數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)實驗1第一章線性規(guī)劃

1、當(dāng)今社會現(xiàn)狀：經(jīng)濟快速發(fā)展，資源急劇消耗，地球環(huán)境不堪重負解決關(guān)鍵：如何利用現(xiàn)有資源安排生產(chǎn)，以取得最大經(jīng)濟效益-數(shù)學(xué)規(guī)劃。線性規(guī)劃（Linear Programming, LP）是其中的重要分支。1947，G.B.Dantzig，單純形法（Simplex Method）計算機快速求解例 1.1 某機床廠生產(chǎn)甲、乙兩種機床，每臺銷售后的利潤分別為4000元與3000 元。生產(chǎn)甲機床需用A、B機器加工，加工時間分別為每臺2小時和1小時；生產(chǎn)乙機床需用A、B、C三種機器加工，加工時間為每臺各一小時。若每天可用于加工的機器時數(shù)分別為A機器10小時、B機器8小時和C機器7小時，問該廠應(yīng)生產(chǎn)甲、乙機床各

2、幾臺，才能使總利潤最大？產(chǎn)品甲產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品乙機器資源（小時）機器資源（小時）機器A2110機器B118機器C017利潤（元/件）40003000概括：在如下資源條件下，應(yīng)生產(chǎn)甲、乙機床各幾臺，才能使總利潤最大？數(shù)學(xué)模型：設(shè)該廠生產(chǎn)x1臺甲機床和x2乙機床時總利潤最大，則x1, x2應(yīng)滿足（目標函數(shù)） max z = 4000 x1 + 3000 x2 (subject to) s.t.2x1+x210 (約束條件)x1+x2 8x2 7x1,x20其中x1, x2稱為決策變量。定義（線性規(guī)劃問題）：在一組線性約束條件下，求一線性目標函數(shù)的最大（或最?。?。單純形法基本思想：線性規(guī)劃問題的可行

3、域是n維向量空間Rn中的多面凸集，其最優(yōu)值如果存在必在該凸集的某頂點處達到。據(jù)此可以完成計算求解。LP問題標準形式可行解：滿足約束條件的解可行域：所有可行解構(gòu)成的集合最優(yōu)解、較優(yōu)解11max,1,2,. .0,1,2, .njjjni jjijjzc xa xb imstxjn目標函數(shù)約束條件12 ,Tnx xxxLP問題的Matlab形式(向量形式)求解命令格式x,fval=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)注：更多內(nèi)容可help linprog了解min,. .,Tzst.目標函數(shù)約束條件f xA xbAeq xbeqlbxub例1.2 求解LP問題解: 1)編

4、寫m文件ex1_2.mf=2;3;-5; A=-2,5,-1;1,3,1; b=-10;12;Aeq=1,1,1; beq=7; lb=zeros(3,1);x=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb);z=f*x; 2)執(zhí)行ex1_2.m123123123123123max235,7,2510,. .312,0.zxxxxxxxxxstxxxx x x注意不同情形下的命令格式x,z=linprog(f,A,b,lb,ub,x0)x,z=linprog(f,Aeq,beq,lb,ub,x0)x,z=linprog(f,A,b,Aeq,beq,ub)例1.4 規(guī)劃問題1121212,

5、22,1,1,min. .minmin,.,.,1,.iiiiiiTTTnnnTniiiiiiiiizxxxstzzuvsxuvxxxxxuvu uuvutsvtvv +A xbcucvuAuvbAAbvu,v0.u,v0.uvc例1.5 求解數(shù)學(xué)規(guī)劃問題解：1)轉(zhuǎn)化為Matlab標準形式 由1234123412341234min342. .31230.5zxxxxxxxxstxxxxxxxx +212341234,22,iiiiiiiiiiTTiixuvxuxxxxuvu u u uvv vvvuv且1,min.11.,111113 ,1,2,3,4,2, 1, 0.51123,min. .

6、niiiiTTTzc uvstzst Auvbu,v0.uAAbcuvcvu,v0.Acb2)編寫m文件ex1_5.mA=1,-1,-1,1;1,-1,1,-3;1,-1,-2,3;b=-2;-1;-0.5;c=1,2,3,4;f=c;c; Amat=A,-A; lb=zeros(8,1);y=linprog(f,Amat,b,lb);z=f*y;x=y(1:4)-y(5:8);3)執(zhí)行ex1_5.m例1.6 某商品有m個產(chǎn)地、n個銷地，各產(chǎn)地的產(chǎn)量分別為a1,a2,am，各銷地的需求量分別為b1,b2,bn。若該商品由i產(chǎn)地運到j(luò)銷地的單位運價為cij，問應(yīng)該如何調(diào)運才能使總運費最省？111

7、1,1,2,min. .,1,2, ,nijijmnmijijijjijiijxa imzc xstxbjnx0.改寫為Matlab形式，由11221210010001001001000100,1,1,0111000nnmnmTmxcxcxcaaaxcAeqbeq且1200011100011102,211,min. .2200000000000011.1nmnTnTbbbzstAeqbeqAeqbeqxc xAeqbeqx求解程序transport.mfunction x,z=transport(a,b,c)%a is m*1,b is 1*n, c is m*nm,n=size(c);Aeq

8、1=;Aeq2=;for j=1:nAeq1=Aeq1,eye(m);endfor i=1:mtmat=zeros(n);tmat(i,:)=1;Aeq2=Aeq2,tmat;endAeq=Aeq1;Aeq2;beq1=a;beq2=b;beq=beq1;beq2;x,z=linprog(c(:),Aeq,beq,zeros(m*n,1);ex1_6.mclear;clc;m=4;n=5;a=rand(m,1);b=rand(1,n);c=rand(m,n);x,z=transport(a,b,c);例1.7 min maxmin,1,2, ,. .0?.min0,0,1,2, ,. .m x

9、0.a,iiiiixyiiiyiiiiiiixyvinstvvxyvyxvinstvxyxyv yxvvgap改寫為Matlab形式，由121211211000100 , , ,0,0,1 ,01100010001, ,inf, inf,0,10101, 1,101121000100011000101100TTnnTTTTTnnnnx xxy yyv xyf =z = xylbAbA2100, 2,0nnb得11,min. .22.TstAbzf zAbzlb社會經(jīng)濟快速發(fā)展，各種理財產(chǎn)品層出不窮，投資行為變得越來越普及（財團、公司、boss、大媽？）。如何在當(dāng)前復(fù)雜環(huán)境下對有限資本進行合理投

10、資？可用投資總額為M；市場上有n種資產(chǎn)si (i=1,2,n)可選，投資si時，收益率qi，風(fēng)險損失率ri，交易費率為pi(購買額不超ui時按ui計算)；總體風(fēng)險可用投資資產(chǎn)中最大的一個風(fēng)險來度量；同期銀行存款利率為q0(=5%)，無交易費無風(fēng)險；給定n=4時數(shù)據(jù)，試設(shè)計投資方案使靜收益盡可能大，總體風(fēng)險盡可能小。n=4時數(shù)據(jù)siqi(%)ri(%)pi(%)uis1282.51103 s2211.52198 s3 235.54.5 52s4252.66.5 40a)符號規(guī)定si表示第i種投資項目,i=0,1,n, s0表示存入銀行;qi,pi,ri表示si的收益率,交易費率,風(fēng)險損失率,p0

11、=r0=0;ui表示si的交易定額,u0=0;xi表示投資項目si的資金;R表示總體風(fēng)險;Q表示總體收益.b)基本假設(shè)投資數(shù)額M相當(dāng)大;總體風(fēng)險R用所投資項目si中的最大風(fēng)險度量;si之間相互獨立;在投資時期內(nèi),ri,pi,qi為定值,不受意外因素影響;收益Q和風(fēng)險R不受其它因素干擾.a)總體風(fēng)險R用所投資項目si中的最大風(fēng)險度量，即R=max rixi, i=0,1,nb)投資si的交易費為pimaxxi,ui,i=0,1,2,n故投資si的凈收益為Qi=qixi-pimaxxi,uic)要使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險盡可能小，即max iQi和min R需要同時進行，此即多目標規(guī)劃適當(dāng)條件(

12、uiM)下可以考慮近似模型000000maxmax,max,min max.min max. . .1,1,0,0,1, .0,0,1, .nniiiiiiiiiinniiiiiinniiiiiiiiq xpx uqpxrxrxststpxMpxMxinxind)模型簡化多目標規(guī)劃的求解較復(fù)雜，一般可轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃再進行求解。約束風(fēng)險，優(yōu)化收益(模型ex1_8a)；若投資者所能承受最高風(fēng)險度為a，則00,0,1, ,max. .1,0,0,1, .nniiiiiiiiiiqpxstpxrxMiMinaxn約束收益，優(yōu)化風(fēng)險(模型ex1_8b)；若投資者要求的最低綜合收益率為k，則000min

13、 max. .1,0,0,1, .,nniiiiiiiiniiirxstpqpxMxMkxin風(fēng)險-收益平衡優(yōu)化(模型ex1_8c)，即對風(fēng)險和收益分別賦以權(quán)重s和1-s；000minmax. .1,0,0,1, .1nniiiiiiiniiiisrxqpxstpxMxinsa)模型可改寫為Matlab形式編寫m文件ex1_8a.mclear;clc;M=1e5;r=0,2.5,1.5,5.5,2.6*1e-2;q=5,28,21,23,25*1e-2;p=0,1,2,4.5,6.5*1e-2;u=0,103,198,52,40*1e-2; min. .1,0.TTMastMdiag r xp

14、qxpxxf=p-q;A=diag(r);Aeq=(1+p);beq=M;lb=zeros(5,1);aset=0:0.001:0.05;xset=;Qset=;for a=asetb=M*a;x,rQ=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb); xset=xset,x;Qset=Qset,rQ;endplot(aset,Qset,k*);xlabel(a);ylabel(Q);執(zhí)行ex1_8a.m，繪圖結(jié)果如下b)模型可改寫為LP形式000min.,.1,0,0,1max0,0,1, , .niiiniiiiniiiiiivstpxMvrxrxixqpnMnxikv 進一步改寫為M

15、atlab形式 11 1111,1min. .1,00,.,0TTnnTndiagMvstMk 010rypxyff y+ pyyqy編寫m文件ex1_8b.mclear;clc;M=1e5;r=0,2.5,1.5,5.5,2.6*1e-2;q=5,28,21,23,25*1e-2;p=0,1,2,4.5,6.5*1e-2;u=0,103,198,52,40*1e-2;f=zeros(5,1);1;A=diag(r),-ones(5,1);p-q,0;Aeq=(1+p),0;beq=M;lb=zeros(5,1);kset=0.05:0.01:0.5;yset=;Rset=;rRset=;fo

16、r k=ksetb=zeros(5,1);-M*k;y,R=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb); yset=yset,y;Rset=Rset,R;rRset=rRset,max(r.*y(1:5);endfigure;hold on;plot(kset,Rset,k:);plot(kset,rRset,b.-);xlabel(k);ylabel(R);legend(ideal,real);執(zhí)行ex1_8b.m，繪圖結(jié)果如下c)模型三可改寫為LP形式000max0min. .1,0,0,1,0,1,.,1,niiiiniiiiniiiiivrxrZvqpxstpxvssixxnn

17、Mi進一步改寫為Matlab形式 1 11 1,1min. .,00.1,nnTTdiassvsMgZ =t 10ryxpqyf+ pf yyy編寫m文件ex1_8c.mclear;clc;M=1e5;r=0,2.5,1.5,5.5,2.6*1e-2;q=5,28,21,23,25*1e-2;p=0,1,2,4.5,6.5*1e-2;u=0,103,198,52,40*1e-2;A=diag(r),-ones(5,1);b=zeros(5,1);Aeq=(1+p),0;beq=M;lb=zeros(5,1);sset=0:0.1:1;yset=;Zset=;rZset=;Qset=;Rset=;for s=ssetf=(1-s)*(p-q);s;y,Z=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb); yset=yset,y;Zset=Zs