化工系統(tǒng)第2章

1、第一章第一章 緒緒 論論l 第一節(jié)第一節(jié) 過程系統(tǒng)工程的起源和特性過程系統(tǒng)工程的起源和特性l 第二節(jié)第二節(jié) 過程系統(tǒng)工程的主要研究內容和現(xiàn)狀過程系統(tǒng)工程的主要研究內容和現(xiàn)狀l 第三節(jié)第三節(jié) 過程系統(tǒng)工程的的研究方法過程系統(tǒng)工程的的研究方法2022-6-131第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念第二節(jié)第二節(jié) 單變量方程基本解法單變量方程基本解法第三節(jié)第三節(jié) 非線性代數(shù)方程組解法非線性代數(shù)方程組解法2022-6-132第一篇第一篇 化工系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模擬分析化工系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模擬分析第二章第二章 非線性代數(shù)方程組的解法非線性代數(shù)方程組的解法第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念 不同形式的方程，所采取的求解方法不同，不

2、同形式的方程，所采取的求解方法不同，有的解法適合于求解隱式方程，有的解法適合于有的解法適合于求解隱式方程，有的解法適合于求解顯式方程求解顯式方程2022-6-1330)( xf)(xx (1)(2)一、方程的隱式和顯式表達形式一、方程的隱式和顯式表達形式隱式隱式顯式顯式2022-6-134 0),(0),(0),(21212211nnnnxxxfxxxfxxxf ),(),(),(2121222111nnnnnxxxxxxxxxxxx 0)(xf)(xx2022-6-135二、兩種表達形式的相互轉化二、兩種表達形式的相互轉化 理論上，只要給出了一種表達形式的方程，就理論上，只要給出了一種表達形

3、式的方程，就可以寫出另一種表達形式。但實際上情況比較復雜可以寫出另一種表達形式。但實際上情況比較復雜從顯式方程組變?yōu)殡[式方程組從顯式方程組變?yōu)殡[式方程組0)( xx )()(xxxf 從隱式方程向顯式方程的轉換從隱式方程向顯式方程的轉換0273 x273 xxx2/27xx )272(312xxx 2022-6-136對于方程組對于方程組 可以有如下兩種不同寫法可以有如下兩種不同寫法 25222122211xxxxxxx 5322122111xxxxxxx 由隱式方程組中的由隱式方程組中的哪個方程哪個方程生成生成哪個變量哪個變量的問的問題，稱之為變量與方程的題，稱之為變量與方程的“匹配匹配”問

4、題。問題。 不同匹配方案得到的顯式方程組，對今后的求不同匹配方案得到的顯式方程組，對今后的求解有不同的影響。解有不同的影響。對于方程組來說，除了匹配問題，對于方程組來說，除了匹配問題，前面單變量方程所面臨的困境也依然存在。前面單變量方程所面臨的困境也依然存在。 020522121xxxx（1）（2）2022-6-1370)( xf)(xx 難，多解難，多解易，唯一易，唯一如何求解方程或方程組？如何求解方程或方程組？ 解析解解析解 數(shù)值解數(shù)值解2022-6-139三、非線性代數(shù)方程組的迭代求解法三、非線性代數(shù)方程組的迭代求解法迭代：迭代：給定某個初值，反復作用于同一個函數(shù)給定某個初值，反復作用于

5、同一個函數(shù)的過程的過程方程的求解：迭代就是對求解變量的初值進行方程的求解：迭代就是對求解變量的初值進行逐步改進，使之一步一步地逐漸逼近方程的解逐步改進，使之一步一步地逐漸逼近方程的解這樣的每一步，叫做迭代法中的這樣的每一步，叫做迭代法中的一輪迭代一輪迭代如何利用每一輪如何利用每一輪( (或不只一輪或不只一輪) )所提供的信息，所提供的信息，來來產生下一輪的改進值產生下一輪的改進值的過程，稱為的過程，稱為不同的迭代方案就構成了各種不同的迭代方案就構成了各種迭代法迭代法2022-6-1310用一個統(tǒng)一的公式來表示所有的迭代過程：用一個統(tǒng)一的公式來表示所有的迭代過程：)()()()1(kkkkdtx

6、x )(kx第第 k 輪得到的近似值輪得到的近似值 )1( kx第第k+1輪輪得到的近似值得到的近似值)(kd)(kt)()(kkdt搜索方向，搜索方向，即朝哪兒走可以更逼近準確解即朝哪兒走可以更逼近準確解步長因子，步長因子，純量，在搜索方向上前進的距離純量，在搜索方向上前進的距離迭代步長，迭代步長，表示每一輪改進了多少表示每一輪改進了多少對于迭代提出如下問題：對于迭代提出如下問題：1 1：迭代是否朝著準確解的方向：迭代是否朝著準確解的方向2 2：何時停止迭代：何時停止迭代2022-6-1312以以 作為起點，開始一個迭代過程，得到一個作為起點，開始一個迭代過程，得到一個數(shù)列：數(shù)列：)0(x)

7、()2()1()0(,kxxxx xxkklim)(迭代過程迭代過程)(kkxlim 不存在，迭代過程不存在，迭代過程的值發(fā)生重復，不分散不收斂，稱為的值發(fā)生重復，不分散不收斂，稱為)(kx準確解準確解2022-6-1313例如初始位置在例如初始位置在(0, 0, 0)原點原點)0 , 0 , 1()( kd1)( kt 0010011000)1(x 在實際過程中，只要某次迭代結果的精度滿足在實際過程中，只要某次迭代結果的精度滿足應用要求就可以了。此時就需要應用要求就可以了。此時就需要終止判據(jù)終止判據(jù)，當解滿，當解滿足精度要求時停止迭代。足精度要求時停止迭代。沿沿x 軸方向搜軸方向搜索了一個單

8、位索了一個單位2022-6-1314常用的終止判據(jù)常用的終止判據(jù) )()(kxf0)()( kxf即基本滿足即基本滿足 )()()(kkxx即基本滿即基本滿足足)()()(kkxx )()1()(kkkxxx0)( kx )1()(kkxx前提為前提為2022-6-1315.是是符號，它的定義為：符號，它的定義為：)(.)()()()(2)(22)(21)(knkkkxfxfxfxf 2)1()(2)1(2)(22)1(1)(1)1()()()()( knknkkkkkkxxxxxxxx2022-6-1316注注 意意 雖然這幾種收斂判據(jù)在實踐中已普遍采用，且雖然這幾種收斂判據(jù)在實踐中已普遍采

9、用，且一般情況下也都有效，但在某些特殊情況下也不全一般情況下也都有效，但在某些特殊情況下也不全如人意。如人意。 此外，此外，的取值也難恰到好處。因此，在迭代的取值也難恰到好處。因此，在迭代過程中對這方面的問題也應給以一定的重視。過程中對這方面的問題也應給以一定的重視。第二節(jié)第二節(jié) 單變量方程基本解法單變量方程基本解法0)( xf)(xx (1)(2)隱式隱式顯式顯式考慮幾何意義？考慮幾何意義？2022-6-1318第二節(jié)第二節(jié) 單變量方程基本解法單變量方程基本解法 不同形式的方程有不同的解法，而不同迭代不同形式的方程有不同的解法，而不同迭代解法之間的關鍵區(qū)別就是解法之間的關鍵區(qū)別就是迭代格式迭

10、代格式的不同。的不同。一、隱式迭代基本方法一、隱式迭代基本方法1.牛頓法牛頓法0)( xf在在 處作泰勒展開，保留一次項，可得處作泰勒展開，保留一次項，可得)(kxx )()()()()()(kkkxxxfxfxf 希望下一輪迭代時方程能被滿足，即希望下一輪迭代時方程能被滿足，即0)()1( kxf2022-6-13190)()()()()1()()()1( kkkkkxxxfxfxf因此，可以得到以下結果因此，可以得到以下結果則得則得)()()()()()1(kkkkxfxfxx 牛頓法實際上是把非線性方程牛頓法實際上是把非線性方程 逐步線性化逐步線性化 就是在點就是在點 處的斜率，因此，牛

11、頓法處的斜率，因此，牛頓法是是用切線來不斷近似曲線用切線來不斷近似曲線的。的。)()(kxf 0)( xf)(kx2022-6-1320牛頓迭代法示意圖牛頓迭代法示意圖切線切線切線方程的解切線方程的解2022-6-1321例：例：簡單蒸餾時，某時刻釜中殘液量與低沸點組簡單蒸餾時，某時刻釜中殘液量與低沸點組成成 x 之間有如下關系式之間有如下關系式)11ln(ln11ln000 xxxxFF 解：解：依題意可得依題意可得 6 . 011ln5 . 26 . 0ln15 . 212ln00 xxFF對于苯對于苯-甲苯物系，甲苯物系，=2.5，開始物系中含苯，開始物系中含苯60%，甲，甲苯苯40%，

12、若殘液量為原料加料量的一半時，試求殘，若殘液量為原料加料量的一半時，試求殘液中苯含量。液中苯含量。 收斂判據(jù)選收斂判據(jù)選 取取0.0001 )1()(kkxx2022-6-1322整理得到整理得到07402. 0)ln()1ln(5 . 2 xx令令 f(x)=2.5ln(1-x)-ln(x)+0.7402，則，則xxxf115 . 2)( 取取x 0 =0.4則則f(x0)=0.3794f (x0)=-6.6666x1=x0- f (x0)/f (x0)=0.4569再次迭代再次迭代 f(x1)=0.0003 f (x1)=-6.7919x2=x1- f (x1)/f (x1)=0.4569

13、4則則 00004. 0)4569. 045694. 0(212xx所以所以45694. 0 x2022-6-1323注意：注意：解題時要寫出解題時要寫出 和和 ，以及迭代，以及迭代公式和每一次的迭代結果，這樣計算結果一目了然，公式和每一次的迭代結果，這樣計算結果一目了然，容易檢查錯誤，一般可寫成列表形式：容易檢查錯誤，一般可寫成列表形式：)(xf)(xf )(kx)()(kxf)()(kxf 0 0.4 0.3794 -6.66661 0.4569 0.0003 -6.7919 0.45694迭代次數(shù)迭代次數(shù) k 如題目中沒有給出如題目中沒有給出精度要求和收斂判據(jù)精度要求和收斂判據(jù)，則，則解

14、題時要根據(jù)具體問題給予解題時要根據(jù)具體問題給予明確設定明確設定牛頓法求解隱式方程小結：牛頓法求解隱式方程小結：基本思想：采用切線線性化基本思想：采用切線線性化數(shù)學依據(jù)：數(shù)學依據(jù)：Taylor公式公式公式形式：包含變量值，變量函數(shù)值，公式形式：包含變量值，變量函數(shù)值， 變量導數(shù)值變量導數(shù)值2022-6-1325(1) 牛頓法對函數(shù)便于牛頓法對函數(shù)便于解析求導解析求導的方程求根是一種的方程求根是一種有效的方法，特別適用于高次代數(shù)方程和超越方程，有效的方法，特別適用于高次代數(shù)方程和超越方程，而且易于編程實現(xiàn)，收斂速度也較快。而且易于編程實現(xiàn)，收斂速度也較快。(2) 牛頓法每輪迭代只需利用前一輪的信息

15、，因此，牛頓法每輪迭代只需利用前一輪的信息，因此，只需只需設一個初始點設一個初始點。當方程存在多解時，初始點設。當方程存在多解時，初始點設得離哪個點近，通常就收斂到哪個解。得離哪個點近，通常就收斂到哪個解。2022-6-1326(3) 如果函數(shù)比較復雜或解析求導有困難時，可采如果函數(shù)比較復雜或解析求導有困難時，可采用數(shù)值求導的方法，即用用數(shù)值求導的方法，即用差分代替導數(shù)差分代替導數(shù)，公式為，公式為)()()(2)()()()()1(hxfhxfxfhxxkkkkk h 數(shù)值導數(shù)的半步長數(shù)值導數(shù)的半步長 這公式也就是用這公式也就是用 附近的一條割線斜率附近的一條割線斜率代替切線斜率代替切線斜率近

16、似牛頓法近似牛頓法)(kx2022-6-13272.割線法割線法 把牛頓法中的把牛頓法中的切線切線改成改成割線割線，即用割線近似，即用割線近似代替原曲線代替原曲線 ，就得到了割線法。，就得到了割線法。割線割線2022-6-1328 利用函數(shù)曲線上的兩個點利用函數(shù)曲線上的兩個點 和和 ，構造一條直線段來近似曲線段。迭代公式是：構造一條直線段來近似曲線段。迭代公式是：)1( kx)(kx)()()()()1()()1()()()1(kkkkkkkxfxfxfxxxx 或寫成或寫成)()()()()1(kkkkxfxx )()()1()()1()()( kkkkkxfxfxx 2022-6-1329

17、例：例：求求在大氣壓下在大氣壓下，苯、甲苯和乙苯的摩爾分數(shù)，苯、甲苯和乙苯的摩爾分數(shù)分別為分別為0.5、0.3和和 0.2 混合物的混合物的沸點沸點，并求，并求平衡蒸平衡蒸汽組成汽組成。每一純組分。每一純組分 i 的飽和蒸汽壓的飽和蒸汽壓 與絕對與絕對溫度溫度T 有下列關系有下列關系0ipTbapiii )(lg010P：mmHgT：K7600 iipxP2022-6-1330解：依題意解：依題意07602 . 03 . 05 . 0)(030201 pppTfK360)0( TK370)1( T138)()0( Tf91)()1( Tf設：設：有：有：所以所以K03 . 366)()()()

18、 1()0() 1()0() 1() 1()2( TfTfTfTTTT經經4輪迭代，輪迭代，得到得到T366.33K，各組分分壓為：，各組分分壓為：P苯苯=x苯苯*P苯苯0=0.5*1159.3=579. 64P甲苯甲苯=140.23； P乙苯乙苯=40.11平衡蒸汽組成平衡蒸汽組成：y苯苯= P苯苯/P= 0.7627， y甲苯甲苯=0.1845， y乙苯乙苯=0.05282022-6-1331本例題的迭代計算歷程本例題的迭代計算歷程注注 意意1. 不用求導，函數(shù)復雜不便于求導時，可用割線法不用求導，函數(shù)復雜不便于求導時，可用割線法2. 在作每一輪計算時，需要前兩輪的信息，即需要在作每一輪計

19、算時，需要前兩輪的信息，即需要兩個初始點，才能開始計算過程。兩個初始點，才能開始計算過程。2022-6-1332二、二、 顯式迭代基本方法顯式迭代基本方法1. 直接迭代法直接迭代法 對于顯式方程對于顯式方程)(xx 最簡單的迭代法就是直接迭代法，它的思路是最簡單的迭代法就是直接迭代法，它的思路是把第把第 k 輪的函數(shù)值直接作為下一輪的輪的函數(shù)值直接作為下一輪的 x 值，值，故迭代公式：故迭代公式：)()(1kkxx 2022-6-1333 直接迭代法的幾何意義很明顯，就是求直接迭代法的幾何意義很明顯，就是求 y=(x) 與直線與直線 y=x 的交點。的交點。迭代收斂迭代收斂 迭代發(fā)散迭代發(fā)散是

20、否收斂？是否收斂？函數(shù)形式非常重要函數(shù)形式非常重要2022-6-1334例子例子邏輯斯諦方程邏輯斯諦方程)1(xaxx 例例1：a=2)1(2xxx 2022-6-1335例例2：a=3.1)1(1 . 3xxx 2022-6-1336例例3：a=3.9)1(9 . 3xxx 2022-6-1337直接迭代法特征直接迭代法特征(1) 直接迭代法只需計算函數(shù)值，且只需一個初始點，直接迭代法只需計算函數(shù)值，且只需一個初始點，所以非常容易編程實現(xiàn)。所以非常容易編程實現(xiàn)。(2) 直接迭代法是否收斂，取決于直接迭代法是否收斂，取決于 的性質，即的性質，即 時，肯定收斂。時，肯定收斂。 時，則可能收斂也可

21、能不收斂。時，則可能收斂也可能不收斂。)(x 1)( x 1)( x 2022-6-13382韋格施坦法韋格施坦法 Wegstein 于于1958年提出，年提出，目的是加快直接迭目的是加快直接迭代法的收斂速度。代法的收斂速度。 韋格施坦法在單變量方程中的應用，其實質韋格施坦法在單變量方程中的應用，其實質就是割線法應用于顯式方程求根。就是割線法應用于顯式方程求根。 從任意兩個初始點從任意兩個初始點 和和 可以得到通過可以得到通過 和和 兩點的直線，其兩點的直線，其斜率為斜率為)1( kx)(kx)(,()1()1( kkxx )(,()()(kkxx )1()()1()()()()( kkkkk

22、xxxxs 2022-6-1339直線方程為直線方程為)()()()()(kkkxxsxy 因為它與因為它與 y=x 相交于相交于 x (k+1) 點點)()()()()() 1(kkkkkxxxx 解出解出)()(11kks )1()()1()()()()( kkkkkxxxxs 其中其中)()()() 1()()() 1(kkkkkxxsxx 故：故：2022-6-13402022-6-1341 韋格施坦法特征韋格施坦法特征(1) 只需計算函數(shù)值，收斂較快，特別適合計算機只需計算函數(shù)值，收斂較快，特別適合計算機計算。計算。(2) 每一輪計算，需要前兩輪的信息。每一輪計算，需要前兩輪的信息。

23、 在進行計算時，需要設置在進行計算時，需要設置兩個初始點兩個初始點。但應用。但應用中設置一個初始點，中設置一個初始點，第一輪迭代用直接迭代法第一輪迭代用直接迭代法得到得到第二個初始點，從第二輪開始用韋格施坦法。第二個初始點，從第二輪開始用韋格施坦法。2022-6-1342(3) 如果令如果令 q=1-，經幾步迭代后，經幾步迭代后，q 就逐步達到一就逐步達到一個比較穩(wěn)定的值，則可根據(jù)個比較穩(wěn)定的值，則可根據(jù) q 的值判斷收斂的性質的值判斷收斂的性質q0 單調收斂，收斂較快，但易不穩(wěn)定單調收斂，收斂較快，但易不穩(wěn)定0q0.5 振蕩收斂，收斂較慢，但穩(wěn)定振蕩收斂，收斂較慢，但穩(wěn)定0.5q1 單調發(fā)散

24、單調發(fā)散q=0 直接迭代法直接迭代法)()()()()() 1(kkkkkxxxx )()(11kks 2022-6-1343 為了使迭代過程既快又穩(wěn)定，提出了改進做法，為了使迭代過程既快又穩(wěn)定，提出了改進做法，主要是主要是限界和延遲（間歇）的應用限界和延遲（間歇）的應用631maxmin 1010maxmin 05maxmin 常用的界限有：常用的界限有：在界限外在界限外 取最大或最小值取最大或最小值maxmin ，就是規(guī)定就是規(guī)定2022-6-1344 ，指不是在每輪中連續(xù)應用韋格施坦法，指不是在每輪中連續(xù)應用韋格施坦法，而是而是每隔幾輪直接迭代法，調用一次韋格施坦法每隔幾輪直接迭代法，調

25、用一次韋格施坦法，則可以改善迭代過程的穩(wěn)定性和收斂效果。則可以改善迭代過程的穩(wěn)定性和收斂效果。通常可取間隔為通?？扇￠g隔為35輪輪2022-6-1345例：例：用韋格施坦法解范德華方程用韋格施坦法解范德華方程RTbVVaP )(2確定在確定在T=100和和P=50atm下氮氣的體積。對氮氣下氮氣的體積。對氮氣23-6/mol)matm10 1.351( a/molm1038.643-6 b解：解：首先，把方程變成的顯式形式首先，把方程變成的顯式形式bVaPRTV 2第一輪用直接迭代法，第一輪用直接迭代法，設設/mol0.01m3 )0(V66266)0()1(10737.3221064.380

26、1. 010351. 15015.1731006.82)( VV 則：則：2022-6-1346從第二輪起用韋格施坦法從第二輪起用韋格施坦法6)1(10270.264)( V 006034. 0)()()0()1()0()1()1( VVVVs 00607. 111)1()1( s 6)2(109496.263 V計算進程如下表：計算進程如下表：2022-6-1347第三節(jié)第三節(jié) 非線性代數(shù)方程組解法非線性代數(shù)方程組解法一、直接迭代法、韋格施坦法和割線法一、直接迭代法、韋格施坦法和割線法 由單變量方程擴展而來，在應用中有共同的特由單變量方程擴展而來，在應用中有共同的特點。點。1. 直接迭代法直

27、接迭代法 把單變量方程直接迭代法的公式，用向量的形把單變量方程直接迭代法的公式，用向量的形式寫出，得到方程組的直接迭代法的公式：式寫出，得到方程組的直接迭代法的公式：)()()1(kkxx 2022-6-1348 對一實際存在的循環(huán)系統(tǒng)，只要迭代變量的初對一實際存在的循環(huán)系統(tǒng)，只要迭代變量的初始值足夠接近于解，直接迭代法必定能收斂。始值足夠接近于解，直接迭代法必定能收斂。 對于化工過程流程模擬，直接迭代相當于模對于化工過程流程模擬，直接迭代相當于模擬裝置的開工過程，擬裝置的開工過程，對于能穩(wěn)定操作的化工裝置，對于能穩(wěn)定操作的化工裝置，直接迭代法必定能收斂。直接迭代法必定能收斂。它的分量形式：它

28、的分量形式：),.,()()(2)(1)1(knkkikixxxx （i=1，2，,n）2022-6-13492. 韋格施坦法韋格施坦法迭代公式如下：迭代公式如下：)()()()()()1(kikikikikixxxx 式中，式中，)()(11kikis )1()()1()()()()( kikikikikixxxxs （i=1，2，,n）2022-6-13503. 割線法割線法迭代公式如下：迭代公式如下：)()()()()1(kikikikixfxx )()()1()()1()()( kikikikikixfxfxx （i=1，2，n）2022-6-1351 使用三種方法的注意事項使用三種方

29、法的注意事項(1) 按照按照“一個方程收斂一個變量一個方程收斂一個變量”的方式進行求解，的方式進行求解，只適用于求解變量間只有只適用于求解變量間只有弱交互作用弱交互作用的方程組。的方程組。(2) 只須計算各方程的函數(shù)值，便于用計算機求解。只須計算各方程的函數(shù)值，便于用計算機求解。直接迭代法要一個初始點；韋格施坦法第一輪迭直接迭代法要一個初始點；韋格施坦法第一輪迭代時用直接迭代法，然后用韋格施坦法；割線法代時用直接迭代法，然后用韋格施坦法；割線法需兩個初始點。需兩個初始點。(3) 適用于求解顯式方程組，在化工流程模擬中，所適用于求解顯式方程組，在化工流程模擬中，所建立的顯式模型方程，變量與方程間

30、匹配恰當，建立的顯式模型方程，變量與方程間匹配恰當，求解順利。求解順利。2022-6-1352 (4) 直接迭代法形式最簡單，應用范圍廣，但在下列直接迭代法形式最簡單，應用范圍廣，但在下列場合不太適用：場合不太適用： A 組分間相互作用較強的溶液汽液平衡計算組分間相互作用較強的溶液汽液平衡計算 B 逆流分離過程逆流分離過程 C 冷熱流之間溫差較小的換熱器網絡冷熱流之間溫差較小的換熱器網絡 D 強烈放熱化學反應器的模擬強烈放熱化學反應器的模擬 韋格施坦法韋格施坦法（限界）（限界），因收斂較快，運行穩(wěn)定，因收斂較快，運行穩(wěn)定，在化工過程模擬中應用最廣泛在化工過程模擬中應用最廣泛 割線法實際應用較少

31、割線法實際應用較少2022-6-1353例：例：用直接迭代法解用直接迭代法解初始點（初始點（0.75,0.25）解：解：首先寫出迭代公式首先寫出迭代公式 )(1)1(22/12)(2)1(11)(1(kkkkxxxx25. 0,75. 0)0(2)0(1 xx所以所以已知已知 25. 075. 016882. 0)25. 01()1(22/12)1(1xx最后，可以解得最后，可以解得0, 121 xx 122/12211)1(xxxx(1)(2)2022-6-1354例：例：用韋格施坦法解用韋格施坦法解初值（初值（2，10，5）精度為精度為0.0001解：解：第一步用直接迭代法第一步用直接迭代

32、法5488397. 010)54(3)1(1 x211102. 7)5281(2/122)1(2 x158579. 310233)1(3 x232/131)4(xxx 2/123212)81(xxx 22/11333xxx 2022-6-1355 158579. 3211102. 75488397. 0)()1()0(xx 得到：得到： 47354. 440965. 852290. 1)()2()1(xx 7141. 04298. 0671. 0)1(s)0()1()0()1()1()()(iiiiixxxxs 5834. 06994. 05984. 0)1( )1()1(11iis 2022

33、-6-1356 9257. 30494. 81317. 1)()1()1()1()1()2(xxxx 最后得近似解為：最后得近似解為： 0000. 40000. 80000. 1自學：自學：P18 例例2-1、2-2方程匹配、限界、延遲方程匹配、限界、延遲2022-6-1357二、牛頓二、牛頓- -拉夫森（拉夫森（Newton-RaphsonNewton-Raphson）法）法 單變量方程解法牛頓法向方程組情況的推廣。單變量方程解法牛頓法向方程組情況的推廣?；舅枷耄夯舅枷耄簩⒎蔷€性方程組逐次進行線性化處理將非線性方程組逐次進行線性化處理對于方程組對于方程組0)( xf 在在 （第（第 k

34、輪迭代輪迭代 的計算值）處作的計算值）處作一階泰勒展開，得：一階泰勒展開，得：)(kxx x)()()()()()(kkkxxJxfxf 雅可比矩陣雅可比矩陣2022-6-1358J函數(shù)向量函數(shù)向量 的的雅可比（雅可比（Jacobian）矩陣）矩陣，相當于單變量方程情況下函數(shù)相當于單變量方程情況下函數(shù) f(x) 的導數(shù)的導數(shù) J（k）第第 k 輪迭代中雅可比矩陣的數(shù)值：輪迭代中雅可比矩陣的數(shù)值：)(xf)(xf 11112222( )12( )12.nknnnnknfffxxxfffxxxJfffxxxx2022-6-1359希望下一次迭代希望下一次迭代 能等于能等于 ：)()1( kxf0所

35、以：所以：0)()()()1()()( kkkkxxJxf推出：推出：)()()(1)()()1(kkkkxfJxx 的的逆矩陣逆矩陣)(kJ2022-6-1360 應用牛頓應用牛頓-拉夫森法的注意事項拉夫森法的注意事項1. 牛頓牛頓-拉夫森法適用于解拉夫森法適用于解隱式方程隱式方程，尤其是變量，尤其是變量之間存在強交互作用的方程。之間存在強交互作用的方程。2. 只需一個初始點即可開始迭代過程，而且收斂只需一個初始點即可開始迭代過程，而且收斂速度快。速度快。3. 對初始值要求高對初始值要求高，需要用解析法或數(shù)值法求導，需要用解析法或數(shù)值法求導，當函數(shù)復雜，方程多時，需要花大量時間。當函數(shù)復雜，

36、方程多時，需要花大量時間。2022-6-13614. 求雅可比矩陣的逆矩陣時工作量大求雅可比矩陣的逆矩陣時工作量大 在求解過程中，雅可比矩陣有可能是奇異矩陣。在求解過程中，雅可比矩陣有可能是奇異矩陣。兩種原因：兩種原因：建模型時出錯，此時需建模型時出錯，此時需對模型進行檢查修正對模型進行檢查修正；迭代過程中出現(xiàn)的（相當于單變量情況下迭代過程中出現(xiàn)的（相當于單變量情況下 時的情形），此時可時的情形），此時可重設初始值重設初始值。0)( xf2022-6-13625. 解析求導困難時，可用下式進行數(shù)值求導：解析求導困難時，可用下式進行數(shù)值求導：xi 為差分步長，為差分步長，xi 一般可取為一般可取

37、為0.001ijmiijijxxfxxxxxfxf )(),.,.,(212022-6-1363例：例：對串聯(lián)的油換熱器組進行最優(yōu)設計時，得到對串聯(lián)的油換熱器組進行最優(yōu)設計時，得到如下方程組如下方程組求油換熱器進出口的溫度求油換熱器進出口的溫度T1 和和 T2，已知初始值是，已知初始值是（180，292）。要求精度為）。要求精度為0.01 221212)400(02. 0400)300(0075. 0400TTTT)(Tf 0)400(02. 04000)300(0075. 040022122121TTfTTf解：（解：（1）寫出）寫出即：即：2022-6-1364)()0(Tf（2）計算）計

38、算 28.13)292400(02. 0400180)(0)180300(0075. 0400292)(2)0(22)0(1TfTf112 Tf（3）求出）求出 J)300(015. 0111TTf 121 Tf)400(04. 0222TTf )400(04. 011)300(015. 021TTJ 22122121)400(02. 0400)300(0075. 0400TTfTTf2022-6-1365（4）計算）計算 32. 4118 . 1)0(J（5）求逆）求逆 2656. 01476. 01476. 06375. 01)0(J（6）迭代）迭代 5277.2959599.181527

39、7. 39599. 1292180)()0(1)0()0()1(TfJTT（7）重復）重復(2)至至(6)步，直到滿足計算精度要求步，直到滿足計算精度要求776. 611)32. 4()8 . 1(32. 4118 . 1 JJ計算計算若：若：J 的行列式為非奇異（滿秩）方陣，即的行列式為非奇異（滿秩）方陣，即0 J則則 J 的逆矩陣為：的逆矩陣為： JJJ112022-6-1366J 的伴隨矩陣的伴隨矩陣矩陣求逆矩陣求逆 8 . 11132. 422122111JJJJJ求求 J*：先求：先求 中元素的代數(shù)余子式：中元素的代數(shù)余子式：J32. 432. 4)1(1111 J11)1(2112

40、 J121 J8 . 122 J 2656. 01476. 01476. 06375. 08 . 11132. 4776. 6111JJJ則則2022-6-1367三、布洛伊頓（三、布洛伊頓（BroydenBroyden）擬牛頓法）擬牛頓法l 牛頓牛頓-拉夫森法優(yōu)點：有一定理論基礎，收斂速度拉夫森法優(yōu)點：有一定理論基礎，收斂速度較快，效果較好。較快，效果較好。l 缺點：缺點：迭代公式中含有一個待解方程組中函數(shù)向迭代公式中含有一個待解方程組中函數(shù)向量量 的雅可比矩陣的逆矩陣的雅可比矩陣的逆矩陣雅可比矩陣的求取雅可比矩陣的求取，是同方程組數(shù)學形式直接有，是同方程組數(shù)學形式直接有關的運算，當方程組的

41、規(guī)模較大時，相當麻煩。關的運算，當方程組的規(guī)模較大時，相當麻煩。用解析求導，工作量很大，有時還有困難；用數(shù)用解析求導，工作量很大，有時還有困難；用數(shù)值求導也并不簡單。值求導也并不簡單。2022-6-1368)(xfl 比照著牛頓比照著牛頓-拉夫森法的迭代公式把迭代公式寫成拉夫森法的迭代公式把迭代公式寫成如下形式：如下形式： （2-31）l 如果如果 ，（，（2-31）式就是牛頓）式就是牛頓-拉夫拉夫森迭代公式。如果不按照牛頓森迭代公式。如果不按照牛頓-拉夫森方法取值，拉夫森方法取值，則這樣的求解方法就叫做則這樣的求解方法就叫做擬牛頓法擬牛頓法（Quasi-Newton Method）。）。l

42、對于迭代矩陣的具體構成，可以提出各種不同的對于迭代矩陣的具體構成，可以提出各種不同的方案，這樣就可形成不同的擬牛頓法。方案，這樣就可形成不同的擬牛頓法。2022-6-13691)()()( kkJH)()()()()1(kkkkxfHxx l 各種擬牛頓法中的迭代矩陣，一般各種擬牛頓法中的迭代矩陣，一般并不與待解方并不與待解方程組的數(shù)學形式直接掛鉤程組的數(shù)學形式直接掛鉤。因此在應用擬牛頓法。因此在應用擬牛頓法時，只需逐輪進行各方程的時，只需逐輪進行各方程的函數(shù)值函數(shù)值的計算，就可的計算，就可使迭代進行下去，方便，適用范圍更廣。使迭代進行下去，方便，適用范圍更廣。l 布洛伊頓法是應用得最廣泛的擬

43、牛頓法。在某些布洛伊頓法是應用得最廣泛的擬牛頓法。在某些文獻中，在稱擬牛頓法時，指的就是布洛伊頓法。文獻中，在稱擬牛頓法時，指的就是布洛伊頓法。2022-6-1370自學布洛伊頓法，例自學布洛伊頓法，例2-4作業(yè)：作業(yè)：P 250，習題，習題 4迭代法總結：迭代法總結：1.確定迭代方法確定迭代方法2.轉換方程形式轉換方程形式3.寫出迭代通式寫出迭代通式4.列表計算列表計算5.終止迭代終止迭代建議建議-多借助軟件多借助軟件MatlabMathematicMaple四、方程組的分塊和切割四、方程組的分塊和切割1.稀疏方程組稀疏方程組l 一個方程組共含有一個方程組共含有n個變量和個變量和n個方程，但

44、這并不個方程，但這并不意味著，意味著，n個方程中的每一個，都必含有個方程中的每一個，都必含有n個變量個變量的全體。很可能是某些方程中只含有的全體。很可能是某些方程中只含有n個變量中的個變量中的某幾個，另一些方程只含有某幾個，另一些方程只含有n個變量中的另外幾個。個變量中的另外幾個。這叫做方程組具有這叫做方程組具有“稀疏性稀疏性(Sparseness)”。這。這樣的方程組也被稱為樣的方程組也被稱為稀疏方程組稀疏方程組。l 化工系統(tǒng)的模型方程，通常都是稀疏方程組。而化工系統(tǒng)的模型方程，通常都是稀疏方程組。而且稀疏程度一般很高。且稀疏程度一般很高。2022-6-1373l 方程組的分塊和變量切割，就

45、是針對求解稀疏方方程組的分塊和變量切割，就是針對求解稀疏方程組的一種方法。程組的一種方法。l 方程組的分塊和變量的切割稱為方程組的分塊和變量的切割稱為方程組的分解方程組的分解。它與第六章要介紹的它與第六章要介紹的化工系統(tǒng)的分解化工系統(tǒng)的分解，本質上是，本質上是一致的，做法也類似。一致的，做法也類似。l 僅介紹方程組分塊和變量切割的基本概念。僅介紹方程組分塊和變量切割的基本概念。2022-6-1374 2.方程組的分塊（方程組的分塊（Partitioning） l例：稀疏方程組例：稀疏方程組2022-6-13750),(0),(0),(0),(0),(5315414421354322411xxx

46、fxxfxxxfxxxxfxxf 將方程組分成單獨求解的維數(shù)較低的子方程組，將方程組分成單獨求解的維數(shù)較低的子方程組，并確定子方程組求解順序的過程并確定子方程組求解順序的過程x1、 x4f1 、f4x2f3x3、 x5f2 、f5123 3. 變量的切割（變量的切割（Tearing） l 稀疏方程組分塊后，其子方程組還可能是稀疏的，稀疏方程組分塊后，其子方程組還可能是稀疏的，但又不能再通過分解降維。可以設想以下求解辦但又不能再通過分解降維。可以設想以下求解辦法：法：l 首先選擇幾個變量并給以估計值，然后利用稀疏首先選擇幾個變量并給以估計值，然后利用稀疏方程算出這些變量的計算值，利用前面介紹的迭方程算出這些變量的計算值，利用前面介紹的迭代計算方法，計算出這些變量的解。代計算方法，計算出這些變量的解。l 這一方法叫做這一方法叫做切割法切割法，被選擇的少數(shù)幾個變量叫，被選擇的少數(shù)幾個變量叫做做切割變量切割變量（Tearing Variables）。）。 2022-6-1376稀疏方程的切割解法稀疏方程的切割解法 2022-6-13770),(0),(0),(0),(0),(5435542145432354125321xxxfxxxxfx