固體物理32011

1、 晶體內(nèi)的原子并不是在各自的平衡位置上固定不動的，而是晶體內(nèi)的原子并不是在各自的平衡位置上固定不動的，而是圍繞其平衡位置作振動圍繞其平衡位置作振動。 由于晶體內(nèi)原子間存在著相互作用力，各個原子的振動也并由于晶體內(nèi)原子間存在著相互作用力，各個原子的振動也并不是獨立的，而是相互聯(lián)系著的，因此在晶體中形成了各種模不是獨立的，而是相互聯(lián)系著的，因此在晶體中形成了各種模式的波。式的波。第三章第三章 晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.1 一維原子鏈的振動一維原子鏈的振動 晶格振動是個復(fù)雜的問題。先考慮一維晶格的振動。然晶格振動是個復(fù)雜的問題。先考慮一維晶格的振動。然后把所得的一些主要結(jié)論

2、和主要方法應(yīng)用到三維晶格的后把所得的一些主要結(jié)論和主要方法應(yīng)用到三維晶格的振動。振動?？紤]如圖所示的一維原子鏈。每個原子都具有相同的質(zhì)考慮如圖所示的一維原子鏈。每個原子都具有相同的質(zhì) 量量m，平平衡時衡時原子間距原子間距(晶格常數(shù)晶格常數(shù))為為a，由于熱運動各原子離開了它的平衡，由于熱運動各原子離開了它的平衡位置，用位置，用xn代表第代表第n個原子離開平衡位置的位移個原子離開平衡位置的位移。第第n個原子和第個原子和第n+1個原子間的個原子間的相對位移相對位移是是xn+1-xn，下面先求由于原子間的相互，下面先求由于原子間的相互作用，原子所受到的恢復(fù)力與相對位移的關(guān)系作用，原子所受到的恢復(fù)力與相

3、對位移的關(guān)系 (1) 一維簡單晶格的情形一維簡單晶格的情形 設(shè)在設(shè)在平衡位置平衡位置時兩個原子間的互作用勢能是時兩個原子間的互作用勢能是U(a)，令，令 =xn+1-xn, 則則產(chǎn)生產(chǎn)生相對位移相對位移后，相互作用勢能變成后，相互作用勢能變成U(a+ )。將。將U(a+ )在平衡位在平衡位置附近用泰勒級數(shù)展開，得到置附近用泰勒級數(shù)展開，得到: .21)()(222aadrUddrdUaUaU式中首項為常數(shù)，次項為零式中首項為常數(shù)，次項為零(因為在平衡時勢能取極小值因為在平衡時勢能取極小值) ，當(dāng)，當(dāng) 很很小，即振動很微弱時，勢能展式中可小，即振動很微弱時，勢能展式中可只保留到只保留到 2項項，

4、則恢復(fù)力為，則恢復(fù)力為adrUd22這叫做這叫做簡諧近似簡諧近似。上式中的。上式中的 稱為稱為恢復(fù)力常數(shù)恢復(fù)力常數(shù)，(1)adrUdddU22簡諧近似簡諧近似簡諧振動，原子與原子之並沒有能量與動量的傳遞。簡諧振動，原子與原子之並沒有能量與動量的傳遞。 只只考慮相鄰原子的互作用考慮相鄰原子的互作用，則第，則第n個原子所受到的總作用力是個原子所受到的總作用力是:第第n個原子的運動方程可寫成個原子的運動方程可寫成)2()()(111nnnnnnnnxxxxxxxF)2(1122nnnnxxxdtxdm對于每一個原子，都有一個類似的運動方程，因此對于每一個原子，都有一個類似的運動方程，因此方程的數(shù)目和

5、原方程的數(shù)目和原子數(shù)相同子數(shù)相同。 (n=1, 2, 3, N)(2)該運動方程式的該運動方程式的解解是振幅是振幅A，角頻率為角頻率為 的簡諧振動的簡諧振動)(tqnainAex式中式中qna表示第表示第n個原子振動的個原子振動的位相因子位相因子。如果第。如果第n 個和第個和第n個原子個原子的位相因子之差的的位相因子之差的(qna-qna)為為2 的整數(shù)倍時，的整數(shù)倍時， ntqnaitaqninxAAex)()(原子因振動而產(chǎn)生的原子因振動而產(chǎn)生的位移相位移相等等。晶格中各個原子間的振晶格中各個原子間的振動相互間都存在著固定的位動相互間都存在著固定的位相關(guān)系相關(guān)系，也即在晶格中存在，也即在晶

6、格中存在著角頻率著角頻率 的的平面波，這種平面波，這種波稱為波稱為格波格波。 (3)格波格波格波的波長格波的波長 =2 /q。若令。若令n代表沿格波傳播方向的單位矢量代表沿格波傳播方向的單位矢量, 則則 q=n2/ 就是格波的就是格波的波矢波矢。波速。波速(相速相速) vp=/q把把(3)式代入到運動方程組式代入到運動方程組(2)式中，可得式中，可得 2sin221qam(4)(4) 式代表一維簡單晶格中式代表一維簡單晶格中格波的色散關(guān)系格波的色散關(guān)系。格波的波速。格波的波速vp一一般般是波長是波長 的函數(shù)。的函數(shù)。 一維簡單晶格的振動頻譜一維簡單晶格的振動頻譜 當(dāng)當(dāng)q甚小甚小(q0)，即波長

7、很長時，波速是常數(shù)。，即波長很長時，波速是常數(shù)。 21mavp(5)當(dāng)聲波在晶體內(nèi)行進時其聲波速度可以寫成當(dāng)聲波在晶體內(nèi)行進時其聲波速度可以寫成 21Cvs其中其中 為單位長度的質(zhì)量，為單位長度的質(zhì)量，C為晶體的彈性係數(shù)為晶體的彈性係數(shù)。當(dāng)波矢當(dāng)波矢 2qasqs為任意整數(shù)為任意整數(shù)， 我們有我們有所以所以 ntnaqinxAex可見當(dāng)可見當(dāng) q-q=2 s/a, s為任意整數(shù)，兩者對為任意整數(shù)，兩者對同一原子同一原子所引起的所引起的振動完全相同。對應(yīng)某一確定的振動狀態(tài)振動完全相同。對應(yīng)某一確定的振動狀態(tài)(xn) ，可以有無限多，可以有無限多個波矢個波矢q, 它們間都相差它們間都相差2 s/a

8、的整數(shù)倍的整數(shù)倍。所以，為了保證所以，為了保證xn的的單值性，把一維布喇菲格子的單值性，把一維布喇菲格子的q值限制在值限制在 (- /a, /a), q值限制在值限制在 (- /a, /a) ，為什么？為什么？tnaqinsineAex2(2) 一維復(fù)式格子的情形一維復(fù)式格子的情形 考慮由兩種不同原子所構(gòu)成的一維復(fù)式格子，相鄰?fù)N原子間的距考慮由兩種不同原子所構(gòu)成的一維復(fù)式格子，相鄰?fù)N原子間的距離為離為2a (2a是這復(fù)式格子的晶格常數(shù)是這復(fù)式格子的晶格常數(shù))，如圖所示。質(zhì)量為，如圖所示。質(zhì)量為m的原子的原子位于位于2n-1, 2n+1, 2n+3各點，質(zhì)量為各點，質(zhì)量為M 的原子位于的原子

9、位于2n-2, 2n, 2n+2各點。原子的運動方程可寫成各點。原子的運動方程可寫成)2(122222122nnnnxxxdtxdm)2(2212322222nnnnxxxdtxdMMm(6)該運動方程式的解是角頻率為該運動方程式的解是角頻率為 的簡諧振動的簡諧振動tanqinAex1212tanqinBex2222由于這里包含有兩種不同的原子，這兩種不同原子振動的由于這里包含有兩種不同的原子，這兩種不同原子振動的振幅一般來說也是不同的。把解振幅一般來說也是不同的。把解(7)式代入式代入(6)式，得式，得ABeeAmiqaiqa22BAeeBMiqaiqa220cos222BqaAm02cos

10、22BMAqa整理上整理上式式，得，得(7)(8)(9)若若A，B有異于零的解，則其系數(shù)行列式必須等于零，即有異于零的解，則其系數(shù)行列式必須等于零，即02cos2cos2222Mqaqam由此可以解得由此可以解得 與與q之間存在著之間存在著兩種兩種不同的色散關(guān)系，即對不同的色散關(guān)系，即對一維復(fù)式格子一維復(fù)式格子，可，可以存在以存在兩種獨立的格波兩種獨立的格波。(一維一維簡單晶格簡單晶格，只能存在，只能存在一種一種格波格波) 這兩種不同的格波各有自己的色散關(guān)系這兩種不同的格波各有自己的色散關(guān)系: 212222cos2qamMMmMmmM(10)(11)2122212cos2qamMMmMmmM2

11、122222cos2qamMMmMmmM為了保證為了保證x2n+1和和x2n+2的單值性，把的單值性，把q值限制在值限制在 (- /2a, /2a), 2a是這復(fù)式格子的晶格常數(shù)是這復(fù)式格子的晶格常數(shù)。 1的最大值為的最大值為 212121max12)(MmMMmmM 2最小值為最小值為 212121min22)(mmMMmmM因為因為Mm, 1 -支的格波頻率總比支的格波頻率總比 2-支的頻率為低。支的頻率為低。 2 -支支的格波可以用光來激發(fā)，所以常稱為光頻支格波，簡稱為的格波可以用光來激發(fā)，所以常稱為光頻支格波，簡稱為光學(xué)波光學(xué)波。而。而 1 -支則稱為聲頻支格波，簡稱為支則稱為聲頻支格

12、波，簡稱為聲學(xué)波聲學(xué)波。 (12)(13)一維復(fù)式格子的色散關(guān)系一維復(fù)式格子的色散關(guān)系 (3) 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 212m212M由由(9)式?jīng)Q定相鄰兩種原子振幅之比。式?jīng)Q定相鄰兩種原子振幅之比。 對于聲學(xué)波對于聲學(xué)波 112cos2mqaBA0cosqa因為 01BA所以 這就是說，相鄰兩種不同原子的振幅都有這就是說，相鄰兩種不同原子的振幅都有相同相同的正號的正號或負號，即對于聲學(xué)波，相鄰原子都是沿著同一方向或負號，即對于聲學(xué)波，相鄰原子都是沿著同一方向振動的。振動的。聲學(xué)波聲學(xué)波mM2221當(dāng)波長相當(dāng)長時當(dāng)波長相當(dāng)長時(q0), 聲學(xué)波實際上代表聲學(xué)波實際上代表原胞質(zhì)心原胞質(zhì)心

13、的振動。的振動。11BA 對于長聲學(xué)波，不僅相鄰原胞中原子振動的對于長聲學(xué)波，不僅相鄰原胞中原子振動的位相差趨近于零位相差趨近于零，而，而且且振幅也近于相等振幅也近于相等。 這是由于長聲學(xué)波的波長比原胞線度大得多時，在半個波長內(nèi)就這是由于長聲學(xué)波的波長比原胞線度大得多時，在半個波長內(nèi)就已包括了許多原胞，這些原胞都整體地沿同一方向運動。因此已包括了許多原胞，這些原胞都整體地沿同一方向運動。因此，晶晶格可以近似地看成連續(xù)介質(zhì)格可以近似地看成連續(xù)介質(zhì)，而長聲學(xué)波也就可以近似地被認為是，而長聲學(xué)波也就可以近似地被認為是彈性波。彈性波。 對于光學(xué)波對于光學(xué)波，相鄰兩種原子振幅之比為，相鄰兩種原子振幅之比

14、為 qaMBAcos22222因為因為 0cosqa02BA所以所以 對于光學(xué)波，對于光學(xué)波，相鄰兩種不同原子的振動方向是相反的相鄰兩種不同原子的振動方向是相反的。 光學(xué)波光學(xué)波Mm2222mMBA2當(dāng)當(dāng)q很小時，很小時， 光學(xué)波在長波極限下描述光學(xué)波在長波極限下描述原胞質(zhì)心不動原胞質(zhì)心不動、原子相對于質(zhì)、原子相對于質(zhì)心的振動；心的振動； 玻恩和卡門把玻恩和卡門把邊界對內(nèi)部原子振動狀態(tài)的影響邊界對內(nèi)部原子振動狀態(tài)的影響考慮成如考慮成如下面所述的周期性邊界條件，設(shè)想在下面所述的周期性邊界條件，設(shè)想在一一長為長為Na 的的有限晶體有限晶體邊邊界之外，仍然有界之外，仍然有無窮多個相同的晶體無窮多個相

15、同的晶體，并且各塊晶體內(nèi)相對，并且各塊晶體內(nèi)相對應(yīng)的原子的運動情況一樣，即第應(yīng)的原子的運動情況一樣，即第j個原子和第個原子和第tN+j 個原子的個原子的運動情況一樣。運動情況一樣。 (4) 周期性邊界條件周期性邊界條件 根據(jù)周期性邊界條件下，第一個原胞的原子應(yīng)和第根據(jù)周期性邊界條件下，第一個原胞的原子應(yīng)和第N+1個原胞的個原胞的原子振動情況相同，即原子振動情況相同，即11NxxtqaiAex1taNqiNAex111iqNae因此因此lqNa2l為整數(shù)為整數(shù) 即描寫晶格振動狀態(tài)的波矢即描寫晶格振動狀態(tài)的波矢q只能取一些分立的值只能取一些分立的值。因為因為所所以以由此可知，由此可知，l只能取只能

16、取N個不同的值，因而個不同的值，因而q也只能取也只能取N個不同的個不同的值值。這里。這里N是原胞的數(shù)目。是原胞的數(shù)目。aqa22NlN一維復(fù)式格子的一維復(fù)式格子的q也只能取也只能取N個不同的值個不同的值。波矢波矢q的數(shù)目，等于原的數(shù)目，等于原胞的數(shù)目。胞的數(shù)目。 在在波矢空間波矢空間，一維雙原子復(fù)式格子的每一個可能的，一維雙原子復(fù)式格子的每一個可能的q 所占據(jù)的所占據(jù)的線度為線度為 /Na，這里，對應(yīng)于每個，這里，對應(yīng)于每個q 值有兩個不同的角頻率值有兩個不同的角頻率，一個一個是光學(xué)波角頻率，另一個是聲學(xué)波角頻率。因此對于一維雙原子是光學(xué)波角頻率，另一個是聲學(xué)波角頻率。因此對于一維雙原子的復(fù)式

17、格子，的復(fù)式格子，角頻率數(shù)為角頻率數(shù)為2N。 既然既然每每一一角頻率對應(yīng)于角頻率對應(yīng)于一一個格波個格波，格波數(shù)必為，格波數(shù)必為2N。 在一維雙原子復(fù)式格子中，每個原胞有兩個原子，晶體的自由在一維雙原子復(fù)式格子中，每個原胞有兩個原子，晶體的自由度是度是2N，因此得到這樣的結(jié)論，因此得到這樣的結(jié)論:晶格振動波矢的數(shù)目晶格振動波矢的數(shù)目=原胞的數(shù)目原胞的數(shù)目; 晶格振動頻率的數(shù)目晶格振動頻率的數(shù)目=晶體的自由度數(shù)晶體的自由度數(shù)3.2 三維晶格振動的三維晶格振動的一般結(jié)論般結(jié)論 晶格振動是晶體中諸原子晶格振動是晶體中諸原子(離子離子)集體地集體地在作振動，其結(jié)果表現(xiàn)為在作振動，其結(jié)果表現(xiàn)為晶格中的格波

18、。晶格中的格波。 當(dāng)當(dāng)振動微弱振動微弱時，格波之間的相互作用可以忽略，從而可以認為它時，格波之間的相互作用可以忽略，從而可以認為它們的存在是相互獨立的，稱為們的存在是相互獨立的，稱為獨立的模式獨立的模式。 每一每一獨立的模式獨立的模式對應(yīng)一個振動態(tài)。對應(yīng)一個振動態(tài)。 在明白一維空間的振動模式後，若要進入三度空間的振動將不會在明白一維空間的振動模式後，若要進入三度空間的振動將不會是難事?？梢韵胂竦氖侨请y事?？梢韵胂竦氖侨S維空間有三個方向，因此其聲波的傳遞將空間有三個方向，因此其聲波的傳遞將有可能三種方向的選擇，所以其色散關(guān)係將會有三個分項。有可能三種方向的選擇，所以其色散關(guān)係將會有三個分項。

19、 對于對于N個原胞組成的三維晶體，設(shè)每個個原胞組成的三維晶體，設(shè)每個原胞原胞中有中有g(shù)個原子，該晶體個原子，該晶體的晶格振動有以下三個一般結(jié)論：的晶格振動有以下三個一般結(jié)論： （1） 格波共有格波共有3g支支，其中，其中3支聲頻支，其余支聲頻支，其余3(g-1)支為光頻支；支為光頻支； （2） 每每支支格波有格波有N個振動模；個振動模； （3） 共有振動模共有振動模3gN。一般地，對于一般地，對于d維晶體，上述的三個結(jié)論依然成立，只是需將上述三維晶體，上述的三個結(jié)論依然成立，只是需將上述三個結(jié)論中的個結(jié)論中的3改為改為d。 以金剛石為例，可將上述討論更加具體化。金剛石是復(fù)式格以金剛石為例，可將

20、上述討論更加具體化。金剛石是復(fù)式格子，每一個原胞中有子，每一個原胞中有兩個兩個原子，有原子，有3支聲學(xué)波和支聲學(xué)波和3支光學(xué)波。對支光學(xué)波。對于某一傳播方向，于某一傳播方向，頻率頻率 和波矢和波矢q的關(guān)系曲線的關(guān)系曲線如圖所示。如圖所示。 光學(xué)波的頻率隨光學(xué)波的頻率隨q變化很小，在實際計算中，將其視為與波矢變化很小，在實際計算中，將其視為與波矢q無關(guān)的常數(shù)。在三支聲學(xué)波中一支是縱波，兩支是橫波。無關(guān)的常數(shù)。在三支聲學(xué)波中一支是縱波，兩支是橫波。 當(dāng)當(dāng)q 很小時，很小時， 與與q 成比例，這時，聲學(xué)波與彈性波一樣，波速為成比例，這時，聲學(xué)波與彈性波一樣，波速為常數(shù)，而且就是彈性波的速度。常數(shù)，而

21、且就是彈性波的速度。 頻率頻率 和波矢和波矢q的關(guān)系的關(guān)系曲線。沿曲線。沿100及及111軸軸兩支橫波簡并兩支橫波簡并。 (圖中橫坐標(biāo)以圖中橫坐標(biāo)以2 /l為為單位，其中單位，其中l(wèi)代表有關(guān)代表有關(guān)軸向的格點軸向的格點間間距距)3.3 簡正坐標(biāo)和聲子簡正坐標(biāo)和聲子 以一維單原子鏈為例。在以一維單原子鏈為例。在簡諧近似簡諧近似和和最近鄰近似最近鄰近似下，原子鏈下，原子鏈的能量為的能量為 nnnnnxxdtdxmUTH21221在簡諧近似下，每一原子的振動在簡諧近似下，每一原子的振動(xn)可以是一些獨立振動模式可以是一些獨立振動模式的的線性迭加線性迭加 qiqnaqnetQNmtx)(1)(在數(shù)

22、學(xué)上，在數(shù)學(xué)上，構(gòu)成構(gòu)成正交歸一的完備函數(shù)集正交歸一的完備函數(shù)集，上式是嚴格的，上式是嚴格的。 (15)式中的展式中的展開系數(shù)開系數(shù)Qq(t) 稱為稱為簡正坐標(biāo)簡正坐標(biāo)。(14)(15)驗證正交歸一性驗證正交歸一性(15)式中的展開系數(shù)式中的展開系數(shù)Qq(t)，通常是復(fù)數(shù)。由于原子的振動，通常是復(fù)數(shù)。由于原子的振動位移位移xn(t)為實量，即為實量，即 要求簡正坐標(biāo)滿足要求簡正坐標(biāo)滿足 )()(*txtxnn(16)(17)式式(15)代入代入(14)，可以證明，整個晶格振動系統(tǒng)的哈密頓量為，可以證明，整個晶格振動系統(tǒng)的哈密頓量為 稱為稱為正則動量正則動量式式(18)說明，晶格振動的哈密頓說明

23、，晶格振動的哈密頓量可表述為各獨立振動模式即格波的能量之和；而量可表述為各獨立振動模式即格波的能量之和；而每一個每一個獨立振動模式獨立振動模式的能量的能量 為為正則坐標(biāo)表達的簡諧振子的能量正則坐標(biāo)表達的簡諧振子的能量(18)(19)按照量子力學(xué)，一個按照量子力學(xué)，一個簡諧振子簡諧振子的能量本征值為的能量本征值為 nq取取0、1、2、.等整數(shù)值等整數(shù)值。晶格振動的晶格振動的能量量子能量量子 稱為稱為聲子聲子。晶格振動的總能量表示為晶格振動的總能量表示為 一個格波都是以平面波的方式傳遞整個晶體，因此一個格波都是以平面波的方式傳遞整個晶體，因此聲子無聲子無法視為一個區(qū)域性存在的粒子法視為一個區(qū)域性存

24、在的粒子。雖然我們習(xí)慣以。雖然我們習(xí)慣以 來表示來表示聲子的動量聲子的動量,但我們必需認知該動量並非是真的動量，我們必但我們必需認知該動量並非是真的動量，我們必需認定它具有了多項動量的特質(zhì)需認定它具有了多項動量的特質(zhì),因此我們給予一個因此我們給予一個特定特定稱呼，稱呼，那就是那就是crystal momentum。 聲子與光子一樣是屬於玻色聲子與光子一樣是屬於玻色(boson)粒子，它不具有粒子，它不具有守恆的守恆的特質(zhì)特質(zhì)，它能夠在碰撞時被產(chǎn)生或消失，它能夠在碰撞時被產(chǎn)生或消失，在上式子中的在上式子中的n值可以在值可以在任何時間取任何值。任何時間取任何值。 利用聲子的概念可以順利的解釋絕緣體

25、是如何導(dǎo)熱以及導(dǎo)體利用聲子的概念可以順利的解釋絕緣體是如何導(dǎo)熱以及導(dǎo)體為何有電阻存在原因，這些細節(jié)都會在後面章節(jié)提到。為何有電阻存在原因，這些細節(jié)都會在後面章節(jié)提到。 晶格振動的能量是量子化的晶格振動的能量是量子化的，晶格振動的，晶格振動的能量量子能量量子稱為稱為聲子聲子；整個晶格振動的運動狀態(tài)可用整個晶格振動的運動狀態(tài)可用聲子氣體聲子氣體來描述來描述。聲子是玻色聲子是玻色子，子，聲子數(shù)聲子數(shù)服從玻色統(tǒng)計服從玻色統(tǒng)計高溫時，聲子數(shù)與溫度高溫時，聲子數(shù)與溫度T成正比成正比3.4 固體熱容固體熱容(比熱比熱)固體的定容熱容量定義為固體的定容熱容量定義為 其中其中E是固體的內(nèi)能固體的內(nèi)能是固體的內(nèi)能

26、固體的內(nèi)能E包括包括晶格系統(tǒng)的內(nèi)能晶格系統(tǒng)的內(nèi)能和和電子系統(tǒng)的內(nèi)能電子系統(tǒng)的內(nèi)能，相應(yīng)地固體的定容熱容量可以寫為，相應(yīng)地固體的定容熱容量可以寫為 稱為稱為晶格熱容量晶格熱容量，稱為電子系統(tǒng)熱容量稱為電子系統(tǒng)熱容量。電子系統(tǒng)熱容量在低電子系統(tǒng)熱容量在低溫下比較顯著溫下比較顯著。 本節(jié)只討論晶格熱容量本節(jié)只討論晶格熱容量CVL 。為簡化記號，略去表示晶格系。為簡化記號，略去表示晶格系統(tǒng)的下腳標(biāo)統(tǒng)的下腳標(biāo)L，將，將EL簡記作簡記作E，將晶格熱容量，將晶格熱容量CVL簡記作簡記作CV 經(jīng)典理論中，由能量均分定理得到，原子的每一個自由度的平經(jīng)典理論中，由能量均分定理得到，原子的每一個自由度的平均能量是均

27、能量是kBT，其中，其中1/2kBT是平均動能，是平均動能，1/2kBT是平均勢能；則是平均勢能；則N個原子構(gòu)成的三維晶體的內(nèi)能為個原子構(gòu)成的三維晶體的內(nèi)能為 晶格熱容量為晶格熱容量為 這是一個與溫度無關(guān)的常量上式的結(jié)果稱為這是一個與溫度無關(guān)的常量上式的結(jié)果稱為杜隆杜隆-珀替定律珀替定律 (1) 晶格熱容的經(jīng)典困難晶格熱容的經(jīng)典困難 對于由對于由N個原子構(gòu)成的三維簡單晶格，晶格熱容量在高溫下個原子構(gòu)成的三維簡單晶格，晶格熱容量在高溫下的實驗結(jié)果為的實驗結(jié)果為3NkB，在低溫下，絕緣體的熱容量以，在低溫下，絕緣體的熱容量以T3 趨于零、趨于零、導(dǎo)體的熱容量按導(dǎo)體的熱容量按T 趨于零趨于零。 晶格

28、熱容量隨溫度晶格熱容量隨溫度的變化示意圖的變化示意圖 經(jīng)典的杜隆經(jīng)典的杜隆-珀替定律，在高溫下與實驗結(jié)果符合很好，但珀替定律，在高溫下與實驗結(jié)果符合很好，但是無法解釋晶格熱容量在低溫下趨于零的實驗結(jié)果是無法解釋晶格熱容量在低溫下趨于零的實驗結(jié)果。 這是經(jīng)典物理理論遇到的一個不能解決的困難問題，只有這是經(jīng)典物理理論遇到的一個不能解決的困難問題，只有晶晶格振動的量子理論格振動的量子理論，才能正確地解釋晶格熱容量在低溫下趨，才能正確地解釋晶格熱容量在低溫下趨于零的實驗結(jié)果于零的實驗結(jié)果 (2) 晶格振動能量和比熱晶格振動能量和比熱 晶格振動的能量是量子化的晶格振動的能量是量子化的，頻率為，頻率為的振

29、子能級為的振子能級為晶格振動的能量和晶格振動的能量和比熱比熱的計算可以歸為兩個部分：一部分是求單個的計算可以歸為兩個部分：一部分是求單個振子的貢獻；另一部分是對諸振子的頻率分布求和。振子的貢獻；另一部分是對諸振子的頻率分布求和。其中是其中是n聲子數(shù)；在溫度為聲子數(shù)；在溫度為T 時處于熱平衡的振子，其平均能量為時處于熱平衡的振子，其平均能量為 )21( nEnnnnEpEpn是振子處于能級是振子處于能級 En 的機率的機率。考慮由考慮由N個原子構(gòu)成的三維個原子構(gòu)成的三維簡單晶格簡單晶格，該晶體有，該晶體有3支聲頻支格波、共支聲頻支格波、共3N個振動模個振動模。該晶體總的晶格振動能量為該晶體總的晶

30、格振動能量為 i是第是第i個振動模的振動頻率個振動模的振動頻率。 在溫度為在溫度為T 時，其平均能量為時，其平均能量為 由上式得到晶格熱容量為由上式得到晶格熱容量為 這就是晶格熱容量的計算公式，具體將晶格的這就是晶格熱容量的計算公式，具體將晶格的3N個振動個振動模振動頻率模振動頻率 i代入計算求和。代入計算求和。 (3) 愛因斯坦模型愛因斯坦模型 上面的晶格熱容量的計算公式，是量子理論的結(jié)果；但是上面的晶格熱容量的計算公式，是量子理論的結(jié)果；但是計算求和比較繁雜計算求和比較繁雜在愛因斯坦模型中，假設(shè)在愛因斯坦模型中，假設(shè)3N 個振動模的振動頻率個振動模的振動頻率 i都相同，都相同，記作記作 E

31、 ，稱為，稱為愛因斯坦頻率愛因斯坦頻率；這樣，晶格振動能量和晶格；這樣，晶格振動能量和晶格熱容量分別為熱容量分別為 用愛因斯坦溫度用愛因斯坦溫度 E代替代替振動頻率振動頻率 E，我們有我們有愛因斯坦溫度的決定方式：選取合適的愛因斯坦溫度的決定方式：選取合適的 E值，使得在比熱值，使得在比熱顯著改變的廣大溫度范圍內(nèi)，理論曲線和實驗數(shù)據(jù)相當(dāng)好顯著改變的廣大溫度范圍內(nèi)，理論曲線和實驗數(shù)據(jù)相當(dāng)好地符合。地符合。對于大多數(shù)固體，對于大多數(shù)固體， E的值在的值在100300K的范圍以內(nèi)，但也的范圍以內(nèi)，但也可能高于或低于這個范圍?？赡芨哂诨虻陀谶@個范圍。 EBEk2/213TTEBVEEeeTNTkC金剛

32、石的實驗數(shù)據(jù)和愛因斯坦理論曲線金剛石的實驗數(shù)據(jù)和愛因斯坦理論曲線 在高溫情況，在高溫情況，CV 3NkB，這與杜隆這與杜隆-拍替定律一致，與實驗符合較好拍替定律一致，與實驗符合較好但當(dāng)溫度非常低時但當(dāng)溫度非常低時, TkBBVBeTkNkC23可是在極低溫度時，實驗表明，比熱和可是在極低溫度時，實驗表明，比熱和T3成正比，而得到的成正比，而得到的CV值則值則比比T3更快地趨近于零，和實驗結(jié)果有很大差別。更快地趨近于零，和實驗結(jié)果有很大差別。 愛因斯坦把每個原子當(dāng)作一個三維的獨立簡諧振子，圍繞平衡點愛因斯坦把每個原子當(dāng)作一個三維的獨立簡諧振子，圍繞平衡點振動振動。但是，但是，每個原子和它的鄰近原

33、子之間實際上存在著聯(lián)系的每個原子和它的鄰近原子之間實際上存在著聯(lián)系的，尤其是在低溫下，這種聯(lián)系表現(xiàn)得更為顯著尤其是在低溫下，這種聯(lián)系表現(xiàn)得更為顯著。 晶體內(nèi)原子是以格波的形式運動晶體內(nèi)原子是以格波的形式運動。這樣看來，愛因斯坦模型實質(zhì)這樣看來，愛因斯坦模型實質(zhì)上是忽略了各格波的頻率差別。上是忽略了各格波的頻率差別。 愛因斯坦模型的問題愛因斯坦模型的問題(4) 德拜模型德拜模型 德拜模型把晶體看成是德拜模型把晶體看成是各向同性各向同性的的連續(xù)介質(zhì)連續(xù)介質(zhì)。對于簡單晶格對于簡單晶格，德拜模型有兩點近似：德拜模型有兩點近似： (1) 線性線性色散關(guān)系近似色散關(guān)系近似 其中其中v是格波的波速。是格波的

34、波速。 (2) 球形球形等頻面近似等頻面近似 其中其中f( )是晶格振動頻率是晶格振動頻率 的一個函數(shù)的一個函數(shù)。 在計算晶格熱容量之前，首先討論德拜模型的頻率分布函數(shù)即在計算晶格熱容量之前，首先討論德拜模型的頻率分布函數(shù)即態(tài)密度（又稱模式密度）態(tài)密度（又稱模式密度） ( )由頻率空間由頻率空間 +d 中的狀態(tài)數(shù)中的狀態(tài)數(shù)目與波矢空間對應(yīng)的球殼中的狀態(tài)數(shù)目的等式目與波矢空間對應(yīng)的球殼中的狀態(tài)數(shù)目的等式 頻率分布函數(shù)頻率分布函數(shù)其中波矢空間的態(tài)密度其中波矢空間的態(tài)密度W(q)為為 是是i方向相鄰波矢之間的波矢差方向相鄰波矢之間的波矢差,是晶體體積是晶體體積德拜模型的態(tài)密度為德拜模型的態(tài)密度為 由

35、晶格振動狀態(tài)的總數(shù)即振動模的總數(shù)確定由晶格振動狀態(tài)的總數(shù)即振動模的總數(shù)確定 系數(shù)系數(shù)是由狀態(tài)總數(shù)決定的積分上限，稱為是由狀態(tài)總數(shù)決定的積分上限，稱為德拜頻率德拜頻率；得到；得到 由于色散關(guān)系是準(zhǔn)連續(xù)的，晶格熱容量計算公式由于色散關(guān)系是準(zhǔn)連續(xù)的，晶格熱容量計算公式 中的取和可以改用中的取和可以改用積分表示為積分表示為 將德拜平方態(tài)密度代入，為積分方便，令將德拜平方態(tài)密度代入，為積分方便，令稱為稱為德拜溫度德拜溫度；則上式改寫為；則上式改寫為 高溫高溫情況下情況下(T D, 1), 晶格熱容簡化為晶格熱容簡化為 在高溫時與實驗結(jié)果符合很好在高溫時與實驗結(jié)果符合很好 低溫低溫情況下，式情況下，式得到

36、低溫下晶格熱容量以得到低溫下晶格熱容量以T 3趨于零，與實驗結(jié)果符合很好；趨于零，與實驗結(jié)果符合很好；上式常稱為德拜上式常稱為德拜T 3定律定律 德拜模型與實際晶體的差別，使得在低溫下的理論結(jié)果與實德拜模型與實際晶體的差別，使得在低溫下的理論結(jié)果與實驗結(jié)果的數(shù)值會有所不同，這可以通過調(diào)節(jié)理論表示式中的德驗結(jié)果的數(shù)值會有所不同，這可以通過調(diào)節(jié)理論表示式中的德拜溫度拜溫度 D，使理論與實驗盡量符合，使理論與實驗盡量符合。 鋁和銅比熱的實驗數(shù)據(jù)和德拜模型計算曲線的比較鋁和銅比熱的實驗數(shù)據(jù)和德拜模型計算曲線的比較3.5 晶格振動譜的實驗測定晶格振動譜的實驗測定 晶格振動譜通常采用中子晶格振動譜通常采用

37、中子非彈性散射實驗非彈性散射實驗進行測定。當(dāng)一定能量進行測定。當(dāng)一定能量的中子束沿一定方向射到晶體樣品上，中子與聲子相互作用，散射的中子束沿一定方向射到晶體樣品上，中子與聲子相互作用，散射的中子束包含著聲子的信息。的中子束包含著聲子的信息。 被散射的中子束中，有些中子沒有能量變化，這是被散射的中子束中，有些中子沒有能量變化，這是彈性散射彈性散射。有。有些中子能量增加或減小，這是由于入射中子吸收了一個聲子或發(fā)射些中子能量增加或減小，這是由于入射中子吸收了一個聲子或發(fā)射了一個聲子的緣故。了一個聲子的緣故。 在散射前后，在散射前后，中子的能量變化可以直接測量中子的能量變化可以直接測量，分析，分析非彈

38、性散射非彈性散射聲聲子的能量子的能量變化變化，從而通過中子非彈性散射實驗測定晶格振動譜。，從而通過中子非彈性散射實驗測定晶格振動譜。 中子和聲子相互作用必須滿足能量守恒及動量守恒定律。設(shè)中子中子和聲子相互作用必須滿足能量守恒及動量守恒定律。設(shè)中子的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，入射中子的動量為，入射中子的動量為 ，散射后中子的動量，散射后中子的動量， 則散射過程中的能量守恒及準(zhǔn)動量守恒關(guān)系可寫為則散射過程中的能量守恒及準(zhǔn)動量守恒關(guān)系可寫為 這里這里 + 號表示產(chǎn)生一個聲子，號表示產(chǎn)生一個聲子，- 號表示吸收一個聲子，是是號表示吸收一個聲子，是是格矢。只要測出在各個方位上，散射中子的能量與入射中子的能格矢。

39、只要測出在各個方位上，散射中子的能量與入射中子的能量差，并根據(jù)散射中子動量與入射中子動量的幾何關(guān)系求出，量差，并根據(jù)散射中子動量與入射中子動量的幾何關(guān)系求出， 就可決定聲子譜就可決定聲子譜 即晶格振動譜。即晶格振動譜。在在90K下聲子在鈉晶體中沿下聲子在鈉晶體中沿001、110和和111三個方向三個方向傳播時的色散曲線。該圖是利用中子非彈性散射測得的。傳播時的色散曲線。該圖是利用中子非彈性散射測得的。3.6 非簡諧效應(yīng)非簡諧效應(yīng) 在在簡諧近似簡諧近似下，晶格的原子振動可以描述成為一系列下，晶格的原子振動可以描述成為一系列線性獨立的諧振子，由于振動是線性獨立的，相應(yīng)的振線性獨立的諧振子，由于振動

40、是線性獨立的，相應(yīng)的振子之間不發(fā)生作用，因而不能交換能量。子之間不發(fā)生作用，因而不能交換能量。 在晶體中某種聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直在晶體中某種聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不變保持不變。它既不能把能量傳遞給其它頻率的聲子，也。它既不能把能量傳遞給其它頻率的聲子，也不能使自己處于熱平衡分布。不能使自己處于熱平衡分布。 原子間的相互作用力原子間的相互作用力(恢復(fù)力恢復(fù)力)并非嚴格地與原子的位移并非嚴格地與原子的位移 成正比成正比，當(dāng)考慮到原子的相互作用勢能表式當(dāng)考慮到原子的相互作用勢能表式 的的三次項三次項和和高次項高次項，則晶格的，則晶格的原子振動就不能描述成為一系列嚴格線性

41、獨立的諧振子，如果原子原子振動就不能描述成為一系列嚴格線性獨立的諧振子，如果原子的位移還相當(dāng)小，的位移還相當(dāng)小， 高次項高次項與與 2 比較起來為一小量，則可比較起來為一小量，則可把這些高把這些高次項看成微擾項次項看成微擾項。 什么非簡諧效應(yīng)？什么非簡諧效應(yīng)？ 由于微擾項的存在，這些諧振子就不再是相互獨立的，而由于微擾項的存在，這些諧振子就不再是相互獨立的，而相互間要發(fā)生作用，即聲子與聲子間將相互交換能量。相互間要發(fā)生作用，即聲子與聲子間將相互交換能量。 如果開始時只存在某種頻率的聲子，由于聲子間的互作用，如果開始時只存在某種頻率的聲子，由于聲子間的互作用，這種頻率的聲子這種頻率的聲子轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換

42、成另一種頻率的聲子，即一種頻率的聲成另一種頻率的聲子，即一種頻率的聲子要子要湮滅湮滅，而另一種頻率的聲子會產(chǎn)生。，而另一種頻率的聲子會產(chǎn)生。 這樣，經(jīng)過一定的弛豫時間后，各種聲子的分布就能達到這樣，經(jīng)過一定的弛豫時間后，各種聲子的分布就能達到熱平衡，所以這些熱平衡，所以這些 高次項高次項(即非簡諧項即非簡諧項)是使晶格振動達到熱是使晶格振動達到熱平衡的最主要原因。平衡的最主要原因。 兩個聲子通過非簡諧項的作用，而產(chǎn)生第三個聲子，這可看兩個聲子通過非簡諧項的作用，而產(chǎn)生第三個聲子，這可看成是兩個聲子相互碰撞，最后變成為第三個聲子。成是兩個聲子相互碰撞，最后變成為第三個聲子。 聲子間的相互作用，還

43、必須遵守能量守恒定律和動量守恒定律。聲子間的相互作用，還必須遵守能量守恒定律和動量守恒定律。設(shè)兩個相互碰撞的聲子的頻率和波矢分別為設(shè)兩個相互碰撞的聲子的頻率和波矢分別為 1，q1和和 2，q2;而而第三個聲子的頻率和波矢為第三個聲子的頻率和波矢為 3，q3，則它們間必須滿足，則它們間必須滿足: 321321qqq晶格振動的波矢晶格振動的波矢q具有周期性具有周期性;波矢波矢(q十十Kh)的晶格振動狀態(tài)與波的晶格振動狀態(tài)與波矢矢q的振動狀態(tài)完全一樣，其中的振動狀態(tài)完全一樣，其中Kh代表是格矢。因此，代表是格矢。因此， hKqqq321滿足式中的聲子碰撞過程，稱之為滿足式中的聲子碰撞過程，稱之為正常

44、過程正常過程，而滿足式中的聲子，而滿足式中的聲子碰撞過程，則稱為碰撞過程，則稱為是逆過程是逆過程。 正常過程正常過程是逆過程是逆過程聲子間的相互作用聲子間的相互作用(1) 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo) 實驗證明，熱流密度與溫度梯度成正比實驗證明，熱流密度與溫度梯度成正比 dxdTQ系數(shù)系數(shù)稱為熱傳導(dǎo)系數(shù)或熱導(dǎo)率，這稱為稱為熱傳導(dǎo)系數(shù)或熱導(dǎo)率，這稱為熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律。其中假設(shè)溫。其中假設(shè)溫度度T只是只是x 的函數(shù)，負號表示熱流方向總是從高溫處流向低溫處。的函數(shù)，負號表示熱流方向總是從高溫處流向低溫處。晶格熱導(dǎo)現(xiàn)象可以用聲子的擴散來描述。晶格熱導(dǎo)現(xiàn)象可以用聲子的擴散來描述。溫度溫度T 時，格波的時，格波的平均

45、聲子數(shù)平均聲子數(shù)服從玻色統(tǒng)計服從玻色統(tǒng)計 溫度較高時，近似有溫度較高時，近似有 格波的平均聲子數(shù)與溫度成正比。高溫處聲子密度高，低溫處聲子格波的平均聲子數(shù)與溫度成正比。高溫處聲子密度高，低溫處聲子密度低，溫度的不均勻造成了聲子密度的不均勻，密度低，溫度的不均勻造成了聲子密度的不均勻，聲子將由高溫處聲子將由高溫處向低溫處擴散，形成熱能的定向流動向低溫處擴散，形成熱能的定向流動。 熱量傳輸過程中熱量傳輸過程中聲子的運動不是自由運動聲子的運動不是自由運動，聲子在運動過程中存，聲子在運動過程中存在在阻力阻力，要受到碰撞作用要受到碰撞作用。因此聲子在晶體中移動時，有一個。因此聲子在晶體中移動時，有一個自

46、由自由路程路程 l ，這是在兩次碰撞之間聲子所走過的路程。假設(shè)晶體內(nèi)存在這是在兩次碰撞之間聲子所走過的路程。假設(shè)晶體內(nèi)存在溫度梯度溫度梯度 則在晶體中距離相差則在晶體中距離相差 l 的兩個區(qū)域間的溫度差的兩個區(qū)域間的溫度差 T 可寫成可寫成dxdTldxdTT聲子移動聲子移動 l 后，把后，把熱量熱量C T 從距離從距離 l 的一端的一端攜帶攜帶到另一端。到另一端。 若聲子在晶體中沿若聲子在晶體中沿x方向的移動速率為方向的移動速率為 vx，則單位時間內(nèi)通過單位，則單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量，即熱能流密度面積的熱量，即熱能流密度Q可表成可表成: xvTCQdxdTlCvQx而自由路程而自由路程

47、 l 可表成可表成xvl 代表聲子兩次碰撞間相隔的時間把上式代入式得代表聲子兩次碰撞間相隔的時間把上式代入式得 dxdTCvQx2由能量均分定理可知由能量均分定理可知 代表聲子的平均速率代表聲子的平均速率 熱導(dǎo)系數(shù)可寫成熱導(dǎo)系數(shù)可寫成 2231vvxvdxdTCvlQ31Cvl31從物理意義上講，這是可以理解的，因為當(dāng)從物理意義上講，這是可以理解的，因為當(dāng)T0 K時，聲子數(shù)將時，聲子數(shù)將變得非常少，聲子間相互碰撞的幾率當(dāng)然也變得非常小，即變得非常少，聲子間相互碰撞的幾率當(dāng)然也變得非常小，即 l 變變得非常大，因而熱導(dǎo)系數(shù)趨向無窮大得非常大，因而熱導(dǎo)系數(shù)趨向無窮大。 計入原子間相互作用的非簡諧項

48、，可以從理論上導(dǎo)出在計入原子間相互作用的非簡諧項，可以從理論上導(dǎo)出在高溫下高溫下而在而在低溫下低溫下1 TlTBel 但是，實際上當(dāng)?shù)?，實際上當(dāng)T0K時，熱導(dǎo)系數(shù)并不會趨向無窮大，因為還時，熱導(dǎo)系數(shù)并不會趨向無窮大，因為還必須考慮晶體內(nèi)的雜質(zhì)、缺陷對聲子的散射作用，所以必須考慮晶體內(nèi)的雜質(zhì)、缺陷對聲子的散射作用，所以 l 并不會并不會變得非常大變得非常大。 聲子自由路程聲子自由路程(2) 熱膨脹熱膨脹 微振動的勢能泰勒展開式中，三微振動的勢能泰勒展開式中，三次方項和三次方以上項很小，可次方項和三次方以上項很小，可以忽略，這就是簡諧近似以忽略，這就是簡諧近似。 簡諧近似下，原子之間的勢能函簡諧

49、近似下，原子之間的勢能函數(shù)是左右對稱的拋物線，如圖中數(shù)是左右對稱的拋物線，如圖中的拋物線（虛線）所示。的拋物線（虛線）所示。 原子之間的相互作用勢能函數(shù)如圖所示原子之間的相互作用勢能函數(shù)如圖所示。 在溫度較低，原子在平在溫度較低，原子在平衡位置附近的振動為衡位置附近的振動為微振動微振動時，時，原子的左右位移具有對稱性原子的左右位移具有對稱性，原，原子的左右最大位移絕對值相同，離開平衡點位移的平均值為零，子的左右最大位移絕對值相同，離開平衡點位移的平均值為零，相鄰原子之間的距離平均還是相鄰原子之間的距離平均還是 a，晶格熱膨脹不明顯。，晶格熱膨脹不明顯。在溫度不很低時，原子的振動幅度較大，在溫度

50、不很低時，原子的振動幅度較大，原子的左右位移不再原子的左右位移不再具有對稱性具有對稱性，相鄰原子之間的距離平均大于，相鄰原子之間的距離平均大于 a ，隨著溫度增加，隨著溫度增加原子間距也增加，晶格發(fā)生熱膨脹。原子間距也增加，晶格發(fā)生熱膨脹。用經(jīng)典的方法計算用經(jīng)典的方法計算平均位置平均位置向右邊移動的距離向右邊移動的距離。設(shè)設(shè) a 是原子的平衡是原子的平衡位置，位置， 是離開平衡位置的位移。把原子在是離開平衡位置的位移。把原子在a+ 點的勢能點的勢能U(a+ )對對平衡位置式展開，則平衡位置式展開，則.6121)()(333222aaarUrUrUaUaU第一項為常數(shù)，第二項為零。如果取第一項為常數(shù)，第二項為零。如果取U(a)=0，并且令，并且令frUa2221grUa3361U(a+ )變成變成 32)(gfaU按玻耳茲曼統(tǒng)計，按玻耳茲曼統(tǒng)計，平均位移平均位移 是是 dedeTkUTkUBBTkfgB243線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù)020431rfgkdTdrB是一個與溫度無關(guān)的常數(shù)。是一個與溫度無關(guān)的常數(shù)。顯然，如果計入顯然，如果計入U(r0+)展開式中的更高一次項目，展開式中的更高一次項目，則線膨脹系數(shù)將和溫度有