結(jié)構(gòu)力學(xué)第二章-軸向拉壓

1、21 軸向拉壓的概念及實(shí)例軸向拉壓的概念及實(shí)例 第二章第二章 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 （Axial Tension） 2-4 拉壓桿的變形拉壓桿的變形 胡克定律胡克定律2-5 拉壓桿的彈性應(yīng)變能拉壓桿的彈性應(yīng)變能2-7 強(qiáng)度條件、安全因數(shù)、許用應(yīng)力強(qiáng)度條件、安全因數(shù)、許用應(yīng)力2-6 材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能2-8 應(yīng)力集中應(yīng)力集中22 內(nèi)力、截面法、內(nèi)力、截面法、軸力及軸力圖軸力及軸力圖23 應(yīng)力的概念、拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)力的概念、拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力21 軸向拉壓的概念及實(shí)例軸向拉壓的概念及實(shí)例軸向拉壓的外力特點(diǎn)：軸向拉壓的外力特點(diǎn)：外力的合力作用線與桿

2、的軸線重合。概念概念:軸向拉壓的變形特點(diǎn)：軸向拉壓的變形特點(diǎn)：變形主要是軸向伸縮，伴隨橫向縮擴(kuò)。軸向拉伸：桿的變形是軸向伸長，橫向縮短。軸向壓縮：桿的變形是軸向縮短，橫向變粗。軸向壓縮，對應(yīng)的力稱為壓力。軸向壓縮，對應(yīng)的力稱為壓力。軸向拉伸，對應(yīng)的力稱為拉力。軸向拉伸，對應(yīng)的力稱為拉力。力學(xué)模型如圖力學(xué)模型如圖FFFF一、內(nèi)力一、內(nèi)力 指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成（附加內(nèi)力）。力系的合成（附加內(nèi)力）。22 內(nèi)力內(nèi)力 截面法截面法 軸力及軸力圖軸力及軸力圖二、截面法二、截面法 軸力軸力 內(nèi)力的計算是分析構(gòu)件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定

3、性等問題的基礎(chǔ)。求內(nèi)力的一般方法是截面法。截面法的基本步驟：截面法的基本步驟： 截開截開：在所求內(nèi)力的截面處，假想地用截面將桿件一分為二。代替代替：任取一部分，其棄去部分對留下部分的作用，用作用 在截開面上相應(yīng)的內(nèi)力（力或力偶）代替。平衡平衡：對留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的已知外力來 計算桿在截開面上的未知內(nèi)力（此時截開面上的內(nèi)力 對所留部分而言是外力）。2. 軸力軸力軸向拉壓桿的內(nèi)力，用軸向拉壓桿的內(nèi)力，用 表示。表示。0 X0NFFNFFAFF簡圖AFF截開：截開：平衡：平衡：NF代替：代替：FANF例如： 截面法求 。 NF反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀；確定出最大軸力的數(shù)值

4、及其所在橫截面的位置，即確定危險截面位置，為強(qiáng)度計算提供依據(jù)。3. 軸力的正負(fù)規(guī)定軸力的正負(fù)規(guī)定: : xF+意意義義NFNFNFNF0NF0NF 與外法線同向,為正軸力(拉力)NF 與外法線反向,為負(fù)軸力(壓力)NF三、三、 軸力圖軸力圖 (x) 的圖象表示。的圖象表示。NFNF例例1 圖示桿的A、B、C、D點(diǎn)分別作用著大小為5F、8F、4F、 F 的力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。解： 求OA段內(nèi)力FN1：設(shè)置截面如圖ABCDFAFBFCFDOABCDFAFBFCFDFN10 X01DCBANFFFFF 04851FFFFFNFFN21同理，求得AB、BC、CD段內(nèi)力分別為： FN2= 3

5、FFN3= 5FFN4= F軸力圖如右圖BCDFBFCFDFN2CDFCFDFN3DFDFN4x2F3F5FF+NF一、應(yīng)力的概念一、應(yīng)力的概念 23 應(yīng)力的概念、拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)力的概念、拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力問題提出：問題提出：FFFF1. 內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強(qiáng)度的大小。2. 強(qiáng)度： 內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力； 材料承受荷載的能力。1. 定義：定義：桿件某截面上的分布內(nèi)力在某點(diǎn)處的。工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，內(nèi)力集度的定義不僅準(zhǔn)確工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，內(nèi)力集度的定義不僅準(zhǔn)確而且重要，因?yàn)槎抑匾?，因?yàn)椤捌茐钠茐摹被蚧颉笆А蓖鶑膬?nèi)力集度最大處開始。

6、往往從內(nèi)力集度最大處開始。 F AM 平均應(yīng)力：平均應(yīng)力： 總應(yīng)力（全應(yīng)力）：總應(yīng)力（全應(yīng)力）：AFpMAFAFpAMddlim02. 應(yīng)力的表示：應(yīng)力的表示：pM 總應(yīng)力可以分解為：總應(yīng)力可以分解為： ANANAddlim0ATATAddlim0垂直于截面的應(yīng)力稱為垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力正應(yīng)力” ( (Normal Stress) )；位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“切應(yīng)力切應(yīng)力”( (Shearing Stress) )。 變形前1. 變形規(guī)律試驗(yàn)及平面假設(shè)：變形規(guī)律試驗(yàn)及平面假設(shè)：平面假設(shè)：平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。 縱向纖維變形相同。abcd受載后二、

7、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力二、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力FFacbd均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當(dāng)然均勻分布。2. 拉伸應(yīng)力：拉伸應(yīng)力：FNFAFN 軸力引起的正應(yīng)力 ： 在橫截面上均勻分布。危險截面：內(nèi)力最大的面，截面尺寸最小的面。危險點(diǎn)：應(yīng)力最大的點(diǎn)。3. 危險截面及最大工作應(yīng)力：危險截面及最大工作應(yīng)力：AFN max,max對于等截面直桿，有對于等截面直桿，有(紅色實(shí)線為變形前的線，紅色虛線為紅色實(shí)線變形后的形狀。)變形示意圖：應(yīng)力分布示意圖：4. 圣維南（圣維南（Saint-Venant）原理：原理： 離開載荷作用處一定距離，應(yīng)力分布與大小不受外載荷作用方式的影響。三、拉三、拉(壓壓)桿斜截面

8、上的應(yīng)力桿斜截面上的應(yīng)力設(shè)有一等直桿受拉力F作用。求：斜截面k-k上的應(yīng)力。 FFakk解：采用截面法由平衡方程：Fa = F則：aaaAFpAa a：斜截面面積；斜截面面積； Fa a：斜截面上內(nèi)力。：斜截面上內(nèi)力。由幾何關(guān)系：aaaacos cosAAAA代入上式，得：aaaaacoscos0AFAFp斜截面上總應(yīng)力：aacos 0pFa aaFkkFFkka斜截面上總應(yīng)力：aacos 0pFkkapa a分解：pa aaaa20coscos paaaaaa2sin2sincossin00p反映：通過構(gòu)件上一點(diǎn)不同截面上應(yīng)力變化情況。當(dāng)a = 90時，0)(mina當(dāng)a = 0時， )(0

9、maxa( 橫截面上存在最大正應(yīng)力 )當(dāng)a = 45時，2|0maxa(45 斜截面上剪應(yīng)力達(dá)到最大) a a a aa a當(dāng)a = 0, 90時，0| mina63.7MPa 127.4/2 /2 0maxMPa5 .95434 .127cos20aaMPa2 .5560sin24 .1272sin2 0aaPaPaAFM4 .12710*4 .127 )10(*414. 310*10 62230例例6 直徑d =1 cm桿受拉力F =10 kN的作用，試求最大剪應(yīng)力， 并求與橫截面夾角30的斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。解：拉壓桿斜截面上的應(yīng)力，直接由公式求之： 1 1、桿的縱向總變形：、桿的

10、縱向總變形： 3 3、平均線應(yīng)變：、平均線應(yīng)變：lllll1 2 2、線應(yīng)變：單位長度的伸長（或縮短）。、線應(yīng)變：單位長度的伸長（或縮短）。一、拉壓桿的變形及應(yīng)變一、拉壓桿的變形及應(yīng)變lll12 24 4 拉壓桿的變形拉壓桿的變形 胡克定律胡克定律abcdxl4 4、x點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變：點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變：dxdxdxxxx0lim 5 5、桿的橫向變形：、桿的橫向變形：accaacFFxxdl1acaccaacac桿的橫向線應(yīng)變：桿的橫向線應(yīng)變：abcd二、拉壓桿的彈性定律（胡克定律）二、拉壓桿的彈性定律（胡克定律）AFLl EAlFEAFllN1 1、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定律、等內(nèi)力拉壓桿的彈

11、性定律“EA”稱為桿的稱為桿的拉伸拉伸( (壓縮壓縮) )剛度剛度。FF2 2、單軸應(yīng)力狀態(tài)下的彈性定律、單軸應(yīng)力狀態(tài)下的彈性定律 E3 3、泊松比（或橫向變形系數(shù)）、泊松比（或橫向變形系數(shù)） E :或EAFEllN11單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律 :即1.0m1.0m1.0m20kN32kN12kNABCD，21800mmA 。22400mmA GPaE200一變截面桿件受力如圖所示，已知左段的橫截面積右段的橫截面積桿件材料（1）畫出該桿的軸力圖； （2）求該桿的總伸長量。例例1 1：的彈性模量例例2 2： 設(shè)1、2兩根鋼桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為l=2m、 各桿直

12、徑為d=25mm；兩桿與豎向夾角為30。鋼的彈性模量為 E=210GPa。外力 P=100KN，求結(jié)點(diǎn) A 的位移。解：、平衡方程:0sinsin21aaNNxFFF0coscos21PFFFNNyaaacos2121EAPlEAlFllN求解各桿的軸力：求解各桿的軸力：物理方程物理方程彈性定律：彈性定律：變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：acos221PFFNN) 4 (2dA其中aa21cos2cosEAPllAAA代入已知數(shù)據(jù)可得：代入已知數(shù)據(jù)可得：mA001293. 0例例3 3： 設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：L1=L2，L3=L ；各桿面積為 A1=A2= A3 =A；

13、各桿彈性模量為：E1=E2=E3=E。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。CFABDaa123解：、平衡方程:0sinsin21aaNNxFFF0coscos321FFFFFNNNyaaFAaaFN1FN3FN2EALFLN111EALFLN333幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：物理方程物理方程彈性定律：彈性定律：補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組，得解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組，得: :acos31LLacos3311EALFEALFNN1cos2 ; 1cos2cos333221aaaFFFFFNNNCABDaa1

14、23A11L2L3L2 25 5 拉壓桿的彈性應(yīng)變能拉壓桿的彈性應(yīng)變能一一、彈性應(yīng)變能：彈性應(yīng)變能：桿件發(fā)生彈性變形，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)樽冃文苜A存 與桿內(nèi)，這種能成為應(yīng)變能（Strain Energy）用“U”表示。二、二、 拉壓桿的應(yīng)變能計算：拉壓桿的應(yīng)變能計算： 不計能量損耗時，外力功等于應(yīng)變能。WV根據(jù)拉桿應(yīng)變能的計算，可得:lFlFWN2121222221llEAEAlFlFVNN可得:三、三、 拉壓桿的應(yīng)變能密度拉壓桿的應(yīng)變能密度 v單位體積內(nèi)的應(yīng)變能單位體積內(nèi)的應(yīng)變能212122EAFAFAlEAlFVVvNNN2222EEv例例4 4 設(shè)1、2兩根鋼桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為l=

15、2m、 各桿直徑為d=25mm；兩桿與豎向夾角為30。鋼的彈性模量為 E=210GPa。外力 P=100KN，求結(jié)點(diǎn) A 的位移。EAlPEAlFVN2221)cos2(22 a解：JmN67.64.67.64因?yàn)閼?yīng)變能等于荷載所做的功：VAP21NJPVA31010067.6422mmm293. 110293. 132 26 6 材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能一、試驗(yàn)條件及試驗(yàn)儀器一、試驗(yàn)條件及試驗(yàn)儀器1 1、試驗(yàn)條件：常溫、試驗(yàn)條件：常溫(20)(20)；靜載（極其緩慢地加載）；靜載（極其緩慢地加載）； 標(biāo)準(zhǔn)試件。標(biāo)準(zhǔn)試件。dh力學(xué)性能：材料在外力作用下表現(xiàn)的有關(guān)

16、強(qiáng)度、變形方面的特性。2 2、試驗(yàn)儀器：、試驗(yàn)儀器：萬能材料試驗(yàn)機(jī)萬能材料試驗(yàn)機(jī)壓力試驗(yàn)機(jī)壓力試驗(yàn)機(jī)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)機(jī)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)機(jī)二、低碳鋼試件的拉伸圖二、低碳鋼試件的拉伸圖( (F- - L圖圖) )EAFLL 塑性變形后的卸載規(guī)律塑性變形后的卸載規(guī)律 ( (冷作硬化與冷作時效冷作硬化與冷作時效) )LL三、低碳鋼試件的應(yīng)力三、低碳鋼試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 ( ( - 圖圖) )AF( (一一) ) 低碳鋼拉伸的彈性階段低碳鋼拉伸的彈性階段 ( (OB段段) )1 1、 OA - - 比例段比例段: : p - - 比例極限比例極限EatgE2 2、 AB - -曲線段曲線段: : e - -

17、彈性極限彈性極限( (二二) ) 低碳鋼拉伸的屈服階段低碳鋼拉伸的屈服階段C: 上屈服強(qiáng)度上屈服強(qiáng)度滑移線：滑移線：屈服強(qiáng)度屈服強(qiáng)度,屈服極限屈服極限: : s s 。D: 下屈服強(qiáng)度下屈服強(qiáng)度: -強(qiáng)度強(qiáng)度極限極限( (三三) )、低碳鋼拉伸的強(qiáng)度極限、低碳鋼拉伸的強(qiáng)度極限( (四四) )、低碳鋼拉伸的頸縮（斷裂）階段、低碳鋼拉伸的頸縮（斷裂）階段1 1、斷后伸長率、斷后伸長率: :001100LLL2 2、斷面收縮率：、斷面收縮率：001100AAA3 3、脆性、塑性及相對性、脆性、塑性及相對性為界以005幾個重要概念幾個重要概念四、無明顯屈服現(xiàn)象的塑性材料四、無明顯屈服現(xiàn)象的塑性材料 規(guī)

18、定非比例延伸強(qiáng)度規(guī)定非比例延伸強(qiáng)度五、灰口鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能五、灰口鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能 ，鑄鐵拉伸強(qiáng)度，鑄鐵拉伸強(qiáng)度極限（失效應(yīng)力）極限（失效應(yīng)力） tgaE割線彈性模量割線彈性模量 P0.2P0.2 ，即此類材料的屈服強(qiáng)度。，即此類材料的屈服強(qiáng)度。006500/30N5024/160214. 32AF解：變形量可能已超出了“線彈性”范圍，故不可再應(yīng)用“彈性定律”。 應(yīng)如下計算：MPa160例例5： 銅絲直徑d=2mm，長 L=500mm， 材料的拉伸曲線如圖所示。如欲使銅絲的伸長為30mm， 則大約需加多大的力F？ 0 5 10 15 20（）100 200 300 （M M PaPa）

19、由拉伸圖知： (MPa)例例6：一根Q235鋼的拉伸試樣，直徑d=10mm，長l=100mm。 試驗(yàn)機(jī)荷載讀數(shù)達(dá)到F=10KN時，量得工作段的伸長l =0.0607mm，直徑縮小d=0.0017mm。求此時試樣橫截面上正應(yīng)力，并求材料的彈性模量 E 和泊松比 。已知Q235鋼的彈性極限為200MPaMPamNAF3 .127)10*1 (410*10223解： F=10KN時，正應(yīng)力4310*07. 61 . 010*0607. 0mmll43310*7 . 110*1010*0017. 0mmddGPaE21028. 0六、金屬材料壓縮時的力學(xué)性能六、金屬材料壓縮時的力學(xué)性能 y - -鑄鐵

20、壓縮強(qiáng)度鑄鐵壓縮強(qiáng)度極限；極限；七、強(qiáng)度條件、安全因數(shù)、許用應(yīng)力七、強(qiáng)度條件、安全因數(shù)、許用應(yīng)力 nu2、許用應(yīng)力：許用應(yīng)力：n (n1)3、安全因數(shù)：安全因數(shù)：4、強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件： )()(max(NmaxxAxF maxN,AF對等截面直桿：1、極限應(yīng)力極限應(yīng)力 u ： s (屈服極限) 和 b (強(qiáng)度極限)統(tǒng)稱為極限應(yīng)力。截面選擇：截面選擇：maxN,FA maxN,AF依強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計算：依強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計算： max強(qiáng)度校核：強(qiáng)度校核：許可載荷計算：許可載荷計算： 例例7：已知一圓桿受拉力F =25 k N，直徑 d =14mm，許用應(yīng)力 =170MPa，試校核

21、此桿是否滿足強(qiáng)度要求。解： 軸力：FN = F =25kNMPa1620140143102544232max.d FAFN應(yīng)力：強(qiáng)度校核：170MPa 162MPamax結(jié)論：此桿滿足強(qiáng)度要求，能夠正常工作。例例8：已知三鉸屋架如圖，承受豎向均布載荷，載荷的分布集度為：q =4.2kN/m，屋架中的鋼拉桿直徑 d =16 mm，許用應(yīng)力=170M Pa。試校核剛拉桿的強(qiáng)度。鋼拉桿1.42mq8.5m9.3m 整體平衡求支反力解：鋼拉桿q1.42mFAYFBYFAX0 0AXFX0 19.5kNBAYMF應(yīng)力：強(qiáng)度校核與結(jié)論：MPa 170 MPa 131 max 此桿滿足強(qiáng)度要求，是安全的。MPa131016. 014. 3103 .264 d 4232PAFN 局部平衡求 軸力： qFAYFAXFCYFCXFNN0 26.3kNCMF 。 sin/; /hLFABDNBD例例