固體物理學(xué)能帶理論小結(jié)

1、能帶理論一、本章難易及掌握要求要求重點掌握： 1）理解能帶理論的基本假設(shè)和出發(fā)點； 2）布洛赫定理的描述及證明；3）三維近自由電子近似的模型、求解及波函數(shù)討論； 4）緊束縛近似模型及幾個典型的結(jié)構(gòu)的計算； 5）明白簡約布里淵區(qū)的概念和能帶的意義及應(yīng)用； 6）會計算能態(tài)密度。 本章難點：1）對能帶理論的思想理解，以及由它衍生出來的的模型的應(yīng)用。比如將能帶理論應(yīng)用于區(qū)分絕緣體，導(dǎo)體，半導(dǎo)體； 2）對三種模型的證明推導(dǎo)。了解內(nèi)容： 1）能帶的成因及對稱性；2）萬尼爾函數(shù)概念；3）波函數(shù)的對稱性。二、基本內(nèi)容1、三種近似 在模型中它用到已經(jīng)下假設(shè)： 1）絕熱近似：由于電子質(zhì)量遠小于離子質(zhì)量，電子的運動

2、速度就比離子要大得多。故相對于電子，可認為離子不動，或者說電子的運動可隨時調(diào)整來適合離子的運動。多體問題化為了多電子問題。2）平均場近似：在上述多電子系統(tǒng)中，可把多電子中的每一個電子，看作是在離子場及其它電子產(chǎn)生的平均場中運動，這種考慮叫平均場近似。多電子問題化為單電子問題。3）周期場近似：假定所有離子產(chǎn)生的勢場和其它電子的平均勢場是周期勢場，其周期為晶格所具有的周期。單電子在周期性場中。2、周期場中的布洛赫定理1）定理的兩種描述當晶體勢場具有晶格周期性時，電子波動方程的解具有以下性質(zhì)：形式一：，亦稱布洛赫定理，反映了相鄰原包之間的波函數(shù)相位差形式二：，亦稱布洛赫函數(shù)，反映了周期場的波函數(shù)可用

3、受調(diào)制的平面波表示.其中，取布拉維格子的所有格矢成立。2）證明過程： a. 定義平移算符，b 證明與的對易性。c.代入周期邊界條件，求出在與共同本征態(tài)下的本征值 。即 d. 將代入的本征方程中，注意定義，可得布洛赫定理。！3） 波矢k的取值及其物理意義 ，k是第一布里淵區(qū)的波失，稱簡約波矢。其是平移算符本征值量子數(shù)，而反映了元胞之間電子波函數(shù)位相的變化。同時也可以得出如果一個勢場是周期場，那么可以把其波函數(shù)設(shè)為布洛赫函數(shù)。3、 近自由電子近似 1）思想：假設(shè)將周期場的周期起伏看作自由電子穩(wěn)定勢場的微擾2）條件要求：原子的動能大于勢能以使電子可以自由運動，勢函數(shù)的的起伏很小，以滿足微擾論適用，外

4、層電子以滿足電子可以自由運動。3）模型建立過程：首先，在零級近似下，考慮到周期性邊界條件得到了波矢的允許取值，推出了能量的準連續(xù)性；其次，由于考慮到二級微擾，而推出能量在布區(qū)邊界處分裂，且發(fā)生了能級間的“排斥作用”，于是形成能帶和帶隙。A、非簡并情況下1)由假設(shè)1>,2>可得系統(tǒng)的哈密頓量和薛定諤方程：，微擾項：，滿足的方程式: .2)利用微擾論方法有設(shè)：， 其中：， （） 設(shè)： 其中： , （）4）結(jié)論：能量本征值：波函數(shù)：5）波函數(shù)的意義：第一項是波矢為k的前進的平面波，第二項是平面波受到周期性勢場作用產(chǎn)生的散射波 再令，則有 具有布洛赫函數(shù)形式，其中用到B、簡并情況下1)此時

5、波矢k離較遠，k狀態(tài)的能量和狀態(tài)k差別較大得 由于能級間“排斥作用”，量子力學(xué)中微擾作用下，兩個相互影響的能級總是原來較高的能量提高了，原來較低的能量降低了2）時，波矢k非常接近，k狀態(tài)的能量和k能量差別很小得 代入相應(yīng)的 ，得 可得如下結(jié)論兩個相互影響的狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-，原來能量高的狀態(tài)能量提高，原來能量低的狀態(tài)能量降低。周期性 周期為倒格矢，由晶格平移對稱性決定反演對稱性 是個偶函數(shù) 宏觀對稱性 為晶體的一個點群對稱操作 C、能帶的性質(zhì)簡約波矢的取值被限制在簡約布里淵區(qū)，要標志一個狀態(tài)需要表明：1)它屬于哪一個能帶（能帶標號）2)它的簡約波矢 是什么？3) 能帶底部，能

6、量向上彎曲；能帶頂部，能量向下彎曲2) 禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點處3) 禁帶的寬度4）各能帶之間是禁帶, 在完整的晶體中，禁帶內(nèi)沒有允許的能級5）計入自旋，每個能帶中包含2N個量子態(tài)4、緊束縛近似1）緊束縛近似的假設(shè)：電子在原子附近，主要受該原子勢場作用，其它原子勢場視為微擾作用。故此時不能用自由電子波函數(shù)，而用所有原子的同一電子波函數(shù)的線性組合來表示。不考慮不同原子態(tài)間的作用。它一般要求原子之間的距離較大。2）模型實現(xiàn)對于簡單格子電子在格矢處原子附近運動滿足的薛定諤方程：是晶體的周期性勢場_所有原子的勢場之和。對方程進行變換有即是微擾作用。 設(shè)晶體中電子的波函數(shù)（此法的本質(zhì)），代入上得

7、：考慮到當原子間距比原子半徑大時，不同格點的重疊很有 ，用左乘上面方程5*，得到則得，考慮到周期性的勢場，應(yīng)有，（是任意常數(shù)矢量），則有，利用歸一化條件則得：晶體中電子的波函數(shù)考慮用簡約波失表示有，由此可得對于確定，而且實現(xiàn)了N個晶體中的電子波函數(shù)與束縛態(tài)的波函數(shù)的幺正變換換： 3）模型簡化：考慮的化簡：當有重疊時，積分不為0。a最完全的重疊，得b其次考慮近鄰格點的格矢，得。6*能帶底部電子的有效質(zhì)量,能帶頂部電子的有效質(zhì)量.4）能級與能帶的對應(yīng)A 計算簡單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶 s態(tài)的波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個方向重疊積分相同。找出緊鄰坐標代入6*有，其中在能帶處在處用級數(shù)展開有，在能

8、帶頂部按附近按泰勒級數(shù)展開得 帶寬取決于J1，大小取決于近鄰原子波函數(shù)之間的相互重疊，重疊越多，形成能帶越寬，同樣可以看出，由于k的取值可以有N個，故一個能級在微擾下分裂成為一個能帶。 B 對于一般情況有如下結(jié)論：一個原子能級ei對應(yīng)一個能帶，不同的原子能級對應(yīng)不同的能帶。當原子形成固體后，形成了一系列能帶能量較低的能級對應(yīng)的能帶較窄，能量較高的能級對應(yīng)的能帶較寬。簡單情況下，原子能級和能帶之間有簡單的對應(yīng)關(guān)系，如ns帶、np帶、nd帶等等，由于p態(tài)是三重簡并的，對應(yīng)的能帶發(fā)生相互交疊，d態(tài)等一些態(tài)也有類似能帶交疊。但是其能帶不再是僅僅靠主量子數(shù)N決定，與L值也有關(guān)。 對于內(nèi)層電子能級和能帶有

9、一一對應(yīng)的關(guān)系，對于外層電子，能級和能帶的對應(yīng)關(guān)系較為復(fù)雜。5）萬尼爾函數(shù) 緊束縛近似中，能帶中電子波函數(shù)可以寫成布洛赫和，對于任何能帶，即一個能帶的Wannier 函數(shù)是由同一個能帶的布洛赫函數(shù)所定義。如果晶體中原子之間的間距增大，當電子距離某一原子較近時，電子的行為類似于孤立原子時的情形。性質(zhì)：a. 局域性質(zhì)（定域性） 由于u(k，r)=u(k，r-Rn)，因此 Wn(r-Rn) 是以 Rn 為中心的定域函數(shù)。b.正交性3）模型的實現(xiàn)方式：是贗勢包含離子勢和價電子的作用，稱為有效勢，可以有多種具體形式。選擇包含一個或幾個參量的模型，用與實驗數(shù)據(jù)比較的方法，確定這些參量。6、三種方法的比較：

10、近自由電子近似是一種電子可以自由運動的模型，是一種在自由電子基礎(chǔ)上的微擾論，結(jié)果是自由電子能級發(fā)生分裂，形成能帶。在使用它解決問題時需要知道。而緊束縛近似針對于電子被束縛在原子周圍，在解決實際問題時只需知道和，對于不同的原包結(jié)構(gòu)其和均不同，可以說緊束縛近似是在H原子模型上在用微擾論的。所以它的能帶是在能級的基礎(chǔ)上形成的，是原來原子團的能級分裂成的。7、布里淵區(qū)與能帶 1）明白波失空間和倒空間的區(qū)別，倒空間是倒格子的集合，倒格點是固定的分立的，而波失空間是波失的集合，波失是準連續(xù)的。在相同的空間大小中，波失數(shù)比倒格矢數(shù)要多。2）布里淵區(qū)是波失空間的分區(qū)域，也是倒空間的分區(qū)域，他是在k空間把原點和

11、所有倒格矢中點的垂直平分面畫出，k空間分割為許多區(qū)域，每個區(qū)域內(nèi)E（k）是連續(xù)變化的，而在這些區(qū)域的邊界上能量E(k)發(fā)生突變，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。8，能態(tài)密度能態(tài)密度： ，表示能態(tài)數(shù)目，如果在波矢空間，根據(jù) E(k)常數(shù) 作出等能面，則在等能面 E 和EE之間的狀態(tài)的數(shù)目就是ZE 。由于狀態(tài)在 k 空間分布是均勻的、準連續(xù)的狀態(tài)密度是，所以ZEV（2）3×（兩等能面EE+E之間的體積）經(jīng)過積分計算得：考慮電子自旋為2，則二維： ZES（2）2×（兩等能線E-E+E之間的面積），一維ZEL（2）×（兩等能點E-E+E之間長度），2×1/×2電

12、子填充能帶的形式有兩種類型：第一種：電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的能帶都是空的。最高的滿帶稱為價帶(valence band)，最低的空帶成為導(dǎo)帶(conduction band)，價帶最高能級與導(dǎo)帶最低能級之間的范圍則為帶隙(band gap)。半導(dǎo)體帶隙寬度較小 1 eV，絕緣體帶隙寬度較寬 10 eV第二種：除去完全被電子充滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，部分被電子填充的能帶被稱為導(dǎo)帶(conduction band)。這時，電子所占據(jù)的最高能級即為費米能級，它位于一個或幾個能帶的范圍之內(nèi)。在每一部分占據(jù)的能帶中，k 空間都有一個占有電子與不占有電子的分界面，所有這些表面的集合就是費米面。 C.導(dǎo)體，絕緣體，半導(dǎo)體和半金屬的能帶理論解釋:在絕對零度，如果電子剛好填充一個或更多能帶,其余能帶是全空的，那么晶體就是絕