第三章 空間力系

1、第三章第三章 空間力系空間力系平面匯交力系合成的力多變形法則，對空間匯交平面匯交力系合成的力多變形法則，對空間匯交力系是否適用？力系是否適用？對空間多個匯交力是否好用？對空間多個匯交力是否好用？ 用解析法用解析法cosyFFcoszFF直接投影法(一次投影法)1 1、力在直角坐標軸上的投影、力在直角坐標軸上的投影cosFFx3-1 空間匯交力系空間匯交力系間接（二次）投影法sinxyFFsincosxFFsinsinyFFcoszFFRxxFFRyyFFRzzFF合矢量投影定理：合矢量在某一軸投影等于各分矢量在同一軸投影的代數和 RiFF空間匯交力系的合力 2 2、空間匯交力系的合力與平衡條件

2、、空間匯交力系的合力與平衡條件合力的大小222()()()RxyzFFFF空間匯交力系平衡的充分必要條件是：空間匯交力系平衡的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程(三條)。0RF 該力系的合力等于零，即cos(, )xRRFF iF 方向余弦cos(, )yRRFFjFcos(, )zRRFF kF空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點。過匯交點?？臻g匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個坐空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個坐標軸上的投影的代數和分別為零。標軸上的投影的代數和分別為零。0 x

3、F 0yF 0zF sinznFF cosxynFFcoscoscosxxynFFFsincos sinyxynFFF 例3-1已知：F、 、 求：力 F 在三個坐標軸上的投影。，BF/ y軸，CD/ x軸例3-3 已知：起重桿吊重物，物重P=10kN，CE=EB=DE；30求：桿受力及繩拉力。解：畫受力圖如圖，列平衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF12cos30cos45 sin30cos45 sin300AFFFP結果：123.54kNFF8.66kNAF / BFyByAz軸點在面, , CEEFCEB

4、FCEBECEBDEB和為等腰直角三角形例4-3求：OA，OB，OC 三根桿所受力。已知：P = 1000N ,各桿重不計。解：各桿均為二力桿，取球鉸O，畫受力圖建坐標系如圖。0 xF 045sin45sinOCOBFF0yF 045cos45cos45cosOAOCOBFFF0zF 045sin PFOA解得 （壓）1414 NOAF （拉）707 NOBOCFF1 1、 力對點的矩以矢量表示力對點的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢3-2 力對點的矩和力對軸的矩力對點的矩和力對軸的矩()OMFrF（3-8）(3)作用面：力矩作用面。（力與矩心組成的平面）(2)方向：轉動方向(1)大小：力 F 與力

5、臂的乘積三要素：三要素：力對點O的矩 在三個坐標軸上的投影為( )OMF( )OzyxMFyFzF ( )OxzyMFzFxF xyzFF iF jF krxiyjzk又()()()zyxzyxyFzF izFxF jxFyF k（3-9）( )()() ()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk則zyxFFFzyxkji( )OyxzMFxFyF （3-10）定位矢量定位矢量方向可由右手螺旋法則確定2.2.力對軸的矩力對軸的矩力與軸相交或與軸平行(力與軸在同一平面內)，力對該軸的矩為零。( )()zOxyxyM FMFFd力使剛體繞某一軸轉動效應的度量稱為力對該軸的矩，或力對軸之矩力對軸

6、之矩。 它等于力在與軸垂直的平面上的分力對分力對軸與平面交點之矩交點之矩。 正負規(guī)定：右手螺旋法則，拇指指向與軸正向一致為正，否則為負。解：把力 分解如圖Fsin , 0, cosxyzFFFFF 例4-4已知：, alF求：(),(),()xyzMFMFMF，ABCE在平面xAy內，且 F 在垂直于 y 軸的平面()()()cosxzMFFlaF la r()cosyzMFF lFl r()()()sinzxMFFlaF la r( )()()()yyxyyyzMFMFMFMF 3、力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關系 已知：力 ，力 在三根軸上的分力 ，力 作用點的坐 標 x, y, zF

7、,xyzF F FFFF求：力 對 x, y, z軸的矩( )()()()xxxxyxzMFMFMFMF0yzzyFzFyyFzF xzzFxF( )()()()zzxzyzzMFMFMFMFyxxFyF( )( )OzyxxMFyFzFMF ()()OxzyyMFzFxFMF ( )( )OyxzzMFxFyFMF 比較（3-10）、（）、（3-12）式可得 即，力對點的矩矢在過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。 （力矩關系定理（力矩關系定理 ）( )xzyMFyFzF( )yxzMFzFxF( )zyxM FxFyF（3-12）3-3 空間力偶空間力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以

8、矢量表示, ,力偶矩矢力偶矩矢FF空間力偶的三要素空間力偶的三要素（1） 大?。毫εc力偶臂的乘積；（3） 作用面：力偶作用面。 （2） 方向：轉動方向；BAMrF力偶矩矢 （315）BAr( ,)( )()OOOABMF FMFMFrFrF ( ,)()OABBAMF FrrFrFM 2 2、空間力偶的性質、空間力偶的性質BAMrF力偶矩FF因（2）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。(1）力偶中兩力在任意坐標軸上投影的代數和為零。ABMrF或（3）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內任意移轉，且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，只要力偶矩矢大小方向不變，對剛體的作用

9、效果不變。(,)RRBARM FFrF 12()BArFF12BABArFrF111(,)BArFM F F=111),(FrFFMBA（4）只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對剛體的作用效果不變。211FFF332FFF=(5)力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡。定位矢量（力對點的矩）力偶矩相等的力偶等效。力偶矩矢是自由矢量自由矢量（移來移去，滑來滑去）滑移矢量（力的可傳性）3 3力偶系的合成與平衡條件力偶系的合成與平衡條件111222, , ., nnnMrFMrFMrF=iMM有M為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。RiFF類似右圖, , xixy

10、iyzizMMMMMM稱為空間力偶系的平衡方程(三條)。簡寫為 (3-20)0 0 0 xyzMMM0M 空間力偶系平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零，即 有0ixM0iyM0izM合力偶矩矢的大小和方向余弦cosixMMMMiycosMMizcos222()()()ixiyizMMMM例3-5求：工件所受合力偶矩在x，y，z 軸上的投影,xyzMMM已知：在工件四個面上同時鉆5個孔，每個孔所受切削力偶矩均為80Nm。解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到點 A。345cos45cos45193.1 N mxixMMMMM 280 N myiyMMM 145cos45cos45193.1 N

11、mzizMMMMM 求：軸承 A，B 處的約束力。圓盤面O1垂直于 z 軸，圓盤面O2垂直于 x 軸，兩盤面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，構件自重不計。例3-6 已知：兩圓盤半徑均為200 mm，AB = 800 mm,解：取整體，受力圖如圖b所示。由力偶系平衡方程0 xM08004002AzFF0zM08004001AxFF解得1.5 NAxBxFF 2.5 NAzBzFF力偶只能由力偶平衡，A、B處的約束力也應形成力偶3-4 空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化主矢和主矩主矢和主矩1 1空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化其中，各 ，各iiFF( )iOi

12、MM F空間任意力系空間力偶系空間匯交力系等效+稱為原力系的主矩。主矩。()OiOiMMMF( )( )( )OxyzMMF iMF jMF k稱為原力系的主矢。主矢?？臻g力偶系的合力偶矩由力對點的矩與力對軸的矩的關系（力矩關系定理），有( ),( ),( )xyzMFMFM F式中，分別表示各力對 x，y，z 軸的矩?？臻g匯交力系的合力kFjFiFFFziyixiiR有效推進力有效推進力RxF飛機向前飛行飛機向前飛行RyF有效升力有效升力飛機上升飛機上升RzF側向力側向力飛機側移飛機側移OxM滾轉力矩滾轉力矩飛機繞飛機繞 x 軸滾轉軸滾轉OyM偏航力矩偏航力矩飛機轉彎飛機轉彎OzM俯仰力矩俯

13、仰力矩飛機仰頭飛機仰頭（2）合力當 最后結果為一個合力合力。0,0ROFM 合力作用點過簡化中心合力作用點過簡化中心。2 2空間任意力系的簡化結果分析（最后結果）空間任意力系的簡化結果分析（最后結果）（1）合力偶當 時，最后結果為一個合力偶合力偶。此時與簡化中心無關。0, 0ROFMORMdF最后結果為一合力合力。合力作用線距簡化中心為當 時，ORMdF0, 0, ROROFMFM（3）力螺旋當 時0, 0, RORFMFOM力螺旋中心軸過簡化中心。右螺旋(符合右手螺旋法則)左螺旋(符合左手螺旋法則)當 成角 即 既不平行也不垂直時0, 0, , ROROFMFM, ROFM力螺旋中心軸距簡化

14、中心為sinORMdF（4）平衡當 時，空間力系為平衡力系。0, 0ROFM一般情形下，空間任意力系可合成為力螺旋。一般情形下，空間任意力系可合成為力螺旋。3-5 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充要條件：該力系的主矢、主矩分別為零。1. .空間任意力系的平衡方程（六條）空間任意力系的平衡方程（六條）000 xyzFFF 000 xyzMMM(3-25)空間平行力系的平衡方程（三條）0 0 0zxyFMM（3-26）空間任意力系平衡的充要條件：所有各力在三個坐標軸中每一個軸上的投影的代數和等于零，以及這些力對于每一個坐標軸的矩的代數和也等于零。約束類型約束類型簡圖

15、簡圖約束力約束力徑向軸承蝶形鉸鏈圓柱鉸鏈球形鉸止推軸承空間固定端2.2.空間約束類型舉例空間約束類型舉例例4-7已知：自重 P=8 kN,載荷 各尺寸如圖110kN,P 求：三個輪子A、B、D 處約束力解：研究對象：小車受力：1, , , , ABDPPFFF平行力系，列平衡方程0zF10ABDFFPPF( )0 xMF 10.21.220DPPF0.60BDFPPF結果：5.8kN, 7.777kN, 4.423kNDBAFFF3.3.空間力系平衡問題舉例空間力系平衡問題舉例( )0yMF 0 xF ( )0zMF 0yF 自動滿足自動滿足例4-8 已知：2000N,F

16、,212FF ,60,30各尺寸如圖求：12, FF及 A、B 處約束力解：研究對象，曲軸受力：12, , , , , , AxAzBxBzF FFFFFF列平衡方程 0yF00 0 xF 12sin30sin600AxBxFFFFD = 400 mm，R = 300 mm 0zF12cos30cos600AzBzFFFFF12cos30200cos602002004000BzFFFF( )0yMF 12()02DF RFF( )0zMF 040020060sin20030sin21BxFFF3348N, 1799NBxBzFF 結果：123000N, 6000N,FF10044N, 9397

17、N,AxAzFF ( )0 xMF 又有212FF求：(1) (2)A、B處約束力,(3)O 處約束力。, rFF例4-9 已知:車床主軸,E三爪卡盤,A徑向軸承,C齒輪,B止推軸承4.25kN,xF 6.8kN,yF 17kN,zF 0.36, 50mm, 30mmrFFRr各尺寸如圖車刀對工件的切削力左視圖 0 xF0BxAxxFFFF 0yF0yByFF 0zF0BzAzzFFFF( )0 xMF (48876)763880BzrzFFF( )0yMF 0rFRFz( )0zMF (48876)76303880BxryxFFFF解：研究對象1：主軸及工件，受力圖如圖左視圖又：,36. 0

18、FFr10.2kN,F3.67kN,rF 15.64kN,AxF31.87kN,AzF 1.19kN,BxF 6.8kN,ByF11.2kNBzF研究對象2：工件受力圖如圖(空間固定端約束)列平衡方程 0 xF0 xOxFF 0yF0yOyFF 0zF0zOzFF1000zxFM300zyFM030100zyxMFF4.25kN, 6.8kN, 17kNOxOyOzFFF 1.7kN m, 0.51kN m, 0.22kN m,xyzMMM ( )0 xMF ( )0yMF ( )0zMF 左視圖解：選取研究對象：均質長方板受力圖如圖列平衡方程026PaaF( )0ABMF 26PF( )0A

19、EMF 05F( )0ACMF 04F( )0BFMF 01F( )0FGMF 202bFbPF bPF5 . 12( )0BCMF 23cos4502bF bPFb PF223求：各桿內力。例4-10 已知：F、P及各尺寸，且 F = 2P1.1.平行力系中心平行力系中心平行力系合力通過的點。平行力系合力通過的點。 平行力系合力作用點的位置僅與各平行力系的大小和作平行力系合力作用點的位置僅與各平行力系的大小和作用位置有關，而與各平行力的方向無關。用位置有關，而與各平行力的方向無關。合力矩定理合力矩定理1 12 212CF rF rrFF3-6 重重 心心i iCiF rrFiiCiF xxF

20、矢量形式矢量形式投影形式投影形式1122CRrFrFrF0110220CRrF FrF FrF F1122CRr Fr Fr F12RFFF證明證明證畢證畢2 2計算重心坐標的公式計算重心坐標的公式對 y 軸用合力矩定理1122.CnniiP xP xP xP xP x有iiCPxxP對 x 軸用合力矩定理1122.CnniiP yP yPyPyP y 有iiCPyyP重力，分布力系，力系的合力即為重力，作用點為重心。重力，分布力系，力系的合力即為重力，作用點為重心。則計算重心坐標的公式為 iiiiiiCCCPxPyPzxyzPPP對均質板狀物體，有 iiiii iCCCAxAyAzxyzAAA稱為重心或形心公式將坐標系連同物體一起繞 x 軸轉90，使 y 軸豎直向上，再對 x 軸用合力矩定理1122.CnniiP zP zP zP zP ziiCPzzP(因為 PmVA 成比例)質心和重