物理學(xué)畢業(yè)論文-彈簧振子振動(dòng)的研究

1、 學(xué) 院 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題題 目目 彈簧振子振動(dòng)的研究 院院 系系 物理與電子工程學(xué)院 專專 業(yè)業(yè) 物理學(xué) 姓姓 名名 學(xué)學(xué) 號(hào)號(hào) 學(xué)習(xí)年限學(xué)習(xí)年限 2007 年 9 月至 2011 年 7 月指導(dǎo)教師指導(dǎo)教師 申請(qǐng)學(xué)位申請(qǐng)學(xué)位 理學(xué) 學(xué)士學(xué)位 二 O 一一年五月二十三日 彈簧振子振動(dòng)的研究 摘 要: 我們對(duì)存在恒定大小滑動(dòng)摩擦阻力時(shí)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律做了深入的研究. 對(duì)在粗糙水平面上作振動(dòng)的彈簧振子通過解析計(jì)算分析及數(shù)值計(jì)算方法, 從能量的角度計(jì)算了存在滑動(dòng)摩擦阻力時(shí)彈簧振子最后停止的準(zhǔn)確位置, 并且精確計(jì)算出彈簧振子的振動(dòng)總次數(shù). 對(duì)彈簧振子停止的成因給出了動(dòng)力學(xué)解釋, 詳細(xì)分析了振

2、動(dòng)次數(shù)與停止點(diǎn)的關(guān)系. 從能量角度計(jì)算出每次振動(dòng)振幅衰減的準(zhǔn)確值, 并且給出了位移及速度隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線; 能量隨時(shí)間及能量隨位移變化的關(guān)系曲線.關(guān)鍵詞: 彈簧振子; 滑動(dòng)摩擦力; 數(shù)值計(jì)算 Research on vibration of Spring vibrator ABSTRACT: We exist constant sliding friction resistance, the size of the motion law of spring vibrator made a in-depth research. In the rough level surface and t

3、he spring vibrator for vibration by analytic calculation analysis and numerical calculation method, calculated from the Angle of energy when sliding friction resistance there last spring vibrator, and stop exact location precisely calculate spring vibrator vibration total number of spring vibrator s

4、top. The cause of the dynamic interpretation are analyzed in detail, vibration frequency and stop some relationship. From the Angle of energy each vibration amplitude attenuation calculated accurate values, and gives the displacement and speed changing with time relationship curves; Energy on time a

5、nd energy with the relation curves of displacement variation. KEYWORDS: Spring vibrator; Sliding friction; Numerical calculation 目 錄引 言.11 滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子.21.1 滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子的模型 .21.2 受恒定大小滑動(dòng)摩擦力作用的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程 .22 滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子變量的計(jì)算.42.1 振動(dòng)周期的計(jì)算 .42.2 振子的停滯區(qū) .52.3 振子的振幅、周期與停止點(diǎn) .63 滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子變量關(guān)系的分析

6、.93.1 質(zhì)點(diǎn)的振幅與振動(dòng)次數(shù)的線性關(guān)系 .93.2 質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間關(guān)系 .113.3 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量與位移關(guān)系 .143.4 能量時(shí)間關(guān)系及能量位移關(guān)系 .15總 結(jié).21致 謝.21參考文獻(xiàn).21 1引引 言言振動(dòng)在物理學(xué)中占有相當(dāng)重要的位置, 簡(jiǎn)諧振動(dòng)作為所有研究振動(dòng)的基礎(chǔ)其運(yùn)動(dòng)規(guī)律已為人們所熟知, 對(duì)于存在摩擦阻力時(shí)的振動(dòng)的研究還存在有待深入的探討的問題. 而這一類振動(dòng)在現(xiàn)實(shí)中是非常常見的. 最近關(guān)于這類問題的研究引起人們關(guān)注, 1 5對(duì)這一問題的研究給出對(duì)在粗糙水平面上作振動(dòng)的彈簧振子最后停止的位置, 估算了彈簧振子的振動(dòng)總次數(shù), 得出彈簧振子的相軌跡. 我們?cè)诖嘶A(chǔ)上, 從初始能量

7、的1減少等于克服阻力做功的觀點(diǎn), 精確計(jì)算出存在滑動(dòng)摩擦阻力時(shí)彈簧振子最后停止的準(zhǔn)確位置, 以及彈簧振子具有一定初始勢(shì)能時(shí)所能夠進(jìn)行的振動(dòng)次數(shù). 在停滯區(qū)域彈簧振子為什么停止及停止后彈簧振子系統(tǒng)是否仍具有勢(shì)能存儲(chǔ)于系統(tǒng)中, 給出了明確的分析結(jié)果, 并且詳細(xì)分析了初始振幅與振動(dòng)次數(shù)及停止點(diǎn)的關(guān)系. 由每次振動(dòng)摩擦阻力所做的功得出每次振動(dòng)振幅衰減的精確值, 從而得出振動(dòng)峰值與振動(dòng)次數(shù)的關(guān)系曲線, 并且通過數(shù)值計(jì)算給出了位移及速度隨時(shí)間變化曲線, 直接驗(yàn)證了解析結(jié)果; 并討論了能量隨時(shí)間的變化規(guī)律及特性及能量隨位移變化的特性. 21 滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子1.1 滑

8、動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子的模型滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子的模型在粗糙水平面上的一個(gè)彈簧振子, 如圖 1.1 所示, 物體質(zhì)量為, 彈簧的勁度系數(shù)m為, 忽略其質(zhì)量, 物體和水平表面之間的摩擦因數(shù)為. 假設(shè)物體沿一條直線運(yùn)動(dòng),k其位置坐標(biāo)為(當(dāng)時(shí), 彈簧沒有伸縮), 且靜摩擦因數(shù)和滑動(dòng)摩擦因數(shù)相等. 起始x0 x 時(shí)物體的位置坐標(biāo)為(), 且速度0 xA00A 為 0. 此為滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子的模型. 對(duì)于此模型, 振子在運(yùn)動(dòng)過程中速度、振幅隨振動(dòng)次數(shù)的變化, 動(dòng)量與速度的關(guān)系, 能量與位移、能量與速度的關(guān)系變化以及振子最終停止的地點(diǎn). 本文將作出討論并得出相應(yīng)的結(jié)論.1.2 受恒

9、定大小滑動(dòng)摩擦力作用的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程受恒定大小滑動(dòng)摩擦力作用的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程受恒定大小滑動(dòng)摩擦力的彈簧振子在運(yùn)動(dòng)過程中: 由于滑動(dòng)摩擦力的大小與物體的運(yùn)動(dòng)速率無(wú)關(guān), 但其作用的方向和物體的運(yùn)動(dòng)方向即速度方向始終相反, 因此彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程式必須依其速度方向而定.參照簡(jiǎn)諧振動(dòng)的分析過程, 質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動(dòng)叫做 2簡(jiǎn)諧振動(dòng). 無(wú)滑動(dòng)摩擦力的彈簧振子是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的典型例子.將振子視作質(zhì)點(diǎn), 彈簧自由伸展時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置是平衡位置, 以此為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系, 表示質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo), 又等于相對(duì)于原點(diǎn)的位移, 也是彈簧的伸長(zhǎng)(壓縮)Oxx量. 很小時(shí), 力與之間成線性關(guān)系,

10、即, 是彈簧的勁度系數(shù). 彈簧彈性xxFxxFkx k力是彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的線性回復(fù)力.以表示滑塊質(zhì)量, 根據(jù)牛頓第二定律m (1.1)22d xmkxdt 用除上式兩端, 并令, 上式可寫作m20km圖 1.1 粗糙水平面上受恒定大小滑動(dòng)摩擦力的彈簧振子mx0AO 3 (1.2)2202d xxdt 式中的決定于彈簧的勁度系數(shù)和滑塊的質(zhì)量, 從而可知簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力0學(xué)方程式為: (1.3)22020d xxdt同理, 當(dāng)振子受恒定大小的滑動(dòng)摩擦力時(shí), 設(shè)軸沿著物體的運(yùn)動(dòng)方向, 當(dāng)x時(shí),彈簧無(wú)伸縮, 在無(wú)摩擦的情況下, 原點(diǎn)為一平衡點(diǎn). 物體的運(yùn)動(dòng)方程式可寫為:0 x 當(dāng)時(shí) (1.

11、4)20fFxxm 0 x 當(dāng)時(shí) (1.5)20fFxxm0 x 其中為振子的質(zhì)量, 為滑動(dòng)摩擦系數(shù), , , 為重力加速mfFmg0k mg度. 為該彈簧系統(tǒng)在無(wú)摩擦情況下的振動(dòng)角頻率.0為了統(tǒng)一兩種運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程形式定義新變量, . 則式120fFxxm220fFxxm(1.4)和式(1.5)可改寫為: (1.6)21010 xx (1.7)22020 xx這兩式相當(dāng)于在無(wú)摩擦情況下的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程式, 換句話說, 滑動(dòng)摩擦力對(duì)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的影響可簡(jiǎn)化為造成平衡點(diǎn)的遷移:當(dāng)時(shí), 平衡點(diǎn)由無(wú)摩擦情況下的平衡點(diǎn)移至 0 x 0 x 2200fxFmg (或).10 x 當(dāng)時(shí), 平衡點(diǎn)由無(wú)摩擦情況下的

12、平衡點(diǎn)移至 0 x 0 x 2200fxFmg(或).20 x 42 滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子變量的計(jì)算滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子變量的計(jì)算2.1 振動(dòng)周期的計(jì)算振動(dòng)周期的計(jì)算彈簧振子在運(yùn)動(dòng)過程中, 受恒定大小的滑動(dòng)摩擦力的作用, 因而其運(yùn)動(dòng)振幅fF(最大位移)隨著時(shí)間的延伸而不斷減小. 如果初始時(shí)振動(dòng)速度為0, 位移為, 從能量0A守恒的觀點(diǎn)考慮振動(dòng)的振幅衰減即為彈簧勢(shì)能的減少應(yīng)等于滑動(dòng)摩擦力所作的功, 所以根據(jù)功能關(guān)系當(dāng)振子從運(yùn)動(dòng)到第一個(gè)負(fù)最大振幅時(shí), 滿足: 0A1maxx1maxx (2.1)2201max01max1122fkAkxFAx (2.2)01max01max01ma

13、x2fFAxAxAxk (2.3)01max2fFAxk由此解得: (2.4)1max02fFxAk當(dāng)振子從運(yùn)動(dòng)到第一個(gè)正最大振幅時(shí), 滿足:1maxx1maxx1maxx (2.5)221max1max1max1max1122fkxkxFxx (2.6)221max1max1max1max2fFxxxxk (2.7)1max1max2fFxxk 由此解得: (2.8)1max00242fffFFFxAAkkk 這說明在第一次振動(dòng)完成后, 振幅減小. 同樣當(dāng)振動(dòng)從到時(shí), 滿足如4fFk1maxx2maxx下關(guān)系: (2.9)221max2max1max2max1122fkxkxFxx (2.1

14、0)221max2max1max2max2fFxxxxk (2.11)1max2max2fFxxk由此得到: 5 (2.12)2max1max2fFxxk而從到的振動(dòng)滿足如下關(guān)系: 2maxx2maxx (2.13)222max2max2max2max1122fkxkxFxx (2.14)222max2max2max2max2fFxxxxk (2.15)2max2max2fFxxk 由此得到: (2.16)2max2max1max0022222442fffffffFFFxxxkkkFFFAkkkFAk 從此可以看出: 當(dāng)完成第二次振動(dòng)時(shí), 振幅減小. 從而我們得到振動(dòng)次后42fFkn的振幅為

15、(2.17)max04fnFxnAk 而能夠完成的總振動(dòng)次數(shù)應(yīng)為 (2.18)04fANFk2.2 振子的停滯區(qū)振子的停滯區(qū)振子在單向運(yùn)動(dòng)一次時(shí), 振幅減小, 可推出振子完全振動(dòng)一次時(shí), 振幅減小202g. 即: 設(shè)振子初始振幅為, 單向運(yùn)動(dòng)一次至反方向最大位移處振子振幅為204g0A. 振子在運(yùn)動(dòng)過程中受滑動(dòng)摩擦力的作用, 克服摩擦力而做功, 從而使系統(tǒng)0202 gA能量轉(zhuǎn)化為耗散功. 而當(dāng)振子振幅小于時(shí), 彈簧振子系統(tǒng)提供的恢復(fù)力不能克服20g摩擦力而繼續(xù)運(yùn)動(dòng), 即振子不能再向前運(yùn)動(dòng), 停止于到的區(qū)間.20g20g當(dāng)彈簧振子的振幅小于時(shí), 彈簧振子便會(huì)停止于到區(qū)間. 從而可知 20g20g

16、20g 6彈簧振子的停滯區(qū)為.220022fxxFmg2.3 振子的振幅、周期與停止點(diǎn)振子的振幅、周期與停止點(diǎn)振子振動(dòng)的周期數(shù)由初始振幅決定, 且滿足公式. 假定彈簧振子滿足: 0A2004ANg, 因此, . 則有恒定大小滑動(dòng)摩擦力的 1,1mTkgs102s222kkgs彈簧振子運(yùn)動(dòng)過程中:計(jì)算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);A0=1.01321;v0=0;f=2.0;N=A0*omega02*m/(4*f)即N=5.0000位移時(shí)間圖的運(yùn)行程序:t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0 v0,omega0,f

17、);plot(t,x(:,1),-k,t,f/m/omega02,:k,t,-f/m/omega02,:k,LineWidth,2)xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant, Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanx, Color,k)grid on函數(shù)程序:function Q=funerxx(t,x,omega0,f) %x有兩個(gè)元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);程序中的取不同值時(shí), 周期數(shù)不同并且最后停止點(diǎn)也不同. 可知, 取不同振幅0A

18、時(shí), 周期及停止點(diǎn)的規(guī)律:, , 振子停止于原點(diǎn); , , 振子停止于大00.4053Am2N 00.4559Am2.25N 于零的區(qū)域; , , 振子停止于等于零處; , , 00.5066Am2.5N 00.5573Am2.75N 7振子停止于小于零的區(qū)域; , , 振子停止于小于零的區(qū)域; 00.3546Am1.75N , , 振子停止于等于零的區(qū)域; , , 振子停于00.3040Am1.5N 0.2533Am1.25N 大于零的區(qū)域.00.511.522.53-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5tx圖 2.1 時(shí),位移時(shí)00.4053Am2N 間關(guān)系曲線,

19、振子最終停止于原點(diǎn)00.511.522.53-0.4-0.200.20.40.6tx圖 2.2 時(shí),位移00.5066Am2.5N 時(shí)間關(guān)系曲線,振子最終停止于原點(diǎn)00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4tx圖 2.3 時(shí),位移時(shí)00.3040Am1.5N 間關(guān)系曲線,振子最終停止于原點(diǎn)00.511.522.53-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5tx圖 2.4 時(shí),位移00.4559Am2.25N 時(shí)間關(guān)系曲線,振子停止于大于零區(qū)域00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.2-0.1

20、5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.3tx圖 2.5 時(shí),位移00.2533Am1.25N 時(shí)間關(guān)系曲線,振子停止于大于零區(qū)域00.511.522.53-0.4-0.200.20.40.6tx圖 2.6 時(shí),位移00.5573Am2.75N 時(shí)間關(guān)系曲線,振子停止于小于零區(qū)域 8即當(dāng)周期為整數(shù)、半整數(shù)N時(shí), 振子最終停止于原點(diǎn); 當(dāng)周0.5N 期為時(shí), 振子最終停止于大于0.25N 零的區(qū)域處; 當(dāng)周期為大于, xxN小于并且不等于時(shí), 振5 . 0N25. 0N子最終停止于的區(qū)域; 當(dāng)周期0 xx為時(shí), 振子最終停止于小于零75. 0N的區(qū)域處; 當(dāng)周期大于, xx

21、5 . 0N小于并且不等于時(shí), 振子1N75. 0N最終停止于的區(qū)域.0 xx00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4tx圖 2.7 時(shí),位移00.3546Am1.75N 時(shí)間曲線,振子停止于小于零的區(qū)域 93 滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子變量關(guān)系的分析滑動(dòng)摩擦力大小恒定的彈簧振子變量關(guān)系的分析3.1 質(zhì)點(diǎn)的振幅與振動(dòng)次數(shù)的線性關(guān)系質(zhì)點(diǎn)的振幅與振動(dòng)次數(shù)的線性關(guān)系質(zhì)點(diǎn)在每次振動(dòng)完成后振幅減小相同, 均為, 所以振幅的衰減與振動(dòng)次數(shù)4fFk成正比. 所以在圖中每次振動(dòng)的頂點(diǎn)相連成一直線, 對(duì)于的峰值的連線方ntx0 x 程為: (3.

22、1)004xAnf k而對(duì)于的峰值的連線方程為:0 x (3.2)004xAnf k 假定: , 因此, . 1,1mTkgs102s222kkgs圖3.1圖3.8給出了取不同值時(shí), 直線、直線與曲線相交的情況.0A0 x0 xtx計(jì)算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v0=0;f=2.0;N=5.0 %N=5.0, 5.125, 5.25, 5.375, 5.5, 5.625, 5.75, 5.875n=0:0.1:ceil(N);A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0

23、 v0,omega0,f);plot(t,x(:,1),-k,n,(A0-n*4*f/k),:k,n,-(A0-n*4*f/k),-.k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanx(m), Color,k)set(gca,XTick,0:0.5:ceil(N) %給定x軸的刻度0.5set(gca,YTick,-1.25:0.25:1.25)legend(x, x_0,x_0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0圖

24、 3.8 取,則01.1905Am時(shí)峰值與直線相交的情況. 5.875N 實(shí)線為位移曲線,點(diǎn)線為,點(diǎn)劃線為0 x.0 x 12綜上可知, 在第一個(gè)整周期中, 振子的速度變化曲線為類余弦曲線. 它是從開0始, 逐漸增大到負(fù)的最大值而后又減小到; 繼續(xù)運(yùn)動(dòng)又逐漸增大到正的最大位移0(此最大值小于上次負(fù)最大值的絕對(duì)值)后, 又減小到, 整個(gè)變化曲線為類余弦曲線.0之后的每個(gè)振動(dòng)過程中速度時(shí)間圖亦為此規(guī)律.3.2.2 速度折點(diǎn)處與周期的關(guān)系速度折點(diǎn)處與周期的關(guān)系由于質(zhì)點(diǎn)在通過 的峰值時(shí), 由于摩擦阻力與速度方向相反, 所以在速度改變方x向時(shí)摩擦阻力的方向就要隨之改變, 這將使得在這一點(diǎn)上速度的導(dǎo)數(shù)(加

25、速度)不連續(xù),從而導(dǎo)致速度曲線將不再是一條光滑的曲線. 不過其不光滑的程度應(yīng)該與此時(shí)的 的x峰值大小有關(guān), 因?yàn)?(3.3)2000ffFxmxxFxm 如果在速度改變時(shí), 如果和屬同數(shù)量級(jí)時(shí), 速度曲線的不光滑就會(huì)非常明20 xfFm顯.如圖3.11取,在第一次速度方向改變時(shí) 01.1652 ,1Am N1max02fxAFk, , 此時(shí)的阻力, 速度曲線在此處不光滑非常明顯. 0.1013m 1max4kxN2fFN如圖3.12取, 在第一次速度方向改變時(shí) 00.6079 ,3Am N1max02fxAFk, , 此時(shí)的阻力, 速度曲線在此處不光滑并不明0.506m 1max20kxN2f

26、FN顯. 但在第五次速度改變方向時(shí), 此時(shí)振幅為第三次振動(dòng)的負(fù)極大, , 此時(shí)的阻力仍為, 速度曲線3max020.1013fxAFkm 3max4kxN2fFN在此處不光滑非常明顯.00.20.40.60.811.21.41.61.82-2-1.5-1-0.500.51tv圖 3.9 時(shí)，速度00.3040 ,1.5Am N時(shí)間關(guān)系圖00.511.522.53-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52tv圖 3.10 時(shí)，速度00.4053 ,2Am N時(shí)間關(guān)系圖 13計(jì)算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v0=0;f=2.0;N=1.0

27、 %N=1.0, 3.0n=0:0.1:ceil(N);A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0 v0,omega0,f);plot(t,x(:,2),-k,t,x(:,1),:k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanv(m/s), Color,k)legend(v,x)grid onbox on函數(shù)程序:function Q=funerxx(t

28、,x,omega0,f) %x有兩個(gè)元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4t(s)v(m/s)vx圖 3.11 取時(shí)速度01.1652 ,1Am N曲線(實(shí)線)在第一個(gè)位移曲線(點(diǎn)線)負(fù)極大時(shí)曲線不光滑的情況非常明顯.00.511.522.53-4-3-2-10123t(s)v(m/s)vx圖 3.12 取時(shí)速00.6079 ,3Am N度曲線(實(shí)線)光滑的情況. 顯然在振幅(點(diǎn)線)減小時(shí)不光滑變得更加明顯. 143.3 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量與位

29、移關(guān)系質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量與位移關(guān)系以, 和, 為示例討論動(dòng)量位移關(guān)系, 利用5 . 1N00.3040Am2N00.4053AmMATLAB 做出圖形, 并作出分析:主要運(yùn)行程序:t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0 v0,omega0,f);plot(x(:,1),m*x(:,2),-k,f/m/omega02,-max(abs(x(:,2)-1:0.001:max(abs(x(:,2)+1,-k,-f/m/omega02,-max(abs(x(:,2)-1:0.001:max(abs(x(:,2)+1,-k,LineWidth, 2) xlabel(fontsi

30、ze16fontnameTime New Romanx, Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanp, Color,k)grid on -0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52xp圖 3.13 時(shí), 動(dòng)量00.3040 ,1.5Am N與位移的關(guān)系曲線-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-3-2-10123xp圖 3.14 時(shí), 動(dòng)量00.4053 ,2Am N與位移的關(guān)系曲線-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25

31、0.3-1.5-1-0.500.511.5xp圖3.15 , 動(dòng)量00.2533 ,1.25Am N與位移的關(guān)系曲線-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-2-1.5-1-0.500.511.52xp圖3.16 , 動(dòng)量00.3546 ,1.75Am N與位移的關(guān)系曲線 15根據(jù)及相軌跡圖形, 可知?jiǎng)恿课灰茍D亦為類橢圓形狀. 該彈簧振子受恒定mvp 大小的滑動(dòng)摩擦力, 因而振幅不斷減小. 初始時(shí)刻, 振子處于正的最大位移即處, 0A此時(shí)速度為零, 動(dòng)量亦為零, 可知起始點(diǎn)為處.0 ,0A第一次單向運(yùn)動(dòng)中, 振子向左運(yùn)動(dòng), 當(dāng)位移為零時(shí), 速度達(dá)負(fù)的最大值, 此時(shí)動(dòng)量亦為負(fù)的最大值;

32、 振子繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng), 直至達(dá)到負(fù)的最大位移即處, 但其絕對(duì)值1A小于初始最大位移, 并且差值為, 此時(shí)速度減小到零, 動(dòng)量亦為零, 可知坐202 gA標(biāo)為.0202,0gA在第二次單向運(yùn)動(dòng)中, 振子向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)位移為零時(shí), 速度達(dá)正的最大值, 此時(shí)動(dòng)量亦為正的最大值; 振子繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng),直到達(dá)到正的最大位移即處,而又知2A, 并且差值亦為, 此時(shí)速度又減小到零, 動(dòng)量亦為零, 可知在圖210AAA202gA 中坐標(biāo)為.0 ,4200gA同理, 之后每一次單向運(yùn)動(dòng)或每一個(gè)整周期運(yùn)動(dòng), 動(dòng)量位移變化規(guī)律與此相同.對(duì)照位移時(shí)間圖及簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相軌跡, 可知當(dāng)時(shí), 振子的動(dòng)量變化三個(gè)半周期后5 . 1N

33、最終停止在原點(diǎn)即處; 當(dāng)時(shí), 振子的動(dòng)量變化二個(gè)周期后最終停止在原點(diǎn)0 , 02N即處. 且每個(gè)半周期的曲線為類橢圓的上半邊或下半邊, 并且相鄰半周期的曲線0 , 0交匯于處.0p從圖3.133.16上同樣看到在為整數(shù)或半整數(shù)時(shí), 振動(dòng)停止于零點(diǎn), 此時(shí)系統(tǒng)的N全部初始勢(shì)能用來(lái)克服阻力做功; 而在時(shí)振動(dòng)分別停止在右和左停1.25,1.75NN止線, 此時(shí)系統(tǒng)的初始勢(shì)能的一部分存儲(chǔ)于系統(tǒng)中, 振動(dòng)停止時(shí)系統(tǒng)的能量并不為零.3.4 能量時(shí)間關(guān)系及能量位移關(guān)系能量時(shí)間關(guān)系及能量位移關(guān)系 3.4.1 能量與時(shí)間的曲線及其凹向能量與時(shí)間的曲線及其凹向該系統(tǒng)的能量為: (3.4) 221122Ekxmvt

34、能量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為: (3.5) 20signfFdEtkxxmxxkxvmvakxvvxvdtm其中 16 (3.6) 10sign10vvv在速度變號(hào)處, 不光滑從而不存在. 為簡(jiǎn)單起見, 我們就時(shí)的情況dE dt22d E dt1N 繪制出能量與時(shí)間的曲線、能量的一階導(dǎo)數(shù)與時(shí)間的關(guān)系及能量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)與時(shí)間關(guān)系曲線對(duì)能量隨時(shí)間的變化進(jìn)行分析.計(jì)算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v0=0;f=2.0;N=1.0 %N=1.0, 3.0dt=0.0001;A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0

35、:dt:ceil(N),A0 v0,omega0,f);E=0.5*k*x(:,1).2+0.5*m*x(:,2).2;dEdt=diff(E)/dt;ddEdt=diff(dEdt)/dt;plot(t,E,-k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J), Color,k)set(gca,XTick,0:0.125:ceil(N) %給定x軸的刻度0.125set(gca,XTickLabel,0,T/8,T/4,

36、3T/8,T/2,5T/8,3T/4,7T/8,T)grid onbox onfigureplot(t(1:ceil(N)/0.0001),dEdt,-k,LineWidth, 2)xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J/s), Color,k)set(gca,XTick,0:0.125:ceil(N) %給定x軸的刻度0.125 17set(gca,XTickLabel,0,T/8,T/4,3T/8,T/2,5T/8,3T/4,7T/8,T)

37、grid onbox onfigureplot(t(1:ceil(N)/0.0001-1),ddEdt,-k,LineWidth, 2)xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J/s2), Color,k)set(gca,XTick,0:0.125:ceil(N) %給定x軸的刻度0.125set(gca,XTickLabel,0,T/8,T/4,3T/8,T/2,5T/8,3T/4,7T/8,T)grid on函數(shù)程序:function Q=fu

38、nerxx(t,x,omega0,f) %x有兩個(gè)元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);從圖3.17能量與時(shí)間的關(guān)系曲線可以看出, 能量隨時(shí)間的變化不是線性的. 在開始時(shí), 速度較慢, 阻力做的功在單位時(shí)間里比較小, 所以能量下降也比較緩慢. 隨著時(shí)間增加, 接近速度變快, 單位4T時(shí)間阻力做的功增加, 此時(shí)能量下降變的比較快. 然后又隨著時(shí)間接近速度逐2T漸變慢而變緩. 然后又逐漸加快, 到時(shí)能量下降的比較快, 然后在接近34T0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T00.10.20.30.40.50.60.70.80.9t(

39、s)E(J)圖 3.17 時(shí)能量與00.2026 ,1Am N時(shí)間的關(guān)系曲線0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20t(s)E(J/s)圖 3.18 時(shí)能量對(duì)00.2026 ,1Am N時(shí)間的導(dǎo)數(shù)與時(shí)間的關(guān)系曲線0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T-15-10-5051015t(s)E(J/s2)圖 3.19 時(shí)能量對(duì)00.2026 ,1Am N時(shí)間的二階導(dǎo)與時(shí)間的關(guān)系曲線 18時(shí)又逐漸變緩. 實(shí)際在每一次完成全部振動(dòng)的過程中, 在起始點(diǎn)、和振動(dòng)結(jié)束T2T的時(shí)間點(diǎn), 能量隨時(shí)間的變化率為零

40、. 在和振子位于平衡點(diǎn)時(shí), 振子速度最4T34T快能量下降也最快. 由能量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)曲線圖3.18和二階導(dǎo)數(shù)曲線圖3.19, 可以看出能量隨時(shí)間的變化曲線在每次振動(dòng)起始到, 在這一段時(shí)間中能量與時(shí)間的關(guān)4T系曲線為上凸(能量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)小于零), 從到, 此段時(shí)間中能量與時(shí)4T2T間的關(guān)系曲線為下凹(能量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)大于零). 從到位曲線為上凸2T34T(能量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)小于零), 從到的時(shí)間段為下凹(能量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)34TT數(shù)大于零). 并且由于在每次振動(dòng)起始時(shí)刻、及結(jié)束時(shí)刻, 由于阻力方向突然變化, 2T使得能量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)在這些時(shí)刻不光滑, 從而能量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)在

41、這些時(shí)刻不存在.3.4.2 能量與位移的曲線能量與位移的曲線振子系統(tǒng)的能量為 (3.7)221122Epkxm下面我們繪制能量與坐標(biāo)的關(guān)系曲線. 在能量與坐標(biāo)的關(guān)系曲線中, 當(dāng)初始振幅取值使得為整數(shù)或半整數(shù)時(shí), 振子停止于坐標(biāo)零點(diǎn), 此時(shí)初始時(shí)的勢(shì)能完全用來(lái)克N服阻力做了功; 如果初始振幅取值使得不是整數(shù)或半整數(shù), 則振子停止于停止區(qū)內(nèi)N除零點(diǎn)以外的任一點(diǎn), 這時(shí)雖然振動(dòng)停止, 但系統(tǒng)中仍存儲(chǔ)有一定的勢(shì)能, 即初始時(shí)的一部分勢(shì)能并沒有用來(lái)克服阻力做功. 下面我們用幾個(gè)特殊的值來(lái)說明這一情況.N能量與位移關(guān)系的計(jì)算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v

42、0=0;f=2.0;N=1.0 %N=1.0, 1.25, 1.5, 1.75dt=0.0001;A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0:dt:ceil(N),A0 v0,omega0,f);E=0.5*k*x(:,1).2+0.5*m*x(:,2).2; plot(x(:,1),E,-k,f/m/omega02,0:0.001:0.9,-k,- 19f/m/omega02,0:0.001:0.9,-k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romanx(m), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J), Color,k)grid onaxis(-0.25 0.25 0 0.9)函數(shù)程序:function Q=funerxx(t,x,omega0,f) %x有兩個(gè)元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);我們分別采用繪制圖3.20, 繪制圖3.21, 00.2026 ,1Am N00.2533 ,1.25Am N 繪制圖3.22, 繪制圖3.23. 在圖中的兩條00.3040 ,Am1.5N 00.3546