[學科競賽]物理競賽--力學復習

1、力學復習1二、質點的角動量二、質點的角動量FrM 力矩：力矩：( (對對O O點點) )vrmprL 質點的角動量：質點的角動量：( (對對O O點點) )質點系的角動量定理：質點系的角動量定理： 1221LLdtMtt 合合外外質點系的角動守恒定律：質點系的角動守恒定律： ，則，則0合合外外M恒恒矢矢量量 L iiLL質點系的角動量：質點系的角動量：力學復習2.1例例題題已知桌面光滑,其它條件如圖所示。,kg.m400 ,50. 01mR 當運動半徑變?yōu)?.10m時，試求：?),(,)1(2 RmLFAvF如果這時放開繩子，小球將如何運動？) 2(;sm.v041 解 因角動量守恒，1122

2、RmvRmv 所所以以1Rm1vF2R力學復習3smvRRv201212 故故JmvmvAF8 .7621212122 因此因此2RmmvRL 又又2mRL 322mRLRmF 因此因此注意：利用變力做功也可計算。 2121)(RRRRrFdRFrdFA放開繩子時，小球將沿切線方向飛出。JdRmRLRR8 .762132 力學復習4 1961年年4月月12日，前蘇聯的加加林日，前蘇聯的加加林成為第一個宇航員，當時所采用的衛(wèi)星成為第一個宇航員，當時所采用的衛(wèi)星宇宇宙飛船的質量為宙飛船的質量為 近地點近地點P 和遠地和遠地點點A的高度分別為的高度分別為 和和 ，試求衛(wèi)星通過海拔為試求衛(wèi)星通過海拔為

3、z時的速度時的速度v 與與 地球質量地球質量M、地球半徑、地球半徑R、引力常數、引力常數G之間的函之間的函數關系。數關系。,4725kgm kmzP180 kmzA327 、APzzz2例題例題RMPzAzPAAvPvzv解解椐題意作示意圖如下：椐題意作示意圖如下：因為衛(wèi)星在有心力場因為衛(wèi)星在有心力場中運動，所以其機械中運動，所以其機械能、角動量均守恒。能、角動量均守恒。力學復習5 PPAAPAvRzmvRzmLEEE)()(即即 )3(21)2()()(2)1()()(222222RzMmGmvERzMmGRzmLERzMmGRzmLEPPPAAA聯立聯立（1）、（）、（2）、（）、（3）可

4、得：可得：RMPzAzPAAvPvzv力學復習6 RzzzRzzRzRzGMvAPAPA22 RzzzRzzRzRzGMvPPAAP22由方程的對稱性可知另一解為：由方程的對稱性可知另一解為：力學復習7eReR3eR13kgm3000 解解 rvmrMmG22 rGMv ,/.skmRGMve6431故故skmRGMve/.22132例例3 3：如圖所示：如圖所示, ,一飛船質量為一飛船質量為3000kg3000kg，在環(huán)繞地球的圓形軌道運動，在環(huán)繞地球的圓形軌道運動，軌道半徑為地球半徑軌道半徑為地球半徑 的的3 3倍，現在利用雙切軌道方案，使飛船經半倍，現在利用雙切軌道方案，使飛船經半橢圓軌

5、道轉換到半徑為橢圓軌道轉換到半徑為13 13 的圓周軌道上。試問：（的圓周軌道上。試問：（1 1）這種轉換所）這種轉換所需要的最小能量消耗是多少？（需要的最小能量消耗是多少？（2 2）在兩個交點處的速度需要改變多）在兩個交點處的速度需要改變多少？（已知地球質量為少？（已知地球質量為 ，半徑為，半徑為 ，萬有引，萬有引力常數力常數 ） eReRkgM2410975 .mRe610376 .21311106736skgmG.力學復習812EEE JRGMme10104 . 2395 1212vvvvv eeRMmGmvRMmGmv32113212122skmRGMRGMee8 . 6313 但在軌

6、道轉換中宇宙飛船的速率卻減小但在軌道轉換中宇宙飛船的速率卻減小了了2.4km /s。力學復習9 例4：設想有兩個自由質點，其質量分別為m1和m2，它們之間的相互作用符合萬有引力定律。開始時，兩質點間的距離為l，它們都處于靜止狀態(tài)，試求當它們的距離變?yōu)?時，兩質點的速度各為多少？ l21解：兩自由質點組成的系統(tǒng)在自身的引力場中運動時，系統(tǒng)的動量和機械能均守恒。設兩質點的間距變?yōu)閘 /2時，它們的速度分別為v1及v2，則有 02211vvmmlmGmmmlmGm212222112122121vv)(22121mmlGmv)(22112mmlGmv力學復習10例5、質量為mA的粒子A受到另一重粒子B

7、的萬有引力作用，B保持在原點不動。起初，當A離B很遠( r = )時，A具有速度 ，方向沿圖中所示直線Aa，B與這直線的垂直距離為D。粒子A由于粒子B的作用而偏離原來的路線，沿著圖中所示的軌道運動。已知這軌道與B之間的最短距離為d，求B的質量mB。 0vABadD v 0v解：A對B所在點的角動量守恒設粒子A到達距B最短距離為d時的速度為v。dmDmAAvv 0dD/0vv 力學復習11A、B系統(tǒng)機械能守恒(A在很遠處時， 引力勢能為零)dmGmmmBAAA/2121220vv)2/()(2022GddDmBvdGmB/2202vvdD/0vv 力學復習12dtd dtd 角速度角速度角加速度

8、角加速度 rv ra 2 ran 距轉軸距轉軸r r 處質元的線量與角量關系：處質元的線量與角量關系：iimrI 2 dmrI2轉動慣量：轉動慣量：2mdIIc 平行軸定理平行軸定理: :剛體定軸轉動定律：剛體定軸轉動定律： IM 221 IEk 21 MdA力矩的功：力矩的功：轉動動能：轉動動能：2122212121 IIMdA 定軸轉動的動能定理：定軸轉動的動能定理：第三部分第三部分: :剛體力學剛體力學1 1、剛體的定軸轉動：、剛體的定軸轉動：力學復習13cpmghE 剛體的重力勢能剛體的重力勢能: :式中式中 為質心相對參考點的高度。為質心相對參考點的高度。ch機械能守恒定律：機械能守

9、恒定律：0A非保守內力非保守內力外外A常常數數 pkEE條件條件: :結果結果: :剛體對軸的角動量剛體對軸的角動量: :1221 zzttzIIdtM 剛體的角動量定理：剛體的角動量定理：0 zM常常數數 iizI 剛體的角動量守恒定律：剛體的角動量守恒定律：條件條件: :結果結果: :zzIL 力學復習14 為了描述剛體的平面平行運動所選擇的平行于參考平面的平面。利用基面在剛體內截取一平面圖形.該圖形完全確定剛體的位置.基面：基點： 在基面上所選擇的點。 通過基點垂直于基面的直線。基軸：y x0yABBrx r .0面為基面面為基面xy.點為基點點為基點B.,剛體的位置剛體的位置完全確定完

10、全確定的位置的位置平面圖形中任一點平面圖形中任一點A2、剛體的平面平行運動 剛體的平面平行運動運動學力學復習15 剛體的平面平行運動可以分解為剛體的平動和定軸(基軸)轉動。 平動速度依賴于基點的選擇;轉動角速度與基點選則無關. AB AB AB rrrB y x0y AB Brx r r)();(:tyytxxBBBBB 點平動點平動)(:tBA 點轉動點轉動點繞點繞rvvvvBB 力學復習16從運動學的角度來看： 基點的選擇具有任意性從動力學的角度來看： 基點常選為質心ACCArvv APPArvv 0., PvP若若點點為為基基點點以以特特別別則P稱為瞬心APArv 剛體的平面平行運動可以

11、分解為剛體質心的平動和繞質心的定軸轉動。 力學復習17abpc ?,.,. 1三點的速度各為多少三點的速度各為多少圖中圖中求求質心速度為質心速度為角速度為角速度為設圓柱體的半徑為設圓柱體的半徑為如圖如圖面上作純滾動面上作純滾動質量均勻的圓柱體在地質量均勻的圓柱體在地例題例題pba，v、R、c cvrvvc :解解ar,點點aacarvv ar avpr prbvbr br,點點Bbcbrvv ,點點ppcprvv 0, pv由于圓柱作純滾動由于圓柱作純滾動0 pcrv Rvc 圓柱體作純滾動的條件.力學復習18剛體的質心 由于剛體是一個特殊的質點系,剛體的質心相對剛體的位置不變!質點系有關的結

12、論在研究剛體時均適用.mrmriiic ,mxmxiiic ,mymyiiic mzmziiic mzdmzmydmymxdmxmcmcmc ;剛體的動量、質心運動定理和動量守恒定律 camF 外外質質心心定定理理 :ciiivmvmP :動量動量恒恒矢矢量量結結論論條條件件動動量量守守恒恒定定律律外外 cvmpF:0:力學復習19剛體平面平行運動動力學剛體平面平行運動動力學平面平行運動平面平行運動=質心的運動質心的運動+繞過質心軸的轉動繞過質心軸的轉動camF 外外質心運動定理質心運動定理 :zczczczIdtdLMz 外外的轉動的轉動繞過質心軸繞過質心軸:)(剛體平面運動的動能剛體平面運

13、動的動能222121 cckImvE 圓柱圓柱; ;圓盤圓盤; ;球體做純滾動的條件球體做純滾動的條件: : Rvc:質心速度質心速度 Rac:質心加速度質心加速度剛體作平面平行運動平衡方程,(在xoy)平面內運動) ixif0外外0iziM外 iyif0外外平衡方程力學復習20例題例題1 1. .裝置如圖所示裝置如圖所示, ,繩的上端繞在圓柱上繩的上端繞在圓柱上, ,下端系一下端系一重物重物, ,質量為質量為m.m.重物自然下垂重物自然下垂, ,由靜止開始下落由靜止開始下落, ,并帶并帶動圓柱自由轉動動圓柱自由轉動. .求重物降落高度為求重物降落高度為h h時的速率時的速率v.v.已知已知圓

14、柱的質量為圓柱的質量為M,M,半徑為半徑為R.(R.(繩子的質量不計且不可伸繩子的質量不計且不可伸長長.).) MhmvR解解: :恒恒地組成的系統(tǒng)機械能守地組成的系統(tǒng)機械能守Mm,222)21(2121 MRmvmgh （1 1） Rv （2 2）mMmghv22: 解得解得TT gm法二法二: :maTmg 221MRTR RaTT ;Mmmga 22 ahv2mMmgh22 力學復習21例題例題2.(習題集習題集 p12題題2)如圖所示，一質量為如圖所示，一質量為m，半徑為，半徑為R的均勻圓柱體，平放在桌面上。若它與桌面間的滑動摩的均勻圓柱體，平放在桌面上。若它與桌面間的滑動摩擦系數為擦

15、系數為，在，在t=0時，使圓柱體獲得一個繞軸旋轉的角時，使圓柱體獲得一個繞軸旋轉的角速度速度。求到圓柱體停止轉動所需時間。求到圓柱體停止轉動所需時間t為多少為多少?0 如如圖圖半半徑徑環(huán)環(huán)形形柱柱高高解解drrrh ,:hhRm2: 體密度體密度0 FdrrdrhgrdmgrrdFdM 2 drhrg22 302322:hRgdrhrgMR 力矩力矩mgR 32 力學復習22 IM :由定軸轉動定律由定軸轉動定律RgIM34 221mRI 勻減速轉動勻減速轉動t 0由由gRt 4300 0 力學復習23 例題例題3、如圖如圖,一矩形勻質薄板一矩形勻質薄板ABCD,長為長為l、寬、寬為為d、質量

16、為、質量為m。板繞豎直軸。板繞豎直軸AB以初角速度以初角速度 轉動，轉動，阻力與薄板表面垂直并與面積及速度的平方成正比，阻力與薄板表面垂直并與面積及速度的平方成正比，比例系數為比例系數為k。問經過多少時間后，薄板的角速度。問經過多少時間后，薄板的角速度減為初角速度的一半？減為初角速度的一半？0 解：這是定軸轉動問題，利用解：這是定軸轉動問題，利用定軸轉動定律求解。定軸轉動定律求解。如圖：取面元如圖：取面元ldxds x dxABCDld xo受阻力：受阻力：ldxxkdf2)( 對軸的阻力矩：對軸的阻力矩：dxlxkdM32 所有對軸的阻力矩：所有對軸的阻力矩：4203241ldkdxlxkM

17、d 力學復習24x dxABCDld xo4203241ldkdxlxkMd 面密度：面密度：ldm ，板對軸的轉動慣量：，板對軸的轉動慣量：23023131mdldldxxId由定軸轉動定律：由定軸轉動定律：dtdIMdtdmdldk 2423141 即：即：22200034 dkldmdtt 解得：解得：0234kldmt力學復習25習題冊習題冊p14題題3.長為長為L的均勻細桿可繞過端點的均勻細桿可繞過端點O的固定水的固定水平光滑軸轉動。把桿抬平后無初速地釋放，桿擺至豎平光滑軸轉動。把桿抬平后無初速地釋放，桿擺至豎直位置時，剛好和光滑水平桌面上的小球直位置時，剛好和光滑水平桌面上的小球m

18、相碰，如相碰，如圖所示，球的質量和桿相同，設碰撞是彈性的，求碰圖所示，球的質量和桿相同，設碰撞是彈性的，求碰后小球獲得的速度后小球獲得的速度. 00 vL解解:機械能守恒機械能守恒:0)31(212202 mLLmg碰撞碰撞:角動量守恒角動量守恒,機械能守恒機械能守恒. )31()31(202mLmLvmL 222202)31(2121)31(21 mLmvmL 解得解得:gLv321 (1)(2)(3)力學復習26ff 對于對于(2)式式,也可從如下得到也可從如下得到:設碰撞時間為設碰撞時間為:t v 0 對小球由質點的動量定理對小球由質點的動量定理:mvtf 對棒由角動量定理對棒由角動量定

19、理:L0.)(0 IItLf 231mLI ff 0223131 mLmLmLv 力學復習27Ml 2 例題例題5.一質量為一質量為 ,長為長為 的均質細桿的均質細桿, 放置放置在光滑的水平桌面上在光滑的水平桌面上.一質量為一質量為 的小球以速度的小球以速度 沿桌面垂直地撞擊在細桿的一端沿桌面垂直地撞擊在細桿的一端,如圖如圖.設碰撞是完設碰撞是完全彈性的全彈性的,求碰后小球和桿的運動情況求碰后小球和桿的運動情況.m0v0vml 2M解解,設碰撞后小球速度為設碰撞后小球速度為 桿的質心的速度為桿的質心的速度為 桿繞質心的角速度為桿繞質心的角速度為1v2v 1v2vc 動量守恒動量守恒:210Mv

20、mvmv 繞質心角動量守恒繞質心角動量守恒: cIlmvlmv 10動能守恒動能守恒:222212021212121 cIMvmvmv 2231)2(121MllMIc 解得解得:)4(60Mmlmv )4()4(01MmvMmv )4(202Mmmvv 力學復習28.),.(.,.,.稱稱為為回回轉轉半半徑徑軸軸的的轉轉動動慣慣量量為為已已知知剛剛體體對對轉轉求求打打擊擊中中心心到到軸軸的的距距離離中中心心該該點點稱稱為為打打擊擊為為程程中中軸軸對對剛剛體體的的切切向向力力則則打打擊擊過過若若打打擊擊點點選選擇擇合合適適打打擊擊點點為為剛剛體體點點的的打打擊擊懸懸掛掛在在以以水水平平力力如如

21、圖圖所所示示例例題題220006RmRIrFpf crpmc00r 解解, ,對剛體受力如圖對剛體受力如圖; ;設剛體設剛體的角加速度為的角加速度為.剛體切向加速度剛體切向加速度為為 ca FnF caf gm 力學復習29定軸轉動定律定軸轉動定律: : 20RmIfr （1 1）質心運動定理質心運動定理: : cmafF （2 2） ccra （3 3）解得解得: :fRrrFc 120 要使軸對剛體的切向力為要使軸對剛體的切向力為0,0,即即: :0 FcrRr20 這個結果可應用各種剛體這個結果可應用各種剛體. .例如例如, ,長為長為L L的均勻細棒的均勻細棒mRmLI2231 2Lr

22、c Lr320 crpmc00r FnF caf gm力學復習30 解解,受力分析如圖受力分析如圖例題例題7、 如圖所示，質量為如圖所示，質量為m、半徑為、半徑為R的均勻的均勻圓柱體，沿傾角為圓柱體，沿傾角為 的粗糙斜面的粗糙斜面,自靜止開始無滑自靜止開始無滑下滾（純滾）。求靜摩擦力、質心加速度、以及下滾（純滾）。求靜摩擦力、質心加速度、以及保證圓柱作無滑滾動所需的最小摩擦系數保證圓柱作無滑滾動所需的最小摩擦系數.gmcvfN繞質心轉動繞質心轉動: 221mRfR A點為瞬心點為瞬心:0 Av Rvc Rac 解得解得: sin31mgf sin32gac 要保證無滑滾動要保證無滑滾動Nf c

23、mafmg sin0cos mgN質心質心 cossin31mgmg tan31 RA 力學復習31F0bR解(1)分析如圖:cmafF （1） 231mRFbfR （2） Rac （3）mgf （4）bRmgRF34: 解解得得bRmgRF34max fp ca例題8：在水平地面上放置一質量為 的線軸，內徑為 ,外徑為 ,其繞中心軸轉動慣量為 線軸和地面間的靜摩擦系數為,線軸受一水平拉力F ,如圖,(1)使線軸在地面上保持無滑滾動之F最大值是多少?(2) 若F和水平方向成 試證明： 當 時線軸向前滾動； 當 時線軸向后滾動。)(cosRb )(cosRb bR231mR m力學復習32當力的

24、作用線通過接觸線時，線軸的重力、地面的彈力和摩擦力、拉力對接觸線的合外力矩為零。此時線軸不滾動。)(cosRb 所以所以當力的作用線不通過接觸線時，線軸的重力、地面的彈力和摩擦力、拉力對接觸線的合外力矩不為零。此時線軸向前或向后滾動。.)(cos向向后后滾滾動動當當Rb .)(cos向向前前滾滾動動當當Rb FRb FRr FRb (2)證明：考慮線軸從靜止狀態(tài)開始運動的瞬間，我們可以把線軸的運動看作是以接觸線為軸的轉動。用圖形分析如下：力臂力臂力臂力臂力學復習33解解,.,2 繩繩斷斷瞬瞬間間受受力力分分析析如如圖圖設設桿桿長長為為 lgmTcl質心運動定理質心運動定理:cmaTmg (1)

25、繞質心轉動繞質心轉動: cITl （2）2231)2(121mllmIc （3）此時懸繩未斷一端加速度為此時懸繩未斷一端加速度為0 lac （4）mgT41: 解得解得 例題例題9.如圖所示如圖所示,將一根質量為將一根質量為 的長桿用細繩從的長桿用細繩從兩端水平掛起兩端水平掛起,其中一根繩子突然斷開其中一根繩子突然斷開,此時另一根此時另一根繩子內的張力為多少繩子內的張力為多少?m力學復習34 例題10.一架均勻的梯子,重為W,長為 ,上端靠于光滑的墻上,下端置于粗糙的地面上,梯子與地面的摩擦系數為,有一體重為 的人攀登距梯子下端 的地方,如圖.求梯子滑動的條件.l 21W1l解:設梯子不滑動,它與地面的夾角為,受力分析如圖1l 2N1WW1Nfxy0平衡:02 fN（1）011 WW