二重積分的計(jì)算方法

1、http:/mooker.80.hk1第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法計(jì)算二重積分的方法計(jì)算二重積分的方法:二重積分二重積分累次累次積分積分(即即兩次兩次定積分定積分).http:/mooker.80.hk2 在直角坐標(biāo)系下用平在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域分區(qū)域D，( , )d( , )d dDDf x yf x yx y dd dx y 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元素為一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分http:/mooker.80.hk3(2)如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻?/p>

2、數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,baX型型b)(2xy )(1xy aDxOyxOy)(1xy )(2xy Dba, bxa ).()(21xyx http:/mooker.80.hk4回憶回憶：平行截面面積為已知的立體的體積：平行截面面積為已知的立體的體積xoxdxx ab)(xA表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)d( )dVA xx ( )dbaVA x x 立體體積立體體積)( xA此方法關(guān)鍵是求此方法關(guān)鍵是求http:/mooker.80.hk5的的值值等等于于)0),(d),( y

3、xfyxfD 計(jì)算截面面積計(jì)算截面面積),(yxfz ( 紅色部分即紅色部分即A(x0) )以以D為底為底,以曲面以曲面為頂?shù)那斨w的體積為頂?shù)那斨w的體積.應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平平行截面面積為行截面面積為已知的立體求已知的立體求體積體積”的方法的方法.用二重積分的幾何意義說明其計(jì)算法用二重積分的幾何意義說明其計(jì)算法:是區(qū)間是區(qū)間)(),(0201xx 為曲邊的曲邊梯形為曲邊的曲邊梯形.),(0yxfz 為底為底,曲線曲線 xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xAab0 x)(1xy http:/mooker.80.hk6xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xAab0 x

4、)(1xy yzO)(01x )(02x ),(0yxfz A(x0)(01x )(02x yyxfxAd),()(00 yyxfxAxxd),()()()(21 DyxfV d),( baxxAd)(xbad )d),()()(21 xxyyxf baxxyyxfx)()(21d),(d 先對(duì)先對(duì)y后對(duì)后對(duì)x的二次積分的二次積分(累次累次積分積分) )http:/mooker.80.hk7(2) 積分區(qū)域積分區(qū)域?yàn)椋簽椋?dyc )()(21yxy Dyxf d),(先對(duì)先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y的二次積分的二次積分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(其中函數(shù)其中函數(shù)

5、 、)(1y )(2y ,dc在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).D)(2yx cd)(1yx xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),( xyxf)(1y )(2y Y型型http:/mooker.80.hk81.當(dāng)當(dāng)D既不是既不是X-型區(qū)域也不是型區(qū)域也不是Y-型區(qū)域時(shí)型區(qū)域時(shí),將將D分成幾部分，使每部分是分成幾部分，使每部分是X-型區(qū)域或型區(qū)域或是是Y-型區(qū)域型區(qū)域.2.當(dāng)當(dāng)D既是既是X-型區(qū)域也是型區(qū)域也是Y-型區(qū)域時(shí)型區(qū)域時(shí),可以可以用兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算用兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算.yx0yx0cdabDhttp:/mooker.80.hk9特殊地特殊地 Dbadcyyxfxyxfd)

6、,(dd),( )()(),(21yfxfyxf 若若 yxyfxfDdd)()(21即等于兩個(gè)定積分的乘積即等于兩個(gè)定積分的乘積.D為矩形域?yàn)榫匦斡?則則則則axb,cyd baxxfd)(1yyfdcd)(2 yyfxfdcd)()(21 xd) ba( dcbaxyxfyd),(dhttp:/mooker.80.hk10二重積分是二重積分是化為化為兩次定積分兩次定積分來計(jì)算的，來計(jì)算的，關(guān)鍵關(guān)鍵是確定積分限是確定積分限.定限要注意的問題：定限要注意的問題：1.上限上限下限下限.2.內(nèi)層積分的上，下限應(yīng)為外層積分變量的函數(shù)內(nèi)層積分的上，下限應(yīng)為外層積分變量的函數(shù).3.外層積分上，下限應(yīng)為常

7、數(shù)外層積分上，下限應(yīng)為常數(shù)(后積先定限后積先定限).4.4.二重積分的結(jié)果應(yīng)為常數(shù)二重積分的結(jié)果應(yīng)為常數(shù). .http:/mooker.80.hk11例例 計(jì)算計(jì)算dDxy 其中其中D是由直線是由直線y=1,x=2及及y=x所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.解法解法1 1： 先先y后后x 211dd dxDxyxy yx 2211d2xyxx 2342211d2284xxxxx xyx012y=xy=1x=221 xxy 189 http:/mooker.80.hk12解法解法2 2： 先先x后后y221dd dyDxyxy xy 2221d2yxyy 23422112d28yyyyy yx012

8、y=xx=2 y21 y2 xy89 http:/mooker.80.hk13解解23d d ,.xDex y Dyxyx 是是第第一一象象限限中中由由直直線線和和圍圍成成區(qū)區(qū)域域例例 計(jì)算計(jì)算),1 , 1( ,)0 , 0(3 xyxy3xy xy (1,1) xyxxDX310:2d dxDex y 22130()dxxxex ex 2310dxxxyex . 121 e2310ddxxxxeyhttp:/mooker.80.hk14選取積分次序選取積分次序, , 不僅要看區(qū)域的特點(diǎn)不僅要看區(qū)域的特點(diǎn), ,而且要看被積函數(shù)而且要看被積函數(shù)的特點(diǎn)的特點(diǎn). .凡遇如下形式積分凡遇如下形式積分

9、: :等等等等, ,一定要放在一定要放在后面積分后面積分. .,dsinxxx ,dsin2xx ,dcos2xx ,d2xex ,d2xex ,lnd xx,dxexy http:/mooker.80.hk15xy 1解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖 yxyDY1010:例例 改變積分改變積分 1100d( , )dxxf x yy 的次序的次序.http:/mooker.80.hk16例例交換積分次序：交換積分次序： axxaxayyxfx22202d),(d)0( a解解axy2 22xaxy 22yaax xyOaa2aa2ayx22 原式原式= xyxfd),( yday22xyxfd)

10、,( 22yaa 0aa222yaa yd0a xyxfd),( yda2ay22a2ahttp:/mooker.80.hk17例例 交換積分次序：交換積分次序：解解 積分區(qū)域積分區(qū)域: xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO12yx 2211yx http:/mooker.80.hk18例例 求證求證 axaxxfxayyfx000d)()(d)(d 左邊的累次積分中左邊的累次積分中,提示提示 xayyfx00d)(d ayaxyfyd)(d0 ayyfya0d)()( axxfxa0d

11、)()(不能直接計(jì)算，不能直接計(jì)算，)(yf是是y的抽象函數(shù)的抽象函數(shù),)0( a,0ay axy aayyxyf0d)(證畢證畢.要先交換積分次序要先交換積分次序. .axyOa),(aa 證明證明http:/mooker.80.hk19例例 求兩個(gè)底圓半徑為求兩個(gè)底圓半徑為R,且這兩個(gè)圓柱面的方程分且這兩個(gè)圓柱面的方程分別為別為 及及222Ryx .222Rzx 解解 d D332R 313168RVV d),(1 DyxfV22xRy 求所圍成的求所圍成的立體的體積立體的體積.xoyzoxyDR22xR yxRd22 22xR 0 xd0R22xRz 曲曲頂頂http:/mooker.8

12、0.hk20解解曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖., yxz ,xyz , 1 yx, 0 x. 0 y例例 求由下列曲面所圍成的立體體積，求由下列曲面所圍成的立體體積，http:/mooker.80.hk21, 10 yx,xyyx 1100d()dxxxyxyy 1301 (1)(1) d2xxxx .247 所所圍圍立立體體在在xoy面面上上的的投投影影是是1 yxxoy22http:/mooker.80.hk22例例. 10 , 10:)(,|2 yxdxyI為為其其中中計(jì)計(jì)算算積積分分 解解oxy112xy )(1 )(2 I12()dyx 22()dxy 101154 .301

13、1 http:/mooker.80.hk23補(bǔ)充補(bǔ)充輪換輪換對(duì)稱性結(jié)論對(duì)稱性結(jié)論: :若若D關(guān)于關(guān)于x,y滿足輪換對(duì)稱性滿足輪換對(duì)稱性(將將D的邊界的邊界曲線方程中的曲線方程中的x與與y交換位置交換位置,方程不變方程不變),則則( , )d d( , )d d .DDf x yx yf y xx y http:/mooker.80.hk2411證證yxyxybxaIDdd)()()()( 設(shè)設(shè)的的對(duì)對(duì)稱稱性性得得由由區(qū)區(qū)域域關(guān)關(guān)于于直直線線xy yxxyxbyaIDdd)()()()( 所以所以, DyxbaIdd)(2)(21baI ,1 , 0)(上上的的正正值值連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)x

14、 )(21dd)()()()(bayxyxybxaD 證證明明：為為常常數(shù)數(shù)，其其中中ba, 例例xy ba xyO 1,0),( yxyxDhttp:/mooker.80.hk25二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）小結(jié)小結(jié)21()()( , )dd( , )d .bxaxDf x yxf x yy 21()()( , )dd( , )d .dycyDf x yyf x yx Y型型X型型（1）化二重積分為二次積分；）化二重積分為二次積分；（2）交換積分次序；）交換積分次序；題型題型http:/mooker.80.hk26作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題8-2(1)8-2(1) (77(77頁頁) )3.(1) (3)(4) 4. 5.6.(1) (2) 7.(2)(3)http:/mooker.80.hk271130(1)d1dyyxx 計(jì)算計(jì)算( (學(xué)生練習(xí)學(xué)生練習(xí)）sin(2)d