現(xiàn)代控制理論-11

1、現(xiàn)代控制理論Modern Control Theory(11)俞 立浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院李雅普諾夫穩(wěn)定性方法在控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性方法在控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用參數(shù)優(yōu)化問題系統(tǒng)模型：選擇參數(shù)，使得系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且具有一定性能性能性能：穩(wěn)態(tài)性能；動態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差動態(tài)性能動態(tài)性能：上升時間、調(diào)節(jié)時間、超調(diào)、振蕩、穩(wěn)定性穩(wěn)定性：應(yīng)用李雅普諾夫方法問題問題：動態(tài)性能如何刻畫？0)0(,)(xxxAx系統(tǒng)模型：考慮函數(shù)x(t)的曲線面積兩個變量：一般的：Q是對稱加權(quán)矩陣。性能指標(biāo)最小化反映動態(tài)性能的優(yōu)化。0)0(,)(xxxAx0TdtJQxx0( )x

2、t dt20( )xt dt22120( )( )xtxt dt221 1220( )( )xtxt dt積分二次型積分二次型性能指標(biāo)性能指標(biāo)111202200 xx xdtx選取參數(shù) ，使得系統(tǒng) 穩(wěn)定 對任意給定的對稱正定矩陣R存在惟一對稱正定解矩陣P。 是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，且對上式積分，并利用漸近穩(wěn)定性，即：RPAPA)()(TPxxxT)(VRxxxTd)(dtV0d ( )ddVttx0T00TdPxxRxxt( )xAxT0dtx Rx( ( )( (0)V xV xT00 x Px通過求解一個代通過求解一個代數(shù)方程來求積分?jǐn)?shù)方程來求積分性能指標(biāo)值其中，P是以下李雅普諾夫方程的對

3、稱正定解矩陣：既保證系統(tǒng)穩(wěn)定、又使得性能盡可能好的問題轉(zhuǎn)化為條件極值問題 min s.t. 優(yōu)化問題的求解方法：1、求方程，轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題2、求穩(wěn)定點(diǎn)：0T0 xPx)(JQPAPA)()(T0JTT000dtx Qxx PxT( )( ) APPAQ例例 確定阻尼比 的值，使得在單位階躍輸入下，最小化。其中 假定系統(tǒng)在初始時刻是靜止的。)2(1sse(t)r(t)+_y(t)0teeJd022)(yre系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是動態(tài)方程是 由于輸入r是單位階躍函數(shù)，故誤差方程：121)()(2sssRsYryyy 2yre222eeeryryry0)0(, 0)0(rr 0)0(, 1)0(,

4、02eeeee )2(1sse(t)r(t)+_y(t)22rrryyy2rr針對定義狀態(tài)變量：性能指標(biāo)其中，0)0(, 1)0(, 02eeeee exex21,xx2110ttxxxxtxxteeJdd001d)(d)(0T2102102221022xQx100Q01)0()0(21xx由誤差狀態(tài)空間模型：當(dāng) 時，系統(tǒng)穩(wěn)定，故性能指標(biāo)其中的矩陣P滿足即 0TT0d(0 )(0 )Jtx QxxPxQPAPAT001211021102212121122121211pppppppp4121211Pxx2110性能指標(biāo)值若 ，則 減小，強(qiáng)調(diào)誤差 e(t) 的能量消耗。41)0()0(TPxxJ0

5、4112J211707. 022min0( )( )d2Je te tt002dtteJ)(5 . 0基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的控制器設(shè)計基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的控制器設(shè)計 例 檢驗系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。若不漸近穩(wěn)定，則構(gòu)造一個控制律，使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。解 系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的極點(diǎn)在虛軸上。s1s1ux2x1y-uxxxx1001102121根據(jù)系統(tǒng)是振蕩的，不是李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的。選取李雅普諾夫函數(shù)uxxxx1001102121ttttetcossinsincosA201021cossinsincos)()(xxtttttxtx1 122d ( ) d22Vtx xx xx2

6、221)(xxVx2kxu(0)k 22d ( )dVkxt x1 22122()x xxxu22x u系統(tǒng)模型李雅普諾夫函數(shù)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的。在非零軌線上， 不恒等于零，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。uxxxx10011021212221)(xxVx2kxu(0)k 22d ( )dVkxt x22d ( )0dVkxt x20 x10 x根據(jù)第二個方程，d ( )dVtx離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 系統(tǒng)模型：能量函數(shù)：前向差分：穩(wěn)定性條件：存在對稱正定矩陣P，使得)() 1(kkAxx)()()(TkkkVPxx( )(1)( )V kV kV k0 PPAATTT(1)(1)( )( )kkkkxPxxPxTT( )( )( )( )kkkkAxPAxxPxTT( )() ( )kkxA PAP x定理定理 線性離散時不變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱矩陣Q，使得矩陣求解方法： 線性矩陣不等式方法 李雅普諾夫方程方法存在對稱正定解矩陣P。矩陣Q的取法：0 PPAATT A PAPQQI離散時間離散時間李雅普諾夫方程李雅普諾夫方程 例例 確定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。解 離散時間李雅普諾夫方程 矩陣P正定的條件： ， 這