函數(shù)的周期性與對(duì)稱性

1、一、函數(shù)的周期性 若存在常數(shù)T T 0,0,使對(duì)任意x xD都有f f（x x+ +T T）f f（x x）, ,則稱函數(shù)y=f(x)y=f(x)為周期函數(shù)，常數(shù)T T叫做該函數(shù)的一個(gè)周期。周期性的幾個(gè)結(jié)論（1）若f(x+a)f(x+b)(ab）,則f(x)是周 期函數(shù),ba是它的一個(gè)周期；（2）若f(x+a)f(x)（a0），則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期；（3）若f(x+a) (a0，且f（x）0), 則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期. 1f x二、函數(shù)圖像的變換1、圖像的平移：、圖像的平移： 把函數(shù)把函數(shù)yf（x）的圖像沿著軸向左）的圖像沿著軸向左(向右向右)平移平移a

2、個(gè)單位就得到函數(shù)個(gè)單位就得到函數(shù)yf（x+a）(a0)的的圖像圖像 把函數(shù)把函數(shù)yf（x）的圖像沿著向上）的圖像沿著向上(向下向下)平平移移a個(gè)單位就得到函數(shù)個(gè)單位就得到函數(shù)yf（x）+a的圖像的圖像),( ba)(xfy若若 ，則函數(shù)，則函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱對(duì)稱bxafxaf2)()(2bax，0 x)()(xfxf偶函數(shù)：偶函數(shù)：)(xfy函數(shù)函數(shù)的圖象的圖象關(guān)于直線關(guān)于直線對(duì)稱對(duì)稱)()(xbfxaf若若則函數(shù)則函數(shù))(xfy的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱 ，0)()(xfxf 對(duì)稱對(duì)稱 )(xfy奇函數(shù)奇函數(shù) :圖象關(guān)于點(diǎn)圖象關(guān)于點(diǎn)函數(shù)函數(shù)的的0 , 0若若2、

3、函數(shù)圖像的對(duì)稱與翻轉(zhuǎn)：、函數(shù)圖像的對(duì)稱與翻轉(zhuǎn)：（1）若）若f（x+a）f（bx），則函數(shù)），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱，對(duì)稱，（2）若）若f（a+x）f（ax），函數(shù)），函數(shù)f（x）的圖）的圖象關(guān)于直線象關(guān)于直線xa對(duì)稱；對(duì)稱；（3）若有）若有f（a+x）f（bx），則函數(shù)），則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ，0）中心對(duì)稱，）中心對(duì)稱，（4）若）若f（a+x）f（ax），則函數(shù)），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱）中心對(duì)稱.2ab2ab(5)函數(shù)函數(shù) yf（x）與）與 函數(shù)函數(shù)yf（x）的圖像關(guān)）的圖像關(guān) 于軸對(duì)稱于軸對(duì)稱(6) 函

4、數(shù)函數(shù)yf（x）與函數(shù)）與函數(shù)yf（x）的圖像關(guān)）的圖像關(guān) 于原點(diǎn)對(duì)稱于原點(diǎn)對(duì)稱(7) 把函數(shù)把函數(shù)yf（x）的圖像在）的圖像在x軸下方的圖像沿著軸下方的圖像沿著x軸翻到軸翻到x軸上方，軸上方，x軸上方的圖像不變，就得到軸上方的圖像不變，就得到的函數(shù)的函數(shù)y f（x）的圖像）的圖像(8)把函數(shù)把函數(shù)yf（x）的圖像在）的圖像在y軸左側(cè)的圖像去掉，軸左側(cè)的圖像去掉，y右側(cè)的圖像沿著右側(cè)的圖像沿著y軸對(duì)稱翻折到軸對(duì)稱翻折到y(tǒng)軸左側(cè)、軸左側(cè)、y軸右軸右側(cè)的圖像不變方的圖像不變，就得到的函數(shù)側(cè)的圖像不變方的圖像不變，就得到的函數(shù)yf(x)的圖像的圖像 若f（x）的圖象有兩條對(duì)稱軸xa和x b（ab），

5、則f（x）必為周期函數(shù)，且2ba是它的一個(gè)周期； 若f（x）圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心（a，0）和（b，0）（ab），則f（x）必為周期函數(shù)，且2ba為它的一個(gè)周期； 若f（x）的圖象有一對(duì)稱軸xa和一個(gè)對(duì)稱中心（b，0）（ab），則f（x）必為周期函數(shù)，且4ba是它的一個(gè)周期.【例【例1】已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋┑亩x域?yàn)镽，則，則下列命題中下列命題中:若若f（x2）是偶函數(shù)，則）是偶函數(shù)，則函數(shù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；對(duì)稱；若若f（x+2）f（x2），則函數(shù)），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)函數(shù)yf（2+x）與函數(shù)）與函數(shù)yf（2

6、x）的）的圖象關(guān)于直線圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；對(duì)稱；函數(shù)函數(shù)yf（x2）與函數(shù)）與函數(shù)yf（2x）的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱對(duì)稱.其中正確的命題序號(hào)是其中正確的命題序號(hào)是 .【解析】【解析】是錯(cuò)誤的，由于是錯(cuò)誤的，由于f（x2）是偶）是偶函數(shù)得函數(shù)得f（x2）f（x2），所以），所以f（x）的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；對(duì)稱；是錯(cuò)誤的，是錯(cuò)誤的，由由f（x+2）f（x2）得）得f（x+4）f（x），進(jìn)而得），進(jìn)而得f（x+8）f（x），所以），所以f（x）是周期為）是周期為8的周期函數(shù)的周期函數(shù)是錯(cuò)誤的，是錯(cuò)誤的，在第一個(gè)函數(shù)中，用在第一個(gè)函數(shù)中，用x代代x，y不變，即可不變，

7、即可得第二個(gè)函數(shù)，所以這兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于得第二個(gè)函數(shù)，所以這兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；是正確的，令是正確的，令x2t，則，則2xt，函數(shù)，函數(shù)yf（t)與與yf（t）的圖象）的圖象關(guān)于直線關(guān)于直線t0對(duì)稱，即函數(shù)對(duì)稱，即函數(shù)yf（x2）與）與yf（2x）的圖象關(guān)于直線）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱對(duì)稱.【例【例2】 f（x）是定義在）是定義在R上的以上的以3為周期的奇函數(shù)，且為周期的奇函數(shù)，且f（2）0，則方程則方程f（x）0在區(qū)間（在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 ( )A2 B3 C4 D5【解析】【解析】f（x）為奇函數(shù)，）為奇函數(shù)，f（0）0，又，又函數(shù)函數(shù)f

8、（x）以）以3為周期，且為周期，且f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0，f（5）0，在區(qū)間（在區(qū)間（0，6）內(nèi)的解有）內(nèi)的解有1，2，3， 4，5.故選故選D.【例例3】 已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋┑亩x域?yàn)閤xR且且x1，f（x+1）為奇函數(shù)，當(dāng)）為奇函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，f（x）2x2x+1，則當(dāng)，則當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間是）的遞減區(qū)間是 （ ）A ，+） B（1， C ，+） D（1， 54547474【解析】【解析】 由由f（x+1）為奇函數(shù)得）為奇函數(shù)得f（x+1）f（x+1），），f（x）的）的圖象關(guān)于點(diǎn)（圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱，又由）

9、中心對(duì)稱，又由已知可畫出已知可畫出f（x）在（）在（，1）上的）上的圖象，再根據(jù)中心對(duì)稱畫出圖象，再根據(jù)中心對(duì)稱畫出f（x）在）在（1，+）上的圖象，由圖象易知，）上的圖象，由圖象易知，f（x）在）在 ，+）上單調(diào)遞減，故）上單調(diào)遞減，故應(yīng)選應(yīng)選C.74例例4對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)f（x），）， 當(dāng)當(dāng)x（，）時(shí)，時(shí)，f（2x）f（2+x），），f（7x）f（7+x），在閉區(qū)間），在閉區(qū)間0,7上，只有上，只有f（1）f（3）0.（1）試判斷函數(shù)）試判斷函數(shù)yf（x）的奇偶性；）的奇偶性；（2）試求方程）試求方程f（x）0在閉區(qū)間在閉區(qū)間2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論明你

10、的結(jié)論.【解】【解】 （1）由已知得）由已知得f（0）0，f（x）不是奇）不是奇函數(shù)，又由函數(shù)，又由f（2x）f（2+x），得函數(shù)），得函數(shù)yf（x）的對(duì)稱軸為的對(duì)稱軸為x2，f（1）f（5）0，f（1）f（1），），f（x）不是偶函數(shù)）不是偶函數(shù).故函數(shù)故函數(shù)yf（x）是非奇非偶函數(shù)；）是非奇非偶函數(shù)；(2)由由f（4x）f（14x） f（x）f（x+10），），從而知從而知yf（x）的周期是）的周期是10.又又f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）0，故故f（x）在）在0，10和和10，0上均有兩個(gè)上均有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)解，從而可知函數(shù)yf（x）在）在0，2005上有

11、上有402個(gè)解，在上個(gè)解，在上2005，0有有400個(gè)解，所以函個(gè)解，所以函數(shù)數(shù)yf（x）在）在2005，2005上有上有802個(gè)解個(gè)解.已知函數(shù)已知函數(shù) 是定義在是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足上的偶函數(shù)，且滿足 ， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，則，則 , f(17.5)= 。)(xfy )() 2(xfxf10 x12)( xxf）5 .15( f練習(xí)例1：已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足f(-x+3) = f(x)，且f(1)= -1，則 f (5) + f (14) =_.已知已知 是定義在是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，對(duì)稱，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，則，則 時(shí)時(shí)

12、= 。 (A) (B) (C) (D)(xf2 , 2x)(xf1) (2xxf2, 6x2x12x1) 2(2 x1) 2(2x1) 4(2x例例2函數(shù)的對(duì)稱性與周期性.問題一：對(duì)于函數(shù)f(x)，若滿足f(x-1)=f(1-x)則y=f(x)的圖象（ ）.關(guān)于直線 x=0對(duì)稱 B. 關(guān)于直線x=1對(duì)稱 .C 關(guān)于直線 x=-1對(duì)稱 D 以上都不對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性與周期性問題一：對(duì)于函數(shù)f(x)，若滿足f(x-1)=f(1-x)則y=f(x)的圖象（ ）關(guān)于直線 x=0對(duì)稱 B. 關(guān)于直線x=1對(duì)稱 C 關(guān)于直線 x=-1對(duì)稱 D 以上都不對(duì)解法一 ：（圖象法） 軸對(duì)稱特征：如果一個(gè)函數(shù)有對(duì)稱軸且

13、存在兩個(gè)不同自變量的對(duì)應(yīng)函數(shù)值相等，則對(duì)稱軸一定在兩個(gè)自變量的中點(diǎn)位置上。 由 f(x-1)=f(1-x) 對(duì)稱軸為 函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0 對(duì)稱02)1 () 1(Xxx.問題二：對(duì)函數(shù)y=f(x) 在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)y=f(x-1)與 y=f(1-x)的圖象 （ ） A .關(guān)于直線x=0 對(duì)稱 B.關(guān)于直線x=1 對(duì)稱 C. 關(guān)于直線x=-1對(duì)稱 D. 以上都不對(duì) .問題二：對(duì)函數(shù)y=f(x) 在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)y=f(x-1)與 y=f(1-x)的圖象 （ ） A .關(guān)于直線x=0 對(duì)稱 B.關(guān)于直線x=1 對(duì)稱 C. 關(guān)于直線x=-1對(duì)稱 D. 以上都不對(duì) 分析：用特例法或圖象法

14、易求對(duì)稱軸為 x=1 題型2：對(duì)函數(shù)y=f(x)在同一坐標(biāo)系下，求函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)(a,b R) 的對(duì)稱軸 解法：a=b時(shí)換元 解法二（特例法） 由 f(1-x)=f(x-1) 令 x=0 有 f(-1)=f(1) 則函數(shù)的對(duì)稱軸為 02) 1(1x課上練習(xí)1，已知函數(shù)f(x)圖象如圖所示，則f(x)=( )A, B,x2-2|x|+1 C,|x2-1| D, 1|22xx122 xx答案A2、已知函數(shù)y=|x+1|-|x-2|畫出其圖象，說明它關(guān)于哪個(gè)點(diǎn)對(duì)稱（不必證明），并指出函數(shù)的最值。 3、已知定義在（-，+）上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)及x=1對(duì)稱。求f(0);

15、若0 x1時(shí)，f(x)=x,求x-1,3時(shí)，f(x)的解析式 1、關(guān)于直線x=a的對(duì)稱特征X=aa+xa-xy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(a+x)=f(a-x)，反之也成立練習(xí)：已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足f(5-x)=f(5+x),若f(x)在（5，+）上單調(diào)增，則f(x)在（-，5）上的單調(diào)性如何？由此你得到什么結(jié)論？單調(diào)減關(guān)于x=a對(duì)稱的圖形在對(duì)稱軸兩側(cè)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反求函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱的函數(shù)解析式解：用相關(guān)點(diǎn)法，設(shè)(x,y)是所求曲線上任意一點(diǎn)，則它關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為（x1,y)在函數(shù)y=f(x)圖象上，故y=f(x1),而x1-a=a

16、-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即為所求結(jié)論：y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a 對(duì)稱2、關(guān)于直線y=b對(duì)稱函數(shù)y=f(x)關(guān)于x軸（y=0)對(duì)稱的函數(shù)是y=-f(x)求函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線y=b對(duì)稱的函數(shù)解析式解：設(shè)(x,y)是所求曲線上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y1),從而y1=f(x)而y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x)結(jié)論：f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y=b對(duì)稱，則f(x)+g(x)=2b反之也成立3、關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱練習(xí)：求函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)（a,0)對(duì)稱的解析式答案：y=-f(2a-x)結(jié)論：-f

17、(2a-x)與f(x)的圖形關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱一個(gè)函數(shù)y=f(x)本身關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，有f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0.已知對(duì)于任意x、yR，都有4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)恒成立，且f(1)=1/4，求f(2010)的值是多少？函數(shù)周期性解題的一道經(jīng)典試題.試題說明：本題是一道2010年重慶理科數(shù)學(xué)高考的一道填空試題(分值5分)，十分壓軸題，屬于拔高題和拉分題，要想在短時(shí)間內(nèi)得到正確的答案，這務(wù)必要求學(xué)生平時(shí)對(duì)“函數(shù)的周期性”的具體應(yīng)用要有所熟練！.試題分析：面對(duì)抽象函數(shù)的題型，喜歡鉆研的同學(xué)一定會(huì)有似曾相似的感覺，但在沒有給出具體函數(shù)f(

18、x)的解析式的前提下，就要我們求f(2010)的值，這道試題確實(shí)有點(diǎn)偏難。那怎么辦呢？自變量x=1如何與x=2010聯(lián)系起來呢？此題的玄機(jī)和突破口究竟在何處？我們不妨先從特殊值x=0入手，令x=y=0，代入函數(shù)關(guān)系式，我們不難得到f(0)=0或f(0)=1/2兩種情況。那么到底取哪一種呢？不妨在令x=y=1代入函數(shù)關(guān)系式，得到：1/4=f(2)+f(0)；令x=2，y=0代入函數(shù)關(guān)系式，顯然f(0)不能等于0，由此得出：f(0)=1/2。但自變量x=1如何與x=2010聯(lián)系起來呢？在已知f(1)的情況下，要想求出f(2010)的值，數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生一般很容易想到起f(x)的“函數(shù)的周期性”，因此能否求出函數(shù)f(x)的周期性，是解答本題的關(guān)鍵所在。那么如何通過已知的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)的周期呢？這是本題中的另一個(gè)困難所在，我們知道，周期函數(shù)的一般表達(dá)式一 般 是 ： f ( x + T ) = f ( x ) 或 f ( x ) = f ( x + T ) ， 要 想 由“4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)”得到或變成“f(x)=f(x+T)”，我們唯一的辦法就是通過對(duì)x、y進(jìn)行特殊的賦值和恒等變形，并且要經(jīng)過不斷的嘗試。.第一步、求出f(0)的函數(shù)值：令x=y=0，則4f(0)f(0)=f(0+0)+f(0-0)，則f(0)=0或f(0)=1/2. 令x