保險(xiǎn)精算損失模型課件

1、1第十章第十章 損失模型損失模型 2第一節(jié)第一節(jié) 風(fēng)險(xiǎn)與保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)與保險(xiǎn) l 保險(xiǎn)公司在其經(jīng)營(yíng)過(guò)程中，必須認(rèn)識(shí)到風(fēng)險(xiǎn)與保險(xiǎn)的下述基本關(guān)系： （1）保險(xiǎn)是將風(fēng)險(xiǎn)從被保險(xiǎn)人向保險(xiǎn)人的轉(zhuǎn)移；（2）保險(xiǎn)人也需要對(duì)其所承保的超額風(fēng)險(xiǎn)尋求保險(xiǎn)保障；（3）風(fēng)險(xiǎn)集合包含的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)越多，其相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)越?。唬?）不同的被保險(xiǎn)人具有不同的風(fēng)險(xiǎn)水平；（5）在很多情況下，少數(shù)巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)所造成的損失將占到總損失的很大比重。 3第二節(jié)第二節(jié) 損失模型的基本概念損失模型的基本概念 一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量l隨機(jī)變量是指其取值依賴于隨機(jī)現(xiàn)象的觀察結(jié)果的變量。l在非壽險(xiǎn)精算中，最常見(jiàn)的隨機(jī)變量就是損失金額（用X表示）和損失次數(shù)（用N表

2、示）。l離散型隨機(jī)變量：只能取有限個(gè)或可列個(gè)值的隨機(jī)變量，如保單的索賠次數(shù)N就是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，因?yàn)樗荒苋∮邢迋€(gè)值。l連續(xù)型隨機(jī)變量：其取值布滿一個(gè)區(qū)間的隨機(jī)變量，如損失額X的取值范圍是區(qū)間（0，）。4二、隨機(jī)變量的數(shù)字特征二、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期望l數(shù)學(xué)期望描述了隨機(jī)變量的平均取值，代表著其取值的平均水平。l隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望通常用E(X)表示。如果X為離散型隨機(jī)變量，其取值為xi的概率為pi（i =1, 2, ），則其數(shù)學(xué)期望為1)(iiipxXE5l如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則其數(shù)學(xué)期望為 l密度函數(shù)f (x)與分布函數(shù)F(x) 具有下述關(guān)系：l兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y

3、的數(shù)學(xué)期望具有下述關(guān)系：（1）E (kX) = k E(X)，其中k為常數(shù)（2） （3）若X與Y相互獨(dú)立，則 dxxxfXE)()(xxfxF)()()()()(YEXEYXE)()()(YEXEXYE62、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù) l兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的方差具有下述關(guān)系：（1） （2）若X與Y相互獨(dú)立，則 （3） 2)()(XEXEXVar)()(Var2XVarkX )(Var)(Var)(VarYXYX22)()()(XEXEXVar7l標(biāo)準(zhǔn)差是其方差的平方根，即 l變異系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與數(shù)學(xué)期望的比率，即ln個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的變異數(shù)是單個(gè)隨機(jī)變量的變異系數(shù)的

4、1/n，即)(XVarX)()(VarXEXcv 11nXnVar xxncvE xxnE xn83、原點(diǎn)矩和中心矩、原點(diǎn)矩和中心矩 4、偏度系數(shù)、偏度系數(shù)l隨機(jī)變量X的偏度系數(shù)被定義為ln個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的偏度系數(shù)為 )(kkXEkkXEXE)(333333ninnn nnVarX9三、概率母函數(shù)和矩母函數(shù)三、概率母函數(shù)和矩母函數(shù) 隨機(jī)變量X的概率母函數(shù)被定義為：PX (z) = E (zX)（1）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)由其概率母函數(shù)惟一確定。（2）隨機(jī)變量的概率可以通過(guò)概率母函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)來(lái)確定，即（3）n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的概率母函數(shù)等于它們各自的概率母函數(shù)的乘積，即( )

5、(0), 1,2,!kkPpkk11( )( )( )nnXXXXPzPzPz10l隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)MX(t)是關(guān)于實(shí)數(shù)t的函數(shù)，即 l如果隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域有定義，則其矩母函數(shù)具有下述性質(zhì)：（1）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)由其矩母函數(shù)惟一確定。（2）如果X的k階原點(diǎn)矩存在，則矩母函數(shù)M(t)可微分s（s k）次，且其k階原點(diǎn)矩可以表示為 （3）n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的矩母函數(shù)等于它們各自的矩母函數(shù)的乘積，即 ( )()tXXMtE e)0()()(kkkMXE)()()(11tMtMtMnnXXXX11l概率母函數(shù)和矩母函數(shù)之間存在下述關(guān)系：( )( )( )(ln )t

6、XXXXMtPePzMz12四、條件期望和條件方差四、條件期望和條件方差l對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y），當(dāng)Y給定時(shí)計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望即得X的條件期望 。l當(dāng)Y給定時(shí)計(jì)算X的方差即得X的條件方差為l如果允許Y可以隨機(jī)取值而不是給定取值，則E (X|Y)和Var（X|Y）都是隨機(jī)變量。（1）E (X ) = EE (X |Y )（2）Var(X) = EVar(X|Y )+VarE(X|Y ) 22Var(| )(| ) (| )X YE XYE X Y(|)E X Y13第三節(jié)第三節(jié) 損失次數(shù)模型損失次數(shù)模型 一、泊松分布一、泊松分布 ,0,1,2,.!kkepkk()()E NVar N14l泊松

7、分布具有下述性質(zhì)：1. 可加性。2. 可分解性。3. 泊松分布的眾數(shù)int（），int表示取整數(shù)。如果參數(shù)為整數(shù)，則其眾數(shù)也等于-1，此時(shí)泊松分布具有雙眾數(shù)。4. 當(dāng)參數(shù)很小時(shí)，泊松分布可以近似二項(xiàng)分布。5. 如果保險(xiǎn)事故發(fā)生的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，則在一個(gè)固定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)事故次數(shù)服從泊松分布。6. 當(dāng)參數(shù)較大時(shí)，泊松分布可以用正態(tài)分布近似。 15二、負(fù)二項(xiàng)分布二、負(fù)二項(xiàng)分布 ()1,0,1,2,.( ) (1) 11rkkkrpkrk ()E Nr()(1)Var Nr16l負(fù)二項(xiàng)分布具有下述性質(zhì)：1. 方差大于均值。2. 負(fù)二項(xiàng)分布是一種混合泊松分布。3. 負(fù)二項(xiàng)分布 的眾數(shù)，i

8、nt表示取整數(shù) int1r17三、二項(xiàng)分布三、二項(xiàng)分布 ，k0，1，2，m，其中m為整 數(shù)，0 q 1 (1)km kkmpqqk()E Nmq()(1)Var Nmqq18l二項(xiàng)分布具有下述性質(zhì)：1. 二項(xiàng)分布的方差小于其均值。2. 假設(shè)每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生損失的概率均為q，則二項(xiàng)分布可以描述m個(gè)獨(dú)立同分布的風(fēng)險(xiǎn)所組成的風(fēng)險(xiǎn)集合的損失次數(shù)。3. 如果用二項(xiàng)分布描述損失次數(shù)，則意味著損失次數(shù)存在一個(gè)最大值。4. 二項(xiàng)分布的眾數(shù)intq(m+1)，int表示取整數(shù)。如果q(m+1)為整數(shù)，則其眾數(shù)也等于q(m+1)1。19四、幾何分布四、幾何分布 幾何分布具有下述性質(zhì)：1. 幾何分布是負(fù)二項(xiàng)分布當(dāng)r =

9、 1時(shí)的特例。2. 幾何分布具有指數(shù)形式的衰減概率函數(shù)，因此具有無(wú)記憶性。3. 幾何分布的眾數(shù)恒為零。 1, 0,1,2(1)kkkpk()E N()(1)Var N20第四節(jié)第四節(jié) 損失金額模型損失金額模型 一、指數(shù)分布一、指數(shù)分布 指數(shù)分布具有下述性質(zhì)：1. 如果在單位時(shí)間內(nèi)損失次數(shù)服從參數(shù)為q的泊松分布，則相鄰損失之間的時(shí)間間隔服從參數(shù)為q的指數(shù)分布。2. 指數(shù)分布具有無(wú)記憶性。( )1exp()F xx ()1/E X2()1/Var X21二、對(duì)數(shù)正態(tài)分布二、對(duì)數(shù)正態(tài)分布( )( )F xz 21( )exp(/2)( )/()2f xzzxxln( )xz2()exp(0.5)E

10、X22()exp(22)exp(2)Var X其中 ， 0，x 0 22l對(duì)數(shù)正態(tài)分布具有下述性質(zhì)：1. 正態(tài)分布經(jīng)指數(shù)變換后即為對(duì)數(shù)正態(tài)分布；對(duì)數(shù)正態(tài)分布經(jīng)對(duì)數(shù)變換后即為正態(tài)分布。2. 設(shè)r，t為正實(shí)數(shù)，X是參數(shù)為（，）的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則Y rX t 仍是對(duì)數(shù)正態(tài)分布，參數(shù)為（t + ln(r)，t2）。3. 對(duì)數(shù)正態(tài)分布總是右偏的。4. 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值和方差是其參數(shù)（，）的增函數(shù)。5. 對(duì)給定的參數(shù)，當(dāng) 趨于零時(shí)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值趨于exp()，方差趨于零。23三、伽瑪分布三、伽瑪分布1( )( )xxf xe()/E X 2()/Var X 24l伽瑪分布具有下述性質(zhì)：1. 當(dāng)固定

11、尺度參數(shù)q 時(shí)，改變形狀參數(shù) 的取值會(huì)改變伽瑪密度函數(shù)的形狀。2. 當(dāng) 趨于無(wú)窮大時(shí)，伽瑪分布近似于正態(tài)分布。3. 當(dāng) = 1時(shí)，伽瑪分布就是參數(shù)為q的指數(shù)分布。4. 當(dāng)尺度參數(shù)q 相同時(shí)，伽瑪分布具有可加性。5. 伽瑪分布乘以正常數(shù)r以后，仍然是伽瑪分布，參數(shù)變?yōu)椋?，q/ r）。 25四、帕累托分布四、帕累托分布( )1F xx 1( )()f xx(),11E X22(),2(1) (2)Var X26l帕累托分布具有下述性質(zhì)：1. 帕累托分布總是右偏的，眾數(shù)恒為0。2. 帕累托分布乘以正常數(shù)r以后，仍然是帕累托分布，參數(shù)變?yōu)椋ǎ瑀）。3. 如果均值 E(X)保持不變，當(dāng) 時(shí)，帕累托分布收

12、斂到參數(shù)為1/ 的指數(shù)分布。27五、威布爾分布五、威布爾分布 ( )1 expF xx 1( )exp()f xxx1/1()(1)E X28l威布爾分布具有下述性質(zhì)：1. 當(dāng) =1時(shí)，威布爾分布就是參數(shù)為 的指數(shù)分布。2. 威布爾分布乘以正常數(shù)r以后，仍然是威布爾分布，參數(shù)變?yōu)椋?，）。3. 如果 服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布（即參數(shù)為1），則Y 服從威布爾分布。4. 威布爾分布在3.6附近呈現(xiàn)大致對(duì)稱的形狀。 /rXY29六、通貨膨脹對(duì)損失金額模型的影響六、通貨膨脹對(duì)損失金額模型的影響 l 若令 ，則X 與Y 的分布函數(shù)之間存在如下關(guān)系： l 如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與Y的密度函數(shù)之間有如下關(guān)系：

13、 Yr X()1()1YXyFyFr=+1()()11YXyfyfrr=+30第五節(jié)第五節(jié) 累積損失模型累積損失模型l累積損失的分布模型有兩種不同的表現(xiàn)形式：l個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型：l集體風(fēng)險(xiǎn)模型： 12nSXXX12NSXXX31l在集體風(fēng)險(xiǎn)模型中，累積損失S的均值和方差分別為： l對(duì)累積損失的一種最簡(jiǎn)單的近似計(jì)算是正態(tài)近似：2( )() ()( )()()() ()E SE N E XVar SE N Var XVar NE X( )Pr( )( )SE SxxVar S 32l如果累積損失S服從復(fù)合泊松分布，泊松分布的參數(shù)為，則 其中m與2分別為個(gè)體損失金額 X 的均值和二階原點(diǎn)矩，即 2Pr( ), Smxx 當(dāng)時(shí)22(), ()mE XE X33l當(dāng)正態(tài)近似并不適用時(shí)，還可以對(duì)原始損失數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)變換（如NP變換），使其符合正態(tài)分布的形式。經(jīng)過(guò)NP變換以后，累積損失S的分布函數(shù)可近似表示為2( )693Pr1( )SE SxxVar S 34l對(duì)于集體風(fēng)險(xiǎn)模型，當(dāng)損失次數(shù)服從泊松分布時(shí)，可以用Panjer迭代計(jì)算累積損失的分布