概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件05大數(shù)定理與中心極限定理

1、1 第五章第五章 大數(shù)定律大數(shù)定律背景知識背景知識 大數(shù)定律研究的是大量的、在一定條件下的、重復的大數(shù)定律研究的是大量的、在一定條件下的、重復的隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。它以嚴格的數(shù)學形式論證了隨機隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。它以嚴格的數(shù)學形式論證了隨機事件在什么樣的條件下發(fā)生的概率接近于事件在什么樣的條件下發(fā)生的概率接近于0 0或或1 1。 同時指出，任何隨機事件，不論其發(fā)生的概率如何小同時指出，任何隨機事件，不論其發(fā)生的概率如何小，都是有可能發(fā)生的。如果試驗次數(shù)充分大，且隨機事件，都是有可能發(fā)生的。如果試驗次數(shù)充分大，且隨機事件在每次試驗中能以同樣的概率發(fā)生，則它至少發(fā)生一次的在每次試驗中能以同樣的

2、概率發(fā)生，則它至少發(fā)生一次的概率可以隨意地接近于概率可以隨意地接近于1 1。 也就是說，不論隨機事件在一次試驗中發(fā)生的概率如也就是說，不論隨機事件在一次試驗中發(fā)生的概率如何小，只要試驗次數(shù)充分大，則它一定要發(fā)生。何小，只要試驗次數(shù)充分大，則它一定要發(fā)生。2n 在歷史上，在歷史上，17131713年貝努里第一個對經(jīng)驗頻率的穩(wěn)定性年貝努里第一個對經(jīng)驗頻率的穩(wěn)定性給也了嚴格的理論證明，稱為貝努里大數(shù)定理。給也了嚴格的理論證明，稱為貝努里大數(shù)定理。n 后來切貝謝夫在一般條件下推導出了大數(shù)定理，稱為后來切貝謝夫在一般條件下推導出了大數(shù)定理，稱為切貝謝夫大數(shù)定理。切貝謝夫大數(shù)定理。n 19291929年，

3、辛欽在同分布的條件下推廣了切貝謝夫定理，年，辛欽在同分布的條件下推廣了切貝謝夫定理，稱為辛欽定理。稱為辛欽定理。大數(shù)定律大數(shù)定律背景知識背景知識3 大數(shù)定律大數(shù)定律221.,0,DEPDEPDE或下面的不等式恒成立對任意給定的數(shù)則及方差有數(shù)學期望設(shè)隨機變量切貝謝夫不等式切貝謝夫不等式4 例例1.2,3 , 1的結(jié)果所得夫不等式和直接計算試比較切貝謝上的均勻分布服從設(shè)DXEXXPX5 例例2 設(shè)電站供電網(wǎng)有設(shè)電站供電網(wǎng)有1000010000盞燈盞燈, ,夜晚每一盞燈開燈夜晚每一盞燈開燈的概率都是的概率都是0.7,0.7,假定開假定開, ,關(guān)彼此獨立關(guān)彼此獨立, ,估計夜晚同時開估計夜晚同時開著的

4、燈數(shù)在著的燈數(shù)在68006800到到72007200之間的概率之間的概率.提示提示:95. 072006800p6提示提示:例例3,1,2,.PE設(shè) 是擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù) 若給定用切貝謝夫不等式和實際計算并驗證切貝謝夫不等式成立1235,27DE7 大數(shù)定律大數(shù)定律依概率收斂依概率收斂:aaaPapnnnnn:, 1, 0,lim記為依概率收斂于機變量序列則稱隨有任意的使對若存在常數(shù)設(shè)隨機變量序列8 大數(shù)定律大數(shù)定律切貝謝夫大數(shù)定理切貝謝夫大數(shù)定理111, 0,), 2 , 1(,11212121limniiniiniinnnEnnPiLLDiDDDEEE有則對任給的無關(guān)的常數(shù)是與其中有并且

5、對所有的與方差各有數(shù)學期望序列是相互獨立的隨機變量設(shè)9 大數(shù)定律大數(shù)定律切貝謝夫大數(shù)定理的啟示切貝謝夫大數(shù)定理的啟示 具有有限方差的隨機變量序列的平均數(shù)具有有限方差的隨機變量序列的平均數(shù)依概率收斂于它們的數(shù)學期望的平均數(shù)依概率收斂于它們的數(shù)學期望的平均數(shù). .10 大數(shù)定律大數(shù)定律貝努里大數(shù)定理貝努里大數(shù)定理1, 0).(,limpnPAPpnAnAnn有即對任給的依概率收斂于它的概率率出現(xiàn)的頻事件無限增大時則當試驗次數(shù)次數(shù)出現(xiàn)的次試驗中事件為設(shè)在獨立試驗中11 大數(shù)定律大數(shù)定律貝努里大數(shù)定理的啟示貝努里大數(shù)定理的啟示 頻率具有穩(wěn)定性頻率具有穩(wěn)定性. . 這也是概率的頻率定義的理論依據(jù)這也是概

6、率的頻率定義的理論依據(jù)12 大數(shù)定律大數(shù)定律辛欽大數(shù)定理辛欽大數(shù)定理11, 0.,1221limanPDaEniiniin有則對任給的的隨機變量序列布是相互獨立且有相同分設(shè)13 大數(shù)定律大數(shù)定律辛欽大數(shù)定理的啟示辛欽大數(shù)定理的啟示 對于同一個隨機變量進行對于同一個隨機變量進行n n次獨立觀測次獨立觀測, ,則所則所有觀測結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)依概率收斂于隨機變有觀測結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)依概率收斂于隨機變量的期望值量的期望值. .14 李雅普諾夫中心極限定理李雅普諾夫中心極限定理)(21)(1,.,.,.,02112222112212limxdtexaSPSDaExtniiniinnnnniiiiiiin

7、則有令影響不大總和對若每個有方差望值有期是相互獨立的隨機變量設(shè)15 李雅普諾夫中心極限定理的啟示李雅普諾夫中心極限定理的啟示如果一個隨機現(xiàn)象是由眾多因素共同作用引起如果一個隨機現(xiàn)象是由眾多因素共同作用引起, ,每一個因素在總的變化中都不起顯著作用每一個因素在總的變化中都不起顯著作用, ,就可就可以斷定描述該隨機現(xiàn)象的隨機變量以斷定描述該隨機現(xiàn)象的隨機變量( (不論是連續(xù)不論是連續(xù)型的還是離散型的型的還是離散型的) )近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布.16 拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理)()()()(:)2()(121:) 1 (:),(.,0002)(2npqnpanpqnpb

8、abbaPnnpqnpknpqenpqkPnpnBnnpqnpk時當積分極限定理時當局部極限定理則即如果限二項分布以正態(tài)分為極時當17 運用中心極限定理時應(yīng)注意運用中心極限定理時應(yīng)注意: :.,5 . 0,;,?.),(,),() 1 (正態(tài)分布計算較精確些則用附近在如果相反分布計算較精確些則用較大或者較小如果一般概率呢的相關(guān)布來計算到底應(yīng)該采用哪一個分分布的也服從參數(shù)同時布服從正態(tài)分時則當如果pPoissonpPoissonnpnpqnpNnpnB18 運用中心極限定理時應(yīng)注意運用中心極限定理時應(yīng)注意: :(2)(2)中心極限定理成立的條件是中心極限定理成立的條件是n n趨于無趨于無窮大窮大

9、. .在具體應(yīng)用時在具體應(yīng)用時n n應(yīng)多大呢？一般要應(yīng)多大呢？一般要求求n n應(yīng)大于應(yīng)大于30.30.否則誤差會較大否則誤差會較大. .19 例例1 1 設(shè)電站供電網(wǎng)有設(shè)電站供電網(wǎng)有1000010000盞燈盞燈, ,夜晚每一盞燈開燈夜晚每一盞燈開燈的概率都是的概率都是0.7,0.7,假定開假定開, ,關(guān)彼此獨立關(guān)彼此獨立, ,估計夜晚同時開估計夜晚同時開著的燈數(shù)在著的燈數(shù)在68006800到到72007200之間的概率之間的概率.提示提示: :07000( 4.364.36)0.9999945.83 68007200p20 例例2 每顆炮彈命中飛機的概率為每顆炮彈命中飛機的概率為0.01, 0

10、.01, 求求500500發(fā)炮發(fā)炮彈中命中彈中命中5 5發(fā)的概率發(fā)的概率. .21提示提示:1793. 0)5(15)4(175467. 0! 555)2(17635. 099. 001. 05) 1 (05549555500npqnpnpqPePPoissonCP利用拉普拉斯定理計算分布計算利用利用二項分布公式計算22 例例3 3 某車間有同型號機床某車間有同型號機床200200部部, ,每部開動的概率為每部開動的概率為0.7,0.7,假定各機床的開與關(guān)是相互獨立的假定各機床的開與關(guān)是相互獨立的, ,開動時每部機床要開動時每部機床要消耗電能消耗電能1515個單位個單位. .問電廠至少要供應(yīng)多

11、少電能給這個問電廠至少要供應(yīng)多少電能給這個車間車間, ,才能以才能以95%95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn). .提示提示: (: (電能單位電能單位) )226523 例例4 4 某商店負責供應(yīng)某地區(qū)某商店負責供應(yīng)某地區(qū)10001000人的商品某種商品在一人的商品某種商品在一段時間內(nèi)每人需要用一件的概率為段時間內(nèi)每人需要用一件的概率為0.6,0.6,假定在這一段時假定在這一段時間內(nèi)各人購買與否彼此獨立間內(nèi)各人購買與否彼此獨立, ,問商店應(yīng)預(yù)備多少件這樣的問商店應(yīng)預(yù)備多少件這樣的商品才能以商品才能以99.7%99.7%的概率保證不會脫銷的概率保證不會脫銷

12、( (假定該商品在一假定該商品在一定的時間內(nèi)最多需要一件定的時間內(nèi)最多需要一件). ).提示提示:643件件997. 0)75. 2(024 例例5 5 設(shè)有設(shè)有3030個電子器件個電子器件, ,它們的使用壽命它們的使用壽命( (單位單位: :小時小時)T)T1 1, ,T T2 2,T,T3030服從參數(shù)服從參數(shù)=0.1=0.1的指數(shù)分布的指數(shù)分布, ,其使用情況是第其使用情況是第一個損壞第二個立即使用一個損壞第二個立即使用, ,第二個損壞第三個立即使用第二個損壞第三個立即使用, ,依次類推依次類推. .令令T T為為3030個器件使用的總計時間個器件使用的總計時間,(1),(1)求求T T

13、超過超過350350小時的概率小時的概率;(2);(2)若電子器件每件若電子器件每件a a元元, ,那么在年計劃中那么在年計劃中一年需要多少元才能有一年需要多少元才能有95%95%的概率保證夠用的概率保證夠用( (假定一年假定一年有有306 306 個工作日個工作日)? )?提示提示: (1)0.1814 (2)272a25 例例6 6提示提示: : N(aN(a2 2,a ,a4 4-a-a2 22 2) ).,1,),4,3,2, 1(,),.,(1221參數(shù)并指出其分布近似地正態(tài)分布變量隨機充分大時證明當已知的簡單隨機樣本是來自總體設(shè)niinkknXnZnkaEXXXXX26 例例7 7提示提示: :自然數(shù)自然數(shù)1616._,95. 01 . 0,),2 . 0 ,(,.2數(shù)的最小值應(yīng)不小于自然成立為使值次稱量結(jié)果的算術(shù)平均表示若以服從正態(tài)分布次稱量結(jié)果相互獨立假設(shè)每物品量為在天平上重復稱量一重naXPnXaNann27 例例8 8 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X和和Y Y的數(shù)學期望分別為的數(shù)學期望分別為-2-2和和2,2,方差分別為方差分別為1 1和和4,4,而相關(guān)系數(shù)為而相關(guān)系數(shù)為-0.5,-0.5,則根據(jù)車貝雪夫不等式有則根據(jù)車貝雪夫不等式有 提示提示:1/12:1/12._6YXP28 一生產(chǎn)線的產(chǎn)品