第2章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

1、本章簡介本章簡介(1/2)本本 章章 簡簡 介介q 本章討論動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。 主要介紹狀態(tài)空間分析中 狀態(tài)空間模型的建立、 狀態(tài)空間模型的線性變換、 MIMO的傳遞函數(shù)陣、 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,以及 離散時間動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 本章最后介紹基于Matlab的控制模型的建立與變換問題的程序設(shè)計與計算。本章簡介本章簡介(2/2) 本章將力圖讓讀者建立起狀態(tài)、狀態(tài)空間與狀態(tài)空間變換的概念,掌握狀態(tài)空間模型的建立方法,打下狀態(tài)空間分析的基礎(chǔ)。目錄(1/1)目目 錄錄q 概述概述q 2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型狀態(tài)和狀態(tài)空間模型q 2.2 根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)

2、空間模型q 2.3 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型 q 2.4 狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型q 2.5 傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣q 2.6 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 q 2.7 Matlab問題問題 q 本章小結(jié)本章小結(jié)概述(1/12)概概 述述q 控制理論主要是研究動態(tài)系統(tǒng)的系統(tǒng)分析、優(yōu)化和綜合等問題。 所謂動態(tài)系統(tǒng)(又稱為動力學(xué)系統(tǒng)),抽象來說是指能儲存輸入信息(或能量)的系統(tǒng)。例如, 含有電感和電容等儲存電能量的元件的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng), 含有彈簧和質(zhì)量體等通過位移運動來儲存機械能量的剛

3、體力學(xué)系統(tǒng), 存在熱量和物料信息平衡關(guān)系的化工熱力學(xué)系統(tǒng)等。概述(2/12) 這類系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)(靜力學(xué)系統(tǒng))的區(qū)別在于: 靜態(tài)系統(tǒng)的輸出取決于當前系統(tǒng)的瞬時輸入,而動態(tài)系統(tǒng)的輸出取決于系統(tǒng)當前及過去的輸入信息的影響的疊加。 如,電阻的電流直接等于當前的電壓輸入與電阻值之比,而電容兩端的電壓則是通過電容的當前及過去的電流的積分值與電容值之比。概述(3/12)q 在進行動態(tài)系統(tǒng)的分析和綜合時,首先應(yīng)建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,它是我們進行系統(tǒng)分析、預(yù)報、優(yōu)化及控制系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)。 在系統(tǒng)和控制科學(xué)領(lǐng)域內(nèi),數(shù)學(xué)模型是指能描述動態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達式,它包含 數(shù)值型的和邏輯型的, 線性的和非線性的,

4、 時變的和定常的, 連續(xù)時間型的和離散時間型的, 集中參數(shù)的和分布參數(shù)的等等。 這種描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達式亦稱為系統(tǒng)的動態(tài)方程。概述(4/12) 建立數(shù)學(xué)模型的主要方法有: 機理分析建模機理分析建模。v 按照系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu),工作原理,并通過某些決定系統(tǒng)動態(tài)行為的物理定律、化學(xué)反應(yīng)定律、社會和經(jīng)濟發(fā)展規(guī)律,以及v 各種物料和能量的平衡關(guān)系等來建立系統(tǒng)模型。 實驗建模實驗建模(系統(tǒng)辨識系統(tǒng)辨識)。v 通過對系統(tǒng)的實驗或?qū)嶋H運行過程中取得能反映系統(tǒng)的動態(tài)行為的信息與數(shù)據(jù),用數(shù)學(xué)歸納處理的方法來建立系統(tǒng)模型。概述(5/12)q 值得指出的是,不同建模目的,采用不同數(shù)學(xué)工具和描述方式,以及對模型精

5、度的不同要求,都會導(dǎo)致不同的數(shù)學(xué)模型。 因此,一個實際的系統(tǒng)也可以用不同的數(shù)學(xué)模型去描述。 例如,嚴格說來,大多數(shù)實際系統(tǒng)的動力學(xué)模型都具有非線性特性,而且系統(tǒng)是以分布參數(shù)的形式存在。 若在建立數(shù)學(xué)模型中考慮這些復(fù)雜因素,必然將使所建立的模型中含有復(fù)雜的非線性微分方程或偏微分方程,這樣就給模型在系統(tǒng)分析、控制系統(tǒng)的設(shè)計和實現(xiàn)上帶來相當大的困難性。 在給定的容許誤差范圍內(nèi),如果將這些復(fù)雜因素用線性特性、集中參數(shù)的形式去近似描述系統(tǒng),將大大簡化系統(tǒng)模型的復(fù)雜程度,從而使所建立的模型能有效地運用到系統(tǒng)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計等方面。概述(6/12) 當然過多考慮系統(tǒng)的各種復(fù)雜因素的簡化和近似,也必然影響數(shù)

6、學(xué)模型的精度,以及模型在分析、綜合和控制中的應(yīng)用效果。 因此,一個合理的數(shù)學(xué)模型應(yīng)是對其準確性和簡化程度作折中考慮,它是在忽略次要因素,在現(xiàn)實條件和可能下,在一定精度范圍內(nèi)的,盡可能抓住主要因素,并最終落腳于實際應(yīng)用的目標、條件(工具)與環(huán)境的結(jié)果。 模型并不是越精確越好、越復(fù)雜越好模型并不是越精確越好、越復(fù)雜越好。 概述(7/12)q 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的主要數(shù)學(xué)模型,它適用于SISO線性定常系統(tǒng),能便利地處理這一類系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)分析或頻率法的分析和設(shè)計。 但是,對于MIMO系統(tǒng)、時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng),這種數(shù)學(xué)模型就無能為力。 傳遞函數(shù)僅能反映系統(tǒng)輸入與輸出之間傳遞的線

7、性動態(tài)特性,不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)變化特性。 因而是一種對系統(tǒng)的外部動態(tài)特性的描述,這就使得它在實際應(yīng)用中受到很大的限制。概述(8/12)q 現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。 在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時,系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述的。 它能反映系統(tǒng)的全部獨立變量的變化,從而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運動狀態(tài),而且還可以方便地處理初始條件。 因而,狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動態(tài)行為的全部信息,是對系統(tǒng)行為的一種完全描述。概述(9/12)q 狀態(tài)空間分析法不僅適用于SISO線性定常系統(tǒng),也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及隨機系統(tǒng)等。 因而,

8、狀態(tài)空間分析法適用范圍廣,對各種不同的系統(tǒng),其數(shù)學(xué)表達形式簡單而且統(tǒng)一。 更突出的優(yōu)點是,它能夠方便地利用數(shù)字計算機進行運算和求解,甚至直接用計算機進行實時控制,從而顯示了它的極大優(yōu)越性。概述(10/12)q 本章主要介紹 機理建模、 各種數(shù)學(xué)模型間的變換和 狀態(tài)空間(即狀態(tài)空間模型)變換。概述(11/12)q本章需解決的問題與難點本章需解決的問題與難點: 基本概念: 狀態(tài)、狀態(tài)空間 狀態(tài)空間模型-狀態(tài)空間模型及其意義 如何建立狀態(tài)空間模型 由機理出發(fā) 由微分方程出發(fā) 由傳遞函數(shù)出發(fā) 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā) 狀態(tài)空間變換 特征值、特征向量與特征空間 狀態(tài)空間變換本章重點與難點本章重點本章重點概述(1

9、2/12) 傳遞函數(shù)陣 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 離散時間動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)和狀態(tài)空間模型(1/2)2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型狀態(tài)和狀態(tài)空間模型q 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的,因此,對這些基本概念進行嚴格的定義和相應(yīng)的討論,必須準確掌握和深入理解。 狀態(tài) 狀態(tài)變量 狀態(tài)空間 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間的基本概念的基本概念(1/1)2.1.1 狀態(tài)空間的基本概念狀態(tài)空間的基本概念q 下面將給出動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)空間的概念,主要講授內(nèi)容為： 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量 系統(tǒng)的狀態(tài)空間系統(tǒng)的狀態(tài)空間系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(1/5)1. 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量系

10、統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量q 動態(tài)(亦稱動力學(xué))系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個詞的字面意思就是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在將來的運動狀況。 正確理解“狀態(tài)”的定義與涵義,對掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要。 “狀態(tài)”的定義如下。q 定義定義2-1 動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),是指能夠完全描述完全描述系統(tǒng)時間域動態(tài)時間域動態(tài)行為行為的一個最小變量組最小變量組。 該變量組的每個變量稱為狀態(tài)變量。 該最小變量組中狀態(tài)變量的個數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(2/5)q “狀態(tài)”定義的三要素 完全描述完全描述。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時刻(t=t0)的值和初始時刻后(tt0)的輸入,則系統(tǒng)在任何瞬時(tt0)的行為,即系統(tǒng)的狀態(tài),就可完全

11、且唯一的確定。 動態(tài)時域行為動態(tài)時域行為。 最小變量組最小變量組。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨立的。 減少變量,描述不全。 增加則一定存在線性相關(guān)的變量,冗余的變量,毫無必要。要掌握喔!系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(3/5)q 若要完全描述n階系統(tǒng),則其最小變量組必須由n個變量(即狀態(tài)變量)所組成,一般記這n個狀態(tài)變量為x1(t),x2(t), ,xn(t). 若以這n個狀態(tài)變量為分量,構(gòu)成一個n維變量向量,則稱這個向量為狀態(tài)變量向量,簡稱為狀態(tài)向量,并可表示如下:1212.nnxxx xxxx 系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài) x1,x2,xn u1 u2 ur y1 y2 ym 圖2-1 多輸入多輸出系統(tǒng)示

12、意圖系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(4/5)q 狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。 它可以是能直接測量或觀測的量,也可以是不能直接測量或觀測的量； 可以是物理的,甚至可以是非物理的,沒有實際物理量與之直接相對應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。狀態(tài)空間系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(5/5)q 狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)系 狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。 而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合(濾波、優(yōu)化與控制等)時所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動態(tài)特性,并非系統(tǒng)的全部動態(tài)特性。 因此,狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律。 可以說輸出變量僅僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn),是狀態(tài)變量的輸出空間的投影,一個子集。

13、輸出空間空間映射xy系統(tǒng)的狀態(tài)空間(1/1)2. 系統(tǒng)的狀態(tài)空間q 若以n個狀態(tài)變量x1(t),x2(t),xn(t)為坐標軸,就可構(gòu)成一個n維歐氏空間,并稱為n維狀態(tài)空間,記為Rn.q 狀態(tài)向量的端點在狀態(tài)空間中的位置,代表系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)。 x1 x2 x(t0) x(t1) x(t2) x(t) 隨著時間的推移,狀態(tài)不斷地變化,tt0各瞬時的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡,它稱為狀態(tài)軌線。 狀態(tài)軌線如圖2-2所示。圖2-2 二維空間的狀態(tài)軌線系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(1/11)2.1.2 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型q 狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對動態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型

14、,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對系統(tǒng)進行分析和綜合的基礎(chǔ)。 狀態(tài)空間模型由 描述系統(tǒng)的動態(tài)特性行為的狀態(tài)方程狀態(tài)方程和 描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出輸出方程方程所組成。 下面以一個由電容、電感等儲能元件組成的二階RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例,說明狀態(tài)空間模型的建立和形式,然后再進行一般的討論。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(2/11)q例例 某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖2-3所示。 試建立以電壓ui為系統(tǒng)輸入,電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態(tài)空間模型。q 解 1. 根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量所滿足的關(guān)系式。根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量所滿足的關(guān)系式。 對本例,針對RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點電流關(guān)系,列出各

15、電壓和電流所滿足的方程ddddLLCiCLiRiLuutuiCt + R - L C + - uC iL ui 圖2-3 例2-3的RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(3/11)2. 選擇狀態(tài)變量。選擇狀態(tài)變量。 狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)為獨立一階儲能元件(如電感和電容)的個數(shù)。 對本例x1(t)=iL, x2(t)=uC3. 將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程,整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組-狀態(tài)方程。 每個狀態(tài)變量對應(yīng)一個一階微分方程,導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)為1,非導(dǎo)數(shù)項列寫在方程的右邊。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(4/11) 對本例,經(jīng)整理可得如下狀態(tài)方程1122- /-1/1/1/00ixxR LLLux

16、xC寫成向量與矩陣形式為：212 10 xxxuC122111dd11ddxCtxuLxLxLRtxi4. 列寫描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程。 對本例系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(5/11)其中5. 將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫在一起,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型xyuxxCBA 100/ 10/ 1/ 1-/-21CLBCLLRAuuxxCiyux系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(6/11)q 由上述例子,可總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為ABCD xxuyxu其中x為n維的狀態(tài)向量;u為r維的輸入向量;y為m維的輸出向量;A為nn維的系統(tǒng)矩陣;B為nr維的輸入矩陣;C為mn維的輸出矩陣;D為mr

17、維的直聯(lián)矩陣(前饋矩陣,直接轉(zhuǎn)移矩陣)。描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型,切記!系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(7/11)q 對前面引入的狀態(tài)空間模型的意義,有如下討論: 狀態(tài)方程狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性, 其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化。 輸出方程輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況, 它主要決定系統(tǒng)的動態(tài)特性。 輸入矩陣輸入矩陣B又稱為控制矩陣, 它表示輸入對狀態(tài)變量變化的影響。 輸出矩陣輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。 直聯(lián)矩陣直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對輸出的直接影響,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系,即直聯(lián)矩陣D=0。系統(tǒng)的狀態(tài)

18、空間模型(8/11)q 上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至 非線性系統(tǒng)、 時變系統(tǒng)。1. 非線性時變系統(tǒng)非線性時變系統(tǒng)( , , )( , , )tt xf x uyg x u其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為如下n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時間t的非線性向量函數(shù)f(x,u,t)=f1(x,u,t) f2(x,u,t) fn(x,u,t)g(x,u,t)=g1(x,u,t) g2(x,u,t) gm(x,u,t)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(9/11)2. 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)( , )( , ) xf x uyg x u其中f(x,u)和g(x,u)分別為n維和m維狀態(tài)x和

19、輸入u的非線性向量函數(shù)。 這些非線性函數(shù)中不顯含時間t,即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不隨時間變化而變化。3. 線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)( )( )( )( )A tB tC tD t xxuyxu其中各矩陣為時間t的函數(shù),隨時間變化而變化。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(10/11)4. 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)q 為簡便,常將線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡記為(A(t),B(t),C(t),D(t). 類似地,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡記為(A,B,C,D). 幾種簡記符的意義:ABCD xxuyxu( , ,):ABA B CC xxuyx系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(11/11)( ,):A BABxxu( ,):

20、AA CC xxyx線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖(1/5)2.1.3 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖q 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達出來,以形象說明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。 在采用模擬或數(shù)字計算機仿真時,它是一個強有力的工具。 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件: 積分器積分器, 加法器加法器, 比例器比例器,其表示符如圖2-4所示。線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖(2/5)圖2-4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本元件 x2 x1 x1+x2 2xk x(t) x kx ( )x t (a) 積分器 (b) 加法器 (c) 比例器 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的

21、結(jié)構(gòu)圖(3/5)q 例 線性時變系統(tǒng) y x B(t) A(t) C(t) D(t) u + + + + x ( )( )( )( )A tB tC tD t xxuyxu的結(jié)構(gòu)圖如圖2-5所示。圖2-5 多輸入多輸出線性時變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖(4/5)q 若需要用結(jié)構(gòu)圖表示出各狀態(tài)變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關(guān)系,則必須根據(jù)實際的狀態(tài)空間模型,畫出各變量間的結(jié)構(gòu)圖。 圖2-6表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入-雙輸出線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。21222112112122211211212122211211212221121121uuddddxxccccyyuu

22、bbbbxxaaaaxx線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖(5/5)圖2-6 雙輸入雙輸出線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型(1/5)2.2 根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型q 建立被控對象的數(shù)學(xué)模型是進行系統(tǒng)分析和綜合的第一步,是控制理論和工程的基礎(chǔ). 上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物理機理及電網(wǎng)絡(luò)分析方法. 這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機理建立對象的數(shù)學(xué)模型的方法稱為機理建模. 機理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲存和傳遞中的動態(tài)平衡關(guān)系,以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的

23、關(guān)系,如電感的電壓和電流滿足的動態(tài)關(guān)系.根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型(2/5)q 在實際工程系統(tǒng)中,許多過程和元件都具有儲存和傳遞能量 (或信息)的能力。例如, 機械動力學(xué)系統(tǒng)中的彈簧和運動中的質(zhì)量體都儲存有能量并能通過某種形式傳遞; 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲存與傳遞; 化工反應(yīng)系統(tǒng)中的反應(yīng)物質(zhì)的物料傳遞和平衡的信息.對這些系統(tǒng),根據(jù)其物理和化學(xué)變化的機理,由相應(yīng)描述這些變化的物理和化學(xué)的定理、定律和規(guī)律等,可得系統(tǒng)各物理量之間所滿足的動靜態(tài)關(guān)系式.因此,在選擇適宜的狀態(tài)變量后,可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型.根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型(3/5)q 建立動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的主要機理/依據(jù)有

24、: 電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中回路和節(jié)點的電壓和電流平衡關(guān)系,電感和電容等儲能元件的電壓和電流之間的動態(tài)關(guān)系. 機械動力學(xué)系統(tǒng)中的牛頓第二定律,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關(guān)系. 對旋轉(zhuǎn)運動,則相應(yīng)的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度. 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲存,化工反應(yīng)工程系統(tǒng)中參加反應(yīng)的物料的傳遞和平衡關(guān)系. 經(jīng)濟系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型(4/5)q 建立狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取，它是建立狀態(tài)空間模型的前提 狀態(tài)變量的主要選取辦法 系統(tǒng)儲能元件的輸出 系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導(dǎo)數(shù) 上述狀態(tài)變量的數(shù)學(xué)投影（使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標準形式的變量）根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀

25、態(tài)空間模型(5/5)q 下面通過常見的 剛體力學(xué)系統(tǒng)剛體力學(xué)系統(tǒng)、 流體力學(xué)系統(tǒng)流體力學(xué)系統(tǒng)、 典型化工典型化工(熱工熱工)過程過程 機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)討論如何建立狀態(tài)空間模型.剛體動力學(xué)系統(tǒng)(1/4)1. 剛體動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述剛體動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述q 圖2-7表示由彈簧、質(zhì)量體、阻尼器組成的剛體動力學(xué)系統(tǒng)的物理模型. 試建立以外力u(t)為系統(tǒng)輸入,質(zhì)量體位移y(t)為輸出的狀態(tài)空間模型. m kfuy圖2-7 彈簧-質(zhì)量體-阻尼器系統(tǒng) 剛體動力學(xué)系統(tǒng)(2/4)q 解 對許多實際系統(tǒng),由于對系統(tǒng)的各種物理量的初始值或絕對值難于了解,一般將對物理量僅考慮在其相對于初

26、始狀況之后的相對值。 對本例的剛體力學(xué)系統(tǒng),一般先假設(shè)在外力u(t)作用于小車之前,小車已處于平衡態(tài)。 下面僅考慮外力加入后,對小車運動的影響. 系統(tǒng)的受力情況如下圖所示. ky fy u 2. 選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量. 對機械動力學(xué)系統(tǒng),常常將位移、速度等選作狀態(tài)變量. 對本例,有剛體動力學(xué)系統(tǒng)(3/4)1. 應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所滿足的關(guān)系式所滿足的關(guān)系式. 由牛頓第二定律有kytyfutymdddd2212( )( )( )( )x ty tx ty t 剛體動力學(xué)系統(tǒng)(4/4)4. 建立輸出方程建立輸出方程y=x1

27、5. 經(jīng)整理經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型010- /- /1/ 10 k mf mmxxuyx3. 將狀態(tài)變量代入將狀態(tài)變量代入運動方程122121-xxkfxxxummm流體動力學(xué)系統(tǒng)(1/5)2. 流體力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述流體力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述q 圖2-8為串聯(lián)的兩個水槽,其截面積分別為A1和A2,當閥門的開度不變,在平衡工作點附近閥門阻力系數(shù)分別可視為常量R1和R2. 圖中Qi,Q1和Qo為流量;h1和h2為水槽的水面高度. 試求輸入為Qi,輸出為h2時的狀態(tài)空間模型. h1 Qi R1 Q1 Q0 R2 h2 圖2-8 例2-3的兩個水槽串聯(lián)系統(tǒng) 流體動力學(xué)系統(tǒng)(2/5

28、)q 下面在討論本例的解之前,先簡單總結(jié)一下如下流量與壓力(壓強)的關(guān)系.q 解 對本例的流體力學(xué)系統(tǒng),假設(shè)對兩個水槽的流入和流出的水流體已處于平衡. 下面僅考慮流量Qi的變化量Qi引起的水槽水位的變化.壓力流量電路電壓電流流體壓力(液位差)液體流量氣體氣壓差(壓強) 氣流量(風量)壓力/流量電阻閥門阻力系數(shù)風阻力系數(shù)流體動力學(xué)系統(tǒng)(3/5)1. 機理分析機理分析. 根據(jù)水槽中所盛的水量的平衡關(guān)系和流量與壓力(水面高度,液位差)的關(guān)系,有221222111111-dd-ddhQRQQthAhhQRQQthAOoi其中代表平衡工作點附近的變化量.q 將上述方程的中間變量Q1和Qo消去,則有221

29、212212111-dd-ddRhRhhthARhhQthAi流體動力學(xué)系統(tǒng)(4/5)2. 選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量. 由于只有兩個獨立的微分方程,故可選擇兩個狀態(tài)變量. 對本例的流體動力學(xué)系統(tǒng),可選水面高度的變化量h1和h2為狀態(tài)變量,即x1(t)=h1(t), x2(t)=h2(t)3. 將狀態(tài)變量代入上述水面高度變化量的動態(tài)方程,則有如下狀態(tài)方程112111111221221212111-1-xxxuARARARRxxxA RA R R流體動力學(xué)系統(tǒng)(5/5)4. 建立輸出方程建立輸出方程y=x25. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型1111112212121111001ARARA

30、RRA RA RRxxuyx典型化工典型化工(熱工熱工)過程過程 (1/5)3. 典型化工典型化工(熱工熱工)過程的狀態(tài)空間描述過程的狀態(tài)空間描述q 圖2-9為一化學(xué)反應(yīng)器,它是一均勻、連續(xù)流動單元,其中發(fā)生如下二級吸熱反應(yīng)QfCAfQCAf圖2-9 某化工(熱工)過程2AB該化工反應(yīng)生產(chǎn)過程為: 溫度為f(常量),含A物質(zhì)濃度為CAf(常量)的料液以Q(t)的流量進入反應(yīng)器; 為保證單元內(nèi)的液體體積不變,假定流出的流量亦為Q(t);典型化工典型化工(熱工熱工)過程過程 (2/5) 為了使化學(xué)反應(yīng)向右進行,用蒸汽對反應(yīng)器內(nèi)的溶液進行加熱,蒸汽加熱量為q(t)。試以料液的流量Q(t)和蒸汽加熱量

31、q(t)為輸入,容器內(nèi)的液體的溫度(t)和濃度CA(t)為輸出,建立狀態(tài)空間模型。典型化工典型化工(熱工熱工)過程過程 (3/5)q 解 1. 機理分析機理分析. 在化學(xué)反應(yīng)中,一般應(yīng)保持熱量和物料的平衡關(guān)系。 因此,對整個反應(yīng)器作熱量和物料平衡,就有)()()(d)(d)()()()()(d)(d22tkCtCCVtQttCCtkCHCVtqtVtQttAAAfAPAPf其中V,CP分別為容器體積、比重和比熱;k為反應(yīng)速率常數(shù); H為反應(yīng)熱。典型化工典型化工(熱工熱工)過程過程 (4/5)2. 選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量. 顯然,選擇容器內(nèi)的液體的溫度(t)和濃度CA(t)為狀態(tài)變量是合理的。

32、因此,令x1(t)=(t) x2(t)=CA(t)3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下狀態(tài)方程AfPfPCVtQkxxVtQxCVtqVtQxCkHxVtQx)()()()()()(22222211典型化工典型化工(熱工熱工)過程過程 (5/5)q 上述狀態(tài)空間模型表示的是一個雙輸入雙輸出的非線性定常系統(tǒng)。21)()(xxtCtAy和輸出方程機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(1/5)4. 機電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述機電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 q 圖2-10表示某電樞控制的直流電動機,其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感,J為轉(zhuǎn)動慣量,負載為摩擦系數(shù)為f的阻尼摩擦. 試列寫以電樞電壓u(t)為輸入,軸的角位移(

33、t)為輸出的狀態(tài)空間模型. + - J, f f M La ia Ra u 圖2-10 電樞控制的直流電動機原理圖 機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(2/5)q 解解 1. 設(shè)電動機勵磁電流不變,鐵心工作在非飽和區(qū). 按照圖2-10所描述的電動機系統(tǒng),可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程其中Ea和M分別為如下電樞電勢和轉(zhuǎn)矩Ea=Ced/dt, M=CMia其中Ce和Cm分別為電樞電勢常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)(含恒定的磁通量) .a22dddddda aaaiuR iLEtMJftt機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(3/5) 因此,上述主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動運動方程可記為2. 選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量. 對于本例,若已知電樞電流

34、ia(t),角位移(t)和其導(dǎo)數(shù)d/dt在初始時刻t0的值,以及電樞電壓u,則上述微分方程組有唯一解. 因此,可以選擇狀態(tài)變量如下tftJiCtCtiLiRuameaaadddddddd22a123d ( )( )( )( )( )( )datx ti tx ttx tt機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(4/5)3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下狀態(tài)方程113233131-aeaaamRCxxxuLLLxxCfxxxJJ4. 建立輸出方程y=x2機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(5/5)5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型xyuxx01000101000amaeaaLJfJCLCLR根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模

35、型-小結(jié)(1/3)本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)q 由上述由上述4 4個例子個例子, ,可總結(jié)出由系統(tǒng)的物理機理建立狀態(tài)空間?？煽偨Y(jié)出由系統(tǒng)的物理機理建立狀態(tài)空間模型的基本步驟為型的基本步驟為: :Step 1. 根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部機理得到各物理量所滿足的微分方程根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部機理得到各物理量所滿足的微分方程. 如: 回路電壓和節(jié)點電流方程, 牛頓第二定律, 熱量和物料平衡關(guān)系, 經(jīng)濟學(xué)中的投入產(chǎn)出方程等還記得自動控制原理課中怎么寫模型根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(2/3)Step 2. 選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量. 一般狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)為獨立的一階儲能元件數(shù),并將儲能元件上的物理變量及各階導(dǎo)數(shù)選為狀態(tài)變量,如

36、 電網(wǎng)絡(luò)中電容電壓和電感電流, 剛體力學(xué)系統(tǒng)中慣性體的位移和速度(或角位移和角速度), 流體力學(xué)系統(tǒng)中流量和液面高度(容量、體積), 化工系統(tǒng)中熱量(或溫度)和流量(或濃度)等物理變量作為狀態(tài)變量,是較方便的.寫狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵喔根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(3/3)Step 3. 將選擇好的狀態(tài)變量代換將選擇好的狀態(tài)變量代換Step 1得到的各微分方程得到的各微分方程組組,整理得一階微分方程組整理得一階微分方程組.Step 4. 根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸出變量得關(guān)系根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸出變量得關(guān)系,建立輸出方程建立輸出方程.Step 5. 整理規(guī)范的狀態(tài)空間模型整理規(guī)范的狀態(tài)空間模型.q

37、 基于上述機理建模方法對系統(tǒng)機理、結(jié)構(gòu)和參數(shù)未知的系統(tǒng)可建立狀態(tài)空間模型， 但對于系統(tǒng)機理、結(jié)構(gòu)和參數(shù)未知的系統(tǒng),其狀態(tài)空間模型的建立,通常只能通過辨識的途徑,即用實驗建模的方法,通過對系統(tǒng)所作試驗而得到的輸入輸出數(shù)據(jù),用統(tǒng)計的方法確定其數(shù)學(xué)模型。根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型( (1/2)2.3 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型間模型q 本節(jié)討論由描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動態(tài)特性的高階常微分方程與傳遞函數(shù),通過選擇適當?shù)臓顟B(tài)變量分別建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 這樣的問題稱為系統(tǒng)的實現(xiàn)問題。 這種變換過程的原則

38、是,不管狀態(tài)變量如何選擇,應(yīng)保持系統(tǒng)輸入輸出間的動態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型( (2/2)q 本節(jié)的內(nèi)容為： 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型(1/1)2.3.1 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型q 本節(jié)主要討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常微分方程建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,分別討論 由不

39、含輸入量導(dǎo)數(shù)項和由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項和 由含輸入量導(dǎo)數(shù)項的由含輸入量導(dǎo)數(shù)項的微分方程建立狀態(tài)空間模型。q 本節(jié)關(guān)鍵問題: 如何選擇狀態(tài)變量 保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變關(guān)鍵喔!微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(1/9)1. 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項q 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動態(tài)行為,不包含有輸入量的導(dǎo)數(shù)項時的線性定系數(shù)常微分方程為y(n)+a1y(n-1)+any=bu其中y和u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入;n為系統(tǒng)的階次。 這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型-狀態(tài)空間模型ABCDxxuyxu 本節(jié)問題的關(guān)

40、鍵是如何選擇狀態(tài)變量。微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(2/9)q 由微分方程理論知,若初始時刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)已知,則對給定的輸入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即系統(tǒng)在tt0的任何瞬時的動態(tài)都被唯一確定。 因此,選擇狀態(tài)變量為如下相變量相變量x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻劃系統(tǒng)的動態(tài)特性。 取輸出y和y的各階導(dǎo)數(shù)(也稱相變量)為狀態(tài)變量,物理意義明確,易于接受。微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(3/9)q 將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程,有如下狀態(tài)方程12111.nnnnnx

41、xxxxa xa xbu和輸出方程y=x1微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(4/9)q 將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有12101000001000000101000nnnaaaab xxuyx12. , nx xxuyxuy其中和。微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(5/9)q 該狀態(tài)空間模型可簡記為:其中ABCxxuyx0.01 0.0-.-1.00.0.1011CbBaaaAnn微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(6/9)q 上述式子清楚說明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣A與微分方程(2-6)中的系數(shù)a1, a2, an之間,輸入矩陣B與方程(2-6)中系數(shù)b之間的對應(yīng)關(guān)系。 通常將上述取輸出y和

42、y的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱為相變量。q 上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式,該矩陣的最后一行與其矩陣特征多項式的系數(shù)有對應(yīng)關(guān)系,前n-1行為1個n-1維的零向量與(n-1)(n-1)的單位矩陣。 該類矩陣稱為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類重要的矩陣,這在后面的章節(jié)中可以看到。微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(7/9)q 上述實現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 b u -a1 1 -a22 -an-1 -an nx u xn xn-1 x2 x1 y 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(8/9)-例2-1q 例2-1 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”+6y”

43、+11y+6y=6uq 解 本例中a1=6 a2=11 a3=6 b=6因此,當選擇輸出y及其1階與2階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時,由式(2-11)和(2-12)可得狀態(tài)空間模型如下 0100001061166100 xxuyx微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(9/9)-例2-1其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 6 -6 1 -112 -6 3x u x3 x2 x1 y 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(1/11)2. 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項q 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動態(tài)行為的微分方程的一般表達式為y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu 本小節(jié)所

44、要研究的是建立上述常微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型-狀態(tài)空間模型ABCDxxuyxu 建立該狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量?微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(2/11)q 若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量,即x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)則可得如下狀態(tài)方程121( )110.nnnnnnnxxxxxa xa xb ub u 根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件,要求輸入u(t)為分段連續(xù),而上述狀態(tài)方程中輸入u的各階導(dǎo)數(shù)可能不連續(xù),從而使微分方程解的存在性和唯一性的條件不成立。 因此,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入u的導(dǎo)數(shù)項出現(xiàn),

45、即不能直接將輸出y的各階導(dǎo)數(shù)項取作狀態(tài)變量。微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(3/11)q 為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導(dǎo)數(shù),通常, 可利用輸出y和輸入u以及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來組成狀態(tài)變量,其原則是: 使狀態(tài)方程中不顯含輸出u的各階導(dǎo)數(shù)。 基于這種思路選擇狀態(tài)變量的方法很多,下面先介紹一種,其他的方法將在后續(xù)章節(jié)中陸續(xù)介紹。微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(4/11)q 根據(jù)上述原則,選擇狀態(tài)變量如下)1(021)1(012301201nnnnnuuuyxuuuyxuuyxuyx 其中i(i=0,1,n)為待定系數(shù)。微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(5/11) 因此,有102121032(1)(1

46、)12301( )( )120(1)( )(1)101( )120nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxuxyuuxuxyuuuxuxyuuua ya yb ubub uuuu 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(6/11) 若待定系數(shù)i(i=0,1,n)滿足如下關(guān)系式0=b01=b1-a102=b2-a11-a20n =bn-a1n-1-an0即i(i=0,1,n)滿足如下方程組nnnnnbbbbaaaaaa210210211211010010001微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(7/11)121121001000010000011000nnnnnaaaaxxuyxu12. , nx xx

47、uyxuy其中和。則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項的狀態(tài)空間模型微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(8/11)q 上述實現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 u -a1 -an-1 -an nx xn x1 n u n-1 1 1nx x2 y 0 1x 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(9/11)-例2-2q 例2-2 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24uq 解 本例中a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此,有0=b0=01=b1-a10=22=b2-a11-a20 =43=b3-a12-a21

48、-a30 =-12微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(10/11)-例2-2 因此,當選擇狀態(tài)變量如下時0102001448512100 xxuyx即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為uuyuuuyxuyuuyxyuyx 242012301201微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(11/11)-例2-2 其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 u -5 -8 -4 3x x3 x1 -12 u 4 2 2x x2 y 1x 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(1/6)2.3.2 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型q 下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 關(guān)鍵問題: 1.

49、如何選擇狀態(tài)變量2. 保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變喔,關(guān)鍵!線性定常微分方程由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(2/6)q 由于傳遞函數(shù)與線性定系數(shù)常微分方程有直接的對應(yīng)關(guān)系,故前面討論的由高階線性微分方程建立狀態(tài)空間模型的方法同樣適用于將傳遞函數(shù)建立變換為狀態(tài)空間模型。 類似地,本節(jié)討論的由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法亦適用于對微分方程建立狀態(tài)空間模型。傳遞函數(shù)第一章第三節(jié)方法第一章第四節(jié)方法建立狀態(tài)空間模型方法對線性定常系統(tǒng)拉氏變換由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(3/6)q 實際物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子多項式階次小于或等于其分母多項式階次

50、,此時稱該傳遞函數(shù)為真有理傳遞函數(shù)。 而分子多項式階次小于分母多項式階次時,則稱為嚴格真有理傳遞函數(shù)。q 本節(jié)討論描述單輸入單輸出(SISO)線性系統(tǒng)的輸入輸出間動態(tài)行為的如下傳遞函數(shù)1010101.( )(0).nnnnnnb sb sbG saa sa sa由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(4/6) 對上述傳遞函數(shù),由長除法,有101101111000001010.( )././.( )nnnnnnnnnnnnb sb sbG sa sa saba b asba b aba sa saaG sd其中000001111.)(aabbbaaaabdasasbsbsGiiii

51、innnnn由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(5/6) 本節(jié)所要研究的是建立該傳遞函數(shù)所描述的動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(A,B,C,D)。q 上述常數(shù)項d即為狀態(tài)空間模型(A,B,C,D)中的直聯(lián)矩陣D; 嚴格真有理傳遞函數(shù)G(s)對應(yīng)可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。 即 S G(s) (A,B,C) d D 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(6/6)q 下面分傳遞函數(shù) 極點互異和極點互異和 有重極點有重極點兩種情況討論如何建立狀態(tài)空間模型。傳遞函數(shù)中極點互異時的變換(1/8)1. 傳遞函數(shù)中極點互異時的變換傳遞函數(shù)中極點互異時的變換q 對于傳

52、遞函數(shù)G(s),其特征方程為sn+a1sn-1+an=0若其特征方程的n個特征根s1,s2,sn互異,則用部分分式法可將G(s)表示為如下并聯(lián)分解 其中k1,k2,kn為待定系數(shù),其計算公式為11121212.( ).( - )( - ).( - )-nnnnnb sbkkkG ss ss ss ss ss ss sissiisssGk)-)(自己推導(dǎo)一下,行嗎?傳遞函數(shù)中極點互異時的變換(2/8)q 下面以k1計算式的推導(dǎo)過程為例說明的ki的計算式。 將G(s)的乘以s-s1,有因此,由于特征根s1,s2,sn互異，有)-(-.-)-)(12211ssssksskksssGnn1)-)(11

53、sssssGkq 下面討論通過選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。第2項將s1代入為0。傳遞函數(shù)中極點互異時的變換(3/8)q 考慮到,輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足因此,若選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿足則,經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(-.)(-)(-)()()(2211sUssksUssksUssksUsGsYnnnisUsssXii,.,2 , 1)(-1)(1,2,.,iiixs xuin傳遞函數(shù)中極點互異時的變換(4/8)q 相應(yīng)地,系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因此,經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程y=k1x1+k

54、2x2+knxnq 整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下狀態(tài)空間模型12120.010.01.00.1.nnssskkk xxuyx傳遞函數(shù)中極點互異時的變換(5/8)q 上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個重要特征,即A為對角線矩陣。 u xn x1 k1 k2 kn y x2 1 s-s1 1 s-s2 1 s-sn 系統(tǒng)矩陣A具有上述對角線形式的狀態(tài)空間模型即為下一節(jié)將詳細討論的所謂對角線規(guī)范形。 事實上,由式(2-23)和狀態(tài)空間模型(2-26)可知,對角線規(guī)對角線規(guī)范形其實是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為范形其實是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為n個一階子系統(tǒng)個一階子系統(tǒng)(慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié))的的并聯(lián)并聯(lián),如

55、右圖所示。圖2-11 對角線規(guī)范形的結(jié)構(gòu)圖傳遞函數(shù)中極點互異時的變換(6/8)-例2-3q 例2-3 用部分分式法將例2-1中微分方程對應(yīng)的下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型322( )6116G ssss傳遞函數(shù)中極點互異時的變換(7/8)q 解解 由系統(tǒng)特征多項式s3+6s2+11s+6可求得系統(tǒng)極點為s1=-1 s2=-2 s3=-3于是有332211)(ssksskssksG其中112233 ( )(1)1 ( )(2)2 ( )(3)1ssskG s skG s skG s s 傳遞函數(shù)中極點互異時的變換(8/8)q 故當選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯(lián)分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出, 可得

56、如下狀態(tài)空間模型100102010031 121 xxuyxq 將上述結(jié)果與例2-1的結(jié)果相比較可知,即使對同一個系統(tǒng),采用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法,將得到不同的狀態(tài)空間模型。 即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。傳遞函數(shù)中有重極點時的變換(1/13)2. 傳遞函數(shù)中有重極點時的變換傳遞函數(shù)中有重極點時的變換q 當系統(tǒng)特征方程有重根時,傳遞函數(shù)不能分解成如式nnssksskssksG-.-)(2211的情況,亦得不到如式(2-26)所示的狀態(tài)方程。q 不失一般性,為清楚地敘述變換方法,以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有6個根,其值分別為s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1為3重極點,s2為2重極點。 相

57、應(yīng)地,用部分分式法可將所對應(yīng)的傳遞函數(shù)表示為傳遞函數(shù)中有重極點時的變換(2/13)其中kij為待定系數(shù),其計算公式為552255144111321123111254315451-)-(-)-()-()-)(-()-(.)(ssksskssksskssksskssssssbsbsbsGljsssGsjkisslijjij,.,2 , 1)-)(dd)!1-(11 -1 -會推導(dǎo)嗎?嘗試一下其中l(wèi)為極點si的重數(shù)。傳遞函數(shù)中有重極點時的變換(3/13)q 下面以系數(shù)k13的計算公式的推導(dǎo)為例來說明kij的計算式 將G(s)的乘以(s-s1)3 ,有32111121131351524112455(

58、)( - )( - )( - )( - )-( - )-G s s skks sks skkks ss ss ss s12313121 d ( )( - ) 2!ds skG s s ss第2項將s1代入為0。 對等式兩邊求2次導(dǎo)數(shù)后22335152411131222455dd( )( - )2( - )dd-( - )-kkkG s s sks ssss ss ss s 因此，有傳遞函數(shù)中有重極點時的變換(4/13)q 下面討論通過選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。q 如何選擇狀態(tài)變量如何選擇狀態(tài)變量? 考慮到,輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足)(-)()-()(-)(-)()-(

59、)()-()()()(552255144111321123111sUssksUssksUssksUssksUssksUssksUsGsY傳遞函數(shù)中有重極點時的變換(5/13)q 選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿足)(-1)()()-(1)()(-1)()(-1)()()-(1)()()-(1)(562554413212311sUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssX 則有)(-1)()-(1-1)(212111sXsssUsssssX傳遞函數(shù)中有重極點時的變換(6/13)即有 則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為122331114456655111( )( )( )(

60、 )( )( )-1( )( )-11( )( )( )( )-X sXsXsXsXsU ss ss ss sXsU ss sXsXsXsU ss ss s111221233134445556656xs xxxs xxxs xuxs xuxs xxxs xu傳遞函數(shù)中有重極點時的變換(7/13)q 相應(yīng)地,系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6傳遞函數(shù)中有重極點時的變換(8/13)q 因此