坡印亭定理和坡印亭矢量

1、5.4 5.4 坡印亭定理和坡印亭矢量坡印亭定理和坡印亭矢量 電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律律坡印亭定理；坡印亭定理； 坡印亭矢量是描述電磁場(chǎng)能量流動(dòng)的物理量。坡印亭矢量是描述電磁場(chǎng)能量流動(dòng)的物理量。5.4.1 5.4.1 坡印亭定理坡印亭定理（Poynting TheoremPoynting Theorem）在時(shí)變場(chǎng)中，電、磁能量相互依存，總能量密度為在時(shí)變場(chǎng)中，電、磁能量相互依存，總能量密度為HBED2121mewwwdVttwdV)2121()(HBEDdVdVttc)()()(EHJHEBHDEdVdVwWVV）（HB

2、ED21體積體積V內(nèi)儲(chǔ)存的能量?jī)?nèi)儲(chǔ)存的能量設(shè)體積元設(shè)體積元 dV 中儲(chǔ)存的能量中儲(chǔ)存的能量 wdV 隨時(shí)間的變化率為隨時(shí)間的變化率為)()()(HEEHHE利利用用矢矢量量恒恒等等式式dVtwdVc)()(JEHE則則有有取體積分，得取體積分，得VcVSdVdwdVtJESHE)(dVdVtwdVccJEEHHEEHJHE)()(整整理理得得二二項(xiàng)項(xiàng), ,代代入入上上式式第第將將eeE/JE,EEJ)(cc 物理意義物理意義：體積：體積V V內(nèi)電源提供的功率，減去電阻消耗的熱功率，減去內(nèi)電源提供的功率，減去電阻消耗的熱功率，減去電磁能量的增加率，等于穿出閉合面電磁能量的增加率，等于穿出閉合面S

3、 S的電磁功率。的電磁功率。 特殊情況特殊情況若體積內(nèi)含有電源則若體積內(nèi)含有電源則tWdVJdVdVccS2)(VJESHEe坡印亭定理坡印亭定理 它描述了空間一點(diǎn)電磁能量傳輸或流動(dòng)特性。表示單位時(shí)間它描述了空間一點(diǎn)電磁能量傳輸或流動(dòng)特性。表示單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為內(nèi)流過(guò)與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為功率流密度，功率流密度，S 的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動(dòng)的的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動(dòng)的方向。方向。 定義坡印亭矢量定義坡印亭矢量（Poynting Vector）HESW/m25.4.2 5.4.2 坡印亭矢量

4、坡印亭矢量 tWdVJdVdVccS2)(VJESHEe以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的功率為以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的功率為SHEdPS)(eeLaaaIaI2)(2220222RIaLI表明表明，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。HEStn例例 .1 導(dǎo)線半徑為導(dǎo)線半徑為a ，長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l ，電導(dǎo)率為電導(dǎo)率為 ，試用坡印亭矢量計(jì)算導(dǎo)線損試用坡印亭矢量計(jì)算導(dǎo)線損耗的能量。耗的能量。HESnt電源提供的能量一部分用于導(dǎo)線損耗電源提供的能量一部分用于導(dǎo)線損耗另一部分傳遞給負(fù)載另一部分傳遞給負(fù)載P,ISHE設(shè)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)解：解：思路：思路

5、：電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度zaIeJE2eH22 aI磁場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度a0tStSnSnSSS圖圖5.4.3 導(dǎo)體有電阻時(shí)同軸電纜中的導(dǎo)體有電阻時(shí)同軸電纜中的E、H 與與S1R2RI HHnEURnEtEtEI圖圖5.4.2 計(jì)算導(dǎo)線損耗的量計(jì)算導(dǎo)線損耗的量I1RU1R2RI HHSSEEUR圖圖5.4.1 同軸電纜中的電磁能流同軸電纜中的電磁能流 I 例例 .2 用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能量的用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能量的過(guò)程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為過(guò)程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為R1 和和R2 。解：解： 理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場(chǎng)為

6、零。電磁場(chǎng)分布如圖所示。理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場(chǎng)為零。電磁場(chǎng)分布如圖所示。電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度e/lnE)(12RRUeH2I2122122RRAUIdRRUIdP/lnAS 穿出任一橫截面的能量相等，穿出任一橫截面的能量相等，電源提供的能量全部被負(fù)載吸收。電源提供的能量全部被負(fù)載吸收。 電磁能量是通過(guò)導(dǎo)體周圍的介質(zhì)傳播的，電磁能量是通過(guò)導(dǎo)體周圍的介質(zhì)傳播的，導(dǎo)線只起導(dǎo)向作用導(dǎo)線只起導(dǎo)向作用。這表明這表明：zIRRUe/lnHES2)(12單位時(shí)間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的橫截面單位時(shí)間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的橫截面A的總能量為的總能量為磁場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度坡印亭矢量坡印亭矢量5.5.1 5.5.1 電磁場(chǎng)基本方程的相量

7、形式電磁場(chǎng)基本方程的相量形式5.5 5.5 正弦電磁場(chǎng)正弦電磁場(chǎng) 正弦電磁場(chǎng)的相量形式與正弦穩(wěn)態(tài)電路中的相量類同，后者有三要正弦電磁場(chǎng)的相量形式與正弦穩(wěn)態(tài)電路中的相量類同，后者有三要素：素：振幅振幅( (標(biāo)量，常數(shù)標(biāo)量，常數(shù)) )、頻率頻率和和相位相位。)sin(2)(tItijIejIj)90sin(2tIdttdi)(jIeI 前者也有三要素：前者也有三要素：振幅振幅（矢量、空間坐標(biāo)的函數(shù)）（矢量、空間坐標(biāo)的函數(shù)）, , 頻率頻率和和相相位。位。如果如果F F的三個(gè)分量初相位相同，則有的三個(gè)分量初相位相同，則有)sin(2)(tzyxtzyx,F,Fjezyx)(,FF)90sin()(2

8、tzyxt,FFiejjFF 1 1） 正弦時(shí)變場(chǎng)量的相量形式正弦時(shí)變場(chǎng)量的相量形式2 2）正弦電磁場(chǎng)基本方程組的相量形式）正弦電磁場(chǎng)基本方程組的相量形式SDJlHdjdSl)(0dSSBSldjdSBlEqdSSDDJHjcBEj0 B DEDHBEJc 5.5.2 5.5.2 坡印亭定理的相量形式坡印亭定理的相量形式在正弦電磁場(chǎng)中，坡印亭矢量的瞬時(shí)形式為在正弦電磁場(chǎng)中，坡印亭矢量的瞬時(shí)形式為)sin(2)sin(2)(HEtttrHrEr,S)2(cos)(cos)(HEHEtHETHEavdttT0)cos()(1)(HEr,SrS稱之為稱之為平均功率流密度平均功率流密度。S 在一個(gè)周期

9、內(nèi)的平均值為在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為)()(HErSeavR容易證明容易證明)()()()(HEHEjjjeeeHErHrEHEavHEeRScosHEHE)()(EjEett)( )()sin()(rEErEr,EHje)(rHH 同理同理其實(shí)部為平均功率流密度，虛部為無(wú)功功率流密度其實(shí)部為平均功率流密度，虛部為無(wú)功功率流密度。HES定義定義坡印亭矢量的復(fù)數(shù)形式坡印亭矢量的復(fù)數(shù)形式)()(HErSeavR)(DJEHBHEjjc取體積分，利用取體積分，利用高斯散度定理高斯散度定理，有，有dVEHjdVJdVVcS)()(222SHE閉合面閉合面S S內(nèi)吸收的功率為內(nèi)吸收的功率為dVEHjdVJ

10、dVVcS)()(222SHE有功功率有功功率 無(wú)功功率無(wú)功功率DJDJHj)j(cc坡印亭定理的相量形式推導(dǎo)過(guò)程坡印亭定理的相量形式推導(dǎo)過(guò)程)()()(HEEHHES取散度，展開(kāi)為取散度，展開(kāi)為QjP此項(xiàng)可用于求解電磁場(chǎng)問(wèn)題的此項(xiàng)可用于求解電磁場(chǎng)問(wèn)題的等效電路參數(shù)等效電路參數(shù)dVJIdRIIPRVcS22221)(e1SHE*dVEHIdIIQXVS)(1)(122222SHEImdVEHjdVJdVVcS)()(222SHEQjP 例例 .1 平板電容器如圖所示，當(dāng)兩極板間加正弦平板電容器如圖所示，當(dāng)兩極板間加正弦工頻工頻交流電壓交流電壓 u(t) 時(shí)，試分析電容器中儲(chǔ)存的

11、電磁能量。時(shí)，試分析電容器中儲(chǔ)存的電磁能量。 解：忽略邊緣效應(yīng)及感應(yīng)電場(chǎng)解：忽略邊緣效應(yīng)及感應(yīng)電場(chǎng), , 則則電場(chǎng)電場(chǎng)滿足無(wú)旋性質(zhì)滿足無(wú)旋性質(zhì)，可表示為，可表示為)(z-dUeE根據(jù)根據(jù)全電流定律全電流定律，由位移電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為，由位移電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為22dUjdjHdtdSSlSESDlH)(2eHdUj整理得整理得圖圖5.5.1 5.5.1 兩圓電極的平板電容器兩圓電極的平板電容器HeeeHES222)(2)(dUjdUjdUzeeSSadadUjdS2222222UCjUdaj 顯然，電容器中儲(chǔ)存電場(chǎng)能量，磁場(chǎng)能量忽略不計(jì)顯然，電容器中儲(chǔ)存電場(chǎng)能量，磁場(chǎng)能量忽略不計(jì), ,電磁場(chǎng)近似為電

12、磁場(chǎng)近似為EQS場(chǎng)場(chǎng)。復(fù)坡印亭矢量復(fù)坡印亭矢量電容器吸收功率電容器吸收功率( (無(wú)功功率無(wú)功功率) )(z-dUeE)(2eHdUj圖圖5.5.1 5.5.1 兩圓電極的平板電容器兩圓電極的平板電容器 解：忽略邊緣效應(yīng)及位移電流，則時(shí)變磁場(chǎng)解：忽略邊緣效應(yīng)及位移電流，則時(shí)變磁場(chǎng)可用可用恒定磁場(chǎng)的方法恒定磁場(chǎng)的方法計(jì)算（為什么？）計(jì)算（為什么？）。202HjEeEHj20eHES202Hje22202dNIjdaadNIjdS222220SS22220LIjIdaNj顯然，螺線管中儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量，電場(chǎng)能量忽略不計(jì)，顯然，螺線管中儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量，電場(chǎng)能量忽略不計(jì)，電磁場(chǎng)近似為電磁場(chǎng)近似為MQS場(chǎng)場(chǎng)。z

13、dNIeH從從安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律，得，得SHlEdjdS0l從從電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律，得，得復(fù)坡印亭矢量復(fù)坡印亭矢量螺線管吸收的功率螺線管吸收的功率( (無(wú)功功率無(wú)功功率) )例例 .2 N匝長(zhǎng)直螺線管，通有匝長(zhǎng)直螺線管，通有正弦正弦交流電流交流電流i(t)。試分析螺線管儲(chǔ)試分析螺線管儲(chǔ)存的電磁能量。存的電磁能量。圖圖5.5.2 長(zhǎng)直螺線管長(zhǎng)直螺線管EH結(jié)束結(jié)束注：磁鐵與靜電荷注：磁鐵與靜電荷 產(chǎn)生的磁、電場(chǎng)不構(gòu)成能量的流動(dòng)。產(chǎn)生的磁、電場(chǎng)不構(gòu)成能量的流動(dòng)。在靜態(tài)場(chǎng)中，場(chǎng)量是動(dòng)態(tài)平衡下的恒定量，在靜態(tài)場(chǎng)中，場(chǎng)量是動(dòng)態(tài)平衡下的恒定量，坡印亭定理坡印亭定理為為dVJdVd

14、VccS2)(VJESHEe在靜態(tài)場(chǎng)中，場(chǎng)域內(nèi)無(wú)源即在靜態(tài)場(chǎng)中，場(chǎng)域內(nèi)無(wú)源即: : Ee =0 =0 坡印亭定理坡印亭定理為為dVJdVcS2)(SHE在靜態(tài)場(chǎng)中，場(chǎng)域內(nèi)無(wú)源且為非導(dǎo)體即：在靜態(tài)場(chǎng)中，場(chǎng)域內(nèi)無(wú)源且為非導(dǎo)體即： =0 =0 坡印亭定理坡印亭定理為為0)(SHEdStWdVJdVdVccS2)(VJESHEe一般情況下的一般情況下的坡印亭定理坡印亭定理求解求解絕緣介質(zhì)絕緣介質(zhì)中的中的電場(chǎng)，設(shè)介質(zhì)中的漏電流為電場(chǎng)，設(shè)介質(zhì)中的漏電流為I)(2221RRlIIlJds eJsJ12222121RRlIdlIdURRRRlnlE又又122RRUlIln/因此因此代入代入（1 1）則：則：)(221RRlIeJE（1 1）e/lnE)(12RRU得得+U-1R2RI、EI設(shè)單位長(zhǎng)度有設(shè)單位長(zhǎng)度有 n 匝線圈匝線圈, ,應(yīng)用安培環(huán)路定律，有應(yīng)用安