK101112158. 0736. 20264. 1158. 0736. 2158.

9、 0KwwKKw3 .1701 K11158. 0736. 20158. 0KK4 、采樣周期與開環(huán)增益對(duì)穩(wěn)定性的影響、采樣周期與開環(huán)增益對(duì)穩(wěn)定性的影響采樣周期和開環(huán)增益對(duì)系統(tǒng)的影響：（1）T一定，K越大，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差。甚至不穩(wěn)定。（2）K一定，T越長(zhǎng)，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性均越差，甚至不穩(wěn)定。5、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差)(1)()1 (lim)()1 (lim)(lim)(z)(11)()()(11*zGzRzzEzteezGzRzEzttte變換終值定理：系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)：前提：極點(diǎn)全部位于前提：極點(diǎn)全部位于z平面的單位圓內(nèi)容，即離散系統(tǒng)穩(wěn)定。平面的單位圓內(nèi)容，即

10、離散系統(tǒng)穩(wěn)定。6、離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)、離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)( )z1G z離散系統(tǒng)中開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)具有的極點(diǎn)數(shù)為系統(tǒng)類別號(hào)。0III相應(yīng)的稱為 型， 型， 型離散系統(tǒng)。0z1Tszes對(duì)應(yīng)( )0G ss連續(xù)系統(tǒng)中開環(huán)傳遞函數(shù)具有的極點(diǎn)數(shù)為系統(tǒng)類別號(hào)；11(1) ( )1( )limlim1( )1( )zzzR zezG zG z 1)()( 1)(zzzRttr11lim1( )( )PzPKG zeK 當(dāng)采樣系統(tǒng)為當(dāng)采樣系統(tǒng)為型系統(tǒng)時(shí)型系統(tǒng)時(shí))(1 (lim1zGKzP當(dāng)采樣系統(tǒng)為當(dāng)采樣系統(tǒng)為型系統(tǒng)時(shí)型系統(tǒng)時(shí))(1 (lim1zGKzP結(jié)論：結(jié)論：0型離散系統(tǒng)在采樣瞬

11、間存在位置誤差；型離散系統(tǒng)在采樣瞬間存在位置誤差；I型以上的離散系統(tǒng)在采樣瞬間無位置誤差型以上的離散系統(tǒng)在采樣瞬間無位置誤差(1)單位階躍輸入時(shí)的位置誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)位靜態(tài)位置誤差置誤差系數(shù)系數(shù)11( )limlim(1) 1( )(1) ( )zzTTezG zzG z 2( )( )(1)Tzr ttR zz1lim(1) ( )( )vzvTKzG zeK (2)單位速度輸入時(shí)的速度誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差結(jié)論：結(jié)論：0 0型離散系統(tǒng)在采樣瞬間存在無窮大速度誤差；故型離散系統(tǒng)在采樣瞬間存在無窮大速度誤差；故0 0型系統(tǒng)不能承受單位斜型系統(tǒng)不能承受單位斜坡作用；坡作用；I I型系統(tǒng)在采樣瞬間存在速度誤差；型系統(tǒng)在采樣瞬間存在速度誤差；IIII型以上系統(tǒng)在單位斜坡作用下無速度誤差。型以上系統(tǒng)在單位斜坡作用下無速度誤差。靜態(tài)速度靜態(tài)速度誤差系數(shù)誤差系數(shù)222211(1)( )limlim2(1) 1( )(1)( )zzTzTezG zzG z 223(1)( )/2( )2(1)T z zr ttR zz221lim(1)( )( )azaTKzG zeK