分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理

1、學海導航學海導航:理解分類、分步計算原理，并應用原理解決相應題型 問題問題 1. 如圖,從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車.一天中,火車有3 班, 汽車有2班，那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析: 從甲地到乙地有2類方法, 第一類方法, 乘火車，有3種方法; 第二類方法, 乘汽車，有2種方法. 所以 ,從甲地到乙地共有3+2=5種方法。 甲 乙火車1火車2火車3汽車1汽車2 2. 如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南 分析: 從A村經(jīng) B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B

2、村有3種方法, 第二步, 由B村去C村有3種方法, 所以 從A村經(jīng) B村去C村共有 3 2 = 6 種不同的方法。分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理 做一件事情做一件事情, 完成它可以有完成它可以有n類類辦法辦法, 在第一類辦法中有在第一類辦法中有m1種不同的方法種不同的方法,在第在第二類辦法中有二類辦法中有m2種不同的方法，種不同的方法，在第，在第n類辦法中有類辦法中有mn種不同的方法種不同的方法. 那么完成這件事那么完成這件事共有共有 N=m1+m2+m n種不同的方法。種不同的方法。 分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理 做一件事情做一件事情,完成它需要分成完成它需要分成n個步驟，做第一步有個步驟，做第一步有

3、m1種不同的方法，做第二種不同的方法，做第二步有步有m2種不同的方法，種不同的方法，做第，做第n步有步有mn種種不同的方法不同的方法,那么完成這件事共有那么完成這件事共有 N=m1m2mn種不同的方法種不同的方法。注:本原理又稱加法原理加法原理.注:本原理又稱乘法原理乘法原理. 例1. 某班級三好學生中男生有5人,女生有4人。 (1)從中任選一人去領(lǐng)獎, 有多少種不同的選法？ 分析分析: (1) 完成從三好學生中任選一人去領(lǐng)獎這件事,共有2類辦法, 第一類辦法, 從男三好學生中任選一人, 共有 m1 = 5 種不同的方法; 第二類辦法, 從女三好學生中任選一人, 共有m2 = 4 種不同的方法

4、; 所以,根據(jù)加法原理,得到不同選法種數(shù)共有N = 5 + 4 = 9。 (2)從中任選男、女三好學生各一人去參加座談會,有多少種不同的選法？典型例題典型例題: 分析分析: (2) 完成從三好學生中任選男、女各一人去參加完成從三好學生中任選男、女各一人去參加座談會這件事座談會這件事, 需分需分2步完成步完成, 第一步第一步,選一名男三好學生選一名男三好學生,有有 m1 = 5 種方法種方法; 第二步第二步, 選一名女三好學生選一名女三好學生,有有 m2 = 4 種方法種方法; 所以所以, 根據(jù)乘法原理根據(jù)乘法原理, 得到不同選法種數(shù)共有得到不同選法種數(shù)共有 N = 5 4 = 20 種。種。點

5、評點評: 解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是 “分類完成分類完成”,還是還是“分步完成分步完成”?！胺诸愅瓿煞诸愅瓿伞庇糜谩凹臃ㄔ砑臃ㄔ怼?“分步完成分步完成”用用“乘法原理乘法原理”。 練習1：書架的第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書. (1)從書架上任取一本書,有多少種不同的取法? 分析:分類問題加法原理加法原理 (2)從書架的第1,2,3層各取1本書,有多少種不同的取法? 分析:分步問題 乘法原理乘法原理例2. 一個三位密碼鎖,各位上數(shù)字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數(shù)字組成,(1)可以

6、設(shè)置多少種三位數(shù)的密碼(各位上的數(shù)字允許重復)？變式練習變式練習: 若設(shè)置四位、五位、六位、十位等密碼,密碼數(shù)分別有多少種？解:它們的密碼種數(shù)依次是 104 , 105, 106, 1010 種。 (3)個位數(shù)字不為0的密碼數(shù)是多少？ (2)個位數(shù)字是0的密碼數(shù)又是多少？分析: 101010=103 (種)個十百解:N=10 10=102(種)解:N=10109=900(種) 加法原理中的“分類”要全面, 不能遺漏; 但也不能重復、交叉;“類”與“類”之間是并列的、互斥的、獨立的,也就是說,完成一件事情,每次只能選擇其中的一類辦法中的某一種方法。若完成某件事情有n類辦法, 即它們兩兩的交集為空

7、集,n類的并為全集。 乘法原理中的“分步”程序要正確?！安健迸c“步”之間是連續(xù)的,不間斷的,缺一不可;但也不能重復、交叉;若完成某件事情需n步,則必須且只需依次完成這n個步驟后,這件事情才算完成。 在運用“加法原理、乘法原理”處理具體應用題時,除要弄清是“分類”還是“分步”外,還要搞清楚“分類”或“分步”的具體標準。在“分類”或“分步”過程中,標準必須一致標準必須一致,才能保證不重復、不遺漏。說明說明:課堂練習課堂練習: 1 .如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？解: 按地圖A、B、C、

8、D四個區(qū)域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 種, 第二步, m2 = 2 種, 第三步, m3 = 1 種, 第四步, m4 = 1 種,所以根據(jù)乘法原理, 得到不同的涂色方案種數(shù)共有 N = 3 2 11 = 6 種。 2.如圖,該電路,從A到B共有多少條不同的線路可通電？AB解: 從總體上看由A到B的通電線路可分三類, 第一類, m1 = 3 條 第二類, m2 = 1 條 第三類, m3 = 22 = 4, 條 所以, 根據(jù)加法原理, 從A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 條不同的線路可通電。 當然,也可以把并聯(lián)的4個看成一類,這樣也可分2類求解。.ABABm1m1m2m2mnmn注意注意: 我們可以把加法原理看成“并聯(lián)電路”;乘法原理看成“串聯(lián)電路”。如圖: 3.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解:從總體上