第2講概率隨機(jī)變量及其分布列

1、二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)第第2 2講概率、隨機(jī)變量及其分布列講概率、隨機(jī)變量及其分布列二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考向分析考向分析核心整合核心整合熱點(diǎn)精講熱點(diǎn)精講閱卷評(píng)析閱卷評(píng)析二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考向分析考向分析考情縱覽考情縱覽年份年份考點(diǎn)考點(diǎn)2011201120122012201320132014201420152015古典概型與幾何古典概型與幾何概型概型4 414145 5互斥事件、相互互斥事件、相互獨(dú)立事件和獨(dú)立獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)重復(fù)試驗(yàn)151519(1)19(1)4 418(2)18(2)條件概率條件概率19(1)19(1)5 5離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、的分布列、均值、方差方差19(

2、2)19(2)181819(2)19(2)19(3)19(3)1818二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)真題導(dǎo)航真題導(dǎo)航D D 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)2.(20152.(2015新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷,理理4)4)投籃測(cè)試中投籃測(cè)試中, ,每人投每人投3 3次次, ,至少投中至少投中2 2次才能次才能通過測(cè)試通過測(cè)試. .已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,0.6,且各次投籃是否投中相且各次投籃是否投中相互獨(dú)立互獨(dú)立, ,則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為( ( ) )(A)0.648(A)0.648(B)0.432(B)0.432(C)0.36(C)0.36 (D)0

3、.312 (D)0.312A A二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)3.(20143.(2014新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷, ,理理5)5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明, ,一天的空氣質(zhì)一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是量為優(yōu)良的概率是0.75,0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,0.6,已知某天的空氣質(zhì)量已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良為優(yōu)良, ,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( ( ) ) (A)0.8(A)0.8 (B)0.75(B)0.75 (C)0.6(C)0.6 (D)0.45(D)0.45 解析解析: :設(shè)一天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良為事件

4、設(shè)一天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良為事件 A,A, 連續(xù)兩天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良為事件連續(xù)兩天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良為事件 AB,AB, 由題意由題意 P(A)=0.75,P(AB)=0.6,P(A)=0.75,P(AB)=0.6, 由條件概率得由條件概率得 P(B|A)=P(B|A)=()( )P ABP A= =0.60.75 =0.8. =0.8.故選故選 A.A. A A二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)4.(20154.(2015 新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷, ,理理 18)18)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度, ,從從 A,BA,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了 2020 個(gè)用戶個(gè)用戶,

5、 ,得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下: : A A 地區(qū)地區(qū):62:62 7373 8181 9292 9595 8585 7474 6464 5353 7676 7878 8686 9595 6666 9797 7878 8888 8282 7676 8989 B B 地區(qū)地區(qū):73:73 8383 6262 5151 9191 4646 5353 7373 6464 8282 9393 4848 6565 8181 7474 5656 5454 7676 6565 7979 (1)(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度

6、評(píng)分的莖葉圖, ,并通過莖葉圖比較兩地并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度( (不要求計(jì)算出具體值不要求計(jì)算出具體值, ,給出結(jié)論即可給出結(jié)論即可);); 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解解: :(1)(1)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如圖兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如圖: : 通過莖葉圖可以看出通過莖葉圖可以看出,A,A 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于 B B 地區(qū)用戶滿意地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值度評(píng)分的平均值;A;A 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中,B,B 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散較分

7、散. . 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分根據(jù)用戶滿意度評(píng)分, ,將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí): : 滿意度評(píng)分滿意度評(píng)分 低于低于 7070 分分 7070 分到分到 8989 分分 不低于不低于 9090 分分 滿意度等級(jí)滿意度等級(jí) 不滿意不滿意 滿意滿意 非常滿意非常滿意 記事件記事件 C:C:“A A 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于 B B 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”. .假設(shè)假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立. .根據(jù)所給數(shù)據(jù)根據(jù)所給數(shù)據(jù), ,以事件發(fā)生的頻率作為相以事

8、件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率應(yīng)事件發(fā)生的概率, ,求求 C C 的概率的概率. . 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解解：(2)(2)記記 C CA1A1表示事件表示事件: :“A A 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”; ; C CA2A2表示事件表示事件: :“A A 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為非常滿意”地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為非常滿意”; ; C CB1B1表示事件表示事件: :“B B 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”; ; C CB2B2表示事件表示事件: :“B B 地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意”地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意”, ,

9、 則則 C CA1A1與與 C CB1B1獨(dú)立獨(dú)立,C,CA2A2與與 C CB2B2獨(dú)立獨(dú)立,C,CB1B1與與 C CB2B2互斥互斥, ,C=CC=CB1B1C CA1A1C CB2B2C CA2A2. . P(C)=P(CP(C)=P(CB1B1C CA1A1C CB2B2C CA2A2) ) =P(C=P(CB1B1C CA1A1)+P(C)+P(CB2B2C CA2A2) ) =P(C=P(CB1B1)P(C)P(CA1A1)+P(C)+P(CB2B2)P(C)P(CA2A2).). 由所給數(shù)據(jù)得由所給數(shù)據(jù)得 C CA1A1,C,CA2A2,C,CB1B1,C,CB2B2發(fā)生的頻率

10、分別為發(fā)生的頻率分別為1620, ,420, ,1020, ,820, ,故故 P(CP(CA1A1)=)= 1620,P(C,P(CA2A2)=)= 420,P(C,P(CB1B1)=)= 1020,P(C,P(CB2B2)=)= 820,P(C)=,P(C)=10201620+ +820420=0.48.=0.48. 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)5.(20135.(2013 新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷, ,理理 19)19)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn), ,檢驗(yàn)方案是檢驗(yàn)方案是: :先先從這批產(chǎn)品中任取從這批產(chǎn)品中任取 4 4 件作檢驗(yàn)件作檢驗(yàn), ,這這 4 4 件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)

11、記為件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為 n.n.如果如果 n=3,n=3,再從這批產(chǎn)品中任取再從這批產(chǎn)品中任取 4 4 件作檢驗(yàn)件作檢驗(yàn), ,若都為優(yōu)質(zhì)品若都為優(yōu)質(zhì)品, ,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn); ;如果如果n=4,n=4,再從這批產(chǎn)品中任取再從這批產(chǎn)品中任取 1 1 件作檢驗(yàn)件作檢驗(yàn), ,若為優(yōu)質(zhì)品若為優(yōu)質(zhì)品, ,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn); ;其他其他情況下情況下, ,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn). . 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 50%,50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為12, ,且各件產(chǎn)品是否

12、為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立. . (1)(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率; ; 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解解: :(1)(1)設(shè)第一次取出的設(shè)第一次取出的 4 4 件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有 3 3 件優(yōu)質(zhì)品為事件件優(yōu)質(zhì)品為事件 A A1 1, , 第一次取出的第一次取出的 4 4 件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件 A A2 2, , 第二次取出的第二次取出的 4 4 件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件 B B1 1, , 第二次取出的第二次取出的 1 1 件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件 B B2 2, , 這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件

13、這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件 A,A,依題意有依題意有 A=(AA=(A1 1B B1 1) )(A(A2 2B B2 2),),且且 A A1 1B B1 1與與 A A2 2B B2 2互斥互斥, , 所以所以 P(A)=P(AP(A)=P(A1 1B B1 1)+P(A)+P(A2 2B B2 2) ) =P(A=P(A1 1)P(B)P(B1 1|A|A1 1)+P(A)+P(A2 2)P(B)P(B2 2|A|A2 2) ) = =416116+ +11612 = =364. . 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為 100100 元元, ,且抽取的

14、每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn), ,對(duì)這對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為 X(X(單位單位: :元元),),求求 X X 的分布列及數(shù)學(xué)期望的分布列及數(shù)學(xué)期望. . 解：解：(2)X(2)X 可能的取值為可能的取值為 400,500,800,400,500,800,并且并且 P(X=400)=1P(X=400)=1- -416- -116= =1116, , P(X=500)=P(X=500)=116,P(X=800)=,P(X=800)= 14. . 所以所以 X X 的分布列為的分布列為 X X 400400 500500 80800 0 P

15、P 1116 116 14 E(X)=400E(X)=4001116+500+500116+800+80014=506.25.=506.25. 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)備考指要備考指要1.1.怎么考怎么考(1)(1)幾何概型很少考查幾何概型很少考查; ;古典概型可以單獨(dú)考查也可以與計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)等古典概型可以單獨(dú)考查也可以與計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯考查知識(shí)交匯考查. .(2)(2)條件概率條件概率, ,正態(tài)分布正態(tài)分布, ,互斥、對(duì)立事件的概率互斥、對(duì)立事件的概率, ,相互獨(dú)立事件的概率以及相互獨(dú)立事件的概率以及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). .可能出現(xiàn)在客觀題中單獨(dú)考查可能出現(xiàn)在客觀題中單獨(dú)考查, ,也

16、可能在解答題中與其他知也可能在解答題中與其他知識(shí)、綜合考查識(shí)、綜合考查, ,難度不大難度不大. .(3)(3)以實(shí)際問題為背景以實(shí)際問題為背景, ,多與統(tǒng)計(jì)結(jié)合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、多與統(tǒng)計(jì)結(jié)合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差方差; ;多以解答題形式呈現(xiàn)多以解答題形式呈現(xiàn). .2.2.怎么辦怎么辦注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想、基本能力的復(fù)習(xí)是關(guān)鍵注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想、基本能力的復(fù)習(xí)是關(guān)鍵, ,是解決綜合性題目的是解決綜合性題目的基礎(chǔ)基礎(chǔ). .在復(fù)習(xí)的過程中一定要注重思想方法的應(yīng)用和能力的培養(yǎng)在復(fù)習(xí)的過程中一定要注重思想方法的應(yīng)用和能力的培養(yǎng), ,注重閱讀注重閱讀能力以及從題目中提

17、取信息的能力的培養(yǎng)能力以及從題目中提取信息的能力的培養(yǎng). .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)核心整合核心整合(2)(2)古典概型的概率古典概型的概率 P(A)=P(A)=A中所含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù). . 1.1.隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率(1)(1)隨機(jī)事件的概率范圍隨機(jī)事件的概率范圍:0P(A)1;:0P(A)1;必然事件的概率為必然事件的概率為1;1;不可能事件不可能事件的概率為的概率為0.0.(3)(3)幾何概型的概率幾何概型的概率 P(A)=P(A)=A構(gòu)成事件 的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）. . 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)如果事件如果事件 A,BA,

18、B 互斥互斥, ,那么事件那么事件 A AB B 發(fā)生發(fā)生( (即即 A,BA,B 中有一個(gè)發(fā)生中有一個(gè)發(fā)生) )的概率的概率, ,等于事件等于事件 A,BA,B 分別發(fā)生的概率的和分別發(fā)生的概率的和, ,即即 P(AP(AB)=P(A)+P(B).B)=P(A)+P(B).這個(gè)公式稱為這個(gè)公式稱為互斥事件的概率加法公式互斥事件的概率加法公式. . 2.2.互斥事件與對(duì)立事件互斥事件與對(duì)立事件(1)(1)對(duì)立事件是互斥事件對(duì)立事件是互斥事件, ,互斥事件未必是對(duì)立事件互斥事件未必是對(duì)立事件; ;(3)(3)在一次試驗(yàn)中在一次試驗(yàn)中, ,對(duì)立事件對(duì)立事件 A A 和和A不會(huì)同時(shí)發(fā)生不會(huì)同時(shí)發(fā)生,

19、 ,但一定有一個(gè)發(fā)生但一定有一個(gè)發(fā)生, ,因此因此有有 P(P(A)=1)=1- -P(A)P(A) 3.3.條件概率條件概率 在事件在事件 A A 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 B B 發(fā)生的概率發(fā)生的概率:P(B|A)=:P(B|A)=()( )P ABP A. . 4.4.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率: :若若A,BA,B為相互獨(dú)立事件為相互獨(dú)立事件, ,則則P(AB)=P(A)P(B).P(AB)=P(A)P(B).二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)5.5.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果事件如果事件A A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 p,p,那么它在那么

20、它在 n n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生好發(fā)生 k k 次的概率為次的概率為 P Pn n(k)=(k)=Ckn p pk k(1(1- -p)p)n n- -k k,k=0,1,2,k=0,1,2,n.,n. 6.6.超幾何分布超幾何分布 在含在含有有 M M 件次件次品的品的 N N 件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中, ,任取任取 n n 件件, ,其中恰有其中恰有 X X 件次品件次品, ,則則P(X=k)=P(X=k)=C CCkn kMNMnN,k=0,1,2,k=0,1,2,m,m,其中其中 m=minM,n,m=minM,n,且且 n nN,MN,MN,n,MN,n,M, , N

21、 NN N* *. .此時(shí)稱隨此時(shí)稱隨機(jī)變量機(jī)變量 X X 服從超幾何分布服從超幾何分布. .超幾何分布的模型是不放回超幾何分布的模型是不放回 抽樣抽樣, ,超幾何分布中的參數(shù)超幾何分布中的參數(shù)是是 M,N,n.M,N,n. 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)7.7.離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 X X 可能取的值為可能取的值為 x x1 1,x,x2 2, ,x,xi i, ,x,xn n,X,X 取每一個(gè)值取每一個(gè)值 x xi i的概率為的概率為 P(X=xP(X=xi i)=p)=pi i, ,則稱表則稱表: : X X x x1 1 x x2

22、 2 x x3 3 x xi i x xn n P P p p1 1 p p2 2 p p3 3 p pi i p pn n 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量 X X 的分布列的分布列. . (2)(2)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 X X 的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)的分布列具有兩個(gè)性質(zhì): : p pi i0,0,p p1 1+p+p2 2+ +p+pi i+ +p+pn n=1(i=1,2,3,=1(i=1,2,3,n).,n). (3)E(X)=x(3)E(X)=x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+ +x+xi ip pi i+ +x+xn np pn n為為 X X 的均值或數(shù)學(xué)期

23、望的均值或數(shù)學(xué)期望( (簡(jiǎn)稱期望簡(jiǎn)稱期望),),反反映映 X X 的平均水平的平均水平. . (4)D(X)=(4)D(X)=21niixE Xp pi i為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X X 的方差的方差. . ()D X叫標(biāo)準(zhǔn)差叫標(biāo)準(zhǔn)差, ,它們均反映它們均反映 X X 的離散程度的離散程度. . 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(5)(5)性質(zhì)性質(zhì) E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=aE(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2 2D(X)(a,bD(X)(a,b 為常數(shù)為常數(shù)) ) X XB(n,p),B(n,p),則則 E(X)=np,D(X)=np(1E(X)=np,D(X)=np(

24、1- -p);p); X X 服從兩點(diǎn)分布服從兩點(diǎn)分布, ,則則 E(X)=p,D(X)=p(1E(X)=p,D(X)=p(1- -p).p). 8.8.正態(tài)分布正態(tài)分布 (1)(1)正態(tài)曲線及性質(zhì)正態(tài)曲線及性質(zhì) 正態(tài)曲線的定義正態(tài)曲線的定義 函數(shù)函數(shù), ,(x)=(x)=22()21e2x,x,x( (- -,+,+),),其中實(shí)數(shù)和其中實(shí)數(shù)和( (0)0)為參為參數(shù)數(shù), ,我們稱我們稱, ,(x)(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線的圖象為正態(tài)分布密度曲線, ,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線. . a.a.曲線位于曲線位于x x軸軸 , ,與與x x軸不相交軸不相交; ;b.b.曲線是單峰的曲線是單峰

25、的, ,它關(guān)于直線它關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱; ;上方上方x=x=二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)c.c.曲線在曲線在 x=x=處達(dá)到峰值處達(dá)到峰值12; ; d.d.曲線與曲線與 x x 軸之間的面積為軸之間的面積為 ; ; e.e.當(dāng)一定時(shí)當(dāng)一定時(shí), ,曲線隨著的變化而沿曲線隨著的變化而沿 x x 軸平移軸平移, ,如圖甲所示如圖甲所示; ; f.f.當(dāng)一定時(shí)當(dāng)一定時(shí), ,曲線的形狀由確定曲線的形狀由確定. . , ,曲線越“瘦高”曲線越“瘦高”, ,表示總體表示總體的分布越集中的分布越集中; ; , ,曲線越“矮胖”曲線越“矮胖”, ,表示總體的分布越分散表示總體的分布越分散, ,如圖如圖乙所示乙所示. .

26、1 1 越小越小 越大越大 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)P(-X+)= P(-X+)= ; ;P(-2X+2)= P(-2X+2)= ; ;P(-3X+3)= P(-3X+3)= . .0.68260.68260.95440.95440.99740.9974二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)溫馨提示溫馨提示 (1)(1)事件互斥與事件相互獨(dú)立的區(qū)別事件互斥與事件相互獨(dú)立的區(qū)別事件互斥是指在一次試驗(yàn)中事件互斥是指在一次試驗(yàn)中, ,兩個(gè)事件或多個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生兩個(gè)事件或多個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生, ,而事而事件的相互獨(dú)立不要求事件是在一次試驗(yàn)中件的相互獨(dú)立不要求事件是在一

27、次試驗(yàn)中, ,只要它們互不影響就可以稱只要它們互不影響就可以稱為相互獨(dú)立為相互獨(dú)立. .(2)(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件. .滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件有兩個(gè)滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件有兩個(gè), ,一是每一次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)一是每一次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè), ,二是二是在相同條件下在相同條件下, ,試驗(yàn)可以重復(fù)試驗(yàn)可以重復(fù). .(3)(3)正態(tài)分布的計(jì)算主要是通過正態(tài)分布的計(jì)算主要是通過33原則以及正態(tài)曲線的性質(zhì)原則以及正態(tài)曲線的性質(zhì): :曲線關(guān)于曲線關(guān)于x=x=對(duì)稱進(jìn)行計(jì)算對(duì)稱進(jìn)行計(jì)算. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)熱點(diǎn)精講熱點(diǎn)精講熱點(diǎn)一熱點(diǎn)一古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型【例【例 1 1】

28、 (1) (1)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù) a,b,a,b,則直線則直線 ax+by=0ax+by=0與圓與圓(x(x- -2)2)2 2+y+y2 2=2=2 有公共點(diǎn)的概率為有公共點(diǎn)的概率為 . . 解析解析: :(1)(1)依題意依題意, ,將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a,b)(a,b)有有(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(1,2),(1,3),(6,6),(6,6),共共 3636 種種, ,其中滿足直線其中滿足直線 ax+by=0ax+by=0 與圓與圓(x(x-

29、-2)2)2 2+y+y2 2=2=2 有公共點(diǎn)有公共點(diǎn), ,即滿足即滿足222aab2,a,a2 2b b2 2的數(shù)組的數(shù)組(a,b)(a,b)有有6+5+4+3+2+1=216+5+4+3+2+1=21 種種, ,因此所求的概率等于因此所求的概率等于2136= =712. . 答案答案: :(1)(1)712 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2015(2)(2015 黑龍江模擬黑龍江模擬) )已知已知= =(x,y)|x|(x,y)|x|1,|y|1,|y|1,A1,A 是曲線是曲線 y=xy=x2 2與與y=y=12x圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域, ,若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn) P,P,則

30、點(diǎn)則點(diǎn) P P 落入?yún)^(qū)域落入?yún)^(qū)域 A A 的概率的概率為為 . . 解析：解析：(2)(2)如圖如圖, ,曲線曲線 y=xy=x2 2與與 y=y=12x圍成的區(qū)域面積為圍成的區(qū)域面積為11220()xx dx=dx=3312021()|33xx= =13. .而區(qū)域?qū)?yīng)的面積為而區(qū)域?qū)?yīng)的面積為 4,4,故點(diǎn)故點(diǎn) P P 落入?yún)^(qū)域落入?yún)^(qū)域 A A 的概率的概率為為134= =112. . 答案答案: :(2)(2)112 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法技巧方法技巧 (1)(1)有關(guān)古典概型的概率問題有關(guān)古典概型的概率問題, ,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件

31、總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù), ,此類問題經(jīng)常用到排列、組合的有關(guān)知此類問題經(jīng)常用到排列、組合的有關(guān)知識(shí)識(shí); ;對(duì)于較復(fù)雜的題目要注意正確分類對(duì)于較復(fù)雜的題目要注意正確分類, ,分類時(shí)應(yīng)不重不漏分類時(shí)應(yīng)不重不漏. .(2)(2)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí), ,應(yīng)應(yīng)考慮使用幾何概型求解考慮使用幾何概型求解; ;利用幾何概型求概率時(shí)利用幾何概型求概率時(shí), ,關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的確定構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的確定, ,有時(shí)需要設(shè)出變量有時(shí)需要設(shè)出變量, ,在坐標(biāo)

32、系中表示在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域所需要的區(qū)域. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)舉一反三舉一反三 1 1- -1:1:(1)(1)在二項(xiàng)式在二項(xiàng)式 （x+ +412 x）n n的展開式中的展開式中, ,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列, ,把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列, ,有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為( ( ) ) (A)(A)16 (B)(B) 14 (C)(C)13 (D)(D)512 解析解析: :(1)(1)注意到二項(xiàng)式注意到二項(xiàng)式（x+ +412 x）n n的展開式的通項(xiàng)是的展開式的通項(xiàng)是 T Tr+1r+1= =Crn( (x)

33、)n n- -r r（412 x）r r = =Crn2 2- -r r234nrx. .依題意有依題意有0Cn+ +2Cn2 2- -2 2=2=21Cn2 2- -1 1, , 即即 n n2 2- -9n+8=0,(n9n+8=0,(n- -1)(n1)(n- -8)=0(n8)=0(n2),2),因此因此 n=8.n=8. 因?yàn)槎?xiàng)式因?yàn)槎?xiàng)式（x+ +412 x）8 8的展開式的通項(xiàng)是的展開式的通項(xiàng)是 T Tr+1r+1= =8Cr2 2- -r r344rx, , 其展開式中的有理項(xiàng)共有其展開式中的有理項(xiàng)共有 3 3 項(xiàng)項(xiàng), ,所求的概率等于所求的概率等于636799A AA= =

34、512, ,選選 D.D. 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)任取實(shí)數(shù)任取實(shí)數(shù) a,ba,b - -1,1,1,1,則則 a,ba,b 滿足滿足|a|a- -2b|2b|2 2 的概率為的概率為( ( ) ) (A)(A)18 (B)(B)14 (C)(C)34 (D)(D)78 解析：解析：(2)(2)如圖所示如圖所示, ,則事件則事件|a|a- -2b|2b|2 2 所表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分所表示的區(qū)域所表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分所表示的區(qū)域, ,易知直線易知直線a a- -2b=2b=- -2 2 分別交直線分別交直線 a=a=- -1 1 與與 b b 軸于點(diǎn)軸于點(diǎn) E E（- -1,1

35、,12）,F(0,1).,F(0,1). 所以所以|BE|=|BE|=12,|BF|=1.,|BF|=1. 所以所以 S SBEFBEF= =12|BE|BE|BF|=|BF|=12121=1=14, , 易得易得DHGDHGBEF.BEF.因此因此 S SDHGDHG=S=SBEFBEF= =14, , 故陰影部分的面積故陰影部分的面積 S=SS=S四邊形四邊形 ABCDABCD- -2S2SBEFBEF=2=22 2- -2 214= =72. .由幾何概型的概率公式可知由幾何概型的概率公式可知, ,事件事件|a|a- -2b|2b|2 2 的概的概率率 P=P=ABCDSS四邊形= =2

36、722= =7214= =78, ,故選故選 D.D. 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)熱點(diǎn)二熱點(diǎn)二相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)【例【例 2 2】 甲、 乙兩人各射擊一次甲、 乙兩人各射擊一次, ,擊中目標(biāo)的概率分別是擊中目標(biāo)的概率分別是23和和34. .假設(shè)兩假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響, ,每人各次射擊是否擊中目標(biāo)每人各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響相互之間也沒有影響. . (1)(1)求甲連續(xù)射擊求甲連續(xù)射擊 4 4 次次, ,至少有至少有 1 1 次未擊中目標(biāo)的概率次未擊中目標(biāo)的概率; ; 解解: :(1)(1)記“甲連續(xù)射擊

37、記“甲連續(xù)射擊 4 4 次次, ,至少有至少有 1 1 次未擊中目標(biāo)”為事件次未擊中目標(biāo)”為事件 A A1 1, ,則事件則事件 A A1 1的對(duì)立事件的對(duì)立事件1A為“甲連續(xù)射為“甲連續(xù)射擊擊 4 4 次次, ,全部擊中目標(biāo)”全部擊中目標(biāo)”. .由題意知由題意知, ,射擊射擊 4 4 次相當(dāng)于做次相當(dāng)于做 4 4 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). .故故 P(P(1A)=)=（23）4 4= =1681. . 所以所以 P(AP(A1 1)=1)=1- -P(P(1A)=1)=1- -1681= =6581. . 所以甲連續(xù)射擊所以甲連續(xù)射擊 4 4 次次, ,至少有至少有 1 1 次未擊中目

38、標(biāo)的概率為次未擊中目標(biāo)的概率為6581. . 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解：解：(2)(2)記“甲射擊記“甲射擊 4 4 次次, ,恰好有恰好有 2 2 次擊中目標(biāo)”為事件次擊中目標(biāo)”為事件 A A2 2, ,“乙射擊“乙射擊 4 4次次, ,恰好有恰好有 3 3 次擊中目標(biāo)”為事件次擊中目標(biāo)”為事件 B B2 2, , 則則 P(AP(A2 2)=)= 24C（23）2 2（1 1- -23）2 2= =827, , P(BP(B2 2)=)= 34C（34）3 3（1 1- -34）= =2764. . 由于甲、乙射擊相互獨(dú)立由于甲、乙射擊相互獨(dú)立, , 故故 P(AP(A2 2B B2 2)=P(

39、A)=P(A2 2)P(B)P(B2 2)=)= 8272764= =18. . 所以兩人各射擊所以兩人各射擊 4 4 次次, ,甲恰有甲恰有 2 2 次擊中目標(biāo)且乙恰有次擊中目標(biāo)且乙恰有 3 3 次擊中目標(biāo)的概次擊中目標(biāo)的概率為率為18. . (2)(2)求兩人各射擊求兩人各射擊4 4次次, ,甲恰好擊中目標(biāo)甲恰好擊中目標(biāo)2 2次且乙恰好擊中目標(biāo)次且乙恰好擊中目標(biāo)3 3次的概率次的概率; ;二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解：解：(3)(3)記“乙恰好射擊記“乙恰好射擊 5 5 次后次后, ,被終止射擊”為事件被終止射擊”為事件 A A3 3, ,“乙第“乙第 i i 次射次射擊未擊中”為事件擊未擊中”為事

40、件 D Di i(i=1,2,3,4,5),(i=1,2,3,4,5),則則 A A3 3=D=D5 5D D4 43D( (2D1D2DD D1 1D D2 21D),),且且 P(DP(Di i)=)= 14. . 由于各事件相互獨(dú)立由于各事件相互獨(dú)立, , 故故 P(AP(A3 3)=P(D)=P(D5 5)P(D)P(D4 4)P()P(3D)P()P(2D1D+ +2DD D1 1+D+D2 21D)=)=141434（1 1- -1414）= =451024. . 所以乙恰好射擊所以乙恰好射擊 5 5 次后次后, ,被終止射擊的概率為被終止射擊的概率為451024. . (3)(3

41、)假設(shè)每人連續(xù)假設(shè)每人連續(xù)2 2次未擊中目標(biāo)次未擊中目標(biāo), ,則終止其射擊則終止其射擊. .問問: :乙恰好射擊乙恰好射擊5 5次后次后, ,被被終止射擊的概率是多少終止射擊的概率是多少? ?二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法技巧方法技巧 求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn)求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn): :(1)(1)求復(fù)雜事件的概率求復(fù)雜事件的概率, ,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成, ,看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件的積事件,

42、,然后用相應(yīng)概率公式求解然后用相應(yīng)概率公式求解. .(2)(2)一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多, ,反面情況比較少反面情況比較少, ,則一般利用對(duì)立事則一般利用對(duì)立事件概率公式進(jìn)行求解件概率公式進(jìn)行求解. .對(duì)于對(duì)于“至少至少”“”“至多至多”等問題經(jīng)常也用這種方法求等問題經(jīng)常也用這種方法求解解. .(3)(3)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征: :在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中, ,試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況生與不發(fā)生兩種情況; ;在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中, ,事件發(fā)生的概率相同事件發(fā)生的概率相同. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)舉一反

43、三舉一反三 2 2- -1:1:某項(xiàng)選拔共有四輪考核某項(xiàng)選拔共有四輪考核, ,每輪設(shè)有一個(gè)問題每輪設(shè)有一個(gè)問題, ,能正確回答問題者進(jìn)能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核入下一輪考核, ,否則即被淘汰否則即被淘汰. .已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為的概率分別為45, ,35, ,25, ,15, ,且各輪問題能否正確回答互不影響且各輪問題能否正確回答互不影響. . (1)(1)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率; ; 解解: :(1)(1)記 “該選手能正確回答第記 “該選手能正確回答第 i i 輪的

44、問題” 的事件為輪的問題” 的事件為 A Ai i (i=1,2,3,4), (i=1,2,3,4),則則 P(AP(A1 1)=)= 45,P(A,P(A2 2)=)= 35,P(A,P(A3 3)=)= 25,P(A,P(A4 4)=)=15, , 所以該選手進(jìn)入第四輪被淘汰的概率為所以該選手進(jìn)入第四輪被淘汰的概率為 P(AP(A1 1A A2 2A A3 34A)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2)P(A)P(A3 3)P()P(4A)=)=45352545= =96625. . 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解：解：(2)(2)該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率為該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概

45、率為P(P(1A+A+A1 12A+A+A1 1A A2 23A)=P()=P(1A)+P(A)+P(A1 1)P()P(2A)+P(A)+P(A1 1)P(A)P(A2 2)P()P(3A)=)=15+ +4525+ +453535= =101125. . (2)(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)熱點(diǎn)三熱點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差 【例【例 3 3】 (2015(2015 貴陽市高三適應(yīng)性監(jiān)測(cè)貴陽市高三適應(yīng)性監(jiān)測(cè)) )甲、 乙、 丙三位同學(xué)彼此獨(dú)立地從甲、 乙、 丙三位同學(xué)彼此獨(dú)立地從 A

46、,B,C,D,EA,B,C,D,E五所高校中五所高校中, ,任選任選 2 2 所高校參加自主招生考試所高校參加自主招生考試( (并且只能選并且只能選 2 2 所高校所高校),),但同學(xué)甲特但同學(xué)甲特別喜歡別喜歡 A A 高校高校, ,他除選他除選 A A 校外校外, ,在在B,C,D,EB,C,D,E 中再隨機(jī)選一所中再隨機(jī)選一所; ;同學(xué)乙和丙對(duì)同學(xué)乙和丙對(duì) 5 5所高校所高校沒有偏愛沒有偏愛, ,都在都在 5 5 所高校中隨機(jī)選所高校中隨機(jī)選 2 2 所即可所即可. . (1)(1)求甲同學(xué)未選中求甲同學(xué)未選中 B B 高校且乙、丙都選中高校且乙、丙都選中 B B 高校的概率高校的概率;

47、; 解解: :(1)(1)由已知得由已知得, ,甲同學(xué)選中甲同學(xué)選中 B B 高校的概率為高校的概率為 P P甲甲= =14, , 乙、丙同學(xué)選中乙、丙同學(xué)選中 B B 高校的概率為高校的概率為 P P乙乙=P=P丙丙= =111425C CC= =25, , 甲同學(xué)未選中甲同學(xué)未選中 B B 高校且乙、丙同學(xué)都選中高校且乙、丙同學(xué)都選中 B B 高校的概率為高校的概率為 P=(1P=(1- -P P甲甲) )P P乙乙P P丙丙= =（1 1- -14）2525= =325. . 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)記記X X為甲、乙、丙三名同學(xué)中參加為甲、乙、丙三名同學(xué)中參加B B高校自主招生考試

48、的人數(shù)高校自主招生考試的人數(shù), ,求求X X的的分布列及數(shù)學(xué)期望分布列及數(shù)學(xué)期望. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解：解：(2)X(2)X 所有可能的取值為所有可能的取值為 0,1,2,3,P(X=0)=(10,1,2,3,P(X=0)=(1- -P P甲甲) )(1(1- -P P乙乙) )(1(1- -P P丙丙)=)=（1 1- -14）（1 1- -25）2 2 = =27100,P(X=1)=(1,P(X=1)=(1- -P P甲甲) )(1(1- -P P乙乙) )P P丙丙+(1+(1- -P P甲甲) )P P乙乙(1(1- -P P丙丙)+(1)+(1- -P P丙丙) )(1(1- -

49、P P乙乙) )P P甲甲 = =（1 1- -14）（1 1- -25）25+ +（1 1- -14）25（1 1- -25）+ +（1 1- -25）2 214= =920, , P(X=2)=(1P(X=2)=(1- -P P甲甲) )P P乙乙P P丙丙+(1+(1- -P P乙乙) )P P甲甲P P丙丙+(1+(1- -P P丙丙) )P P乙乙P P甲甲 = =（1 1- -14）（25）2 2+ +（1 1- -25）1425+ +（1 1- -25）1425= =625, , P(X=3)=PP(X=3)=P甲甲P P乙乙P P丙丙= =14（25）2 2= =125. .

50、所以所以 X X 的分布列為的分布列為 X X 0 0 1 1 2 2 3 3 P P 27100 920 625 125 所以所以 E(X)=0E(X)=027100+1+1920+2+2625+3+3125= =2120. . 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法技巧方法技巧 (1)(1)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件取每一個(gè)值所表示的具體事件, ,然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式求出概率然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式求出概率. .(2)(2)求隨機(jī)變量的期望的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的期望的關(guān)鍵是正確求

51、出隨機(jī)變量的分布列, ,若隨機(jī)變量服若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布從二項(xiàng)分布, ,則可直接使用公式求解則可直接使用公式求解. .(3)(3)對(duì)于兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的期望、方差可直接代入相關(guān)對(duì)于兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的期望、方差可直接代入相關(guān)公式求解公式求解; ;對(duì)于一般類型的隨機(jī)事件的期望與方差需列出概率分布列對(duì)于一般類型的隨機(jī)事件的期望與方差需列出概率分布列, ,用期用期望、方差公式求解望、方差公式求解. .二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)舉一反三舉一反三 3 3- -1:1:某省去年高三某省去年高三 2020 萬考生英語聽力考試成績(jī)服從正態(tài)分布萬考生英語聽力考試成績(jī)服從正態(tài)分布N(17N(17

52、,9).,9).現(xiàn)從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取現(xiàn)從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取 5050 名考生的成績(jī)名考生的成績(jī), ,發(fā)現(xiàn)全部在發(fā)現(xiàn)全部在6,306,30內(nèi)內(nèi), ,將成績(jī)按如下方式分成將成績(jī)按如下方式分成 6 6 組組: :第第 1 1 組組6,10),6,10),第第 2 2 組組10,14),10,14), ,第第 6 6 組組26,30,26,30,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖方圖. . (1)(1)估算該校估算該校 5050 名考生成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)名考生成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù); ; 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解解: :(1)(1)由題圖知由題圖知, ,該校這該校

53、這 5050 名考生聽力成績(jī)的眾數(shù)為名考生聽力成績(jī)的眾數(shù)為14182=16,=16, 中位數(shù)為中位數(shù)為 14+14+0.50.0240.0540.08=16.75.=16.75. 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)(2)求這求這5050名考生成績(jī)?cè)诿忌煽?jī)?cè)?2,3022,30內(nèi)的人數(shù)內(nèi)的人數(shù); ;解：解：(2)(2)由題頻率分布直方圖知由題頻率分布直方圖知, ,后兩組頻率為后兩組頻率為(0.03+0.02)(0.03+0.02)4=0.2,4=0.2,人數(shù)為人數(shù)為0.20.250=10,50=10,即該校這即該校這5050名考生聽力成績(jī)?cè)诿忌犃Τ煽?jī)?cè)?2,3022,30內(nèi)的人數(shù)為內(nèi)的人數(shù)為10.1

54、0.二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(3)(3)從這從這 5050 名考生成績(jī)?cè)诿忌煽?jī)?cè)?2,3022,30內(nèi)的人中任意抽取內(nèi)的人中任意抽取 2 2 人人, ,這這 2 2人成績(jī)排名人成績(jī)排名( (從高到低從高到低) )在全省前在全省前 260260 名的人數(shù)記為名的人數(shù)記為 X,X,求求 X X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. .參考數(shù)據(jù)參考數(shù)據(jù): : 若若 X XN(N(, ,2 2),),則則 P(P(- -XX+ +)=0.6826,)=0.6826, P(P(- -2 2XX+2+2)=0.9544,)=0.9544, P(P(- -3 3XX+3+3)=0.9974,)=0.9974, 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)

55、學(xué)解：解：(3)(3)因?yàn)橐驗(yàn)?P(17P(17- -3 33X3X17+317+33)=0.9974,3)=0.9974, 則則 P(XP(X26)=26)=10.99742=0.0013,0.0013=0.0013,0.0013200000=260.200000=260. 所以所以, ,該省前該省前 260260 名的英語聽力成績(jī)?cè)诿挠⒄Z聽力成績(jī)?cè)?2626 分及其以上分及其以上, , 該校這該校這 5050 人中人中 2626 分及其以上的有分及其以上的有 0.080.0850=4(50=4(人人).). 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X X 可取可取 0,1,2,0,1,2,于是于是 P(X=0

56、)=P(X=0)=26210CC= =13,P(X=1)=,P(X=1)=1164210C CC= =815, , P(X=2)=P(X=2)=24210CC= =215, ,則數(shù)學(xué)期望則數(shù)學(xué)期望 E(X)=0E(X)=013+1+1815+2+2215= =45. . 二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)備選例題備選例題解解: :(1)(1)個(gè)位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字是 5 5 的“三位遞增數(shù)”有的“三位遞增數(shù)”有 125,135,145,235,245,345.125,135,145,235,245,345. 【例例1 1】 (2015 (2015山東卷山東卷) )若若n n是一個(gè)三位正整數(shù)是一個(gè)三位正整數(shù), ,且且

57、n n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字, ,十位數(shù)字大于百位數(shù)字十位數(shù)字大于百位數(shù)字, ,則稱則稱n n為為“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”( (如如137,359,567137,359,567等等).).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中, ,每位參加者需從所有的每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取1 1個(gè)數(shù)個(gè)數(shù), ,且只能抽取一次且只能抽取一次. .得分規(guī)則如下得分規(guī)則如下: :若抽取的若抽取的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)的三個(gè)數(shù)字之積不能被字之積不能被5 5整除整除, ,參加者得參加者得0 0分分; ;若能被若能被5 5整除整除, ,但不能被但不

58、能被1010整除整除, ,得得-1-1分分; ;若能被若能被1010整除整除, ,得得1 1分分. .(1)(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是寫出所有個(gè)位數(shù)字是5 5的的“三位遞增數(shù)三位遞增數(shù)”; ;二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解：解：(2)(2)由題意知由題意知, ,全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為39C=84,=84,隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X X 的取的取值為值為 0,0,- -1,1,1,1,因此因此 P(X=0)=P(X=0)=3839CC= =23,P(X=,P(X=- -1)=1)=2439CC= =114, , P(X=1)=1P(X=1)=1- -114- -23= =1142. .

59、所以所以 X X 的分布列為的分布列為 X X 0 0 - -1 1 1 1 P P 23 114 1142 則則 E(X)=0E(X)=023+(+(- -1)1)114+1+11142= =421. . (2)(2)若甲參加活動(dòng)若甲參加活動(dòng), ,求甲得分求甲得分X X的分布列和數(shù)學(xué)期望的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).E(X).二輪二輪數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)【例【例 2 2】(2014(2014 北京卷北京卷) )李明在李明在 1010 場(chǎng)籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下場(chǎng)籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下( (假設(shè)各假設(shè)各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立場(chǎng)比賽相互獨(dú)立):): 場(chǎng)次場(chǎng)次 投籃次數(shù)投籃次數(shù) 命中次數(shù)命中次數(shù) 場(chǎng)次場(chǎng)次 投

60、籃次數(shù)投籃次數(shù) 命中次數(shù)命中次數(shù) 主場(chǎng)主場(chǎng) 1 1 2222 1212 客場(chǎng)客場(chǎng) 1 1 1818 8 8 主場(chǎng)主場(chǎng) 2 2 1515 1212 客場(chǎng)客場(chǎng) 2 2 1313 1212 主場(chǎng)主場(chǎng) 3 3 1212 8 8 客場(chǎng)客場(chǎng) 3 3 2121 7 7 主場(chǎng)主場(chǎng) 4 4 2323 8 8 客場(chǎng)客場(chǎng) 4 4 1818 1515 主場(chǎng)主場(chǎng) 5 5 2424 2020 客場(chǎng)客場(chǎng) 5 5 2525 1212 (1)(1)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng), ,求李明在該場(chǎng)比賽中投籃命中率超過求李明在該場(chǎng)比賽中投籃命中率超過0.60.6的的概率概率; ; 解解: : (1) (1)根據(jù)投