專題四知能演練輕松闖關(guān)

1、1在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD是直角梯形，ABCD，ABC90°，ABPBPCBC2CD，平面 PBC平面 ABCD. (1)求證：AB平面 PBC；(2)求平面與平面 BCP 所成的二面角(小于 90°)的大小解：(1)證明：因為ABC90°，所以 ABBC.因為平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCDBC，AB平面 ABCD，所以 AB平面 PBC.(2)取 BC 的中點 O，連接 PO.因為 PBPC，所以 POBC.因為平面 PBC平面 ABCD，平面 PCB平面 ABCDBC，PO平面 PBC，所以 PO平面 ABCD.如圖，

2、以 O 為原點，OB 所在的直線為 x 軸，在平面 ABCD 內(nèi)過 O 垂直于 BC 的直線為y 軸，OP 所在的直線為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz.不妨設(shè) BC2.由 ABPBPCBC2CD所以P(0，0， 3)，D(1,1,0)，A(1,2,0)，DP(1，1， 3)，DA(2,1,0)設(shè)平面 PAD 的法向量為 m(x，y，z)ìï 0，ìïxy 3z0，m·DP因為í所以íïïî2xy0.îm·DA0.令 x1，則 y2，z 3.所以 m(1,2， 3)取平面

3、 BCP 的一個法向量 n(0,1,0)所以 cosm，n mn· 22 .|m|·|n|和平面 BCP 所成的二面角(小于 90°)的大小為所以平面2(2013·4.省名校聯(lián)考)，在多面體ABCD-A1B1C1D1 中，上、下兩個底面A1B1C1D1 和 ABCD 互相平行，且都是正方形，DD1底面 ABCD，AB2A1B12DD12a.(1) 求異面直線 AB1 與 DD1 所成角的余弦值；(2) 已知 F 是 AD 的中點求證：FB1平面 BCC1B1；(3) 在(2)的條件下，求二面角 F-CC1-B 的余弦值解：以 D 為坐標(biāo)原點，DA，DC，

4、DD1 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(2a，0,0)，B(2a,2a,0)，C(0，2a,0)，D1(0,0，a)，F(xiàn)(a，0,0)，B1(a， a，a)，C1(0，a，a)(1) (a，a，a)， (0,0，a)，AB1DD1 AB1·DD1 3，cos ，AB1DD13|AB1|·|DD1|異面直線 AB1 與 DD1 所成角的余弦值為 33 .(2)證明： (a，a，a)， (2a,0,0)， (0，a，a)，BB1BCFB1ì ïFB1·BB10，íï îFB

5、1·BC0，F(xiàn)B1BB1，F(xiàn)B1BC.BB1BCB，F(xiàn)B1平面 BCC1B1.(3)由(2)知， 為平面 BCC B 的一個法向量FB11 1設(shè) n(x1，y1，z1)為平面 FCC1 的一個法向量CC1(0，a，a)，F(xiàn)C(a,2a,0)又 ìï 0，ìïay az 0，n·CC111由í得íïîax12ay10.ïîn·FC0，令 y11，則 x12，z11，n(2,1,1)， FB ·n 31cos，n，F(xiàn)B13|FB1|·|n|即二面角

6、F-CC1-B 的余弦值為 33 .3.(2012·高中畢業(yè)班質(zhì)檢)如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱 ABC A1B1C1 中，ABAC，AA1ABAC3，ABACt(t>0)，P 是側(cè)棱 AA1 上的動點(1)當(dāng) AA1ABAC 時，求證：A1C平面 ABC1；(2)試求三棱錐 PBCC1 的體積 V 取得最大值時的 t 的值；C 的平面角的余弦值為 10(3)若二面角 ABC110 ，試求實數(shù) t 的值解：(1)證明：AA1平面 ABC，AC、AB平面 ABC，AA1AC，AA1AB.又AA1AC，四邊形 AA1C1C 是正方形，AC1A1C.ABAC，ABAA1，AA1ACA，

7、AB平面 AA1C1C.又A1C平面 AA1C1C，ABA1C.A1C平面 ABC1. (2)AA1平面 BB1C1C，點 P 到平面 BB1C1C 的距離等于點 A 到平面 BB1C1C 的距離，ABC1 22t)1 21 33 ，Vt(t1)，VVPBCC1VA BCC1VC16t (32t3t (0<t<2)令 V0，得 t0(舍去)或 t1，則當(dāng) t1 時，Vmax16.(3)以 A 點為原點，分別以 AB，AC，AA1 所在直線為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則 A(0,0,0)，2t)，B(t,0,0)，C(0，AC ，2t)，C (0t,3t,0)(0t,3A

8、B(t,0,0)CC111(0,0,32t)， (t，t,0)BC設(shè)平面 ABC1 的法向量 n1(x1，y1，z1)(0,1)1æ1，3öè2øV0V單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減ìïn1·AC1ty1(32t)z10則íï，n ·ABtx î011ìx10解得í，2t3îy1z1t令 z1t，則 n1(0,2t3，t)設(shè)平面 BCC1 的法向量 n2(x2，y2，z2)，ìïn2·BCtx2ty20則íï.&#

9、183;CC (3)z în2t0212ìïz203由于 0<t< ，所以解得í.2ïî 22x y令 y21，則 n2(1,1,0)設(shè)二面角 AC 的平面角為 ，BC1|2t3|則 cos |n1·n2| 1010 .|n1|·|n2|2·t2(2t3)2化簡得 5t216t120，解得 t2(舍去)或 t65.所以當(dāng) t6時，二面角 AC 的平面角的余弦值為 10BC110 .54(2012·高考大綱卷)如圖，四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為菱形，PA底面ABCD，A

10、C2 2，PA2，E 是 PC 上的一點，PE2EC. (1)證明：PC平面 BED；(2)設(shè)二面角 A-PB-C 為 90°，求 PD 與平面 PBC 所成角的大小解：法一：(1)證明：因為底面 ABCD 為菱形，所以 BDAC.又 PA底面 ABCD，所以 PCBD.如圖，設(shè) ACBDF，連結(jié) EF.因為 AC2 2，PA2，PE2EC，故 PC2 3，EC2 3，F(xiàn)C 2，3從而PC 6，AC 6.FCEC因為PCAC，F(xiàn)CEPCA，F(xiàn)CEC所以FCEPCA，F(xiàn)ECPAC90°，由此知 PCEF.因為 PC 與平面 BED 內(nèi)兩條相交直線 BD，EF 都垂直，所以 P

11、C平面 BED.(2)在平面 PAB 內(nèi)過點 A 作 AGPB，G 為垂足因為二面角 A-PB-C 為 90°，所以平面 PAB平面 PBC.又平面 PAB平面 PBCPB，故 AG平面 PBC，AGBC.因為 BC 與平面 PAB 內(nèi)兩條相交直線 PA，AG 都垂直，故 BC平面 PAB，于是 BCAB，所以底面 ABCD 為正方形，AD2，PDPA2AD22 2.設(shè) D 到平面 PBC 的距離為 d.因為 ADBC，且 AD平面 PBC，BC平面 PBC，故 AD平面 PBC，A，D 兩點到平面 PBC 的距離相等，即 dAG 2.設(shè) PD 與平面 PBC 所成的角為 ，則 si

12、n d.21PD所以 PD 與平面 PBC 所成的角為 30°.法二：(1)證明：以 A 為坐標(biāo)原點，射線 AC 為 x 軸的正半軸，建立Axyz.的空間直角坐標(biāo)系4 2，0，2 ，B(則 C(2 2，0,0)，設(shè) D( 2，b,0)，其中 b>0，則 P(0,0,2)，2，b,0)E(3)3 22 22于是PC(22，0，2)，BE( 3 ，b，3)，DE( 3 ，b，3)，從而 PC·BE0，PC·DE0，故 PCBE，PCDE.又 BEDEE，所以 PC平面 BED.(2)AP(0,0,2)，AB( 2，b,0)設(shè) m(x，y，z)為平面 PAB 的一

13、個法向量，則 m·AP0，m·AB0，即 2z0 且 2xby0.令 xb，則 m(b， 2，0)設(shè) n(p，q，r)為平面 PBC 的法向量，0.則0，n·BE即 2 2p2r0 且 2pbq20，3r3令 p1，則 r 2，q 2，n(1， 2， 2)bb因為二面角 A-PB-C 為 90°，所以平面 PAB平面 PBC，故 m·n0，即 b20，故 b 2，b于是 n(1，1， 2)， (2， 2，2)，DP所以 cosn， n·DP 1，DP2|n|DP|所以n， 60°.DP因為 PD 與平面 PBC 所成角和n，

14、 互余，DP故 PD 與平面 PBC 所成的角為 30°.5(2012·高考卷)如圖(1)，在 RtABC 中，C90°，BC3，AC6.D，E 分別是 AC，AB 上的點，且 DEBC，DE2，將ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD，如圖(2)(1)(2)(3)求證：A1C平面 BCDE；若 M 是 A1D 的中點，求 CM 與平面 A1BE 所成角的大小；線段 BC 上是否存在點 P，使平面 A1DP 與平面 A1BE 垂直？說明理由解：(1)證明：ACBC，DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，DE平面 A1DC.DEA1C.又A1C

15、CD，A1C平面 BCDE.，以 C 為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系 Cxyz，3)，D(0,2,0)，M(0，1， 3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)(2)則 A1(0,0,2 0，0.設(shè)平面 A1BE 的法向量為 n(x，y，z)，則 n·A1Bn·BE又 A1B(3,0，23)，BE(1,2,0)，ìï3x2 3z0，íïîx2y0.令 y1，則 x2，z 3，n(2,1， 3)設(shè) CM 與平面 A1BE 所成的角為 .CM(0,1， 3)， ïï |ï n·CM ï4 2.sin |coM28× 4ï|n|·|CM|ïCM 與平面 A1BE 所成角的大小為4.(3)線段 BC 上不存在點 P，使平面 A1DP 與平面 A1BE 垂直理由如下：假設(shè)這樣的點 P 存在，設(shè)其坐