機械優(yōu)化設計方法

1、第一章：緒論優(yōu)化設計（Optimum Design)是60年代發(fā)展起來的一門新的設計方法，是最優(yōu)化技術和計算技術在設計領域中應用的結果。 解析法數(shù)值計算法優(yōu)化方法微分求極值迭代逼近最優(yōu)值計算機優(yōu)化設計 機械優(yōu)化設計是使某項機械設計在規(guī)定的各種設計限制條件下，優(yōu)選設計參數(shù)，使某項或幾項設計指標獲得最優(yōu)值。什么叫機械優(yōu)化設計工程設計上的“最優(yōu)值”(Optimum)或“最佳值”系指在滿足多種設計目標和約束條件下所獲得的最令人滿意和最適宜的值。一、從傳統(tǒng)設計到優(yōu)化設計 機械設計一般需要經過調查研究(資料檢索)、擬訂方案(設計模型)、分析計算(論證方案)、繪圖和編制技術文件等一系列的工作過程。圖1-1

2、傳統(tǒng)的機械設計過程圖13 機械優(yōu)化設計過程框圖優(yōu)化設計與傳統(tǒng)設計相比，具有如下三個特點： (1)設計的思想是最優(yōu)設計；(2)設計的方法是優(yōu)化方法；(3)設計的手段是計算機。二、機械優(yōu)化設計的發(fā)展概況近幾十年來，隨著數(shù)學規(guī)劃論和電子計算機的迅速發(fā)展而產生的，它首先在結構設計、化學工程、航空和造船等部門得到應用。1.優(yōu)化設計的應用領域國內近年來才開始重視，但發(fā)展迅速，在機構綜合、機械的通用零部件的設計、工藝設計方面都得到應用。2.目前機械優(yōu)化設計的應用領域在機械設計方面的應用較晚，從國際范圍來說，是在上世紀60年代后期才得到迅速發(fā)展的。優(yōu)化設計本身存在的問題和某些發(fā)展趨勢主要有以下幾方面：1)目前

3、優(yōu)化設計多數(shù)還局限在參數(shù)最優(yōu)化這種數(shù)值量優(yōu)化問題。結構型式的選擇還需進一步研究解決。2)優(yōu)化設計這門新技術在傳統(tǒng)產業(yè)中普及率還不高。3)把優(yōu)化設計與CAD、專家系統(tǒng)結合起來是優(yōu)化設計發(fā)展的趨勢之一。三、本課程的主要內容1.建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型2.選擇合適的優(yōu)化方法3.編制計算機程序，求得最佳設計參數(shù)第一章 機械優(yōu)化設計概述第一節(jié) 應用實例 機械優(yōu)化設計問題來源于生產實際?，F(xiàn)在舉典型實例來說明優(yōu)化設計的基本問題。圖1-1所示的人字架由兩個鋼管構成，其頂點受外力2F=3 N。人字架的跨度2B=152cm,鋼管壁厚T=0.25cm,鋼管材料的彈性模量E=2.1 Mpa，材料密度=7.8 /，許用壓

4、應力 = 420MPa。求在鋼管壓應力不超過許用壓應力 和失穩(wěn)臨界應力 的條件下，人字架的高h和鋼管平均直徑D，使鋼管總質量m為最小。510510310 kg3myye圖2-2 人字架的受力人字架的優(yōu)化設計問題歸結為：TxDH使結構質量 minm x 但應滿足強度約束條件 yx穩(wěn)定約束條件 ex鋼管所受的壓力12221()FLF BhFhh失穩(wěn)的臨界力22eEIFL鋼管所受的壓應力12221F BhFATDh鋼管的臨界應力222228eeE TDFABh強度約束條件 yx可以寫成1222yF BhTDh穩(wěn)定約束條件 ex可以寫成1222222228F BhE TDTDhBh人字架的總質量122

5、2,22m D hALTD Bh這個優(yōu)化問題是以D和h為設計變量的二維問題，且只有兩個約束條件，可以用解析法求解。除了解析法外，還可以采用作圖法求解。 1-3人字架優(yōu)化設計的圖解第三節(jié)優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型一、設計變量 在優(yōu)化設計的過程中，不斷進行修改、調整，一直處于變化的參數(shù)稱為設計變量。設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示：12.Tnxxxx圖2-4 設計空間二、約束條件一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。約束性能約束側面約束針對性能要求只對設計變量的取值范圍限制（又稱邊界約束）（按性質分）按數(shù)學表達形式分：約束等式約束不等式約束()0h

6、x( )0g x 可行域：凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間的活動范圍。一般情況下，其設計可行域可表示為：( )0( )0uvgxxh x1,2,.,1,2,.,umvpn圖2-5 二維問題的可行域三、目標函數(shù) 目標函數(shù)是設計變量的函數(shù)，是設計中所追求的目標。如：軸的質量，彈簧的體積，齒輪的承載能力等。 在優(yōu)化設計中，用目標函數(shù)的大小來衡量設計方案的優(yōu)劣，故目標函數(shù)也可稱評價函數(shù)。目標函數(shù)的一般表示式為：12( )( ,.)nf xf x xx 優(yōu)化設計的目的就是要求所選擇的設計變量使目標函數(shù)達到最佳值，即使( )f xOpt通常( )minf x 目標函數(shù)單目標設計問題多目標設計問題

7、目前處理多目標設計問題的方法是組合成一個復合的目標函數(shù)，如采用線性加權的形式，即1 122( )( )( ).( )qqf xW f xW fxW fx四、優(yōu)化問題的數(shù)學模型 優(yōu)化設計的數(shù)學模型是對優(yōu)化設計問題的數(shù)學抽象。優(yōu)化設計問題的一般數(shù)學表達式為：1,2,.,1,2,.,umvpn( )0( )0uvgxh x( )f xminnxR. .st數(shù)學模型的分類：(1)按數(shù)學模型中設計變量和參數(shù)的性質分：確定型模型隨機型模型設計變量和參數(shù)取值確定設計變量和參數(shù)取值隨機(2)按目標函數(shù)和約束函數(shù)的性質分：a.目標函數(shù)和約束函數(shù)都是設計變量的線形函數(shù)稱為線性規(guī)劃問題，其數(shù)學模型一般為：( )f

8、xminnxRTC x. .stAxB0 x b.若目標函數(shù)是設計變量的二次函數(shù)、約束是線性函數(shù)，則為二次規(guī)劃問題。其一般表達式為：0. .21)(minXDQXtsRXAXXXBCxFnTT五、優(yōu)化問題的幾何解釋無約束優(yōu)化：在沒有限制的條件下，對設計變量求目標函數(shù)的極小點。其極小點在目標函數(shù)等值面的中心。約束優(yōu)化：在可行域內對設計變量求目標函數(shù)的極小點。其極小點在可行域內或在可行域邊界上。第四節(jié)優(yōu)化設計問題的基本解法求解優(yōu)化問題的方法：解析法數(shù)值法數(shù)學模型復雜時不便求解可以處理復雜函數(shù)及沒有數(shù)學表達式的優(yōu)化設計問題圖1-11 尋求極值點的搜索過程第二章 優(yōu)化設計的數(shù)學基礎機械設計問題一般是非

9、線性規(guī)劃問題。實質上是多元非線性函數(shù)的極小化問題，因此，機械優(yōu)化設計是建立在多元函數(shù)的極值理論基礎上的。機械優(yōu)化設計問題分為：無約束優(yōu)化約束優(yōu)化無條件極值問題條件極值問題第一節(jié) 多元函數(shù)的方向導數(shù)與梯度一、方向導數(shù) 從多元函數(shù)的微分學得知，對于一個連續(xù)可微函數(shù)f(x)在某一點 的一階偏導數(shù)為：( )kx 1()kf xx 2()kf xx ()knf xx，它表示函數(shù)f(x)值在 點沿各坐標軸方向的變化率。( )kx有一個二維函數(shù)，如圖2-1所示。圖2-1 函數(shù)的方向導數(shù)其函數(shù)在 點沿d方向的方向導數(shù)為 0 x 000(0)112212211,f xx xxf xxxxx1200limxx 0

10、0001221222,f xxxf xxxx 001212coscosf xf xxx 000(0)01122120,limf xx xxf xxf xd二、二元函數(shù)的梯度對于二維函數(shù)12,f x x在 0 x點處的梯度 000012,Txf xf xf xxx設12coscosd為d方向的單位向量，則有00Txff xdd 即00Txff xdd 0cos,Tf xf d 三、多元函數(shù)的梯度 000012,.Tnf xf xf xf xxxx沿d方向的方向向量即00Txff xdd 0cos,Tf xf d 12coscos.cosnd圖2-5 梯度方向與等值面的關系若目標函數(shù)f(x)處處存

11、在一階導數(shù)，則極值點的必要條件一階偏導數(shù)等于零，即*0f x滿足此條件僅表明該點為駐點，不能肯定為極值點，即使為極值點，也不能判斷為極大點還是極小點，還得給出極值點的充分條件設目標函數(shù)在 點至少有二階連續(xù)的偏導數(shù)，則*x在這一點的泰勒二次近似展開式為：第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開 *2*1,112nniiijjii jiijf xf xf xf xxxxxxxxx x 2222112122222122222212.kkknkkkknkkknnnf xf xf xxx xx xf xf xf xG xx xxx xf xf xf xxxxxx 為N維函數(shù)f(x)在點( )kx處的Hesse矩陣泰勒

12、展開寫成向量矩陣形式 *12TTf xf xf xxxxxG xxx *0fx *12Tf xf xxxG xxx *0f xf x（1） F(X*)=0； 必要條件（2）Hesse矩陣G(X*)為正定。 充分條件多元函數(shù)f(x)在 處取得極值，則極值的條件為*x*x為無約束極小點的充分條件其Hesse矩陣G(X*)為正定的。則極小點必須滿足*0TxxG xxx為無約束優(yōu)化問題的極值條件同學考慮二元函數(shù)在 處取得極值的充分必要條件。*x 120fxf xfx10020 xxx02221120222212xffxx xG xffx xx 各階主子式大于零例：求函數(shù)的 極值22121212,425

13、f x xxxxx第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃前面我們根據函數(shù)極值條件確定了極小點*x則函數(shù)f(x)在 附近的一切x均滿足不等式*x *f xf x所以函數(shù)f(x)在 處取得局部極小值，稱 為局部極小點。*x*x而優(yōu)化問題一般是要求目標函數(shù)在某一區(qū)域內的全局極小點。函數(shù)的局部極小點是不是一定是全局極小點呢？圖2-7 下凸的一元函數(shù)一、凸集的線段都全部包含在該集合內，就稱該點集為凸集，否則為非凸集。一個點集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點1x2x2x凸集的性質二、凸函數(shù)函數(shù)f(x）為凸集定義域內的函數(shù)，若對任何的011x2x及凸集域內的任意兩點存在如下不等式： 121211fxxf xx稱 f

14、x是定義在凸集上的一個凸函數(shù)。三、凸性條件1.根據一階導數(shù)（函數(shù)的梯度）來判斷函數(shù)的凸性設f(x)為定義在凸集R上，且具有連續(xù)的一階導數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件是對凸集R內任意不同兩點 ，不等式1x2x 21211Tf xf xxxf x恒成立。2.根據二階導數(shù)（ Hesse矩陣)來判斷函數(shù)的凸性設f(x)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件Hesse矩陣在R上處處半正定。四、凸規(guī)劃對于約束優(yōu)化問題 min f x.st 0jgx 1,2,.,jm若 f x jgx都為凸函數(shù)，則此問題為凸規(guī)劃。凸規(guī)劃的性質：1.若給定一點 ，則集合0

15、x 0f xf xRx為凸集。2.可行域 1,2,.,0jjmgxRx為凸集3.凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解第五節(jié) 等式約束優(yōu)化問題的極值條件約束優(yōu)化等式約束不等式約束求解這一問題的方法消元法拉格朗日乘子法 min fx.st 0khx 1,2,.,kl1.消元法（降維法）以二元函數(shù)為例討論。二、拉格朗日乘子法（升維法）對于具有L個等式約束的n維優(yōu)化問題*x處有*0Tdf xf xdx *10lTkkikiihdhxdxhxdxx 將原來的目標函數(shù)作如下改造： 1,lkkkF xf xhx拉格朗日函數(shù)待定系數(shù)新目標函數(shù)的極值的必要條件0iFx0kF例2-4 用拉格朗日乘子法計算在約束條

16、件1212,2360h x xxx的情況下，目標函數(shù)221212,45f x xxx的極值點坐標。第六節(jié) 不等式約束優(yōu)化問題的極值條件在工程中大多數(shù)優(yōu)化問題，可表示為不等式約束條件的優(yōu)化問題。有必要引出非線性優(yōu)化問題的重要理論，是不等式約束的多元函數(shù)的極值的必要條件。庫恩-塔克（Kuhn-Tucker）條件一、一元函數(shù)在給定區(qū)間上的極值條件一元函數(shù)f(x)在給定區(qū)間a,b上的極值問題，可以寫成下列具有不等式約束條件的優(yōu)化問題： min f x.st 10gxax 20gxxb拉格朗日乘子法，除了可以應用于等式的極值問題，還可以用于不等式的極值問題。需引入松弛變量，將不等式約束變成等式約束。設a

17、1和b1為兩個松弛變量，則上述的不等式約束可寫為： 2211111,0h x agxaaxa 2221211,0hx bgxbxbb則該問題的拉格朗日函數(shù) 11121 11221,F x a bf xhx ahx b 221121f xaxaxbb1020根據拉格朗日乘子法，此問題的極值條件：1212120dgdgFfdfxxdxdxdx1 1120Fbb1 1120Faa 221212,0Fhx bgxb 211111,0Fh x agxa由1 10a110,0a110,0a 10gxax（起作用約束） 10gxax（不起作用約束）同樣 ，來分析 起作用何不起作用約束。2 10b 2gx因此

18、，一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以表示為：12120dgdgdfdxdxdx 220gx 110gx1020多元庫恩-塔克條件1212120dgdgdfdfdxdxdxdx分析極值點 在區(qū)間的位置，有三種情況*x當*axb時，此時120，則極值條件為*0df xdx當*xa時，此時120,0則極值條件為10dfdx即*0df xdx當*xb時 ，此時120,0，則極值條件為20dfdx*0df xdx即從以上分析可以看出，對應于不起作用的約束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用約束的下標集合。 0,1,2jgxjJ xj一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以改寫為：極值條件中只考慮起作用的約

19、束和相應的乘子。 000jjj JjjdgdfdxdxgxjJjJ二、庫恩-塔克條件仿照一元函數(shù)給定區(qū)間上極值條件的推導過程，可以得到具有不等式約束多元函數(shù)極值條件： *101,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjjdf xdgxindxdxgxjmjm用起作用約束的下標集合表示*01,2,.,00jjj Jiijjdf xdgxindxdxgxjJjJ用梯度形式表示，可得*0jjj Jf xgx或*jjj Jf xgx庫恩-塔克條件的幾何意義：在約束極小點處，函數(shù)的負梯度一定能表示成所有起作用約束在該點梯度的非負線性組合。下面以二維問題為例，說明K-T條件的幾何意義從圖中可以

20、看出，*f x*1gx*2gx處在和角錐之內，即線性組合的系數(shù)為正，是在*x取得極值的必要條件。三、庫恩-塔克條件應用舉例若給定優(yōu)化問題的數(shù)學模型為 22122minf xxx. .st 211210gxxx 223100gxxgxx *01,2,.,00jjj Jiijjdf xdgxindxdxgxjJjJK-T條件第三章一維搜索方法1kkkkxxa d采用數(shù)學規(guī)劃法求函數(shù)極值點的迭代計算：K+1次迭代的搜索方向搜索的最佳步長因子當搜索方向 給定，求最佳步長kakd就是求一元函數(shù)的極值。1kkkkkf xf xa da稱為一維搜索。 是優(yōu)化搜索方法的基礎。求解一元函數(shù) 的極小點a*a，可用

21、解析法。 12TTf xadf xadf xadG ad上式求的極值，即求導數(shù)為零。 212TTf xdf xd Gd *0TTdf xd Gd則 *TTdf xd Gd 從上式看，需要求導進行計算，對于函數(shù)關系復雜的，解析法十分不便。數(shù)值法的基本思路：確定 的搜索區(qū)間，在不斷縮小區(qū)間，最終獲得近似值。*第二節(jié) 搜索區(qū)間的確定和區(qū)間消去法原理一、確定搜索區(qū)間的外推法圖3-2 正向搜索的外推法圖3-3 反向搜索的外推法三、區(qū)間消去法原理)a 11f af b 11)b f af b 11)c f af b為了避免多計算函數(shù)值，將第三種情況合并到前兩種情況中。)a 11f af b 11)b f

22、af b三、一維搜索方法的分類從前面的分析可知，每次縮短區(qū)間，只需要在區(qū)間內在插入一點并計算其函數(shù)值。而插入點的位置，可以由不同的方法來確定。就形成了不同的一維搜索方法。一維搜索方法分類試探法插值法黃金分割法二次插值法第三節(jié)一維搜索的試探法最常用的一維搜索試探法是黃金分割法，又稱0.618法。要求插入點a1、a2的位置相對于區(qū)間a,b兩端點具有對稱性。1abba2aaba除對稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來的區(qū)間再插入一點所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布。212210 0.618所謂的“黃金分割”是指將一線段分成兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段

23、的比值，即1: 1第四節(jié)一維搜索的插值方法假定要在某一區(qū)間內尋找函數(shù)的極小點的位置，雖然沒有函數(shù)表達式，但能夠給出若干試驗點處的函數(shù)值。我們可以根據這些點處的函數(shù)值，利用插值的方法建立函數(shù)的近似表達式，進而求處函數(shù)的極小點，作為原來函數(shù)的極小點的近似值。這種方法稱作插值法，也稱函數(shù)逼近法。一、牛頓法（切線法） 20000012ffff yf一維搜索函數(shù)，假定一給出極小點的一個較好的近似點0，因為一個連續(xù)可微的函數(shù)在極小點附近與一個二次函數(shù)很接近，因此，在 點附近用一個二次函數(shù) 逼近。0 10 求二次函數(shù) 的極小點作為 f極小點的新近似點1即0000ff0100ff依次繼續(xù)下去，可得牛頓法迭代公

24、式：1kkkkff0,1,2,.k 牛頓法的幾何解釋：牛頓法的計算步驟：給定初始點 ，控制誤差 ，并令k=0。01）計算kfkf2）求1kkkkff3)若1kkaa則求得近似解*1kaa，停止計算，否則作4。4）令1kk轉1。優(yōu)點：收斂速度快。缺點：每一點都要進行二階導數(shù)，工作量大；要求初始點離極小點不太遠，否則有可能使極小化發(fā)散或收斂到非極小點。二、二次插值（拋物線法）利用123 yf a在單谷區(qū)間中 的函數(shù)值123fff，作出如下的二次插值多項式 2012Paaa它應滿足條件210112111Paaayf（1）220122222Paaayf230132333Paaayf從極值的必要條件求得

25、1220ppPaa12/2paa （2）（3）要求出系數(shù) 和 ，聯(lián)立方程組（1）、（2）、（3）。1a2a2212322323a aaaaayy2211221212a aaaaayy2222222313121231122331aayaayaayaaaaaaa2313121232122331aayaayaayaaaaaaa 222222231312123122313121231/22paayaayaayaaaayaayaay 31131yycaa21121223yycaacaa113212pcaaac令所以則2()0paa h2()0paa h第四章無約束優(yōu)化方法第一節(jié) 概述從第一章列舉的機械設

26、計問題，大多數(shù)實際問題是約束優(yōu)化問題。約束優(yōu)化問題的求解轉化為一系列的無約束優(yōu)化問題實現(xiàn)的。因此，無約束優(yōu)化問題的解法是優(yōu)化設計方法的基本組成部分，也是優(yōu)化方法的基礎。*0f x無約束優(yōu)化問題的極值條件解析法數(shù)值法數(shù)學模型復雜時不便求解可以處理復雜函數(shù)及沒有數(shù)學表達式的優(yōu)化設計問題1kkkkxxa d搜索方向問題是無約束優(yōu)化方法的關鍵。各種無約束優(yōu)化方法的區(qū)別：確定搜索方向的方法不同。無約束優(yōu)化方法分類利用目標函數(shù)的一階或二階導數(shù)利用目標函數(shù)值（最速下降法、共軛梯度法、牛頓法）（坐標輪換法、鮑威爾等）第二節(jié) 最速下降法優(yōu)化設計追求目標函數(shù)值最小，若搜索方向取該點的負梯度方向，使函數(shù)值在該點附近

27、的范圍內下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代算法：1kkkkxxaf x以負梯度方向為搜索方向，所以稱最速下降法或梯度法。搜索方向確定為負梯度方向，還需確定步長因子ka即求一維搜索的最佳步長，既有 1minminkkkkkkkf xfxaf xfxaf x 0Tkkkkfxaf xf x 10Tkkf xf x10Tkkdd由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負梯度方向，因此相鄰兩個搜索方向互相垂直。例4-1 求目標函數(shù) 221225f xxx的極小點。第三節(jié)牛頓型方法在第三章中，我們已經討論了一維搜索的牛頓方法。得出一維情況下的牛頓迭代公式1kkk

28、kfxxxfx對于多元函數(shù)，在kx泰勒展開，得 f xx 212TTkkkkkkf xf xxxxxf xxx設1kx為函數(shù)的極小點，根據極值的必要條件10kx210kkkkf xf xxx112kkkkxxf xf x 這是多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式。例4-2 用牛頓法求 221225f xxx的極小值。對牛頓法進行改進，提出“阻尼牛頓法”112kkkkkxxf xf x1minkkkkkkf xfxa dfxad第四節(jié)共軛方向及共軛方向法為了克服最速下降法的鋸齒現(xiàn)象，提高收斂速度，發(fā)展了一類共軛方向法。搜索方向是共軛方向。一、共軛方向的概念 12TTf xx Gxb xc共軛方向的概念

29、是在研究二次函數(shù)時引出的。首先考慮二維情況如果按最速下降法，選擇負梯度方向為搜索方向，會產生鋸齒現(xiàn)象。為避免鋸齒的發(fā)生，取下一次的迭代搜索方向直接指向極小點，如果選定這樣的搜索方向，對于二元二次函數(shù)只需進行兩次直線搜索就可以求到極小點。1000 xxa d*111xxa d 1100Txff xdd 1d應滿足什么條件？對于二次函數(shù) 在 處取得極小點的必要條件 f x*x*0f xGxb*111111f xG xa dbGxbaGd 1110f xaGd 等式兩邊同乘 得0Td010TdGd 0d1d是對G的共軛方向。三、共軛方向法1、選定初始點 ，下降方向 和收斂精度，k=0。0 x0d2、

30、沿 方向進行一維搜索，得kd1kkkkxxa d3、判斷 是否滿足，若滿足則打印1kf x1kx否則轉4。4、提供新的共軛方向 ，使 1kd10TjkdGd5、置 ，轉2。1kk第五節(jié) 共軛梯度法共軛梯度法是共軛方向法的一種，共軛向量有迭代點的負梯度構造出來，所以稱共軛梯度法。 12TTf xx Gxb xc1kkkkxxa d1kkkkxxa dkkgGxb從點 出發(fā)，沿G某一共軛方向 作一維搜索,到達kxkd1kx11kkgGxb而在點 、 處的梯度分別為：kx1kx11kkkkkkggG xxa Gd10TjkdGd0TjkdGd 10TjkkdG gg得出共軛方向與梯度之間的關系。此式

31、表明沿方向kd進行一維搜索，其終點 與始點 的梯度值差1kxkx1kkgg與 的共軛方向 正交。kdjd圖4-9 共軛梯度法的幾何說明第六節(jié)變尺度法1kkkkxxHf x變尺度法的基本思想：前面討論的梯度法和牛頓法，它們的迭代公式可以看作下列公式的特例。變尺度法是對牛頓法的修正，它不是計算二階導數(shù)的矩陣和它的逆矩陣，而是設法構造一個對稱正定矩陣H來代替Hesse矩陣的逆矩陣。并在迭代過程中，使其逐漸逼近H-1 。由于對稱矩陣H在迭代過程中是不斷修正改變的，它對于一般尺度的梯度起到改變尺度的作用，因此H又稱變尺度矩陣。一、尺度矩陣的概念變量的尺度變換是放大或縮小各個坐標。通過尺度變換可以把函數(shù)的

32、偏心程度降低到最低限度。對于一般二次函數(shù) 12TTf xx Gxb xc如果進行尺度變換xQx則在新的坐標系中，函數(shù)的二次項變?yōu)?122TTTx Gxx Q GQx選擇這樣變換的目的：降低二次項的偏心程度。若矩陣G是正定的，則總存在矩陣Q使TQ GQI使得函數(shù)偏心度變?yōu)榱?。用Q-1 右乘等式兩邊，得1TQ GQ再用Q左乘等式兩邊，得TQQ GI所以1TQQG說明二次函數(shù)矩陣G的逆矩陣，可以通過尺度變換矩陣Q求得。這樣，牛頓法迭代過程中的牛頓方向可寫成：1kkTkdGf xQQf x 1kkkTkxxQQf x三、變尺度法的一般步驟第七節(jié) 坐標輪換法坐標輪換法是每次搜索只允許一個變量變化，其余變

33、量保持不變，即沿坐標方向輪流進行搜索的尋優(yōu)方法。它把多變量的優(yōu)化問題輪流地轉化成單變量的優(yōu)化問題。因此又稱變量輪換法。 其基本原理是將一個多維的無約束最優(yōu)化問題轉化為一系列較低維的最優(yōu)化問題來求解，簡單地說，就是先將(n-1)個變量固定不動，只對第一個變量進行一維搜索得到最優(yōu)點x1（1）。然后，又保持(n-1)個變量不變，再對第二個變量進行一維搜索到x2（1）等等。 圖412 坐標輪換法原理圖（動畫演示）)0(2)0(1XX)0(2)1(1XX)1(2)1(1XX)2(2)2(1XX2. 搜索方向與步長的確定（1）搜索方向的確定對于第k輪第i次的計算1kkkkiiiixxa d第k輪第I次的迭

34、代方向，它輪流取n維坐標的單位向量。0.1.0kiide 3.搜索步長的確定關于 值通常有以下幾種取法（1）加速步長法（2）最優(yōu)步長法 最優(yōu)步長法就是利用一維最優(yōu)搜索方法來完成每一次迭代，即此時可以采用0.618方法或二次插值方法來計算 的值。)( ki圖413 加速步長法的搜索路線圖414 最優(yōu)步長法的搜索路線4 . 坐標輪換法存在的問題圖415 坐標輪換法在各種不同情況下的效能（a）搜索有效；（b）搜索低效；（c）搜索無效第八節(jié) Powell法（方向加速法） Powell法是利用共軛方向可以加速收斂的性質所形成的一種搜索算法。一、共軛方向的生成二、基本算法三、改進的算法在鮑維爾基本算法中，

35、每一輪迭代都用連結始點和終點所產生出的搜索方向去替換原來向量組中的第一個向量，而不管它的“好壞”。改進的算法是：首先判斷原向量組是否需要替換。如需要替換，在產生新的向量。 第六章 約束優(yōu)化方法 根據求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法兩類。1,2,.,1,2,.,umvpn( )0( )0uvgxh x( )f xminnxR. .st 機械優(yōu)化設計的問題，大多屬于約束優(yōu)化設計問題，其數(shù)學模型為： 直接解法是在滿足不等式約束的可行設計區(qū)域內直接求出問題的約束最優(yōu)解。 屬于這類方法的有：隨機實驗法、隨機方向搜索法、復合形法、可行方向法等。 間接解法是將約束優(yōu)化問題轉化為一系列無約束優(yōu)化問題來

36、解的一種方法。 由于間接解法可以選用已研究比較成熟的無約束優(yōu)化方法，并且容易處理同時具有不等式約束和等式約束的問題。因而在機械優(yōu)化設計得到廣泛的應用。間接解法中具有代表性的是懲罰函數(shù)法。 直接解法的基本思想： 在由m個不等式約束條件gu(x)0所確定的可行域內，選擇一個初始點x(0)，然后確定一個可行搜索方向S，且以適當?shù)牟介L沿S方向進行搜索，取得一個目標函數(shù)有所改善的可行的新點x(1)，即完成了一次迭代。以新點為起始點重復上述搜索過程，每次均按如下的基本迭代格式進行計算： x(k+1) x(k)+(k) S(k) (k=0,1,2,)逐步趨向最優(yōu)解，直到滿足終止準則才停止迭代。直接解法的原理

37、簡單，方法實用，其特點是：1）由于整個過程在可行域內進行，因此，迭代計算不論何時終止，都可以獲得比初始點好的設計點。2）若目標函數(shù)為凸函數(shù)，可行域為凸集，則可獲得全域最優(yōu)解，否則，可能存在多個局部最優(yōu)解，當選擇的初始點不同，而搜索到不同的局部最優(yōu)解。3）要求可行域有界的非空集。a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集間接解法的求解思路：將約束函數(shù)進行特殊的加權處理后，和目標函數(shù)結合起來，構成一個新的目標函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉化為一個或一系列的無約束優(yōu)化問題。 121211,mljkjkxf xG gxH hx 新目標函數(shù)加權因子然后對新目標函數(shù)進行無約束極小化計算。第二節(jié)隨機方向法隨機方向法

38、的基本思路：在可行域內選擇一個初始點，利用隨機數(shù)的概率特性，產生若干個隨機方向，并從中選擇一個能使目標函數(shù)值下降最快的隨機方向作為搜索方向d。從初始點x0出發(fā)，沿d 方向以一定步長進行搜索，得到新點X，新點x應滿足約束條件且f(x)f(x0)，至此完成一次迭代?；舅悸啡鐖D所示。隨機方向法程序設計簡單，搜索速度快，是解決小型機械優(yōu)化問題的十分有效的算法。一、隨機數(shù)的產生下面介紹一種常用的產生隨機數(shù)的數(shù)學模型3536371232 ,2 ,2rrr首先令取r=2657863，按一下步驟計算：令5rr若3rr則3rrr若則2rrr2rr1rrr1rr若則則1/qr r（0，1）之間的隨機數(shù)在任意(a

39、,b)區(qū)間內的隨機數(shù)()xaq ba二、初始點的選擇 隨機方向法的初始點x0必須是一個可行點，既滿足全部不等式約束條件。初始點可以通過隨機選擇的方法產生。1）輸入設計變量的下限值和上限值，即iiiaxb2）在區(qū)間（0，1）內產生n個偽隨機數(shù)iq3）計算隨機點x的各分量()iiiiixaq ba4）判別隨機點x是否可行，若隨機點可行，用x代替x0為初始點；若非可行點，轉到步驟2）重新產生隨機點，只到可行為止。三、可行搜索方向的產生產生可行隨機方向的方法：從k個隨機方向中， 選取一個較好的方向。其計算步驟為：121211.jjjnjjinirrerr jir1）在(-1,1)區(qū)間內產生偽隨機數(shù)，得

40、隨機單位向量je2)取一試驗步長a0，按下式計算k個隨機點00jjxxa e3）檢驗k個隨機點是否為可行點，除去非可行點，計算余下的可行點的目標函數(shù)值，比較其大小，選出目標函數(shù)最小的點XL 。4)比較XL 和X0兩點的目標函數(shù)值，若f(XL) f(X0)，則步長0 縮小，專步驟1）重新計算，直至f(XL) f(X0)為止。如果0 縮小到很小，仍然找不到一個XL，使f(XL) f(X0)則說明X0是一個局部極小點，此時可更換初始點，轉步驟1）。產生可行搜索方向的條件為：00min1,2,.,LjLjLgxf xf xjkf xf x則可行搜索方向為：0Ldxx四、搜索步長的確定步長由加速步長法確

41、定。五、隨機方向法的計算步驟第三節(jié)復合形法復合形法是求解約束優(yōu)化問題的一種重要的直接解法。 它的基本思路是在可行域內構造一個具有k個頂點的初始復合形。對該復合形各頂點的目標函數(shù)值進行比較，找到目標函數(shù)最大的頂點（最壞點），然后按一定的法則求出目標函數(shù)值有所下降的可行的新點，并用此點代替最壞點，構成新的復合形，復合形的形狀沒改變一次，就向最優(yōu)點移動一步，直至逼近最優(yōu)點。 由于復合形的形狀不必保持規(guī)則的圖形，對目標函數(shù)和約束函數(shù)無特殊要求，因此這種方法適應性強，在機械優(yōu)化設計中應用廣泛。初始復合形生成的方法：1）由設計者決定k個可形點，構成初始復合形。設計變量少時適用。2）由設計者選定一個可形點，

42、其余的k-1個可形點用隨機法產生。()iixar ba11LcjjxxL110.5LcLcxxxx3）由計算機自動生成初始復合形的所有頂點。二、復合形法的搜索方法1.反射1）計算復合形各頂點的目標函數(shù)值，并比較其大小，求出最好點XL、最壞點XH 及 次壞點XG，即:min1,2,.,:max1,2,.,:max1,2,., ,jLLjHHjGGxf xf xjkxf xf xjkxf xf xjk jH2）計算除去最壞點XH 外的（k-1）個頂點的中心XC 111Lcjjxxk3）從統(tǒng)計的觀點來看，一般情況下，最壞點XH和中心點XC的連線方向為目標函數(shù)的下降方向。RCCHxxa xx4）判別反

43、射點XR的位置 若XR 為可行點，則比較XR 和XH 兩點的目標函數(shù)值，如果f(XR) =f(XH),則將縮小0.7倍，重新計算新的反射點，若仍不行，繼續(xù)縮小，直至f(XR) 1 。內點法的特點： 1初始點必須為嚴格內點2不適于具有等式約束的數(shù)學模型 3迭代過程中各個點均為可行設計方案 4一般收斂較慢 5初始罰因子要選擇得當6罰因子為遞減，遞減率c有0c1。三、混合懲罰函數(shù)法1. 混合懲罰函數(shù)法及其算法步驟 在構造懲罰函數(shù)時，可以同時包括障礙項與懲罰項，并將懲罰因子統(tǒng)一用r（k）表示： 21111,mlkjkjx rf xrhxgxr 由于內點法容易處理不等式約束優(yōu)化設計問題，而外點法又容易處

44、理等式約束優(yōu)化設計問題，因而可將內點法與外點法結合起來，處理同時具有等式約束和不等式約束的優(yōu)化設計問題。 這種同時處理等式和不等式約束的懲罰函數(shù)法稱為混合懲罰函數(shù)法。混合懲罰函數(shù)法與前述內點法和外點法一樣，也屬于序列無約束極小化(SUMT)方法中的種方法。第八章機械優(yōu)化設計實例第一節(jié)應用技巧一、機械優(yōu)化設計的一般過程機械設計的全過程一般可分為：1.建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型。2.選擇適當?shù)膬?yōu)化方法。3.編寫計算機程序。4.準備必須的初始數(shù)據并上機計算。5.對計算機求得的結果進行必要的分析。二、建立數(shù)學模型的基本原則 數(shù)學模型的建立要求確切、簡潔的反映工程問題的客觀實際。數(shù)學模型的三要素：設計變量、

45、目標函數(shù)、約束條件。1.設計變量的選擇 在充分了解設計要求的基礎上，應根據各設計參數(shù)對目標函數(shù)的影響程度分析其主次，應盡量減少設計變量的數(shù)目，以簡化優(yōu)化設計問題。應注意各設計變量應相互獨立，否則會使目標函數(shù)出現(xiàn)“山脊”或“溝谷”，給優(yōu)化帶來困難。3.約束條件的確定2.目標函數(shù)的確定 把最重要的指標作為目標函數(shù)，其余的次要的指標可作為約束條件。對于一般機械，可按重量最輕或體積最小的要求建立目標函數(shù)；對應力集中現(xiàn)象尤其突出的構件，則以應力集中系數(shù)最小為追求的目標。對于精密儀器，應按其精度最高或誤差最小的要求建立目標函數(shù)。 約束條件是就工程設計本身而提出的對設計變量取值范圍的限制條件。三、數(shù)學模型的

46、尺度變換1.目標函數(shù)的尺度變換2.設計變量的尺度變換當各設計變量之間在量級上相差很大時，在給定的搜索方向上各自的靈敏度相差也很大。靈敏度大的搜索變化快，靈敏度小的搜索變化慢。為了消除這種差別，可以對設計變量進行重新標度。使它成為無量綱或規(guī)格化的設計變量，這種處理稱設計變量的尺度變換。iiiyk x01/iikx*/iiixyk3.約束函數(shù)的規(guī)格化約束函數(shù)的尺度變換稱規(guī)格化。 由于各約束函數(shù)所表達的意義不同，使得各約束函數(shù)值在量級上相差很大。 例如某熱壓機框架的優(yōu)化設計中，許用應力為 =150MPa，而下橫梁的許用撓度=0.5mm，約束函數(shù)為： 1215000.50gxgx 兩者對數(shù)值變化的靈敏

47、度相差很大，這對優(yōu)化設計是不利的。 例如采用懲罰函數(shù)時，兩者在懲罰項中的作用相差很大，靈敏度高的約束條件在極小化過程中首先得到滿足，而靈敏度小的幾乎得不到考慮。 12/10/10gxgx 這樣，各約束函數(shù)得取值范圍都限制在0，1之間，起到穩(wěn)定搜索過程和加速收斂的作用。第二節(jié)機床主軸結構優(yōu)化設計一、數(shù)學模型的建立 在設計這根主軸時，有兩個重要因素需要考慮。一是主軸的自重；一是主軸伸出端c點的撓度。 對于普通機床，不要求過高的加工精度，對機床主軸的優(yōu)化設計，以選取主軸的自重最輕為目標，外伸端的撓度為約束條件。當主軸的材料選定時，其設計方案由四個設計變量決定?？讖絛、外徑D、跨距l(xiāng)及外伸端長度a。由于機床主軸內孔用于通過待加工的棒料，其大小由機床型號決定。不