畢達哥拉斯學派的數(shù)學成就

1、畢達哥拉斯學畢達哥拉斯學派的數(shù)學成就派的數(shù)學成就畢達哥拉斯簡介畢達哥拉斯簡介 關(guān)于畢達哥拉斯的生卒年關(guān)于畢達哥拉斯的生卒年份和他一生中重要事件發(fā)生的份和他一生中重要事件發(fā)生的日子，在公元前日子，在公元前3535世紀的歷世紀的歷史學家、數(shù)學家和哲學家的記史學家、數(shù)學家和哲學家的記錄中存在著嚴重的分歧，各種錄中存在著嚴重的分歧，各種記錄中記載的日期之間有記錄中記載的日期之間有2020多多年的差距。這些原始資料顯示，年的差距。這些原始資料顯示，畢達哥拉斯出生于公元前畢達哥拉斯出生于公元前584584公元前公元前560560年之間，他的年之間，他的故鄉(xiāng)是薩摩斯。故鄉(xiāng)是薩摩斯。證明了直角三角形定證明了直

2、角三角形定理的古希臘人理的古希臘人畢達哥拉斯學派畢達哥拉斯學派 畢達哥拉斯學派亦稱畢達哥拉斯學派亦稱“南意大利學派南意大利學派”，是一個集政治、學術(shù)、宗教三位于一體的組織。是一個集政治、學術(shù)、宗教三位于一體的組織。 公元前公元前529529年，畢達哥拉斯搬到了南意大利年，畢達哥拉斯搬到了南意大利的克羅頓城，在那里，他創(chuàng)立了一個研究哲學、的克羅頓城，在那里，他創(chuàng)立了一個研究哲學、數(shù)學和自然學科的團體數(shù)學和自然學科的團體畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯學派是一個有秘密儀式和嚴格戒律畢達哥拉斯學派是一個有秘密儀式和嚴格戒律的宗教性學派組織，他們組織嚴密，遵守著嚴的宗教性學派組織，他們組織嚴

3、密，遵守著嚴格的行為準則，需要保守的清規(guī)戒律很多，帶格的行為準則，需要保守的清規(guī)戒律很多，帶有濃厚的宗教色彩。有濃厚的宗教色彩。最完美的數(shù)最完美的數(shù)多邊形數(shù)多邊形數(shù)完全數(shù)、盈數(shù)和虧數(shù)完全數(shù)、盈數(shù)和虧數(shù)親和數(shù)親和數(shù)勾股數(shù)組勾股數(shù)組畢達哥拉斯定理畢達哥拉斯定理數(shù)數(shù)學學成成就就最完美的數(shù)最完美的數(shù) 畢達哥拉斯根據(jù)畢達哥拉斯根據(jù)“簡單整數(shù)比簡單整數(shù)比”的原理，創(chuàng)造了一的原理，創(chuàng)造了一套音樂理論，例如用套音樂理論，例如用1,2,3,4這四個自然數(shù)，按這四個自然數(shù)，按1:2,2:3,3:4的比構(gòu)成幾個主要的音階，而這四個數(shù)的和的比構(gòu)成幾個主要的音階，而這四個數(shù)的和是是10。于是，他們認為。于是，他們認為1

4、0是最完美的數(shù)，被用來作為是最完美的數(shù)，被用來作為神圣的象征。也有人把神圣的象征。也有人把1看成是點，看成是點，2看成是線，看成是線，3看成看成是三角形，是三角形，4成是四面體，這更增加了成是四面體，這更增加了10的神秘性。的神秘性。 多邊形數(shù) 一切幾何圖形都是由數(shù)產(chǎn)生的，萬物皆數(shù)！其數(shù)一切幾何圖形都是由數(shù)產(chǎn)生的，萬物皆數(shù)！其數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)和開創(chuàng)了學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)和開創(chuàng)了“形數(shù)形數(shù)”的研究先例。的研究先例。對古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯及其門徒，所情有獨鐘的對古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯及其門徒，所情有獨鐘的圖形數(shù)。這里，再比較詳細地談一談，圖形數(shù)中的多圖形數(shù)。這里，再比較詳細地談一談，圖形數(shù)中的

5、多邊形數(shù)。邊形數(shù)。1 1、什么是多邊形數(shù)、什么是多邊形數(shù) 如果把自然數(shù)看成點的集合，那么，能排成多邊形如果把自然數(shù)看成點的集合，那么，能排成多邊形的，就叫做多邊形數(shù)。的，就叫做多邊形數(shù)。2 2、常見的幾種多邊形數(shù)、常見的幾種多邊形數(shù) 常見的多邊形數(shù)，有三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形常見的多邊形數(shù)，有三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等。數(shù)、六邊形數(shù)等等。多邊形數(shù) 一切幾何圖形都是由數(shù)產(chǎn)生的，萬物皆數(shù)！其數(shù)學家畢達哥拉一切幾何圖形都是由數(shù)產(chǎn)生的，萬物皆數(shù)！其數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)和開創(chuàng)了斯發(fā)現(xiàn)和開創(chuàng)了“形數(shù)形數(shù)”的研究先例。的研究先例。對古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯對古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯及其門徒，所

6、情有獨鐘的圖形數(shù)。這里，再比較詳細地談一談，圖及其門徒，所情有獨鐘的圖形數(shù)。這里，再比較詳細地談一談，圖形數(shù)中的多邊形數(shù)。形數(shù)中的多邊形數(shù)。 三角形數(shù) 四邊形數(shù) 五邊形數(shù) 六邊形數(shù)三角形數(shù)第第n n個三角形數(shù)的公式是個三角形數(shù)的公式是Tn=n(n+1)/2=(n2+n)/2Tn=n(n+1)/2=(n2+n)/2為一拋物線為一拋物線程。程。第第n n個三角形數(shù)是開始的個三角形數(shù)是開始的n n個個自然數(shù)自然數(shù)的和。的和。所有大于所有大于3 3的三角形數(shù)都不是的三角形數(shù)都不是質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)。三角形數(shù)是所有多邊形數(shù)的基礎(chǔ)。它與其它多邊形構(gòu)成遞推三角形數(shù)是所有多邊形數(shù)的基礎(chǔ)。它與其它多邊形構(gòu)成遞推關(guān)系。關(guān)系

7、。四邊形數(shù)平方數(shù)也稱正方形數(shù)，若平方數(shù)也稱正方形數(shù)，若 n n 為平方數(shù)，將為平方數(shù)，將 n n 個點排成矩形，可以排個點排成矩形，可以排成一個正方形。成一個正方形。若將平方數(shù)概念擴展到若將平方數(shù)概念擴展到有理數(shù)有理數(shù)，則兩個平方數(shù)的比仍然是平方數(shù)，則兩個平方數(shù)的比仍然是平方數(shù)，例如，例如， (2(2 2) / (32) / (3 3) = 4/9 = 2/33) = 4/9 = 2/3 2/32/3。五邊形數(shù)與六邊形數(shù)五邊形數(shù)與六邊形數(shù)多邊形的公式、方程多邊形數(shù)多邊形數(shù)多邊形方程多邊形方程3n(n + 1)/24n25n(3n - 1)/26n(2n - 1)7n(5n - 3)/28n(3

8、n - 2)9n(7n - 5)/210n(4n - 3)11n(9n - 7)/212n(5n - 4)13n(11n - 9)/214n(6n - 5)15n(13n - 11)/216n(7n - 6)17n(15n - 13)/218n(8n - 7)常見的幾種多邊形數(shù)的基本數(shù)據(jù)：常見的幾種多邊形數(shù)的基本數(shù)據(jù)：怎樣判斷一個自然數(shù)是否是多邊形數(shù)？有一種簡單的測試法，可以判斷一個自然數(shù)是不是多邊有一種簡單的測試法，可以判斷一個自然數(shù)是不是多邊形數(shù)。形數(shù)。只需把這個數(shù)乘以只需把這個數(shù)乘以8(n8(n2)2)，再加上，再加上(n(n4)24)2，如果得到，如果得到的結(jié)果是一個平方數(shù)，那么，這個

9、數(shù)就是一個的結(jié)果是一個平方數(shù)，那么，這個數(shù)就是一個n n邊形數(shù)，邊形數(shù)，否則，就不是。否則，就不是。比如，想知道比如，想知道4545是不是一個六邊形數(shù)。取是不是一個六邊形數(shù)。取n n6 6，因為，因為45458(68(62)2)(6(64)24)245458 84 42222144014404 414441444，是一個平方數(shù)，是一個平方數(shù)(1444(1444383822) )，所以，所以，4545，是六邊，是六邊形數(shù)。形數(shù)。1 1：完全數(shù)：完全數(shù) 如果一個數(shù)等于除它本身以外的全部因數(shù)之和，這個如果一個數(shù)等于除它本身以外的全部因數(shù)之和，這個數(shù)就叫做完全數(shù)。數(shù)就叫做完全數(shù)。2 2：盈數(shù)：盈數(shù) 如

10、果一個數(shù)大于除它本身以外的全部因數(shù)之和，這個如果一個數(shù)大于除它本身以外的全部因數(shù)之和，這個數(shù)就叫做盈數(shù)。數(shù)就叫做盈數(shù)。3 3：虧數(shù)：虧數(shù) 如果一個數(shù)小于除它本身以外的全部因數(shù)之和，這個如果一個數(shù)小于除它本身以外的全部因數(shù)之和，這個數(shù)就叫做虧數(shù)。數(shù)就叫做虧數(shù)。完全數(shù)的特征完全數(shù)的特征 1. 1.所有的完全數(shù)都是所有的完全數(shù)都是三角形數(shù)三角形數(shù) 2. 2.可以表示成連續(xù)奇可以表示成連續(xù)奇立方數(shù)立方數(shù)之和之和 （除（除6 6以外的完全數(shù)，都可以表示成連續(xù)奇立方以外的完全數(shù)，都可以表示成連續(xù)奇立方數(shù)之和，并規(guī)律式增加）數(shù)之和，并規(guī)律式增加） 3 3. .都可以表達為都可以表達為2 2的一些連續(xù)正整數(shù)次

11、冪之和的一些連續(xù)正整數(shù)次冪之和4.4.完全數(shù)都是以完全數(shù)都是以6 6或或8 8結(jié)尾結(jié)尾 如果以如果以8 8結(jié)尾，那么就肯定是以結(jié)尾，那么就肯定是以2828結(jié)尾。（科結(jié)尾。（科學家仍未發(fā)現(xiàn)由其他數(shù)字結(jié)尾的完全數(shù)。）學家仍未發(fā)現(xiàn)由其他數(shù)字結(jié)尾的完全數(shù)。）5.5.各位數(shù)字輾轉(zhuǎn)式相加個位數(shù)是各位數(shù)字輾轉(zhuǎn)式相加個位數(shù)是1 1 除除6 6以外的完全數(shù)，把它的各位數(shù)字相加，直以外的完全數(shù)，把它的各位數(shù)字相加，直到變成個位數(shù)，那么這個個位數(shù)一定是到變成個位數(shù)，那么這個個位數(shù)一定是1 1。6.6.它們被它們被3 3除余除余1 1、被、被9 9除余除余1 1、被、被2727除余除余1 1 除除6 6以外的完全數(shù)，

12、它們被以外的完全數(shù)，它們被3 3除余除余1 1、9 9除余除余1 1、還、還有的可被有的可被2727除余除余1 1現(xiàn)狀：現(xiàn)狀：16162282283496349648,12848,128533,550,336533,550,336 47 242643800 X 47 242643800 X （242643801-1)242643801-1)48 257885160 X (257885161-1)48 257885160 X (257885161-1) 由于后面數(shù)字位數(shù)較多，例子只列到前由于后面數(shù)字位數(shù)較多，例子只列到前5 5個，第個，第1313個有個有314314位。位。 到第到第3939個完

13、全數(shù)有個完全數(shù)有2567412725674127位數(shù)，據(jù)估計它以四號字打出需要一本字書。位數(shù)，據(jù)估計它以四號字打出需要一本字書。歷史知識： 公元前公元前6 6世紀的世紀的畢達哥拉斯畢達哥拉斯是最早研究完全數(shù)是最早研究完全數(shù)的人，他已經(jīng)知道的人，他已經(jīng)知道6 6和和2828是完全數(shù)。畢達哥拉斯曾說：是完全數(shù)。畢達哥拉斯曾說：“6“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身。分是完整的，并且其和等于自身?！庇行┯行┦ソ?jīng)圣經(jīng)注釋家認為注釋家認為6 6和和2828是上帝創(chuàng)造世界時所用的基本數(shù)字，是上帝創(chuàng)造世界時所用的基本數(shù)字，因為

14、上帝創(chuàng)造世界花了六天，二十八天則是月亮繞因為上帝創(chuàng)造世界花了六天，二十八天則是月亮繞地球一周的日數(shù)。地球一周的日數(shù)。圣圣奧古斯丁奧古斯丁說：說：6 6這個數(shù)本身就這個數(shù)本身就是完全的，并不因為上帝造物用了六天；事實上，是完全的，并不因為上帝造物用了六天；事實上，因為這個數(shù)是一個完全數(shù)，所以上帝在六天之內(nèi)把因為這個數(shù)是一個完全數(shù)，所以上帝在六天之內(nèi)把一切事物都造好了。一切事物都造好了。歷史知識： 在中國文化里：有六谷、六畜、戰(zhàn)國時在中國文化里：有六谷、六畜、戰(zhàn)國時期的六國、秦始皇以六為國數(shù)、六常（仁、義、期的六國、秦始皇以六為國數(shù)、六常（仁、義、禮、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，禮、智、

15、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6 6和和2828，在中國歷史長河中，之所以熠熠生輝，在中國歷史長河中，之所以熠熠生輝，是因為它是一個完全數(shù)。難怪生有的學者說，是因為它是一個完全數(shù)。難怪生有的學者說，中國發(fā)現(xiàn)完全數(shù)比西方還早呢。中國發(fā)現(xiàn)完全數(shù)比西方還早呢。歷史知識： 完全數(shù)誕生后，吸引著眾多數(shù)學家與業(yè)余愛完全數(shù)誕生后，吸引著眾多數(shù)學家與業(yè)余愛好者像淘金一樣去尋找。它很久以來就一直好者像淘金一樣去尋找。它很久以來就一直對數(shù)對數(shù)學家和業(yè)余愛好者有著一種特別的吸引力，他們學家和業(yè)余愛好者有著一種特別的吸引力，他們沒完沒了地找尋這一類數(shù)字。接下去的兩個沒完沒了地找尋這一類數(shù)字。接下去的兩個完全完全數(shù)

16、數(shù)看來是公元看來是公元1 1世紀，世紀，畢達哥拉斯學派畢達哥拉斯學派成員尼克成員尼克馬馬修斯修斯發(fā)現(xiàn)的，他在其發(fā)現(xiàn)的，他在其數(shù)論數(shù)論一書中有一段話如一書中有一段話如下：也許是這樣，正如美的、卓絕的東西是罕有下：也許是這樣，正如美的、卓絕的東西是罕有的，是容易計數(shù)的，而丑的、壞的東西卻滋蔓不的，是容易計數(shù)的，而丑的、壞的東西卻滋蔓不已；是以已；是以盈數(shù)盈數(shù)和虧數(shù)非常之多，雜亂無章，它們和虧數(shù)非常之多，雜亂無章，它們的發(fā)現(xiàn)也毫無系統(tǒng)。的發(fā)現(xiàn)也毫無系統(tǒng)。梅森素數(shù)： 梅森素數(shù)是由梅森數(shù)而來。所謂梅森數(shù)，是梅森素數(shù)是由梅森數(shù)而來。所謂梅森數(shù)，是指形如指形如2 2P P1 1的一類數(shù)，其中指數(shù)的一類數(shù)，其

17、中指數(shù)p p是素數(shù)，常記是素數(shù)，常記為為MpMp 。如果梅森數(shù)是素數(shù)，就稱為梅森素數(shù)。用。如果梅森數(shù)是素數(shù)，就稱為梅森素數(shù)。用因式分解法可以證明，若因式分解法可以證明，若MpMp是素數(shù)，則其指數(shù)是素數(shù)，則其指數(shù)p p也是素數(shù)；反之則不然，即當也是素數(shù)；反之則不然，即當p p是素數(shù)時，是素數(shù)時，MpMp未未必是素數(shù)。比如當必是素數(shù)。比如當p=2p=2，3 3，5 5，7 7時，時，MpMp都是素數(shù)，都是素數(shù)，但但M M1111=2047=23=2047=238989卻不是素數(shù)。前幾個較小的梅卻不是素數(shù)。前幾個較小的梅森數(shù)大都是素數(shù)，然而梅森數(shù)越大，梅森素數(shù)也森數(shù)大都是素數(shù)，然而梅森數(shù)越大，梅森素

18、數(shù)也就越難出現(xiàn)。是否存在無窮多個梅森素數(shù)是數(shù)論就越難出現(xiàn)。是否存在無窮多個梅森素數(shù)是數(shù)論中未解決的著名難題之一。目前僅發(fā)現(xiàn)中未解決的著名難題之一。目前僅發(fā)現(xiàn)4848個梅森個梅森素數(shù)，最大的是素數(shù)，最大的是 2 257885161578851611 1（即（即2 2的的5788516157885161次次方減方減1 1），有），有1742517017425170位數(shù)。位數(shù)。親和數(shù)：1 1）定義）定義 把一對存在特殊關(guān)系的數(shù)稱為親和數(shù)把一對存在特殊關(guān)系的數(shù)稱為親和數(shù); ;在遙遠在遙遠的古代的古代, ,人們發(fā)現(xiàn)某些自然數(shù)之間有特殊的關(guān)系人們發(fā)現(xiàn)某些自然數(shù)之間有特殊的關(guān)系: :如果兩個數(shù)如果兩個數(shù) a

19、 a 和和 b b，a a 的所有除本身以外的因數(shù)的所有除本身以外的因數(shù)之和等于之和等于 b b，b b 的所有除本身以外的因數(shù)之和等的所有除本身以外的因數(shù)之和等于于 a a，則稱，則稱a a 和和b b 是一對親和數(shù)。是一對親和數(shù)。2 2）提出時間：公元前）提出時間：公元前580500580500年年3 3）曾用名：相親數(shù)，朋友數(shù)）曾用名：相親數(shù)，朋友數(shù)4 4）親和數(shù)舉例：）親和數(shù)舉例：220220和和284284，11841184和和12101210，26202620和和 29242924，50205020和和55645564，62326232和和63686368親和數(shù)歷史： 首先發(fā)現(xiàn)首先

20、發(fā)現(xiàn)220220與與284284就是一對親和數(shù)，在以就是一對親和數(shù)，在以后的后的15001500年間，世界上有很多數(shù)學家致力于探年間，世界上有很多數(shù)學家致力于探尋親和數(shù)。公元九世紀，伊拉克哲學、醫(yī)學、尋親和數(shù)。公元九世紀，伊拉克哲學、醫(yī)學、天文學和物理學家泰比特天文學和物理學家泰比特依本庫拉曾提出過依本庫拉曾提出過一個求親和數(shù)的法則，因為他的公式比較繁雜，一個求親和數(shù)的法則，因為他的公式比較繁雜，難以實際操作，再加上難以辨別真假，所以他難以實際操作，再加上難以辨別真假，所以他并沒有給人們帶來驚喜，或走出困境。數(shù)學家并沒有給人們帶來驚喜，或走出困境。數(shù)學家們?nèi)匀粵]有找到第二對親和數(shù)。直到費爾馬們

21、仍然沒有找到第二對親和數(shù)。直到費爾馬（1601166516011665）才發(fā)現(xiàn)了另一對親和數(shù)：）才發(fā)現(xiàn)了另一對親和數(shù)：1729617296和和1841618416。1 1、定義：、定義： 一般地，若三角形三邊長一般地，若三角形三邊長a a，b b，c c都是正整數(shù)，且滿都是正整數(shù)，且滿足足a a，b b的平方和等于的平方和等于c c的平方，那么數(shù)組（的平方，那么數(shù)組（a a，b b，c c）稱為）稱為勾股數(shù)組。勾股數(shù)組是人們?yōu)榱私獬鰸M足勾股定理的不定勾股數(shù)組。勾股數(shù)組是人們?yōu)榱私獬鰸M足勾股定理的不定方程的所有整數(shù)解而創(chuàng)造的概念。方程的所有整數(shù)解而創(chuàng)造的概念。 畢達哥拉斯學派也給出了表達該勾股數(shù)

22、組的一般法畢達哥拉斯學派也給出了表達該勾股數(shù)組的一般法則，即（則，即（m m，（，（m m-1-1）/2/2，（，（m m+1+1）/2/2），其中），其中m m為奇數(shù)，后為奇數(shù)，后來柏拉圖也給出了類似的表達（來柏拉圖也給出了類似的表達（2m2m，m m-1-1，m m+1+1），歐幾里），歐幾里得也給出過通解（得也給出過通解（ ，( ) /2 ( ) /2 ，( )/2 ) ( )/2 ) 其中，其中，m mn n。然而，這三個公式都不能給。然而，這三個公式都不能給出全部的勾股數(shù)組。出全部的勾股數(shù)組。勾股數(shù)組勾股數(shù)組m nm2-n2m2+n2常見的勾股數(shù)組及幾種通式 (1).(3 (1).(

23、3，4 4，5)5)，(6(6，8 8，10)10)通式通式:(3n:(3n，4n4n，5n)5n) (n(n為正整數(shù)為正整數(shù)) )(2).(5(2).(5，1212，13)13)，(7(7，2424，25)25)通式通式:(2n+1:(2n+1，2n2n+2n+2n，2n2n+2n+1)+2n+1) (n(n為正整數(shù)為正整數(shù)) )(3).(8(3).(8，1515，17)17)，(12(12，3535，37)37)通式通式:(2n:(2n，n n1 1，n n+1)+1) (n(n為正整數(shù)，為正整數(shù)，n4)n4)(4).(m(4).(m-n-n，2mn2mn，m m+n+n) ) (m(mn

24、 n，m m，n n均為正整數(shù)）均為正整數(shù)）畢達哥拉斯定理 定義定義: :把直角三角形的兩直角邊平方和等于把直角三角形的兩直角邊平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理。數(shù)學公理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理。數(shù)學公式中常寫作式中常寫作a a+b+bc c畢達哥拉斯定理的歷史 公元前公元前550550年，畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此，年，畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此，外國人通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。外國人通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。 公元前公元前11201120年，我國商代數(shù)學家商高就提出，將一根年，我國商代數(shù)學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即于五，即“勾三，股四，弦五勾三，股四，弦五”，它們被記載于我國古代著，它們被記載于我國古代著名的數(shù)學著作周髀算經(jīng)中。故又稱為商高定理。名的數(shù)學著作周髀算經(jīng)中。故又稱為商高定理。 公元前公元前17001700年從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界年從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最